Appunti sulla congettura abc.pdf - Nardelli

soddisfino la relazione . Se d è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc, la
congettura, essenzialmente, afferma che raramente d è molto più piccolo di c.
Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta
molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Golfeld ha
definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea" [1] .
Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una possibile dimostrazione
della congettura. Mochizuki ha chiamato il teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema
inter-universale Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la congettura di
[2][3][4] “
Szpiro e la congettura di Vojta.
(vedi Nota 1)
Tra le sue tante conseguenze in caso di dimostrazione, ci sono le
seguenti:
Conseguenze [modifica]
La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste
includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione
condizionale:
• Il teorema di Thue–Siegel–Roth (dimostrato da Klaus Roth)
• L'ultimo teorema di Fermat per tutti gli esponenti abbastanza grandi (dimostrazione generale
di Andrew Wiles)
• La congettura di Mordell (dimostrata da Gerd Faltings) [6]
• La congettura di Erdıs-Woods, tranne che per un numero finito di controesempi [7] .
• L'esistenza di una moltitudine infinita di primi non numeri di Wieferich [8]
• La versione debole della congettura di Hall [9] .
• La congettura di Fermat–Catalan (ora Teorema di Mihăilescu) [10] .
• La funzione L di Dirichlet L(s,(−d/.)) formata con il Simbolo di Legendre, non ha alcun zero
di Siegel (questa conseguenza attualmente richiede una versione corrispondente della
congettura abc nel campo di numeri, non solo la congettura abc così come formulata sopra
per i numeri interi razionali).
• P(x) ha solo una moltitudine finita di potenze perfette di interi x per un polinomio P con
almeno tre zeri semplici. [11] .
• Una generalizzazione del teorema di Tijdeman.
• È equivalente alla congettura di Granville-Langevin.
• È equivalente alla congettura di Szpiro modificata.
• Dąbrowski (1996) ha mostrato che la congettura abc implica che ha solo
una moltitudine finita di soluzioni per ciascun dato intero A [12] .
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