Tesina - Liceo Scientifico Statale Vito Volterra

dimensioni note può essere molto difficile capire se si è di fronte all’immagine di una montagna o
di un frammento di roccia ingrandita. In questi oggetti vale la seguente tendenza: l’ingrandimento
non modifica il grado di irregolarità o, se si preferisce, a ogni livello di aumento e di diminuzione
della grandezza ci si trova di fronte alle stesse irregolarità.
A questo punto, Mandelbrot si è chiesto: come stabilire le vere dimensioni di un oggetto con una
struttura frattale? Nel mondo della geometria euclidea, tutti gli oggetti hanno un numero di
dimensioni espresso da un numero intero: i punti non hanno dimensioni; le linee rettehanno una
dimensione; le figure piano, come i triangoli e i pentagoni, due; i solidi, come le sfere e i poliedri
platonici, tre. Le curve frattali, al contrario, come il percorso di una saetta, cambiano direzione in
modo così irregolare da situarsi tra una e due dimensioni. Se il percorso è relativamente lineare,
possiamo immaginare la dimensione frattale come prossima a uno, mentre se è particolarmente
tortuoso essa sarà vicina a due.
Quanto è lunga la costa della Bretagna?
Tutte le considerazioni fatte in precedenza sono legate alla domanda, ormai quasi proverbiale:
“quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?”. La paradossale risposta di Mandelbrot è che in
simili casi la lunghezza dipende dallo strumento. È evidente infatti che tale lunghezza è almeno
superiore alla distanza in linea retta tra le estremità del nostro tratto di curva. Se la costa fosse dritta
il problema sarebbe già risolto, ma dal momento che una vera costa selvaggia è estremamente
sinuosa e, di conseguenza, più lunga della summenzionata distanza in linea retta. Se ne può tenere
conto in varie maniere, ma, in ogni caso, la lunghezza finale risulterà talmente grande da potersi,
senza inconvenienti pratici, considerare infinita.
Quando, in seguito, vorremo confrontare i “contenuti” di coste differenti, non potremmo fare a
meno di introdurre diverse forme di un concetto matematico che tutti pensavano senza applicazioni
concrete: il concetto di dimensione frattale.
Differenti metodi di scrittura
Ecco un primo metodo: si fa avanzare, lungo la costa, un compasso di apertura prescritta η, ogni
passo del quale comincia dove finisce il precedente. Il valore di η, moltiplicato per il numero di
passi, darà la lunghezza approssimativa L(η). Se si ripete l’operazione, rendendo l’apertura del
compasso sempre più piccola, si vede che L(η) tende ad aumentare senza limite. Prima di discutere
questa constatazione, possiamo osservare che il principio della procedura appena descritta consiste,
nel sostituire l’oggetto che c’interessa, troppo irregolari, con una curva più maneggevole perché
arbitrariamente addolcita o “regolarizzata”, proprio come un foglio di stagno avvolge una spugna
senza seguirne veramente il contorno.
Una regolarizzazione di questo tipo è inevitabile, ma può essere effettuata in altri modi: così, si può
immaginare che un uomo cammini lungo la costa, facendo in modo di discostarsene, al massimo,
della distanza prescritta η, seguendo il più breve cammino possibile; dopo di che si ricomincia
rendendo la distanza massimale dell’uomo dalla costa via via più piccola. Successivamente, si
rimpiazza il nostro uomo con un topo, poi con una mosca, e così via. Ancora una volta, più vicino ci
si tiene alla costa, più lunga sarà, inevitabilmente, la distanza percorsa.
Un altro metodo ancora: onde evitare l’asimmetria che il secondo metodo determina tra terra e
acqua si possono considerare tutti i punti dell’una e dell’altra che distano dalla costa al più η.
Dunque si immagina che la costa sia ricoperta alla meglio da un nastro di larghezza 2 η; si misura la
superficie di tale nastro e la si divide per 2 η, come se il nastro fosse un rettangolo. Infine un quarto
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