Capitolo 2 Coordinate degli astri e moto diurno 2 - Sfera celeste ...

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
Capitolo 2
Coordinate degli astri e moto diurno
2 - Sfera celeste - Generalità sugli astri - Coordinate
2.1 - Sfera celeste delle direzioni
In una notte serena i corpi celesti, gli astri, appaiono ad un osservatore tutti
alla medesima distanza, disposti su una sfera di raggio grandissimo, nel cui
centro trovasi il suo occhio. Di questa sfera egli vede soltanto una metà,
detta volta celeste.
Questa visione è del tutto illusoria, dovuta ad una limitazione della
nostra vista che non consente la valutazione delle distanze di oggetti
lontani. Infatti, calcoli rigorosi permettono di determinare le distanze degli
astri dalla Terra, mettendo bene in evidenza le enormi differenze fra
queste.
Per avviare qualsiasi calcolo di posizione, il nostro interesse è rivolto
alle direzioni degli astri; la sfera celeste immaginaria, così come appare ai
nostri occhi, ben si presta alla rappresentazione di queste direzioni. Basta,
infatti, considerare le intersezioni delle direzioni orientate ai vari astri con
la superficie di una sfera di raggio unitario (una distanza arbitraria),
chiamata sfera rappresentativa celeste o più comunemente sfera celeste.
Una direzione dicesi orientata quando è definita anche dal senso; nel
nostro caso le direzioni orientate hanno il senso occhio osservatore-astri.
L'osservatore può essere considerato sulla superficie della Terra, nel centro
di questa o del Sole, o in un altro punto dell'universo. Nel primo caso la
sfera celeste dicesi locale, nel secondo geocentrica, nel terzo eliocentrica e
così via.
Si confondono la sfera locale e quella geocentrica per l'esigua distanza
tra un punto della superficie terrestre ed il suo centro rispetto alla distanza
osservatore - astro.
La figura 2.1 mostra la sfera celeste avente per centro il punto O. Gli
astri A, B, C sono rappresentati sulla sfera celeste rispettivamente dai punti
A',B',C'; i due astri D ed E, situati sulla stessa direzione, sono rappresentati
dal punto D'.
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2.2 - Gli astri
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MARIO VULTAGGIO
Gli astri più familiari sono le stelle, il Sole, i pianeti e la Luna. Le stelle
sono altrettanti Soli a grandissima distanza dalla Terra, tanto da apparire
puntiformi anche se osservate con potenti telescopi. Esse brillano di luce
propria al contrario dei pianeti e dei loro rispettivi satelliti, che sono invece
dei corpi oscuri riflettenti la luce ricevuta.
Figura 2.1 – Sfera celeste delle direzioni
Il Sole è la stella più vicina a noi, intorno alla quale orbitano nove
pianeti tra i quali la Terra ( sistema solare); per la quasi totalità delle stelle
si hanno altrettanti sistemi solari.
I pianeti del nostro sistema solare, in ordine di distanza dal Sole, sono:
Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone;
ad eccezione di Mercurio e Venere, intorno agli altri pianeti orbitano dei
satelliti (uno intorno alla Terra: la Luna).
Tra l'orbita di Marte e quella di Giove si trovano oltre 1500 pianetini (o
asteroidi), che ruotano lo stesso intorno al Sole; i più grandi hanno un
diametro che raggiunge alcune centinaia di chilometri. Completano il
nostro sistema solare le comete, corpi formati da materia interstellare e di

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gas, che seguono traiettorie molto irregolari, disegnando talvolta nel cielo,
quando passano più vicino al Sole, una lunga traccia luminosa ben visibile
nelle ore del mattino e della sera.
Tabella 2.1 - Elementi orbitali dei pianeti del sistema solare
Astro diametro volume distanza Tempo di numeros Inclinazione Ecc.ta’
rivoluzione atelliti dell’orbita
Sole 109 1.3 10 6 149598023
km
---
Mercurio 0.4 0.06 0.387 0.240 7 0.20
Venere 0.98 0.95 0.723 0.615 3.4 0.006
Terra 1 1 1 1 1 Eclittica 0.016
Marte 0.5 0.16 1.524 1.881 2 1.9 0.093
Giove 11 1280 5.202 11.857 16 1.3 0.048
Saturno 9.5 780 9.555 29.423 18 2.5 0.056
Urano 19.218 83.747 15 0.8 0.046
Nettuno 30.110 163 8 1.8 0.009
Plutone 39.544 248.021 1 17.1 0.249
Luna 0.27 0.02 385 000 km 27.3 5 1/18
Oltre ai citati astri una menzione particolare meritano le nebulose e gli
ammassi stellari. Le prime sono masse gassose occupanti immensi spazi
siderali, i secondi sono invece formati da numerossissime stelle che in
prospettiva vengono osservate tanto vicine tra loro da caratterizzare in cielo
zone lattiginose simili alle nebulose.
Un insieme di stelle (miliardi) e di nebulose formano una galassia,
colosso cosmico di enormi dimensioni; una galassia è la Via Lattea alla
quale appartiene il nostro Sole. Essa ha forma ellissoidica molto
schiacciata, col diametro equatoriale di oltre un centinaio di anni luce,
essendo un anno luce la distanza percorsa dalla luce in un anno, pari a 9465
miliardi di Km. Se con la fantasia si riduce detto diametro in modo da
assumere la dimensione di quello terrestre (meno di 13.000 Km), le stelle
della Via Lattea appariranno ad una distanza media tra loro dell'ordine dei
metri, le più grandi aventi un diametro pressappoco di un centimetro, le
più piccole saranno visibili soltanto al microscopio. Scrutando
attentamente , si troverà a grande distanza dal centro della Galassia il
nostro Sole, granellino di pulviscolo del diametro di appena un
cinquantesimo di millimetro: stella niente affatto eccezionale tra le sue
consorelle.
Esistono miliardi di galassie, distribuite a distanze di miliardi di anniluce,
ciascuna contiene miliardi di stelle.
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I pianeti orbitano intorno alle loro rispettive stelle, queste, a loro volta,
intorno ai centri delle galassie alle quali appartengono (il periodo di rivolu
zione del Sole si aggira intorno a 250 milioni di anni) e forse le galassie
intorno ai centri delle supergalassie.
2.3 - Le stelle
Le stelle, che così silenziose appaiano all'osservatore, sono al contrario sedi
di fenomeni giganteschi.
Secondo una recente teoria, una stella ha origine dalla condensazione di
materia interstellare, formata prevalentemente da idrogeno (in generale da
una nebulosa). Condensandosi per attrazione gravitazionale, la materia si
riscalda fino a raggiungere nella sua parte centrale temperature molto
elevate (15 milioni di gradi) alle quali gli atomi di idrogeno si scontrano
tra loro con tale violenza da modificare la loro struttura, trasformandosi in
atomi di elio. Con l'elio al centro, la stella si espande con conseguente
diminuzione di temperatura, diventando una gigante rossa.
Il periodo relativo alla completa trasformazione dell'idrogeno in elio può
valutarsi in milioni d'anni. Con la scomparsa dell'idrogeno si ha, sempre
per attrazione gravitazionale, una seconda contrazione, con conseguente
aumento di temperatura (100 milioni di gradi) ed inizio della
trasformazione dell'elio in carbonio. Scomparso l'elio, ad una successiva
contrazione della stella si raggiungono temperature elevatissime (1000
milioni di gradi) alle quali il carbonio si trasforma in elementi più pesanti
quali il magnesio ed il silicio.
Questo processo continua, passo dopo passo, ad un ritmo sempre più
veloce fino a che non si siano formati tutti gli elementi pesanti. La stella,
per la rapidità dell'evoluzione, diventa alla fine instabile ed esplode (stella
supernova), proiettando il materiale negli spazi interstellari, in cui è sempre
presente l'idrogeno.
Le stelle della prima generazione sono quelle ad alto contenuto di
idrogeno e d'elio, quelle della seconda generazione contengono elementi
più pesanti quali il carbonio, il magnesio, il silicio, ecc.. Le prime hanno
colore bianco, poi giallo-biancastro; le seconde colore giallo tendente al
rosso e poi rosso (sparizione completa dell'idrogeno). Il Sole è una stella

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avanzata della prima generazione: su di esso si ha una continua
trasformazione dell'idrogeno in elio.
Le stelle, oltre che per il colore, si differenziano per l'illuminamento che
determinano sulla retina dell'occhio, dipendente principalmente dalla
distanza oltre che dallo loro attività fisica. Facendo astrazione della
distanza, la loro intensità luminosa, spesso impropriamente detta
luminosità o splendore apparente, viene espressa in una scala i cui valori
sono detti grandezze visuali apparenti. Al tempo di Ipparco e di Tolomeo
le grandezze erano solo sei: le stelle di prima grandezza erano le più
brillanti,quelle di sesta appena visibili dall'occhio umano. Alla parola
grandezza gli astronomi, per evitare confusione, sostituiscono la parola
magnitudo (simbolo m).
Il Pogson, verso la metà del secolo scorso, propose che la scala delle
grandezze si riferisse ad una progressione geometrica delle rispettive
intensità luminose, considerando l'intensità luminosa di una stella di prima
grandezza 100 volte quella di una stella di sesta grandezza (in cinque gradi
della scala una variazione di 100).
Secondo Fechner e Weber, la sensazione luminosa, cioè la grandezza o
magnitudo m, è proporzionale al logaritmo in base 10 dello stimolo, cioè
dell'intensità luminosa I:
m = K log10
I
Per una stella di riferimento la detta relazione diventa:
e pertanto:
m =
0 K log10 I 0
m − m = K log
0
Ponendo, per quanto convenuto da Pogson, 0 5 = m − m e 100 / I I 0 = , si
ottiene K = 2.
5 , per cui la relazione :
I
m − m0
= −2.
5log10
(2.1)
I
41
10
I
I
0
0

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permette di trasformare un rapporto di intensità luminosa, misurata
mediante fotometri, nella corrispondente differenza di grandezze.
Il segno meno è giustificato dal fatto che la grandezza visuale apparente
decresce coll'aumentare dell'intensità luminosa.
La ragione della progressione geometrica delle intensità luminose è di
2.512, di qui una stella di prima grandezza è 2.512 volte più brillante di
una di seconda grandezza, questa, a sua volta, 2.512 più brillante di una di
terza grandezza e così via.
La scala del Pogson va oltre la sesta grandezza per le stelle telescopiche
e al di qua della prima grandezza per le stelle più brillanti di quelle di
prima grandezza (in questo caso la grandezza viene espressa da un numero
inferiore all'unità e qualche volta da un numero negativo).
Le stelle visibili ad occhio nudo sono circa 5000, cosi suddivise: 20 di
prima grandezza, 65 di seconda, 190 di terza, 425 di quarta, 1000 di quinta
e 3200 di sesta. In navigazione vengono considerate circa 150 stelle, tutte
comprese fra le grandezze visuali apparenti 0 e 3, ad eccezione di Canopo e
Sirio, rispettivamente di grandezza visuale apparente -0.9 e -1.6.
Considerando le stelle tutte alla medesima distanza dalla Terra di 10
parsec si ha la grandezza visuale assoluta (o magnitudo assoluta, M).
Si definisce parsec (contrazione di parallasse-secondo) la di stanza alla
quale dovrebbe trovarsi un punto dell'universo affinchè la congiungente
Terra-Sole venga vista, perpendicolarmente dal punto, sotto un angolo di
un secondo d'arco, pari a 206.265 volte la distanza Terra-Sole e pari ancora
a 3,27 anni luce.
Note di una stella la grandezza visuale apparente (m) e la distanza dalla
Terra in parsec (p), riesce semplice calcolare la sua grandezza visuale
assoluta. Basta, infatti, tener conto della (2.1):
M − m = −2.
5 log10
con I10 e I p le intensità luminose rispettivamente alle distanze di 10 e p
parsec dalla Terra.
Essendo le intensità luminose inversamente proporzionali ai quadrati
delle distanze, la relazione scritta diventa:
I
I
10
p

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2
p
M − m = −2.
5 log10
(2.2)
100
Per il Sole, essendo m = −26.
7 e p = 1/
206265 , risulta M = 4.
85 .
Diconsi nane le stelle più piccole del Sole, giganti quelle più grandi . Le
stelle vengono classificate anche per il loro colore, cioè secondo la loro
composizione chimica che esprime, come già detto, il loro stato di
evoluzione e quindi la loro età.
Un cenno ora alle stelle variabili e a quelle multiple. Le prime sono
caratterizzate da una variazione periodica o non del loro splendore (con
conseguente variazione della loro grandezza visuale apparente) dovuta
all'attività e allo stato di evoluzione della materia di cui sono costituite.
Le variabili regolari a breve periodo sono dette cefeidi, dal nome della
costellazione in cui per prima furono notate. Il loro periodo di variazione T,
espresso in giorni, è legato alla grandezza visuale assoluta dalla relazione
di H. Leavitt:
M = a + b log10
T
dove a = 0. 4 e b = −3.
5 .
Conoscendo T si calcola M e, nota m, mediante la (2.2) si ottiene p. E'
questo un metodo per il calcolo delle distanze stellari, detto appunto
metodo delle cefeidi.
Tra le variabili a periodo irregolare sono caratteristiche le novae o
temporanee, il cui splendore aumenta rapidamente per tornare lentamente
al primitivo; questa variazione si aggira intorno alle dodici grandezze. Per
alcune stelle la variazione di splendore (periodica) è dovuta ad eclissi
prodotte da un satellite (pianeta,forse) che ruota intorno ad esse.
Le stelle multiple, infine, sono quelle che al cannocchiale vengono
risolte in due o più stelle. Alcune sono rappresentate da un'unica stella per
prospettiva; altre, invece, sono unite da legami fisici. Queste ultime, in
genere, sono doppie (per questo, dette binarie), gravitando l'una intorno
all'altra secondo le leggi di Newton e di Kepler.
Caratteristici gruppi di stelle formano le costellazioni, le cui
denominazioni sono quelle ad esse date nei tempi remoti. Anche le stelle
più luminose hanno un loro nome, lo stesso attribuito loro dagli antichi.
Un'usanza astronomica per distinguere le stelle di una costellazione è
quella di attribuire a ciascuna stella una lettera dell'alfabeto greco, dal
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nome latino della costellazione, al genitivo. Se non bastano le lettere
dell'alfabeto greco, essendo molte le stelle di una costellazione, si ricorre ai
numeri arabi.
Vari sono i metodi adoperati per il riconoscimento delle stelle sulla volta
celeste. Uno è detto a vista o degli allineamenti. Consiste nell'individuare
una stella mediante allineamenti idealmente tracciati sulla volta celeste,
utilizzando come riferimento due stelle di una nota costellazione.
Per la loro elevata distanza dalla Terra (la più vicina è la Proxima
Centauri, distante circa 4 anni-luce) le stelle conservano per lungo tempo
la stessa posizione sulla sfera celeste, cioè non variano le loro distanze
angolari. Pertanto, note dette distanze, è possibile costruire una tabella
simile a quelle che comunemente vengono compilate per fornire le distanze
tra varie località della superficie terrestre. Volendo riconoscere una stella,
nota un'altra, basta misurare col sestante l'angolo tra le due, con
l'approssimazione al decimo di grado. Nella colonna corrispondente alla
stella nota si cerca il valore dell'angolo misurato; in corrispondenza di
questo, seguendo il tratto orizzontale si legge il nome della stella incognita
Il riconoscimento delle stelle può essere fatto anche con l'ausilio di globi
e carte celesti o mediante adatti apparecchi detti sferoscopi.
2.4 - Misure radio astronomiche
Nel 1931 l'ingegnere americano Karl Jansky, incaricato dalla società Bell
Telephone di studiare l'effetto delle scariche elettriche dell'atmosfera sugli
apparecchi radiotelegrafici, notò la presenza di un segnale radio debole ma
chiaro che, proveniente dal centro della nostra Galassia, si riproduceva ad
intervalli di un giorno sidereo.
Ancora, nel 1942 tecnici militari inglesi di guardia al radar di
Southampton captarono un segnale radio ben distinto proveniente dal Sole,
allora nel periodo della sua massima attività fisica, segnale constatato
successivamente anche da altre stazioni.
A seguito di queste ricezioni nacque la Radioastronomia, scienza in
continuo sviluppo per i suoi tangibili contributi alla conoscenza
dell'universo.
Fino ad oggi sono state individuate molte radiosorgenti, alcune
provenienti dalla nostra Galassia, altre di origine extragalattica. Queste
ultime vengono attribuite a speciali oggetti situati a distanze di circa 7

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miliardi di parsec, per cui le radiazioni oggi ricevute sono partite da questi
22 miliardi di anni fa. Simili oggetti vengono chiamati quasi stellar objects
o quasi stars, cui l'abbreviazione di quasar; a questi è stata attribuita la
sigla QSS, quasi stellar radio-source per distinguerli da altri oggetti senza
emissione di onde radioelettriche, indicati con la sigla QSG, quasi stellar
galaxies.
E' del 1967 la scoperta di speciali radiostelle che emettono segnali ad
intervalli regolari di circa un secondo, denominate pulsar (pulsating radiosource);
trattasi con molta probabilità di stelle nane bianche in particolari
condizioni di instabilità , oppure di supernove all'epoca del loro stadio
estremo, quando avviene il collasso della materia nel nucleo con
conseguente esplosione.
Se la massa della supernova supera un certo limite (due volte e mezzo
quella del Sole), il collasso genera un corpo dal quale non può uscire
alcuna radiazione, denominato black hole (buco nero).
2.5 - Circonferenze fondamentali sulla sfera celeste legate alla verticale e
all'asse terrestre
In figura 2.2 è rappresentata la sfera celeste geocentrica. Nel punto O della
Terra è situato l'osservatore, la cui verticale incontra la sfera celeste nei
punti zenit (Z) e nadir (Z').
L'asse celeste, prolungamento di quello terrestre, localizza sulla sfera
celeste il polo celeste nord ed il polo celeste sud ( P cn , Pcs
).
Alla verticale sono legate sulla sfera celeste le seguenti circonferenze:
l'orizzonte astronomico o vero, gli almicantarat e i verticali,
rispettivamente intersezioni con la sfera del piano dell'orizzonte
astronomico o vero, di altri piani orizzontali e di quelli verticali.
All'asse celeste sono legate le seguenti circonferenze: l'equatore celeste,
i pararalleli di declinazione e gli orari, intersezioni rispettivamente con la
sfera del piano dell'equatore terrestre, di piani paralleli a questo e di piani
contenenti l'asse celeste.
Il piano del foglio rappresenta il piano del meridiano dell'osservatore,
inteso geometricamente come circonferenza intera, la cui intersezione con
la sfera celeste determina il meridiano celeste dell'osservatore e col piano
dell'orizzonte vero la linea meridiana. Agli estremi di questa ultima si
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MARIO VULTAGGIO
hanno i punti cardinali N(Nord)e S(Sud), il primo più vicino al P cn , il
secondo al P cs ; a 90° da questi due punti, nei punti d'intersezione
dell'equatore celeste con l'orizzonte vero, si trovano gli altri due punti
cardinali, l'E(Est) e l'W (Ovest).
Il meridiano celeste dell'osservatore si divide in meridiano celeste
superiore ( cn cs P Z P ˆ ) e meridiano celeste inferiore cn cs P Z P ˆ ′ rispettivamente
proiezioni del meridiano e dell'antimeridiano dell'osservatore. I punti
d'intersezione di queste due semicirconferenze con l'equatore celeste
vengono chiamati mezzocielo superiore ( M s ) e mezzocielo inferiore ( M i ).
Figura 2.2 - Sfera celeste e piani fondamentali
La sfera celeste è divisa dal piano dell'equatore celeste in due emisferi:
emisfero celeste nord ed emisfero celeste sud, aventi rispettivamente per
poli il P cn e il Pcs
; dal piano dell'orizzonte vero in: emisfero celeste visibile
ed emisfero celeste invisibile, aventi rispettivamente per poli lo zenit e il
nadir; da quello del meridiano dell'osservatore in emisfero celeste orientale
ed emisfero celeste occidentale, aventi rispettivamente per poli i punti
cardinali E ed W.
Sulla Terra (v. figura 2.2) è segnato il meridiano di Greenwich (arco
P G1
P ), la cui proiezione sulla sfera celeste è l'arco cnM
sG Pcs
n
s
P ( sG
M =

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mezzocielo superiore del meridiano di Greenwich; Z G = zenit della
cittadina di Greenwich).
Le coordinate geografiche dell'osservatore sono:
latitudine
longitudine
La latitudine è nord, la longitudine est.
( φ)
= QTˆ
O = M sTˆ
Z = M sZ
( λ)
= G Tˆ
Q = M sGTˆ
1 M s = M sGM
s
Il polo celeste che trovasi sopra l'orizzonte è chiamato polo celeste
elevato; di conseguenza l'altro, che capita sotto l'orizzonte, viene chiamato
polo celeste depresso. Nel caso della figura (osservatore situato
nell'emisfero terrestre nord) il P cn è il polo celeste elevato ed il Pcs quello
depresso. Per un osservatore nell'emisfero terrestre sud il P cs è polo celeste
elevato ed il P cn quello depresso. Dalla figura 2.2 risulta:
M Z = NP
s
cioè: l'altezza del polo celeste elevato sull'orizzonte vero è uguale alla
latitudine dell'osservatore.
Gli orari e i verticali vanno intesi quali mezze circonferenze, come i
meridiani sulla Terra.
L'orario che passa per i punti cardinali E e W chiamasi primo orario; si
divide in primo orario orientale (quello che passa per E) e primo orario
occidentale (quello che passa per W). Il verticale che passa per i punti
cardinali E e W chiamasi primo verticale; lo stesso si divide in primo
verticale orientale (quello che passa per E) e primo verticale occidentale
(quello che passa per W). La freccia f indica il senso di rotazione
occidentale (da W verso E) della Terra intorno al suo asse.
Volendo disegnare la sfera celeste come appare all'osservatore, si
consiglia quanto segue: fissato il suo raggio, si tracci il meridiano celeste
dell'osservatore e la sua verticale , rappresentata dal diametro verticale (in
tratteggio), lo zenit (Z) in alto e il nadir (Z') in basso; il diametro
orizzontale, anch'esso in tratteggio, indicherà la linea meridiana; col punto
47
cn

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cardinale nord (N) alla sua destra, si avrà davanti l'emisfero celeste
orientale.
L'asse celeste verrà rappresentato con tratteggio dal diametro inclinato
sulla linea meridiana di un angolo uguale alla latitudine dell'osservatore, in
modo da far risultare nell'emisfero visibile il polo celeste dello stesso nome
della latitudine, elevato sul corrispondente punto cardinale. Il diametro,
sempre in tratteggio, normale all'asse celeste, indicherà l'intersezione del
piano dell'equatore con quello del meridiano dell'osservatore; gli estremi di
questo diametro individueranno il mezzocielo superiore (Ms) e quello
inferiore (Mi), il primo nell'emisfero visibile, il secondo nell'emisfero
invisibile.
Tracciate le due circonferenze massime rappresentanti rispettivamente
l'orizzonte astronomico e l'equatore celeste, verranno individuati anche gli
altri due punti cardinali est (E) e ovest (W). A questo punto risulta semplice
il tracciamento degli orari, dei paralleli di declinazione, dei verticali e degli
almicantarat.
In figura 2.3 sono rappresentate le sfere celesti di un osservatore situato
in un punto della Terra di latitudine φ = 30° N ed uno osservatore in
φ = 30° S .

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Figura 2.3 - Sfera celeste - Osservatore emisfero nord: vista emisfero
orientale ed occidentale; Osservatore emisfero sud: vista emisfero
orientale ed occidentale
2.6 - L'eclittica
Il moto di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole (come quello dei
satelliti intorno ai pianeti) è regolato dalle seguenti tre leggi enunciate da
Johannes Kepler (latinizzato Keplero), le prime due nel 1609 e la terza nel
1618:
1) I pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche di cui il Sole occupa
uno dei fuochi;
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MARIO VULTAGGIO
p
r = (2.3)
1+ ecosθ
2) Le aree descritte dal raggio vettore (congiungente il centro del Sole col
centro del pianeta) sono proporzianali ai tempi impiegati a descriverle.
Ovvero: il raggio vettore descrive aree uguali in tempi uguali;
dA
= cost.
(2.4)
dt
3) I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi
dei semiassi maggiori delle loro rispettive orbite.
3
a
= y 2
T
con r, p, e, a, T di significato ben noto.
Figura 2.4 - Eclittica
(2.5)
La figura 2.4 mostra l'ellisse descritta da un pianeta intorno al Sole, situato
nel fuoco F1. Gli estremi dell'asse maggiore rappresentano i punti di

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minima e massima distanza del pianeta dal Sole durante la sua rivoluzione,
denominati rispettivamente Perielio (P) e Afelio (A).
Per la II legge, dovendo il raggio vettore descrivere aree uguali in tempi
uguali, non è costante la velocità di rivoluzione del pianeta: massima al
perielio, minima all'afelio. Infatti, se S1 e S2 (v. figura 2.4) rappresentano
due aree uguali, descritte nello stesso intervallo di tempo, rispettivamente
dalla parte del perielio e dell'afelio, il tratto dell'orbita S1, corrispondente
all'area S1, risulterà più lungo del tratto d'orbita S2, corrispondente all'area
S2, per cui S1 verrà percorso con velocità maggiore.
Dalla terza legge segue, come si vedrà più avanti, che le velocità medie
di rivoluzione dei pianeti diminuiscono al crescere delle loro distanze dal
Sole.
L'ellisse descritta dalla Terra intorno al Sole è caratterizzata dai seguenti
parametri: semiasse maggiore a = 149.600.000 km, eccentricità e = 0.017,
periodo di rivoluzione (anno sidereo) T = 365,2564 giorni medi (il giorno
medio ha la durata di 24 ore segnate dai nostri comuni orologi).
Figura. 2.5 – Equatore celeste ed ecclittica
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MARIO VULTAGGIO
Il piano dell'orbita, inclinato di circa 23° 26'.4 (JD 2000) su quello
equatoriale, interseca la sfera celeste secondo una circonferenza detta
eclittica, indicata con c in figura 2.5. Questa può considerarsi il luogo dei
punti della sfera celeste nei quali viene proiettato il Sole dalla Terra, giorno
dopo giorno, per un anno intero.
I due punti d'incontro dell'eclittica con l'equatore celeste sono detti nodi,
indicati coi simboli γ e Ω. L'asse p passante per il centro della Terra e
normale al piano dell'eclittica è detto asse dell'eclittica; esso interseca la
sfera celeste in due punti detti poli dell'eclittica: polo d'eclittica nord ( π n )
quello più vicino al polo celeste nord e polo d'eclittica sud ( π s ) quello più
vicino al polo celeste sud.
Il 21 marzo il Sole viene proiettato dalla Terra nel punto γ e nei giorni
successivi nei punti dell'arco d'eclittica che si sviluppa nell'emisfero celeste
nord; il 21 giugno viene proiettato nel punto E, il 23 settembre nel punto
Ω, il 21 dicembre nel punto E'.
Il senso del moto apparente del Sole sull'eclittica è indicato in figura 2.5
dalla freccia f; identico senso ha il moto di rivoluzione della Terra intorno
al Sole.
Il punto γ è detto nodo ascendente per il fatto che il Sole il 21 marzo
passa dell'emisfero celeste sud a quello nord; di conseguenza il punto Ω è
detto nodo discendente. I due nodi γ e Ω sono detti punti equinoziali, punti
E ed E' punti solstiziali; il Sole, proiettato nei primi due punti, si trova
sull'equatore celeste; proiettato, invece, negli altri due punti, si trova alla
massima distanza da questo.
Dagli astronomi dell'antichità fu notato che in una fascia molto ristretta
della sfera eleste lungo l'eclittica si trovavano 12 costellazioni spaziate di
circa 30° l'una d'altra, che, a partire dal punto γ verso il punto E, erano:
Ariete, Toro, Gemelli, Cancro, Leone, Vergine, Bilancia, Scorpione,
Sagittario, Capricorno, Acquario, Pesci. Questo insieme di costellazioni fu
chiamato zodiaco. Il Sole, mese dopo mese, viene dalla Terra proiettato in
una di queste costellazioni.
L'asse dei nodi t per il fenomeno di precessione compie una rotazione
completa nel piano dell'eclittica in circa 25.600 anni nel senso della freccia
f1, per cui attualmente il punto γ viene proiettato nella costellazione dei
Pesci.
2.7 - Circonferenze fondamentali sulla sfera celeste legate alla eclittica

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
L'asse dell'eclittica p (v figura 2.6) rappresenta un'altra direzione
fondamentale, dopo quelle già trattate (l'asse terrestre e quindi celeste e la
verticale dell'osservatore). I piani paralleli a quello dell'eclittica intersecano
la sfera celeste secondo delle circonferenze minori detti paralleli
d'eclittica; quelli contenenti l'asse dell'eclittica intersecano la sfera celeste
secondo delle circonferenze massime dette meridiani d'eclittica.
Figura 2.6 – Sfera celeste e fascia delle costellazioni
In figura 2.6 la circonferenza minore c rappresenta un parallelo
d'eclittica, la circonferenza massima m un meridiano d'eclittica.
Il piano dell'eclittica divide la sfera celeste in due emisferi: emisfero
d'eclittica nord, avente per polo il polo d'eclittica nord , ed emisfero
d'eclittica sud, avente per polo il polo d'eclittica sud.
L'orario passante per i punti γ e Ω viene denominato coluro degli
equinozi, quello passante per i punti E ed E' coluro dei solstizi.
2.8 - Sistemi di coordinate sulla sfera celeste
53

54
MARIO VULTAGGIO
2.8.1 - Generalità
Verranno qui di seguito trattati cinque sistemi di coordinate sferiche polari.
Per due di questi gli elementi di riferimento dipendono completamente o in
parte dalla posizione dell'osservatore sulla Terra, per cui i sistemi vegono
detti locali; per gli altri tre non c'è dipendenza dall'osservatore, donde la
denominazione di sistemi uranografici.
2.8.2 - Sistema di coordinate altazimutali
Questo sistema ha per elementi di riferimento la verticale dell'osservatore,
l'orizzonte astronomico o vero ed il verticale nord (v.figura 2.7). Le
coordinate di un astro,punto A sulla sfera celeste della citata figura, sono:
azimut(
a)
= NA1
= NTˆ
A1
altezza(
h)
= AA = A Tˆ
A
L'azimut è l'arco di orizzonte astronomico o vero compreso tra il punto
cardinale nord N ed il piede del verticale passante l'astro (punto A1),
contato da 0° a 360° a partire dal punto cardinale N verso E, S, W.
Figura. 2.7 - Sistema di coordinate altazimutali
1
1

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
L'altezza è l'arco di verticale passante per l'astro, compreso tra l'orizzonte e
l'astro, contato da 0° a 90° dall'orizzonte verso l'astro; quest'arco è positivo
se l'astro si trova nell'emisfero visibile, negativo se in quello invisibile.
L'azimut può essere definito quale angolo diedro tra il semi piano
relativo al verticale nord e quello relativo al verticale dell'astro, contato da
0° a 360° dal semipiano nord nel senso indiretto od orario guardando dallo
zenit. L'altezza, invece, può essere definita quale angolo d'inclinazione
della congiungnete centro Terra-astro sul piano dell'orizzonte vero, angolo
contato nel semipiano del verticale dell'astro da 0° a 90°, positivo verso lo
zenit, negativo verso il nadir.
L'azimut definisce un verticale, l'altezza un almicantarat; note di un astro
queste coordinate, esso è individuato sulla sfera celeste dall'intersezione di
queste circonferenze; il verticale è il luogo dei punti aventi lo stesso
azimut, l'almicantarat il luogo dei punti aventi la stessa altezza.
Coordinate sostitutive dell'azimut e dell'altezza sono l'angolo azimutale
(Z) e la distanza zenitale (z). L'angolo azimutale è l'arco di orizzonte
astronomico o vero compreso tra il punto cardinale N o S, a seconda del
segno della latitudine, ed il piede del verticale passante per l'astro, contato
da 0° a 180°. L'ampiezza dell' arco è preceduta dal cardine N o S e seguita
da E o W; quella dell'azimut non è preceduta o seguita da alcuna lettera. Si
riportano le seguenti relazioni per il passaggio dall'azimut all'angolo
azimutale:
⎧a
< 180°
φ nord ⎨
⎩a
> 180°
⎧a
< 180°
φ sud ⎨
⎩a
> 180°
55
Z = NaE
Z = N
Z =
Z =
( 360°
− a)
S ( 180°
− a)
S ( a −180°
)
Per queste relazioni e le per rispettive inverse è utile considerare la sfera
celeste proiettata dall'infinito sul piano dell'orizzonte vero: gli almicantarat
vengono rappresentati da circonferenze concentriche aventi lo zenit come
centro (il raggio dell'orizzonte vero risulta uguale a quello della sfera
celeste rappresentativa); i verticali vengono rappresentati da raggi.
La distanza zenitale è l'arco di verticale passante per l'astro compreso tra
lo zenit ed l'astro, contato da 0° a 180° a partire dallo zenit. Molto semplice
il passaggio dall'altezza alla distanza zenitale:
E
W

z = 90° − ( ± h)
56
MARIO VULTAGGIO
Non sfugge al lettore che questo sistema di coordinate va classificato fra
quelli locali, essendo legato alla verticale dell'osserva tore.
2.8.3 - Sistema di coordinate orarie
Gli elementi di riferimento del sistema sono l'asse celeste, l'equatore celeste
ed il meridiano celeste superiore (v. figura. 2.8).
Le coordinate di un astro (punto A in figura) sono:
( ) o (
angolo orario locale t AOL = M s A1
= M s
declinazione
)
( ) A A A Tˆ
A = = δ
L'angolo orario locale è l'arco di equatore celeste compreso tra il
mezzocielo superiore (Ms) ed il piede dell'orario passante per l'astro (punto
A1), contato da 0° a 360° a partire dal Ms, nel senso indiretto od orario
guardando dal polo celeste nord.
La declinazione è l'arco di orario passante per l'astro compreso tra
l'equatore celeste e l'astro, contato da 0° a 90° dall'equatore verso l'astro; è
positiva (o N) se l'astro si trova nell'emisfero celeste nord, negativa ( o S)
se nell'emisfero sud.
L'angolo orario può essere definito quale angolo diedro tra il semipiano
relativo al meridiano celeste superiore ed il semipiano dell'orario dell'astro,
contato dal primo semipiano verso il secondo nel senso orario guardando
dal polo celeste nord, da 0° a 360°.
La declinazione rappresenta invece l'angolo d'inclinazione della
congiungente centro Terra-astro sul piano dell'equatore celeste, contato nel
semipiano dell'orario dell'astro, da 0° a 90° verso uno dei due poli.
L'angolo orario definisce un orario, la declinazione un parallelo di
declinazione; note di un astro queste due coordinate esso è individuato
sulla sfera celeste dall'intersezione delle relative circonferenze; l' orario è il
luogo dei punti aventi lo stesso angolo orario ed il parallelo di declinazione
il luogo dei punti aventi la stessa declinazione.
1
1
Tˆ
A
1

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
Figura 2.8 - Sistema di coordinate orarie
Coordinate sostitutive dell'angolo orario e della declinazione sono:
l'angolo al polo (P) e la distanza polare (p)
L'angolo al polo di un astro è l'arco di equatore compreso tra il
mezzocielo superiore ed il piede dell'orario dell'astro, contato da 0° a 180°
verso E o verso W.
Se t è minore di 180° l'astro si trova nell'emisfero celeste occidentale per
cui PW = t; se, invece, t è maggiore di 180°, l'astro si trova nell'emisfero
celeste orientale onde PE = 360° - t.
La distanza polare è l'arco di orario passante per l'astro compreso tra il
polo celeste elavato ed l'astro, contato da 0° a 180° a partire dal polo
celeste elevato; ne discende che se φ e δ sono omonime la distanza polare
risulta p = 90° - δ; se eteronime, p = 90° + δ:
p
= 90 − ( ± δ )
57

58
MARIO VULTAGGIO
Delle due coordinate t e δ testè definite la prima dipende dalla posizione
dell'osservatore, essendo contata a partire dalla proiezione del suo
meridiano sulla sfera celeste; da qui il sistema in argomento è classificato
fra quelli locali.
2.8.4 - Sistema di coordinate uranografiche equatoriali
Gli elementi di riferimento del sistema sono l'asse celeste, l'equatore celeste
ed il coluro del punto γ (orario passante per il punto γ). Le coordinate di un
astro (punto A in figura.2.9) sono:
ascensione retta ( α ) = γA
= γTˆ
A
declinazione
( ) A A A Tˆ
A = = δ
L'ascensione retta è l'arco di equatore celeste compreso tra il punto γ ed il
piede dell'orario passante per l'astro, contato da 0° a 360° a partire dal detto
punto nel senso antiorario (senso diretto) per un osservatore situato nel
polo celeste nord.
Figura 2.9 - Sistema di coordinate uranografiche equatoriali
1
1
1
1

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
La declinazione è stata già definita nel paragrafo precedente. Al posto
dell'ascensione retta, in molte applicazioni, viene considerata la
coascensione retta (coα) o ascensione versa (AV), data da:
( AV)
= 360°
α
co α −
per cui questa rappresenta l'arco di equatore celeste compreso tra il punto γ
ed il piede dell'orario passante per l'astro, contato da 0° a 360° a partire dal
punto γ nel senso orario (senso indiretto) guardando sempre dal polo
celeste nord. Entrambe le coordinate, come ben si nota, sono indipendenti
dalla posizione dell'osservatore. Questo sistema di riferimento è noto come
Sistema Inerziale di Riferimento (Earth Centered Inertial – ECI).
2.8.5 - Sistema di coordinate uranografiche eclittiche
Gli elementi di riferimento del sistema sono l'asse dell'eclittica, l'eclittica
ed il meridiano d'eclittica passante per il punto γ.
Le coordinate di un astro (punto A in figura 2.10) sono:
longitudine
d'eclittica
latitudine d'
eclittica
59
( λ)
= γA
Tˆ
1 = γ A1
( β ) = A A = A Tˆ
A
Figura 2.10 - Sistema di coordinate uranografiche eclittiche
1
1

60
MARIO VULTAGGIO
La longitudine d'eclittica è l'arco di eclittica compreso tra il punto γ ed il
piede del meridiano d'eclittica passante per l'astro, contato da 0° a 360° a
partire dal punto γ nel senso antiorario (senso diretto) guardando dal polo
d'eclittica nord.
La latitudine d'eclittica è l'arco di meridiano d'eclittica passante per
l'astro compreso tra l'eclittica e l'astro, contato da 0° a 90° dall'eclittica
verso l'astro. La latitudine d'eclittica è positiva o N se l'astro trova si
nell'emisfero d'eclittica nord, negativa o S se trovasi nell'emisfero d'eclittica
sud.
Anche queste due coordinate sono indipendenti dalla posi zione
dell'osservatore.
Questo sistema di coordinate può essere considerato con l'asse della
eclittica passante per il centro del Sole; in tal caso si hanno le coordinate
uranografiche eliocentriche d'eclittica:
longitudine (L) e latitudine (B)
In un dato istante s'intende elongazione in longitudine (o elongazione
eclittica) di un astro rispetto ad un altro la differenza di longitudine tra i
due astri.
Con elongazione 0°,180°, o 90° e 270° i due astri si dicono
rispettivamente in congiunzione, in opposizione, o in quadratura in
longitudine, oppure in congiunzione, in opposizione, o in quadratura
d'eclittica.
Nell'istante della congiunzione i due astri sono sullo stesso meridiano
d'eclittica, su meridiani opposti nell'istante dell'opposizione, su meridiani i
cui piani sono normali tra loro nell'istante della quadratura.
Può essere considerata anche l'elongazione in ascensione retta (detta
anche elongazione equatoriale).
2.8.6 - Sistema di coordinate uranografiche galattiche
Il piano di simmetria della distribuzione delle stelle, inclinato di ≅ 62° su
quello equatoriale, interseca la sfera celeste secondo una circonferenza
massima che rappresenta la linea media della Via Lattea, la nostra Galassia.
I punti d'intersezione di questa circonferenza, detta equatore galattico, con

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
l'equatore celeste sono detti nodi; l'asse dell'equatore galattico determina
sulla sfera i poli della Galassia; il polo nord ha per coordinate equatoriali:
α≅ 12 h 40 m , δ= ≅ 28°N.
Considerando un moto diretto sull'equatore galattico guardando dal polo
nord galattico, il passaggio dall'emisfero sud a quello nord celeste viene a
definire il nodo ascendente galattico.
Di qui un nuovo sistema di coordinate uranografiche, quello i cui
elementi sono: l'asse della Galassia, l'equatore galattico ed il meridiano
galattico passante per il nodo ascendente galattico. Similmente alle
coordinate uranografiche eclittiche si hanno le coordinate uranografiche
galattiche:
longitudine galattica (G) e latitudine galattica (g)
2.9 - Moto apparente diurno della sfera celeste. Triangolo di posizione
e sua risoluzione
2.9.1 - Considerazioni generali
Alle nostre latitudini, un osservatore posto in alto mare o al centro di una
grande pianura, col viso rivolto verso sud, vede sorgere gli astri alla sua
sinistra, dal lato dell'est, salire obliquamente sull'orizzonte fino a
raggiungere il meridiano, scendere e tramontare alla sua destra, dal lato
dell'ovest. Ponendo bene attenzione, l'osservatore nota che tutti gli astri
Descrivono in un giorno sidereo (durata di una rotazione della Terra
intorno al proprio asse, pari 23 h 56 m 04.09 s a di tempo medio) delle
traiettorie circolari parallele tra loro, coincidenti coi paralleli di
declinazione e che, ad eccezione del Sole, della Luna e dei pianeti, le
distanze sferiche tra le stelle restano inalterate nel tempo.
Che tutti gli astri in un giorno descrivano sulla volta celeste dei paralleli
di declinazione è una conseguenza della rotazione della Terra intorno al
proprio asse; la costanza nel tempo delle distanze sferiche tra le stelle è
dovuta ,invece, alle loro enormi distanze, tanto da essere considerate punti
fissi sulla sfera celeste. Per la Luna ed i pianeti bisogna considerare
principalmente i loro moti propri; per il Sole è da tenere presente il moto di
rivoluzione della Terra intorno ad esso, per cui viene proiettato in un anno
in punti differenti della sfera celeste.
61

62
MARIO VULTAGGIO
Rappresenti la figura 2.11 la sfera celeste geocentrica per un osservatore
situato in un punto della Terra di latitudineφ = 30 o N .Poiché la Terra ruota
intorno al proprio asse nel senso della freccia f, senso antiorario per un
osservatore situato sul polo nord, apparentemente dalla Terra si vede la
sfera celeste ruotare nel senso della freccia f , senso orario per un
osservatore situato sul polo celeste nord.
Per supporre l'osservatore immobile, occorre sdoppiare la sfera celeste in
due sfere concentriche di uguale raggio: una fissa, quella relativa alle
coordinate locali e l'altra mobile, quella relativa alle coordinate
uranografiche.
Si consideri un astro di declinazione positiva, fisso sulla sfera celeste nel
punto A, per esempio una stella. Per la rotazione apparente della sfera
l'astro descrive il parallelo di declinazione passante per esso secondo il
senso della freccia f; sorge all'orizzonte vero o astronomico nel punto s,
passando dall'emisfero invisibile a quello visibile. Sale sull'orizzonte vero
fino a raggiungere il meridiano superiore nel punto c, passando
dall'emisfero celeste orientale a quello occidentale.
Incomincia, quindi, a scendere fino a tramontare nel punto t, passando
dall'emisfero visibile a quello invisibile. Continua poi a scendere sotto
l'orizzonte e passa al meridiano inferiore nel punto i. In questo istante si ha
per l'astro il passaggio dall'emisfero celeste occidentale a quello orientale e
l'inizio della sua salita, sorgendo di nuovo nel punto s.
Per l'astro di declinazione negativa fisso nel punto B, una stella, (sempre
figura 2.11), il parallelo di declinazione descritto in un giorno sidereo è
quello passante per detto punto, con s',c',t ed ì i punti del sorgere,
passaggio al meridiano superiore, tramonto, passaggio al meridiano
inferiore.
Essendo i due astri in esame fissi sulla sfera celeste nei punti A e B, col
passare del tempo la distanza sferica tra questi sarà sempre la stessa: sarà
costante l'angolo fra le loro direzioni.
Si consideri ora, figura 2.12, la sfera celeste geocentrica relativa ad un
osservatore situato in un punto della Terra di latitudine φ = 30 o S . Sono qui
tracciati i paralleli di declinazione relativi ai percorsi apparenti diurni di
due stelle fisse nei punti C e D (le freccie f ed f’ indicano ristettivamente i
moti di rotazione della Terra e della sfera celeste).

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
Figura. 2.12 - Sfera celeste geocentrica - Osservatore φ = 30°S
63

64
MARIO VULTAGGIO
Figura 2.11 - Sfera celeste geocentrica - Osservatore φ = 30°N
Il Sole, la Luna ed i pianeti, non essendo punti fissi della sfera celeste, in
un giorno sidereo non descrivono esattamente un parallelo di declinazione,
ma una lieve spirale, variando la loro declinazione nel tempo. Questa, però,
per il Sole ed i pianeti può essere considerata costante in un giorno, data la
sua piccola variazione oraria (al massimo le declinazione del Sole varia di
un primo all'ora nelle epoche in cui si trova nelle vicinanze dei punti
equinoziali γ e Ω
2.10 - Astri sorgenti e tramontanti, circumpolare ed anticircumpolari
Per un osservatore situato in un punto della Terra di data latitudine gli astri
non sono tutti sorgenti e tramontanti, descrivendo alcuni di essi, in un
giorno sidereo, paralleli di declinazione situati interamente sopra
l'orizzonte vero (astri circumpolari) o sotto l’orizzonte vero (astri
anticircumpolari).

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
La sfera celeste geocentrica di figura 2.13 è relativa ad un osservatore
situato in un punto dell’emisfero terrestre nord, quella di figura 2.14 si
riferisce invece ad un osservatore situato nell’emisfero terrestre sud.
Su entrambe sono segnati i due paralleli di declinazione tangenti
all’orizzonte vero, che dividono la sfera celeste in tre parti: calotta degli
astri circumpolari, calotta degli astri anticircumpolari e parte di sfera degli
astri sorgenti e tramontanti. Il parallelo di declinazione che limita la calotta
degli astri circumpolari viene chiamato massimo degli apparenti, quello
che limita la calotta degli astri anticircumpolari massimo degli occulti; la
loro declinazione, come può notarsi dalle due citate figure, è uguale a
90 o − φ ; inoltre, quella del massimo degli apparenti ha lo stesso segno
della latitudine, quella del massimo degli occulti ha segno opposto.
Figura 2.13 – Sfera celeste con osservatore nell’emisfero nord – Astri
sorgenti e tramontanti
Facile notare che un astro è sorgente e tramontante per un dato osservatore
se la sua declinazione è minore di quella dei due citati paralleli limiti, cioè:
65

66
MARIO VULTAGGIO
o o
δ p90 − φ ossia δ + φ p90(2.6)
Nelle figure 2.13 e 2.14 gli astri A e B sono sorgenti e tramontanti; l'astro A
ha declinazione dello stesso segno della latitudine, l'astro B di segno
opposto.
Figura 2.14- Sfera celeste con osservatore nell’emisfero sud – Astri
sorgenti e tramontanti
La condizione testè scritta è valida per entrambi gli astri, per cui va così
sintetizzata:
o
δ + φ p 90 (2.7)

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
La somma dei valori assoluti della latitudine e della declinazione dev'essere
minore di 90 o .
Dalle due figure si nota ancora che per essere un astro circumpolare
deve verificarsi:
o
δ + φ f 90 e dello stesso segno e per un astro anticircumpolare:
o
δ + φ f 90 e di segno opposto. L'astro C è circumpolare, l'astro D
anticircumpolare.
Se δ + φ = 90 o e dello stesso segno, l'astro percorre in un giorno sidereo
il massimo degli apparenti; se di segno opposto il massimo degli occulti.
Le condizioni ricavate dipendono eclusivamente, come ben si nota, dalla
declinazione dell'astro e dalla latitudine dell'osservatore. Il parallelo di
declinazione di un astro sorgente e tramontante viene suddiviso
dall'orizzonte astronomico in due parti: arco visibile ed arco invisibile.
L'arco visibile è quello che si trova sopra l'orizzonte astronomico, cioè
nell'emisfero celeste visibile; esso è maggiore di quello invisibile se
latitudine e declinazione sono dello stesso segno.
Si può ancora notare che un astro di declinazione nord sorge in un punto
dell'orizzonte astronomico situato tra l'est ed il nord e tramonta in un punto
situato tra l'ovest ed il nord; se la declinazione dell'astro è sud, il punto in
cui sorge l'astro è situato tra l'est ed il sud e quello in cui tramonta tra
l'ovest ed il sud. L'arco di orizzonte vero compreso tra il punto cardinale
est ed il punto in cui sorge dicesi amplitudine ortiva; l'arco di orizzonte
vero compreso tra il punto cardinale ovest ed il punto in cui tramonta dicesi
amplitudine occasa. Pertanto, se la declinazione dell'astro è nord
l'amplitudine ortiva va contata dall'est verso il nord e l'occasa dall'ovest
verso il nord; se la declinazione è sud le due amplitudini vanno contate
dall'est e dall'ovest verso il sud. In un giorno sidereo le due amplitudini
(ortiva ed occasa) sono uguali se φ e δ rimangono costanti, come può
notarsi dalle citate figure 2.13 e 2.14.
67

68
MARIO VULTAGGIO
2.11 - Sfera celeste retta e parallela
La sfera celeste orientata per un osservatore la cui latitudine è differente da
o o
0 o 90 dicesi obliqua ed è facile comprendere la ragione di questo
aggettivo.
Si consideri ora un osservatore sull'equatore φ = 0. L'asse celeste (v.
figura 2.15) coincide con la linea meridiana, il P cn col punto cardinale nord,
il Pcs con quello sud; inoltre, i punti di mezzocielo superiore ed inferiore
Ms , M i coincidono rispettivamente con lo zenit ed il nadir. La sfera
celeste dicesi retta ed è ovvia questa denominazione. Gli astri sono tutti
sorgenti e tramontanti ed i loro archi visibili sono uguali a quelli invisibili.
Figura - 2.15 - Sfera celeste retta
Si consideri ora la sfera celeste orientata per un osservatore situato su
uno dei poli terrestri; la figura. 2.16 si riferisce ad un osservatore situato
sul polo nord φ = 90 o N .

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
L'asse celeste coincide con la verticale, i poli celesti con lo zenit ed il
nadir, l'equatore celeste con l'orizzonte vero, i paralleli di declinazione con
gli almicantarat e gli orari con i verticali; la sfera celeste dicesi parallela.
Non è possibile l'orientamento in quanto non è definito il meridiano
dell'osservatore; gli astri risultano esclusivamente circumpolari o
anticircumpolari ed il massimo degli apparenti e quello degli occulti
coincidono con l'equatore celeste che a sua volta, come già detto, coincide
con l'orizzonte astronomico. Nella citata figura 2.16 risultano circumpolari
gli astri di declinazione nord, anticircumpolari quelli di declinazione sud. I
percorsi apparenti diurni degli astri fissi sono caratterizzati da un'altezza
costante, pari al valore della declinazione.
Figura 2.16 - Sfera celeste parallela
69

2.12 - Triangolo di posizione
70
MARIO VULTAGGIO
Molte considerazioni possono essere fatte sul moto apparente diurno della
sfera celeste col semplice ausilio di una figura, per esempio le figure. 2.11
e 2.12, e fra queste le seguenti:
• tutti gli astri passano al primo orario, sopra l'orizzonte se la latitudine e
la declinazione sono omonime, sotto se eteronime;
• passano al primo verticale soltanto gli astri la cui declinazione è minore
della latitudine, sopra l'orizzonte se queste due coordinate sono
omonime, sotto se eteronime; l'astro avente declinazione uguale in
segno ed in valore assoluto alla latitudine passa al meridiano celeste
superiore allo zenit, se soltanto in valore assoluto passa al meridiano
celeste inferiore al nadir;
• per gli astri la cui declinazione è maggiore della latitudine sono
importanti i due punti del loro percorso apparente diurno più vicini al
primo verticale, situati simmetricamente rispetto al meridiano celeste.
Questi punti vengono denominati punti di massima digressione,
orientale e occidentale; essi sono situati sopra l'orizzonte se la latitudine
e declinazione sono omonime, sotto se eteronime.
Rappresenti la figura 2.17 la sfera celeste orientata per un dato osservatore
e sia, in un dato istante, A la posizione di un astro. Tracciati per A il
verticale e l'orario, il triangolo sferico avente per vertici lo zenit Z, il polo
celeste elevato (in questo caso il Pcn ) e la posizione dell'astro A, dicesi
triangolo di posizione (triangolo sferico Pcn ZA).
Questa denominazione è giustificata dal fatto che il triangolo dipende per
un dato osservatore dalla posizionedell'astro sulla sfera celeste.
Si noti che gli angoli azimutale (Z) ed al polo (P) dell'astro
rappresentano due angoli di questo triangolo; il terzo angolo viene
chiamato angolo parallattico o angolo all'astro (A).
I lati sono dati dalle distanze zenitale e polare dell'astro e dalla colatitudine
dell'osservatore. A tal proposito è bene ricordare le relazioni:
a) tra l'angolo azimutale e l'azimut:

φ nord
CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
o
⎧a
p 180 Z = N a E
⎨
o
⎩ a f 180 Z = N (360 - a) E
o o
⎧a
p 180 Z = S( 180 −a)
E
φ sud ⎨
o o
⎩a
f 180 Z = S( a−180 ) E
Figura 2.17 – Sfera celeste e triangolo di posizione
b) tra l’angolo al polo e l’angolo orario:
71
(2.8)
(2.9)
o h
t p 180 ( 12 ) PW= t
o h
t f 180 ( 12 ) P
o h
= 360 −t ( 24 − t)
(2.10)
E
c) tra la distanza polare e declinazione:
o
p = 90 −δ
se φe δomomimi
o
p = 90 + δ se φe δeteronimi
(2.11)

d) tra la distanza zenitale e l’altezza:
e) la colatitudine è sempre data da:
72
MARIO VULTAGGIO
o
z = 90 −h
per h positiva
o
z = 90 −h
per h negativa (2.12)
c = 90 −
o φ (2.13)
Il triangolo di posizione lega i due sistemi di coordinate locali, altazimutali
ed orarie.
La figura 2.18 mostra il triangolo di posizione di un astro che in un dato
istante si trova nel punto B della sfera celeste, orientata per un osservatore
situato in una località dell'emisfero terrestre sud.
Se sono costanti la latitudine dell'osservatore e la declinazione
dell’astro, descrivendo questo in un giorno sidereo un parallelo di
declinazione sulla volta celeste, del triangolo di posizione resteranno
invariati due lati: lato polo elevato-zenit (c) e lato polo elevato-astro (p), e
varieranno tutti gli altri elementi. Il triangolo di posizione degenera in un
arco di circonferenza massima quando l'astro si trova al suo passaggio al
meridiano superiore ed inferiore.
Figura 2.18 - Sfera celeste e triangolo di posizione

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
Risulta rettangolo nell'istante del passaggio dell'astro al primo orario o al
primo verticale o alla massima digressione, assumendo un'ampiezza di
90 o in queste circostanze rispettivamente l'angolo al polo, l'angolo
azimutale e l'angolo parallattico.
Infine, il triangolo di posizione risulta rettilatero nell'istante del sorgere e
del tramonto vero dell'astro e quando la sua declinazione o la latitudine
dell'osservatore sono uguali a 0.
Figura 2.19 – Triangolo sferico di posizione e triangolo ortodromico
Non sfugge l'analogia tra il triangolo di posizione e quello ortodromico,
relativo alla navigazione per circonferenza massima tra due punti della
superficie terrestre. Agli elementi del triangolo di posizione: Z, P, A, c, p, z
corrispondono i seguenti elementi del triangolo ortodromico:
'
Ri , Δ λ,
β , c,
c , d (v. figura. 2.19).
Generalizzando, per triangolo di posizione va inteso quel triangolo
sferico avente per vertici l'astro ed i poli di due tra i cinque sistemi di
coordinate trattate; compito principale di
questo triangolo è quello di passare dalle coordinate di uno dei sistemi a
quelle dell'altro.
In navigazione astronomica si ricorre spesso al triangolo di posizione
trattato in questo paragrafo che, come già detto, lega i due sistemi di
coordinate locali; oltre alla trasformazione di coordinate che sarà oggetto
del prossimo paragrafo, questo triangolo permette di risolvere tanti altri
problemi che si presentano nella pratica della navigazione.
73

2.13 - Risoluzione del triangolo di posizione
74
MARIO VULTAGGIO
Con la conoscenza di almeno tre elementi del triangolo di posizione è
possibile, com'è noto, ricavare gli altri. Occorre stabilire i segni alle
funzioni trigonometriche che compaiono nelle formule che saranno
utilizzate , per cui è importante ricordare quanto segue: la latitudine
dell'osservatore deve essere considerata angolo positivo (primo quadrante)
in quanto il suo segno definisce il polo del triangolo (polo elevato); di
conseguenza la declinazione va considerata angolo positivo (primo
quadrante) se ha lo stesso segno della latitudine, altrimenti angolo negativo
(quarto quadrante); gli angoli Z , P ed A variano da 0 a 180°(primo o
secondo quadrante).
Spesso è richiesto il calcolo, per un dato istante e per una data località,
delle coordinate locali altazimutali (h, a) di un astro, conoscendo le sue
simultanee orarie (δ , t); di rado si presenta il caso inverso. Nel primo caso
del triangolo di posizione (v. figura 2.20),considerato per l'istante
dato,sono noti:
lato P Z = c
da
el
Figura 2.20 – triangolo sferico di posizione
calcolare :
lato ZA
lato P A = p
= z
per ottenere, poi, l'altezza h e l'azimut a.
,
el
e
,
angolo
)
angolo ZP A = P
el
el
)
P ZA = Z

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
Applicando la relazione fondamentale di trigonometria sferica (o del
coseno) e quella di Vieta (o delle cotangenti), si ha:
da cui:
cos z = cos c cos p + sin c sin p cos P
(2.14)
cot p sin c = cosc
cos p + sin p cot Z
(2.15)
sinh = sinφ
sinδ
+ cosφ cosδ
cos P
(2.16)
cot Z = cosϕ(tanδ
cosecP
− tanφ
cot P)
(2.17)
Casi particolari di questa trasformazione di coordinate si hanno per φ = 0 ,
δ = 0, P = 90°, P = 0 e 180°.
Quando φ = 0 , conviene assumere per polo del triangolo di posizione
quello relativo all'emisfero celeste dell'astro (definito dal segno della sua
declinazione); di qui la declinazione va considerata angolo positivo (primo
quadrante) nello stabilire i segni delle funzioni trigonometriche. Le (2.16) e
(2.17) si semplificano in:
Con δ = 0 si ottiene:
Se P ˆ = 90° si ha:
sinh = cosδ
cos P
cot Z = tanδcscP
sinh = cosφ
cos P
cot Z = −sinφ
cot P
sinh
= sinφsinδ
cot Z = cosφ
tanδ
75

76
MARIO VULTAGGIO
Quando P ˆ = 0 , astro al passaggio al meridiano celeste superiore, la (2.14)
diventa, dopo aver sostituito all'altezza h la distanza zenitale z:
da cui:
cos z = sinφsinδ
+ cosφ
cosδ
= cos( φ − δ ) = cos( δ −φ
) (2.18)
z = φ − δ , z = δ −φ
e la (2.15) porta alla indeterminazione:
cot Z=infinito - infinito
Si conviene di ricavare z dalla differenza algebrica:
z = φ − δ
(2.19)
considerando positive le latitudine e declinazioni nord, negative quelle sud.
Così operando, il segno della (2.19), cioé il segno di z, definisce l'importo
dell'azimut: se z è positiva l'azimut è uguale a 180°, se negativa l'azimut è
uguale a 0; ciò può essere verificato con semplici grafici; in questo modo si
viene a superare l'inconveniente della indeterminazione di Z data dalla
formula (2.17).
Per ottenere l'altezza h dell'astro, la distanza zenitale ricavata dalla
(2.19) dovrà essere considerata sempre angolo positivo, in accordo con la
sua definizione: arco di verticale passante per l'astro compreso fra lo zenit e
l'astro.
Se P = 180°, l'astro è al suo passaggio al meridiano celeste inferiore. La
(2.14) in questo caso diventa:
ed ancora:
cos z = sinφsinδ
− cosφ
cosδ
(2.20)

cos z = cos
da cui
[ 180 − ( φ + δ ) ]
CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
cos z = −(cosφ
cosδ
− sinφsinδ
) = −cos(
φ + δ )
z = 180 − ( φ + δ )
77
(2.21)
La (2.17) porta allo stesso risultato di indeterminazione.Limitandosi
soltanto ai casi di astri osservabili (astri circumpolari, φ e δ dello stesso
segno), la (2.21) va considerataaritmetica: la somma della latitudine e della
declinazione va sottratta a 180°; i segni di φ e δ definiscono l'azimut: se
positivi l'azimut è uguale a 0, se negativi a 180°.
Non sfugge la possibilità di poter determinare la latitudine della località
mediante la (2.19) e la (2.21), conoscendo l'altezza e la declinazione
dell'astro nell'istante del suo passaggio al meridiano superiore ed inferiore.
Dalla (2.19) si ricava:
φ = δ + z
(2.22)
relazione sempre algebrica, con z positiva se l'azimut dell'astro è 180 (astro
osservato al suo passaggio al meridiano superiore con la faccia rivolta a
sud), negativa se l'azimut è 0 (astro osservato con la faccia rivolta al nord).
Se la declinazione è omonima e maggiore della latitudine, il passaggio al
meridiano superiore è visto in direzione del punto cardinale omonimo alle
due coordinate, negli altri casi in direzione del punto cardinale opposto.
Dalla (2.21) si ricava:
φ = 180 − ( δ + z)
(2.23)
Occorre qui ricordare che solamente gli astri circumpolari sono visibili
al loro passaggio al meridiano inferiore; per questi astri la (2.23) dev’essere
considerata aritmetica, assumendo per la latitudine lo stesso segno della
declinazione.
Si fa di nuovo rilevare che tutto quanto qui trattato circa il passaggio di
un astro al meridiano, superiore ed inferiore, può essere facilmente
giustificato mediante un semplice disegno della sfera celeste locale.

78
MARIO VULTAGGIO
Le coordinate altalzimutali (h, Az) si possono anche ricavare per mezzo
della matrice di rotazione introducendo due sistemi di coordinate
rettangolari e la matrice di rotazione.
Figura 2.21 – Triangolo di posizione e matrice di rotazione
Sia A un astro di coordinate locale-orarie(t, δ) e definito dalle seguenti
coordinate rettangolari rispetto alla terna di assi Oxyz: l’asse Oz passante
per il Pel ,l’asse Ox passante per il Ms e l’asse Oy ruotato di 90 nel senso
orario ( e coincidente con la direzione W); la terna di riferimento OXYZ
per le coordinate altazimutali avrà l’asse OZ coincidente con lo zenit, l’asse
OX coincidente con la linea N-S e rivolto verso Sud e l’asse OY coincidente
con Oy. La figura 2.21 schematizza le due terne di riferimento associate ai
due sistemi di coordinate.
L’astro A nei due sistemi è rappresentato dal vettore:
⎡x
⎤ ⎡sin
p cost
⎤
A − O =
⎢
y
⎥
=
⎢
p t
⎥
⎢ ⎥ ⎢
sin sin
⎥
⎢⎣
z⎥⎦
⎢⎣
cos p ⎥⎦
Oxyz
,
⎡X
⎤ ⎡sin
z cos A
⎢
A − O =
⎢
Y
⎥
⎢ ⎥
= ⎢sin
z sin A
⎢⎣
Z ⎥⎦
⎢
⎣ cos z
'
z
'
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
OXYZ
(2.24)

CAPITOLO 2 – COORDINATE DEGLI ASTRI E MOTO DIURNO
con l'azimut contato da Sud nel senso orario (v. figura 2.21) e le coordinate
dell'astro espresse in coordinate polari.
Ruotando il primo sistema Oxyz attorno all'asse Oy in modo da
trasportare l'asse Oz sull'asse OZ si ha:
⎡X
⎤ ⎡x⎤
⎡cos c 0 − sin c⎤⎡sin
p cost
⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=
⎢
⎥⎢
⎥
⎢
Y
⎥
= Ay
( c)
⎢
y
⎥ ⎢
0 1 0
⎥⎢
sin p sin t
⎥
(2.25)
⎢⎣
Z ⎥⎦
⎢⎣
z⎥⎦
⎢⎣
sin c 0 cos c ⎥⎦
⎢⎣
cos p ⎥⎦
Lo sviluppo del prodotto matriciale da:
'
sin z cos A = cosc
sin p cost
− sin c cos p
z
'
sin z sin Az
= sin p sin t
cos z = sin csin
p cost
+ cosc
cos p
dalle quali si ricavano le seguenti relazioni:
sinh = sinφ
sinδ
+ cosφ
cosδ
cost
(2.26)
tan Az '
sin p sint
= −
sin ccos
p − cosc
sin pcost
79
(2.27)
E' facile ricavare la stretta corrispondenza delle relazioni ricavate con
quelle precedentemente presentate per la risoluzione del triangolo di
posizione (relazioni 2.14 e 2.15).