Periodico di matematiche - Mathesis

42 Periodico di matematiche 1/2011
42 Periodico di matematiche 1/2011
“Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di
lentezza. Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le concede
dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga
percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un
decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga un centimetro;
Achille percorre quel centimetro, la tartaruga un millimetro; Achille il
millimetro, la tartaruga un decimo di millimetro, e così all’infinito; di
modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla”.
Ancora Borges richiama altrove nella sua opera, per la precisione nei Prologhi, il
primo paradosso di Zenone, quello dell’impossibilità del movimento; parla infatti
dell’itinerario ipotetico che da un punto di partenza A dovrebbe condurre il “mobile”
protagonista a un traguardo B, e tuttavia si rivela impercorribile perché “prima di
arrivare a B si deve attraversare il punto intermedio C, ma prima di arrivare a C sarà
necessario attraversare il punto intermedio D, ma prima di arrivare a D . . . ” e via
dicendo.
Come detto, nel corso dei millenni, miriadi di pensatori si sono affannati a contestare
i quattro paradossi, a cominciare proprio da Aristotele, la cui confutazione
è, per dirla ancora con Borges, di “brevità quasi sdegnosa”, o dalla critica altrettanto
stringata che Kierkegaard attribuisce a Diogene e sottoscrive all’inizio de La
ripetizione:
“Visto che gli Eleati negavano il movimento, intervenne Diogene nel
ruolo di oppositore; intervenne davvero, in quanto come noto non disse
una parola, ma camminò semplicemente avanti e indietro due tre volte,
col che stimò di averli confutati a sufficienza”.
Obiezione senza dubbio incisiva, e assai più profonda e penetrante di quel che possa
apparire. Ma gli argomenti di Zenone sembrano resistere a questo e altri assalti, perché
coinvolgono il tema insidioso dell’infinito, il quale sembra sottrarsi per sua stessa
natura a ogni seria misurazione scientifica. È per questo motivo che la critica di
quei ragionamenti riesce tutt’altro che agevole e anzi espone a sua volta il fianco a
giustificate obiezioni. Per esempio, si ha un bel dire che, come la distanza percorsa da
Achille o dalla tartaruga, così anche il tempo impiegato a descriverla si suddivide in
infinite parti; si ha un bell’affermare che in nessuno dei due casi, né per la distanza
né per il tempo, questa infinita divisibilità equivale all’infinità, in altre parole si può
benissimo essere infinitamente divisibili e contemporaneamente finiti. Di fronte a
queste considerazioni resistono i dubbi e le perplessità che nascono, appunto, dal
mancato sostegno di una salda teoria scientifica, che sappia estendere i suoi calcoli
e i suoi controlli pure all’infinito. Come osserva infatti Bertrand Russell ne La
matematica e i metafisici — uno dei saggi che compongono Misticismo e logica —
“Zenone affrontava in realtà tre problemi più astratti del moto”, e cioè quelli “degli
infinitesimi, dell’infinito e della continuità”.
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