Universo ciclico-ordine matematico.pdf - Nardelli
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Gruppo “B Riemann”<br />
Abstract<br />
<strong>Universo</strong> <strong>ciclico</strong> ed entropia finale e iniziale di ogni ciclo<br />
(concetto di <strong>ordine</strong> – dis<strong>ordine</strong> <strong>matematico</strong>)<br />
Francesco Di Noto, Michele <strong>Nardelli</strong><br />
In this paper we show as cyclic universe of Roger Penrose is connected with the our concept of mathematical<br />
order<br />
Riassunto<br />
In questo lavoro mostreremo brevemente la relazione tra l’entropia - dis<strong>ordine</strong> - simmetria<br />
finale nell’eone precedente, dal quale nascerà poi il nostro universo, con un nuovo <strong>ordine</strong> iniziale.<br />
Proponiamo un semplice modello aritmetico di come, tramite l’<strong>ordine</strong> numerico iniziale, e il<br />
dis<strong>ordine</strong> numerico intermedio e finale, possono essere calcolati, giungendo ad un nuovo <strong>ordine</strong><br />
iniziale simmetrico all’<strong>ordine</strong> precedente. Tale modello, con le dovute proporzioni, potrebbe<br />
chiarire come l’universo <strong>ciclico</strong> di Penrose potrebbe funzionare, e quindi essere di qualche utilità,<br />
evitando salti bruschi e discontinuità, per lo meno sotto l’aspetto <strong>matematico</strong> al momento del<br />
passaggio da un ciclo all’altro.<br />
Nella concezione dell’universo <strong>ciclico</strong> di Roger Penrose “Dal Big Bang all’eternità” (Rizzoli) si<br />
parla di entropia e dis<strong>ordine</strong> finale di ogni eone (ciclo cosmico) , seguito da un nuovo <strong>ordine</strong><br />
iniziale; ne abbiamo parlato in Rif.1 e 2.<br />
Qui accenneremo alla questione entropia e simmetria finale dell’eone o ciclo precedente, e<br />
proporremo un piccolo modello <strong>matematico</strong> sull’<strong>ordine</strong> e dis<strong>ordine</strong> numerico basato sulle<br />
permutazioni di n elementi (numeri o elementi naturali) , che potrebbe aiutare a comprendere<br />
1
meglio il funzionamento dell’universo <strong>ciclico</strong> sotto questo aspetto , e possibilmente, di<br />
conseguenza, sotto diversi altri aspetti.<br />
Dalla rivista FOCUS di gennaio 2012, Dossier “Perché esistiamo?”, contributo di Amanda Gefter,<br />
pag. 47 - 48:<br />
“ Circa 13,7 miliardi di anni fa, improvvisamente, dal vuoto emersero, in modo esplosivo,<br />
l’universo, lo spazio e il tempo. Era il Big Bang. Come accadde? E perché? Perché oggi<br />
l’universo esiste così come noi lo vediamo? E’ una domanda a cui è molto difficile rispondere:<br />
Già l’idea che l’universo sia apparso dal nulla è difficile da concepire. Cercare di immaginare<br />
cosa possa essere il nulla stesso è ancora più difficile. In fondo, però, dal punto di vista della<br />
scienza è una domanda molto ragionevole. Dopo tutte alcune leggi fondamentali della fisica<br />
suggeriscono che noi e il resto dell’universo abbiano ben poche possibilità di esistere.<br />
Troppo dis<strong>ordine</strong>? La seconda legge della termodinamica dice che nel mondo, l’entropia, il<br />
dis<strong>ordine</strong>, tende sempre ad aumentare. Qualsiasi cosa succede nell’universo si dissipa energia.<br />
Il nulla, in base a questa legge, è la massima entropia,il massimo del dis<strong>ordine</strong> perché non c’è<br />
più nulla da dissipare. Ma se la tendenza è verso l’entropia e quindi il nulla, come ha fatto il<br />
nulla a trasformarsi in qualcosa di grande come l’universo? La ragione, oggi sappiamo, e che<br />
l’entropia è solo una faccia della medaglia.<br />
L’altro aspetto da considerare è la simmetria. Una qualità che sembra avere una profonda<br />
influenza sull’universo. Tutto ciò che è simmetrico, dalle particelle agli esseri viventi, sembra<br />
essere più stabile. Se , per esempio, affianchiamo 2 corpi con la stessa temperatura,, questa<br />
non cambia in entrambi i corpi. Al contrario, se le temperature sono diverse,entrambi<br />
cambiano: quello più caldo si raffredda e viceversa. Nell’universo, dicono le teorie più<br />
accreditate, ci dovrebbe essere un’eguale quantità (quindi anche qui una simmetria) tra<br />
materia e antimateria,. 2 stai che, se vengono in contatto, si annichiliscono, cioè diventano<br />
nulla. E dato che nel nulla, nel vuoto, non si può distinguere una parte dall’altra, c’è anche il<br />
massimo della simmetria. Ma i fisici hanno scoperto ora che le simmetrie non sono<br />
stabili:sono fatte per essere rotte. La “cromodinamica quantistica”, teoria che descrive come i<br />
quark si comportano all’interno del nucleo atomico, ci dice come il nulla è uno stato instabile.<br />
E che spontaneamente comincia a produrre coppie di quark e antiquark. La simmetria è<br />
rotta. Il > , dice Victor Stenger, fisico dell’Università del Colorado ><br />
Einstein . Queste considerazioni si adattano bene alla visione più accreditata sui primi momenti<br />
dell’esistenza dell’<strong>Universo</strong>.: l’esplosione e la rapida espansione subito dopo il Big Bang, Questo<br />
periodo, chiamato inflazione, inondò l’universo di energia. La teoria generale della relatività di Albert<br />
Einstein spiega come l’energia possa trasformarsi in massa (E = mc 2 )., e la massa crea gravità (è la<br />
massa della Terra, ad esempio, che determina l’attrazione di gravità che ci tiene incollati al suolo o che<br />
impedisce alla Luna di andarsene a spasso). Ecco perché più energia significa più massa (nel caso<br />
dell’universo tutta la materia ) è anche più gravità (più stelle e pianeti ci sono, più gravità c’è). In<br />
questa situazione,la gravità rappresenta una forza che si contrappone all’inflazione, e la frena, fino ad<br />
eliminarla. Questo perché se l’inflazione espansione,, la gravità tende al contrario a contrarre<br />
l’universo: le stelle si attraggono una con l’altra. I fisici erano soliti pensare che creare qualcosa dal<br />
nulla avrebbe violato leggi come quella della conservazione dell’energia che dice,, in una versione<br />
popolare, “nulla si crea e nulla si distrugge”. Ma se l’energia da conservare è pari a zero, come succede<br />
nel nulla , il problema non esiste più e un universo che spunta dal nulla diventerebbe plausibile.<br />
Leggi misteriose. Questo però non risolve il problema: la nostra comprensione della creazione si basa<br />
2
sulla validità delle leggi della fisica. Ma ciò implica che tali leggi fossero in qualche modo fissate prim<br />
che l’universo esistesse., quindi fuori dallo spazio e senza qualcosa che le causasse. In pratica si torna<br />
alla domanda iniziale: perché queste leggi sono fatte in modo che ci sia qualcosa invece di nulla?<br />
──────────__________________<br />
Amanda Gefter “<br />
Tutto quanto sopra è perfettamente compatibile con l’a teoria dell’universo <strong>ciclico</strong> di Penrose e con le<br />
nostre considerazioni in questo lavoro. E’ possibile che il big bang non sia stato così violento come si pensa,<br />
ma un processo graduale di ripristino dell’ energia e quindi poi anche di materia, così come dal dis<strong>ordine</strong><br />
numerico massimo di una permutazione, corrisponde una nuova permutazione ordinata (speculare alla<br />
prima) e tale nuovo <strong>ordine</strong> ricominci gradualmente a “disordinarsi”, ritornando all’inizio del ciclo<br />
precedente. Tra un ciclo e l’altro potrebbero esserci piccole differenze (per esempio sulla durata temporale)<br />
oppure può aggiungersi o sottrarsi qualche elemento naturale ( una cifra nell’esempio delle nostre<br />
permutazioni numeriche, che passerebbero quindi da 10 a 11 oppure a 9, vedi pagine successive).<br />
Qualcosa di simile si trova infatti nel nostro concetto di <strong>ordine</strong> <strong>matematico</strong> nelle permutazioni<br />
Da un nostro breve vecchio articolo “Calcolo del dis<strong>ordine</strong> dei sistemi semplici” (inedito) ma ora<br />
riveduto e corretto , si potrà vedere numericamente la differenza tra uno stato ordinato ad uno<br />
disordinato, e la successione di tali differenze si potrebbe paragonare grosso modo, con le dovute<br />
proporzioni, all’evoluzione cosmica tra un ciclo e l’altro; sostituendo idealmente gli elementi<br />
naturali ai numeri, le cose non dovrebbero cambiare di molto: è insomma solo un piccolo modello<br />
<strong>matematico</strong> per capire come funzionerebbe l’universo <strong>ciclico</strong> senza improbabili sbalzi iniziali e<br />
finali tra massimo dis<strong>ordine</strong> e massimo <strong>ordine</strong> (la natura com’è noto aborrisce il vuoto e le forti<br />
discontinuità).<br />
Calcolo del dis<strong>ordine</strong> nei sistemi semplici<br />
Per calcolare il dis<strong>ordine</strong> nei sistemi semplici, partiamo con un semplice esempio basato sulle<br />
permutazioni di pochi numeri (per tutti gli altri elementi, ricordiamo che quasi tutto è<br />
“numerabile” e quindi trattabile, sotto questo aspetto, con la relazione che troveremo per<br />
calcolare approssimativamente il dis<strong>ordine</strong>; e possibilmente anche per i sistemi complessi e<br />
soprattutto caotici, cioè con molto “dis<strong>ordine</strong>” = maggiore differenza con la permutazione<br />
3
iniziale di riferimento, perfettamente ordinata = entropia nulla)<br />
Prendiamo, per semplicità, la sequenza dei numeri<br />
1 2 3 4 5 (1)<br />
Essa è ordinata, e quindi, come vedremo , con dis<strong>ordine</strong> (entropia) E = 0<br />
Qui la proposta di facile calcolo del dis<strong>ordine</strong> entropia (indicato con E) per ogni permutazione<br />
diversa dalla (1), tra le 5! =120 permutazioni possibili. Per esempio, la permutazione<br />
2 3 1 5 4<br />
e la poniamo sotto la permutazione perfetta (1):<br />
1- 2- 3- 4 - 5-<br />
2 1 3 5 4;<br />
1 + 1 + 0 + 1 + 1 somma = 4 = entropia E della permutazione 2 1 3 5 4<br />
sotto quest’ultima, metteremo le differenze (in valore assoluto) tra i singoli elementi delle<br />
due permutazioni, e accanto, la somma di tali differenze, E = 4 in questo caso.<br />
Se calcoliamo l’entropia della (1), otteniamo E = 0, poiché:<br />
1 - 2 - 3 - 4 - 5<br />
1 2 3 4 5<br />
0+ 0+0 + 0+0 somma = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0, quindi E = 0 , assimilabile allo stato iniziale<br />
di ogni stato perfetto, di ogni perfezione. Ogni sua sia pur piccola modifica comporta sempre<br />
una piccola proporzionale entropia, come in quest’altro esempio:<br />
1 2 4 3 5<br />
1 2 3 4 5<br />
0 0 1 1 0 somma valori assoluti = 1 + 1 = 2 (con i valori negativi e positivi avremmo<br />
avuto 1 + (-1) = 0 = massimo <strong>ordine</strong> e minimo dis<strong>ordine</strong>, ma così non è, per questo usiamo i<br />
valori assoluti.<br />
Eliminando i segni aritmetici per semplicità come pure per gli esempi successivi, vediamo<br />
una permutazione con un maggiore dis<strong>ordine</strong>/entropia<br />
2 1 3 5 4<br />
1 2 3 4 5<br />
1 1 0 1 1 somma valori assoluti = 1+1+0+1+1 = 4<br />
4
La permutazione con il massimo dis<strong>ordine</strong> risulta essere infine la permutazione speculare di<br />
quella iniziale 1 2 3 4 5, e quindi la permutazione 5 4 3 2 1, poiché<br />
5 4 3 2 1<br />
1 2 3 4 5<br />
4 2 0 2 4 somma valori assoluti = 4+2+0+2+4 = 12, il dis<strong>ordine</strong> massimo, calcolabile<br />
approssimativamente come n 2 /2 (dove n è il numero di cifre) , in questo caso 5 2 /2=25/2 = 12,5 ≈<br />
12, poiché n=5 è dispari.<br />
Per n pari, la formula dà valori esatti, per es. per n = 6 avremo<br />
6 5 4 3 2 1<br />
1 2 3 4 5 6<br />
5 3 1 1 3 5 somma valori assoluti = 5+3+1+1+3+5 = 18 = n 2 /2 = 36/2 = 18<br />
Come si nota le differenze assolute sono simmetriche rispetto al valore centrale (zero per n<br />
dispari, 1 ripetuto se n è pari), e questo darebbe indicazioni per una possibile dimostrazione,<br />
che però lasciamo ad altri più volenterosi. Per esempio, se invece delle differenze si fanno le<br />
somme, avremo 7+7+7+7+7+7 = 42 = 6*7 , e come tale (anche per tutti gli altri casi) otteniamo<br />
un numero di forma 2T, con T = numero triangolare (di forma n*(n+1)/2 ), in questo caso 21<br />
(Infatti 6*(6+1)/2 = 6*7 / 2 = 42/2 = 21).<br />
I numeri di forma n*(n+1) +1= 2T + 1 = n 2 + n + 1 (formula delle geometrie proiettive),<br />
sono i cosiddetti numeri di Lie, molto importanti per costruire i gruppi di simmetria di Lie ,<br />
oltre che ad essere connessi con i numeri di Fibonacci e partizioni di numeri, presenti in molti<br />
fenomeni naturali (Rif. 3). Poiché anche l’<strong>Universo</strong> intero è un fenomeno naturale, ci<br />
potrebbe essere una connessione anche con le somme in tal senso, oltre che con l’entropia<br />
(basata invece sulle somme di differenze). Si vedrà eventualmente in seguito.<br />
Esempio finale per n = 10<br />
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 con somma finale 50 = 10 2 /2 = 100/2 = 50<br />
Quindi, dis<strong>ordine</strong> massimo finale corrisponderebbe ad un nuovo <strong>ordine</strong>, speculare al primo<br />
e tutto riprenderebbe in modo contrario al ciclo precedente: alla fine di ogni espansione<br />
5
icomincerebbe una nuova contrazione universale, magari con qualche possibile piccola differenza<br />
tra un ciclo e l’altro ( maggiore o minore durata temporale, ecc.).<br />
In questo modo tutto avverrebbe gradualmente da un ciclo all’altro, senza salti improvvisi da un<br />
dis<strong>ordine</strong> massimo ad un <strong>ordine</strong> massimo, visto che le due cose ora coinciderebbero: il vecchio<br />
dis<strong>ordine</strong> massimo sarebbe il nuovo <strong>ordine</strong>, speculare in tutto (o in parte nel caso dell’universo<br />
<strong>ciclico</strong>) all’<strong>ordine</strong> precedente : la sequenza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 sono<br />
identiche tranne che nella direzione: sostituendo ai numeri gli elementi naturali , dalle particelle ai<br />
buchi neri, oppure qualche costante universale, cambierebbe soltanto il senso di marcia rispetto al<br />
ciclo precedente…<br />
A proposito di probabile costante naturale coinvolta in tale possibile cambiamento tra un eone e il<br />
successivo, per esempio tra il nostro e il precedente, ecco cosa scrive Penrose nel suo libro citato<br />
all’inizio di questo lavoro, a pag. 274 (in tutto o in parte compatibile con la nostra ipotesi di<br />
parallelismo <strong>matematico</strong> tra <strong>ordine</strong> fisico e <strong>ordine</strong> <strong>matematico</strong>) :<br />
6
Conclusioni<br />
Possiamo concludere dicendo che le combinazioni come coefficienti binomiali o numeri<br />
triangolari T , connesse ai fattoriali , risultano importanti anche nel nostro concetto di <strong>ordine</strong><br />
<strong>matematico</strong>, e possibilmente anche di <strong>ordine</strong> fisico, entropia, ecc. anche alla luce del Rif. 3 e della<br />
nota finale sul numero e = 2,71828 con formula basata sugli inversi dei fattoriali , importanti nel<br />
calcolo delle combinazioni (ma anche in fenomeni naturali di crescita e decadimento).<br />
7
NOTA 1 sul numero e = 2,71828…<br />
Visto che i fattoriali hanno ha che fare con le combinazioni, e queste con l’<strong>ordine</strong> <strong>matematico</strong><br />
(e probabilmente anche fisico) ricordiamo che la somma degli inversi dei fattoriali equivale al<br />
numero e = 2,71828…, e questo numero, com’è noto, oltre che ad essere alla base dei<br />
logaritmi naturali, è anche alla base di fenomeni naturali di crescita o di decadimento.<br />
Quindi, una relazione matematica profonda (ancora da studiare esaurientemente, questo<br />
nostro lavoretto, infatti, sarebbe un primo piccolo passo in questa direzione) tra<br />
combinazioni, <strong>ordine</strong> <strong>matematico</strong> e probabilmente anche fisico, numero e e fenomeni<br />
naturali sarebbe, in linea di massima, possibile (In rif. 3 si nota la relazione tra le<br />
simmetrie e le combinazioni, con i numeri triangolari T e i numeri di Lie di forma 2T +1, ed i<br />
numeri di Fibonacci e partizioni di numeri, entrambi molto vicini a 2T+1).<br />
Da Wikipedia, voce “e, costante matematica”parzialmente:<br />
“ Definizione<br />
Il numero e può essere definito in uno dei seguenti modi equivalenti:<br />
• come il valore del limite<br />
• come la somma della serie<br />
;<br />
(Qui n! sta per il fattoriale di n. Proprio per ottenere, per lo sviluppo in serie della funzione<br />
esponenziale, la scrittura compatta , si pone per definizione 0!=1). “<br />
Poiché un numero di Lie è formato dal prodotto n(n+1), compreso nei fattoriali :<br />
1*2*3*4 si può scrivere infatti come n*(n+1)*(n+2)* (n +3)*(n+4) per n = 1, ma vale<br />
8
per qualsiasi coppia di prodotti intermedi al crescere di n, e tale prodotto è la somma dei termini<br />
di una permutazione ordinata e di una permutazione disordinata , (la somma delle differenze indica<br />
invece il dis<strong>ordine</strong> <strong>matematico</strong> della seconda) ecco che abbiamo uno spunto per approfondire<br />
la possibile suddetta relazione tra combinazioni, dis<strong>ordine</strong>, fattoriali e fenomeni naturali tramite il<br />
numero e =2,71828….<br />
NOTA 2<br />
Sulla serie di Don Zagier (pag. 28 rivista Newton di Novembre 2011)<br />
9
Commento<br />
Dell’esempio numerico della serie di Don Zagier sopra riportato, sono chiare tre cose<br />
fondamentali:<br />
a) si parla di prodotti tra un numero e il successivo, e cioè n(n+1) che dà numeri di forma 2T<br />
che è anche la formula che dà la somma dei successivi numeri pari; 2T+1 è la forma dei<br />
numeri di Lie, importanti in fisica (sono connessi ai gruppi di simmetria, ma sono connessi<br />
anche ai numeri di Fibonacci e alle partizioni di numeri, entrambi anche questi presenti in<br />
molti fenomeni naturali) ,ed ecco probabilmente il perché della connessione con la K –<br />
teoria algebrica, la teoria quantistica dei campi, ecc.<br />
b) il ciclo numerico 2-3-2-1-1 , se si scrive al contrario: 1-1-2-3-2 , risulta evidente che i primi<br />
quattro termini sono i primi quattro numeri di Fibonacci;<br />
c) tale ciclo si ripete dopo cinque volte (sarebbero stati interessanti alcuni esempi anche per<br />
questa affermazione) , ed anche 5 è un numero di Fibonacci.<br />
Esempi in base a ciò che abbiamo compreso<br />
1) Prendiamo il numero 2 e scriviamo la serie 1-2-3 :<br />
prodotto dei numeri vicini al 2: 1*3 =3 ; 3= 2+1 ( ma anche 2 2 -1, quindi prodotto numeri<br />
esterni = quadrato del numero centrale -1); quadrato – prodotto = 1.<br />
2) Prendiamo ora il numero 3 e scriviamo la serie 2-3-4 :<br />
2*4=8; 3 2 = 9 = 8+1 ; in questo caso è il quadrato del numero centrale maggiore del prodotto<br />
dei due numeri esterni 2*4 = 8; prodotto – quadrato = -1.<br />
3) Prendiamo ora il numero 4 e scriviamo la serie 3-4-5 :<br />
3*5=15; 4 2 =16, ora abbiamo quadrato – prodotto = 1.<br />
4) Per la serie 4-5-6 abbiamo: 4*6= 24 = 5 2 -1 ecc…<br />
Possiamo notare che otteniamo un’alternanza di +1 se il numero centrale è pari, e di -1 se il<br />
numero centrale è dispari.<br />
Quindi in generale: n-1, n, n+1 abbiamo (n-1)*(n+1) = n 2 + 1<br />
11
Ma ciò è anche alla base del cosiddetto “paradosso di Fibonacci” , succede infatti la stessa<br />
cosa per tre numeri consecutivi di Fibonacci, per esempio 3-5-8, poiché 3*8=5 2 -1 = 24=25-1,<br />
mentre per la terna successiva abbiamo 5-8-13, con 5*13= 8 2 +1 =65=64+1, con la stessa<br />
alternanza delle serie n-1, n, n+1, pur non essendo la serie di Fibonacci una serie di numeri<br />
consecutivi. Ma è una progressione geometrica quasi perfetta (la ragione è 1,618…), e tale<br />
regola vale sempre per le progressioni geometriche perfette con ragione un numero intero:,<br />
per esempio le potenze di 2: 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64…<br />
Per qualsiasi terna, il quadrato equivale sempre al prodotto; esempi<br />
per 2-4-8 abbiamo infatti 2*8=4 2 = 16<br />
per 4-8-16 abbiamo ... 4*16=8 2 = 64<br />
per 8-16-32 abbiamo … 8*32=16 2 = 256<br />
e cosi via ; come anche per le potenze di 10 (esempio per 10-100-1000 abbiamo<br />
10*1000=10000=100 2 ), o per le potenze di qualsiasi altro numero.<br />
Quindi la Natura si avvarrebbe, per i suoi fenomeni, anche di questa proprietà matematica<br />
delle serie geometriche dei numeri, consecutive ( ragione = 1) o non (Fibonacci, ragione<br />
1,618) potenze di numeri (ragione = n), ecc. ; con ragione si intende, com’è noto, il rapporto<br />
tra un termine e il precedente. Da notare, inoltre, come 8, 16, 24, 64 e 256 (tutti segnati in<br />
rosso) sono tutti numeri connessi con i numeri inerenti le vibrazioni fisiche delle stringhe<br />
bosoniche (n=24) e delle superstringhe (n=8). Infatti 16 = 8*2, 64 = 8 2 , 256 = 8 2 * 4 = 16 2 .<br />
Riferimenti<br />
1) UNIVERSO CICLICO O MULTIVERSO?<br />
(Osservazioni matematiche: perché la natura evita i quadrati? )<br />
2) Nota su “<strong>Universo</strong> <strong>ciclico</strong> o multiverso?” (un ulteriore indizio a favore del primo)<br />
Francesco Di Noto, Michele <strong>Nardelli</strong><br />
12
3) L’EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n^2 + n + 1 (alla base de numeri e<br />
dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri,delle<br />
simmetrie e delle teorie di stringa) (aggiornamento all’1.1.2012 con alcune tabelle finali)<br />
tutti già su questo sito<br />
13