Appunti sulla congettura abc.pdf - Nardelli

Gruppo “B. Riemann”*
Appunti sulla congettura abc
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our opinions about “abc conjecture”
Riassunto
In questo lavoro parleremo della congettura abc, esponendo i nostri
risultati su un problema (l’implicazione di Dabrowski, n! + A = k 2 )
connesso con la medesima.
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Premesso che la congettura sembra in fase di dimostrazione da parte
di un matematico giapponese (Rif.1), iniziamo con la descrizione
parziale della congettura abc, da Wikipedia:
“Congettura abc
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è stata proposta per la prima
volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel 1985. La congettura è definita in funzione di tre
numeri interi positivi (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da 1, e che
1

soddisfino la relazione . Se d è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc, la
congettura, essenzialmente, afferma che raramente d è molto più piccolo di c.
Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta
molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Golfeld ha
definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea" [1] .
Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una possibile dimostrazione
della congettura. Mochizuki ha chiamato il teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema
inter-universale Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la congettura di
[2][3][4] “
Szpiro e la congettura di Vojta.
(vedi Nota 1)
Tra le sue tante conseguenze in caso di dimostrazione, ci sono le
seguenti:
Conseguenze [modifica]
La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste
includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione
condizionale:
• Il teorema di Thue–Siegel–Roth (dimostrato da Klaus Roth)
• L'ultimo teorema di Fermat per tutti gli esponenti abbastanza grandi (dimostrazione generale
di Andrew Wiles)
• La congettura di Mordell (dimostrata da Gerd Faltings) [6]
• La congettura di Erdıs-Woods, tranne che per un numero finito di controesempi [7] .
• L'esistenza di una moltitudine infinita di primi non numeri di Wieferich [8]
• La versione debole della congettura di Hall [9] .
• La congettura di Fermat–Catalan (ora Teorema di Mihăilescu) [10] .
• La funzione L di Dirichlet L(s,(−d/.)) formata con il Simbolo di Legendre, non ha alcun zero
di Siegel (questa conseguenza attualmente richiede una versione corrispondente della
congettura abc nel campo di numeri, non solo la congettura abc così come formulata sopra
per i numeri interi razionali).
• P(x) ha solo una moltitudine finita di potenze perfette di interi x per un polinomio P con
almeno tre zeri semplici. [11] .
• Una generalizzazione del teorema di Tijdeman.
• È equivalente alla congettura di Granville-Langevin.
• È equivalente alla congettura di Szpiro modificata.
• Dąbrowski (1996) ha mostrato che la congettura abc implica che ha solo
una moltitudine finita di soluzioni per ciascun dato intero A [12] .
2

Anche se il primo gruppo di queste conseguenze è ora stato dimostrato, la congettura abc
stessa rimane di interesse a causa delle numerose profonde implicazioni che ha nella teoria dei
numeri.”
Tra queste conseguenze, ci interessa in particolare l’ultima,
poiché abbiamo ottenuto un risultato in merito; dimostrando
che ci sono soluzioni finite, senza però tener conto della
congettura abc (e quindi come conferma indiretta della
congettura). Infatti poiché un qualsiasi numero n, e quindi
anche n!, è compreso tra un quadrato e il successivo, la
differenza tra i due numeri può soddisfare, ma in un numero
finito di volte, l’implicazione di Dabrowski n! + A = k 2 , con
A = k 2 – n!, almeno per una volta
TABELLA
n! k ≈ √n! k 2 ≈ n!
quadrato
successivo
ad n!
3
A=k 2 – n! Conferma
dell’implicazione
2! =2 2 4 4 – 2 = 2 2! +2 =2 2 si
3!=6 3 9 9 – 6 = 3 6 + 3 = 9 si
4! =24 5 25 25 - 24=1 24+1=25 si
5! =120 11 121 121-120 = 1 120 + 1 = 121 si
6! =720 27 729 729-720 = 9 720+9 =729 si
7!=5040 71 5041 5041-5040
=1
5040+1 = 5041 si
8!=40320 201 40401 40401 - 40320 +81 =
40320=81 =40401 si
9!=362880 603 363609 729 362880 + 729
=363609 si

… … … … …
Notiamo facilmente che A, con l’eccezione di 2 e 3 iniziale, sono tutti
quadrati, anche 1, che è anch’esso un quadrato, 1 2 =1: e che i
quadrati propri sono potenze di 9:
9= 9 1
81= 9 2
729 = 9 3
… …
(Notiamo che i numeri 24, 120, 720, 5040, 40320 e 362880 sono tutti
divisibili per 24, numero che corrisponde ai modi di vibrazione fisica
delle stringhe bosoniche attraverso la seguente relazione di
Ramanujan:
⎡
∞ cosπtxw'
2
−πx
w'
⎤
⎢ ∫ e dx
0
⎥ 142
4⎢anti
log coshπx
2
⋅
πt
⎥ 2
− w'
⎢
( ) ⎥
t w'
4
=
⎣
e φw'
itw'
24
⎦
. (1) ).
⎡ ⎛ 10 + 11 2 ⎞ ⎛ 10 + 7 2 ⎞⎤
log⎢
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥
⎢
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦
Ma anche che k è la parte intera superiore di √n!, a partire da 4! = 24,,
infatti √24 = 4,89 ≈ 5 = k, √40320 =200,79 = 201 = k, e così via
Quanto sopra conferma l’implicazione di Dabrowski almeno per un
valore di A, spesso potenza di 1 o di 9, e quindi di conseguenza anche
di 3, poiché 9=3 2 , 81 = 3 4 , 729 = 3 6 , e così via. E questo nostro
piccolo risultato potrebbe essere connesso in qualche modo, a ritroso,
4

con la congettura abc, della quale dovrebbe essere una
conseguenza. Quanto sopra riguarda però soltanto il primo
quadrato successivo ad n”, e quindi A è una sola soluzione.
Per i quadrati successivi, fino ad (n +1)!, le soluzioni finite dei
valori di A sono, come vedremo , circa √(n+1)! - √n!, cioè
quanti sono i quadrati tra un fattoriale ! e il successivo (n+1)!
TABELLA per soluzioni da 2! a 3!
n! Unici quadrato
successivo Q
A = Q – n! = Valori di A
2! = 1*2 =2 4 4 -2 = 2 = unico valore
Come si vede, un solo quadrato, una sola soluzione: A = 2
TABELLA per soluzioni da 3! A 4!
n! (n+1)! Quadrati
successivi
A = Q – n! = Valori di A
3! = 6 4! =24 9 9 - 6 = 3
16 16 - 6 = 10
Due quadrati, due soluzioni: A = 3, A = 10
Soluzioni = √24 -√6 = 4 - 2 = 2
Infatti fino a 24 ci sono quattro quadrati: 1, 4, 9, 16, a i quali occorre
togliere i due 1 e 4 fino a 3! =6, e rimangono i soli due quadrati 9, e 16,
5

e quindi abbiamo le due soluzioni 3 e 10
TABELLA per soluzioni da 4! A 5!
n! (n+1)! Quadrati
successivi k 2
A = Q – n! = Valori di A
24 120 25 25-24 = 1
36 36-24 = 12
49 49-24 = 25
64 64-24 = 40
81 81-24 = 57
100 100-24 = 76
Sei quadrati tra i due fattoriali successivi, sei soluzioni per A.
Un numero quindi finito di soluzioni, e tante quanti sono i quadrati
tra due fattoriali successivi.
Un ultimo esempio per l’intervallo tra 5! = 120 e 6! = 720
essendo √720 = 26,83 = 26 intero, e √120 = 10,95 = 10 intero, avremo
26 - 10 = 16 soluzioni per i valori di A
TABELLA per soluzioni da 5! a 6!
n! (n+1)! Quadrati A = Q – n! = Valori
successivi k^2
successivi di A
120 720 121 = 11 2 121-120 = 1 1
144 … 144-120 =24 24
169 … 49 49
196 … 76 76
225 … 105 105
256 … 136 136
6

289 … 169 169
324 … 204 204
361 … 241 241
400 … 280 280
441 … 321 321
484 … 364 364
529 … 409 409
576 … 576 456
625 … 505 505
676 = 26 2 556 556
Qui finisce la Tabella, poichè per 27 2 = 729 si passa alla Tabella
successiva, essendo già 729 > 720 = 6!
I numeri di soluzioni successive nelle tabelle consecutive sono quindi
1, 2, 6, 16, seguito poi da 44: numeri di soluzioni sempre
crescente, ma sempre finito, come già noto.
Qui però si trovano valori di A sempre crescenti e diversi, solo 76 è
ripetuto due volte come 100 - 24 e 196 – 120.
(Anche qui notiamo come 120 e 720 siano divisibili per 24, che
rappresenta il numero corrispondente alle vibrazioni fisiche delle
stringhe bosoniche (vedi relazione (1))
Conclusioni
Quindi, possiamo ben concludere, l’implicazione di Dabrowski
n! + A = k 2
viene sempre confermata ed in modo ordinato, e quindi calcolabile,
7

per ogni intervallo tra n! ed (n+1)! con la formula generale
s(A) = (int) √(n+1)! – (int)√n!
con s(A) numero finito di soluzioni A tra un fattoriale e il successivo, e
con (int) come indicazione per considerare la parte intera della radici
quadrate sia di (n+1)! sia di n!
Questo risultato, da noi ottenuto senza tener conto di nessuna
dimostrazione della congettura abc, ma della quale esso è
un’implicazione o conseguenza, potrebbe ora essere interpretato a
ritroso come tale, confermando qualsiasi dimostrazione futura della
congettura abc, che sia quella del matematico giapponese
Shinichi Mochizuki o qualche eventuale altra che dovesse essere
proposta in seguito.
Rif. 1)
• “DAILY
• NEWS
• SCIENZA
Scoperto (forse) il legame tra i numeri primi
Un matematico giapponese ha dimostrato la congettura Abc, un problema che
riguarda addizione e moltiplicazione tra numeri primi. Ci sono volute 500 pagine
(Vedi Nota 1, dove riportiamo l’intero articolo)
Sul sito daily.wired.it/news/scienza/2012/09/11/risolto-abc-matematica-numeri-primi-
193456.html - 85k -
8

Nota 1
L'ABC dei numeri primi
Potrebbe essere stata dimostrata da un giapponese uno dei più importanti enunciati della
matematica del ventesimo secolo: la congettura ABC.
Homer Simpson e il teorema di Fermat
Secondo quanto riportato sulla rivista Nature, il matematico giapponese Shinichi Mochizuki,
dell'università di Kyoto avrebbe pubblicato la prova della dimostrazione di uno dei problemi
ancora aperti della matematica: la congettura ABC.
In matematica si ha una congettura quando partendo da una ipotesi non esiste la
dimostrazione formale della tesi. È stata famosissima per secoli la Congettura di Fermat,
che fino alla sua effettiva dimostrazione, era chiamata molto impropriamente Ultimo
Teorema di Fermat, più per semplificazione giornalistica che altro. In effetti in matematica si
parla di teorema se la dimostrazione c'è ed è verificata.
Nello specifico la congettura ABC ha una impostazione molto simile a quella di Fermat, ma
riguarda i numeri primi. A tutti gli effetti sia la congettura ABC che il Teorema di Fermat
sono problemi della stessa classe, ossia quella dei problemi diofantei, ossia equazioni a
coefficienti interi a soluzione intere.
Dati 3 numeri interi a,b,c, in relazione tra loro mediante l'uguaglianza a+b = c e privi di
fattori comuni diversi tra loro. Se si chiama d il prodotto dei fattori primi dei tre numeri si
ha che "raramente" d è più piccolo di c.
La definizione del numero d implica l'uso dell'operatore "radicale di n", ossia il prodotto dei
distinti fattori primi di un dato numero n.
Per esempio se a=3, b= 125, c=128, e poiché 3 è primo, e 125= 5 3 e 128 =2 7 , ne segue che il
rad(3*125*128) = rad (3*5 3 *2 7 )=3*5*2=30.
9

Che una congettura matematica abbia in se un termine così sfumato come raramente è un
caso abbastanza singolare. Detto in soldoni equivale a dire che esiste un numero finito di
casi per cui la congettura non è vera.
La congettura però nasce nel 1985, a seguito di due lavori diversi dei matematici David
Masser e Joseph Oesterlé che, come capita spesso, arrivarono alla stessa scoperta quasi in
contemporanea, pur usando metodi diversi.
I commenti del mondo accademico sono improntati alla prudenza ovviamente, e pur se
entusiastici, espressi con formule dubitative. La pubblicazione dei risultati consta di un
tomo di 500 e passa pagine, che sarà durissimo da esaminare.
Secondo Dorian Goldfeld della Columbia University di New York "qualora ne fosse
dimostrata la verità, la dimostrazione della congettura ABC risolverebbe in un solo colpo
moltissimi problemi diofantei e sarebbe uno dei risultati più stupefacenti del XXI secolo."
È stretto in effetti il legame tra questo problema e intere classi di problemi diofantei e con le
relazioni tra numeri primi. Per esempio è banale che per le terne di numeri primi otteniamo
un d che, per definizione è sempre maggiore di c.
Un'altra conseguenza è che il rapporto tra il rad(abc) r /c sarà sempre maggiore di zero per
qualsiasi r>1. Nell'esempio di cui sopra per r=2 otteniamo che rad(abc) 2 /c= 900/128.
Banalmente in questo caso è maggiore di 1 per cui è maggiore di zero.
La congettura ABC quindi in realtà contiene proprio altri problemi diofantei in se, tra i quali
proprio il già enunciato teorema di Fermat che afferma che l'equazione a coefficienti interi
a n +b n =c n non ha soluzioni intere per n>2.
Se quindi la congettura ABC diventasse il Teorema ABC, ossia venisse provata la sua
dimostrazione, è probabile che non solo questo assumerebbe il nome definitivo di Teorema
ABC di David Masser, Mochizuki e Oesterlé, ma costituirebbe la strada per risolvere altri
problemi della stessa classe in termine di relazione tra numeri primi, come afferma anche il
matematico Brian Conrad, dell'Università di Stanford, California.
Non è la prima volta che un matematico afferma di aver trovato la dimostrazione della
congettura ABC. Nel 2007 il francese Lucien Szpiro, dai cui lavori era in realtà stata ricavata
proprio la congettura, sottopose la sua dimostrazione alla comunità scientifica, che ne
trovò le falle.
10

Anche Andrew Wiles nel 1993 pubblicò una versione fallace della sua dimostrazione del
Teorema di Fermat, che poi egli stesso corresse nel 1994. Wiles lo dimostrò trovando una
connessione con la teoria delle curve ellittiche strada che hanno battuto sia Szpiro, fallendo,
che ora Mochizuki, per la congettura ABC.
Secondo quanto riportano le nostre fonti però Mochizuki è andato oltre, arrivando a definire
nuova matematica, ossia nuove entità astratte analoghe ai più noti oggetti geometrici,
insiemi, permutazioni, topologie e matrici. Al momento sembra che l'unico che abbia una
visione chiara dell'intero lavoro sia solo il suo autore. Pertanto bisogna rimettersi a studiare,
e molto, solo per poterla leggere. Una bella sfida. D'altra parte è solo un preconcetto quello
di chi crede che il matematico esprima solo certezze. Il dubbio è alla base di ogni scienza,
figuriamoci della matematica.
Sarà quindi necessario molto tempo affinché la comunità scientifica possa vagliare tutti gli
elementi. Poiché ormai tutto in questo mondo è misurato in termini di costi, di ore di lavoro
impiegate da parte di quelli che una volta erano esseri umani ma ora sono definiti "risorse",
è probabile che non sarà tanto l'annuncio del risultato in sé a smuovere la comunità
scientifica, quanto il prestigio internazionale del suo autore, che ha dato prova in passato di
affidabilità, dimostrando alcuni importanti risultati.
Secondo Conrad non solo i trascorsi di Mochizuki meritano la fatica e l'investimento, ma
l'aspetto più interessante di questa dimostrazione, qualora venisse convalidata, è che gli
strumenti e le tecniche messi a punto per realizzarla potrebbero essere di grande ausilio
per risolvere futuri problemi nella teoria dei numeri.”
( vedi conseguenze della congettura abc :
“La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti
conseguenze. Queste includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le
quali essa fornisce una dimostrazione condizionale).
11

Se la dimostrazione del matematico giapponese Shinichi
Mochizuki fosse convalidata, essa sarebbe di grande
importanza per risolvere i problemi e le congetture connesse.
12