Tesina - Liceo Scientifico Statale Vito Volterra

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Il concetto di dimensione di omotetia D. curve frattali con D compresa tra 1 e 2 Le lunghezze delle approssimazioni successive della curva di Koch possono essere misurate esattamente, e il risultato è molto curioso: ha la stessa identica forma della legge empirica di 1−D Richardson relativa alla costa della Bretagna, vale a dire L( η ) αη . Una differenza importante è che in questo caso D non è una grandezza da stimare empiricamente, ma una costante matematica log 4 che si vede facilmente essere uguale a ≈ 1, 2618 . Questo comportamento permetterà di log3 definire la dimensione di omotetia, nuova incarnazione della dimensione frattale. Esamineremo anche alcune varianti della curva di Koch, allo scopo di calcolare le loro dimensioni, tutte comprese tra 1 e 2. Il procedimento prende le mosse da una proprietà elementare che caratterizza il concetto di dimensione euclidea nel caso di oggetti geometrici semplici e dotati di omotetia interna. Si sa che si trasforma una retta per mezzo di un’omotetia di rapporta arbitrario, il cui centro le appartenga, si ritrova la medesima retta, e così accade per un piano e per uno spazio euclideo nel suo insieme. Dal fatto che una retta ha la dimensione euclidea E=1, consegue che, qualunque sia l’intero K, il “tutto costituito dal segmento 0 ≤ x ≤ X può essere “rivestito esattamente” (ogni punto essendo ricoperto una ed una sola volta) da N=K “parti”, che sono dei segmenti (“semiaperti” ) della forma: ( k − 1) X / K ≤ x ≤ kX / K, Dove k varia da 1 a K. Ogni parte si ricava dal tutto con un’omotetia di rapporto r(N)=1/N. analogamente, in virtù del fatto che un piano ha la dimensione euclidea E=2, si ha che, qualunque sia K, il tutto costituito dal rettangolo 0 ≤ x ≤ X , 0 ≤ y ≤ Y puà essere rivestito esattamente da N=K 2 parti, che sono i rettangoli ( k − 1) X / K ≤ x ≤ kX / K, ( h − 1) Y / K ≤ x ≤ hX / K, Dove k e h variano da 1 a K. Questa volta ciascuna parte si ricava dal tutto attraverso un’omotetia di rapporto 1 2 r ( N) = 1/ N . Nel caso di un parallelepipedo rettangolo la stessa argomentazione dà 1 3 r ( N) = 1/ N . Infine, si sa che non c’è nessuna seria difficoltà a definire spazi di dimensione D euclidea D, con D f 3 ; in questo caso r( N) = 1/ N . Pertanto, in tutti i casi classici, per cui la dimensione euclidea è “evidentemente” un intero, si ha: log N D log r( N) = log1/ N = − D O ancora − log N log N D = = log r( N) 1 log( ) r È quest’ultima uguaglianza che ora generalizzeremo. Per fare ciò, osserviamo che l’espressione della dimensione come esponente di omotetia continua ad avere un senso formale per ogni figura “come la curva di Koch” che, pur non essendo né un segmento né un quadrato, conservi la proprietà di potersi decomporre in N parti che si ricavano dalla totalità con una omotetia di rapporto r (seguita da uno spostamento o da una simmetria). Questo dimostra che, quanto meno formalmente, il dominio di validità del concetto di dimensione di omotetia va aldilà dei parallelepipedi, e che, fatto 1 1 12
nuovo, la D così ottenuta non è necessariamente un intero. Ad esempio, nel caso della curva di log 4 Koch, n = 4 e r = 1/3, quindi D = ≈ 1, 2618 . log3 Blake: il precursore dei frattali Nel 1990, il professor Jasper Memory dell’università di Stato di North Carolina ha pubblicato sul “Mathematics Magazine” una poesia intitolata “Blake and Fractals”. Ispirandosi al verso del poeta, pittore, incisore e mistico William Blake, “vedere un mondo in un granello di sabbia”, Memory ha composto questi versi: William Blake disse che paesaggi Scorgeva infiniti Di sabbia nel più piccolo grano Contenuto nel cavo della mano. Ciascuno di noi trova esempi di ciò Nell’opera di Mandelbrot: i diagrammi frattali partecipano Dell’essenza da Blake presentita. Sempre la forma essenziale Prevale prescindendo dalla scala; E le particolari segnature Da vicino e da lontano sono chiare. Ingrandito il punto che avevi, Quello stesso punto ritrovi. E se ancora e ancora ingrandisci Gli stessi dettagli riconosci; Più fine del più fine capello Ecco di Blake l’infinito, Ricco di particolari a ogni livello Come il mistico poeta aveva capito. 13
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