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CAPITOLO 4
L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
83
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
4.1 –La curva di rifrazione geodetica
Si consideri (v. figura 4.1) un punto A della superficie terrestre ed O l'
occhio dell' osservatore di nota elevazione e; si consideri lo spessore d'
aria tra il punto O ed il suolo composto da strati sferici concentrici, di
spessore infinitesimo e caratterizzati da densità decrescente con la quota.
Figura 4.1 – Percorso del raggio luminoso
La traiettoria descritta dal raggio luminoso proveniente da A (all’interno
dell’atmosfera) e diretto ad O, a seguito di rifrazioni nell' attraversare i
vari strati (cinque in figura 4.1), risulta rappresentata da una linea spezzata
che, per l’esiguo spessore degli strati, può considerarsi una curva

84
MARIO VULTAGGIO
nota quale curva di rifrazione geodetica, analoga a quella relativa alla
traiettoria dei raggi luminosi provenienti dagli astri che prende il nome
di curva di rifrazione astronomica. Le curve sono situate nei piani verticali
dei punti terrestri o degli astri e le loro concavità sono generalmente
rivolte verso la superficie terrestre.
Questo fenomeno dell’ottica fisica, che va sotto il nome di rifrazione,
è regolato da due note leggi di Descartes e conduce al principio di Fermat:
La traiettoria seguita dal raggio luminoso è caratterizzata dal minimo
tempo impiegato escludendo il tratto rettilineo tra A ed O, il raggio
luminoso segue per il fenomeno della rifrazione la traiettoria di minimo
percorso, data proprio dalla curva di rifrazione ABO (v. figura.
4.2).
Figura 4.2 – Percorso rifratto del raggio luminoso
Si ha rifrazione anche nella propagazione delle onde elettromagnetiche
che differiscono da quelle luminose per la diversa lunghezza d'onda. Il
raggio di curvatura della curva di rifrazione geodetica nel punto O può
ritenersi espresso dalla relazione:
R + e
ρ = cosec
zr
(4.1)
K o
che, per la piccolezza dell'elevazione e rispetto al raggio terrestre R, diventa:
R
ρ = cosec
zr
(4.2)
K
o

85
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
con zr la distanza zenitale rifratta del punto A e Ko coefficiente di rifrazione
geodetica nel punto O, al suolo Ko è dato da:
K
o
⎟ ⎛ 1 1 dT ⎞
= Rα
⎜ +
(4.3)
⎝ l To
dh ⎠
dove α è la costante di rifrazione, dipendente dalle condizioni fisiche
dell' aria nel punto O, l è l'altezza di pressione (l’altezza dell' atmosfera
considerata a densità costante, l=8 km), To la temperatura assoluta al
suolo e dT/dh il suo gradiente, sempre nel punto O.
Il coefficiente di rifrazione geodetica ed, in modo speciale, il gradiente
termico nei bassi strati dell' atmosfera caratterizzano la curva di rifrazione
geodetica nel punto d'osservazione; infatti, questa può degenerare
in una retta, volgere la concavità al cielo ed assumere anche un raggio
di curvatura uguale a quello terrestre. Nel primo caso l' orizzonte marino
od apparente coincide con quello geometrico (vedi paragrafo successivo),
nel secondo si vedono gli oggetti capovolti e nel terzo si ha la
possibilità di vedere, con atmosfera trasparente, oggetti situati in qualsiasi
punto della superficie terrestre, teoricamente anche all'antipodo:
quest' ultimo fenomeno è detto miraggio.
Considerando nel punto O condizioni fisiche medie dell' atmosfera
caratterizzate da:
To = 273 ° K , α = 0.
000292 ,
dT
= −5.
6/
1000
dh
°
ed essendo:
R = 6371000 m , l = 8000 m
[ ] [ ]
[ C / m]
il coefficiente Ko assume il valore di circa 0.16 noto quale coefficiente
medio di rifrazione geodetica
La distanza zenitale rifratta zr del punto A può ritenersi uguale a 90°,
per cui la relazione del raggio di curvatura diventa:
R
ρ =
(4.4)
K
e, per essere Ko = 0.16 con condizioni fisiche medie dell' aria nel punto
d' osservazione, si ha:
o
ρ = 6 ÷ 7R
(4.5)
cosicché il raggio di curvatura della curva di rifrazione geodetica nel
punto O può ritenersi uguale a circa sei-sette volte quello terrestre; inoltre,
trattandosi di piccoli valori dell'angolo ω (angolo al centro della

86
MARIO VULTAGGIO
Terra tra la verticale dell' osservatore ed il raggio terrestre relativo al
punto A), può considerarsi circolare l' arco di curva ABO di figura 4.2.
Dalla (4.3) risulta:
R
K o = (4.6)
ρ
per cui su qualche testo il coefficiente Ko viene definito quale rapporto
tra il raggio terrestre e quello della curva di rifrazione geodetica; questa
definizione non può .essere accettata dato che è valida soltanto nel caso
particolare di zr = 90°.
L' osservatore vede il punto A, sempre in figura 4.2, provenire sempre
secondo la direzione della tangente t alla curva nel punto O e l' angolo
che questa tangente forma col tratto rettilineo AO rappresenta l'
importo di rifrazione geodetica, dato da:
K o
r = ω
2
relazione nota quale legge di Biot, ,valida soltanto per piccoli valori di
ω ; questa condizione vale anche per l' attendibilità della (4.2).
4.2- Orizzonte geometrico
Non considerando la presenza dell’atmosfera, essendo rettilinei i percorsi
dei raggi luminosi, l' osservatore posto in O, con elevazione e, ha
per limite alla sua vista la circonferenza minore c, situata in un piano orizzontale,
detta orizzonte geometrico. Questa circonferenza viene definita
dalle visuali condotte dal suo occhio (punto O) e tangenti ai vari
punti della superficie terrestre, generatrici di un cono retto con il punto
O nel suo vertice. L’angolo tra queste ed il piano orizzontale passante
per O è detto depressione geometrica (o vera) dell' orizzonte e rappresenta
anche il raggio dell' orizzonte geometrico, come ben risulta in figura
4.3. Dal triangolo THO si ha:

Figura 4.3 – Orizzonte geometrico
tan I
=
=
⎛
⎜1
+
⎝
HO
HT
e
R
⎞
⎟
⎠
2
=
87
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
( R + e)
− 1 =
R
2
2
⎛ e ⎞
⎜ ⎟
⎝ R ⎠
− R
2
e
Trascurando nella 4.7 il termine del secondo ordine si ottiene:
2
R
Per la piccolezza dell’angolo I può ritenersi:
ed essendo
2
+
2
2e
R
(4.7)
2e
tan I = (4.8)
R
tan I = sin I = I'sin1'
, I'=
sin1' = 0.
00029 , R ≅
1
sin1'
6371000 [ m]
si ottiene l’espressione finale dell’orizzonte geometrico:
2
R
i = 1.
93 e
(4.9)
e

88
MARIO VULTAGGIO
con la depressione vera I espressa in primi d' arco e l' elevazione e in
metri; di conseguenza, il raggio d dell' orizzonte geometrico, espresso
in miglia, risulta:
[ miglia]
con l' elevazione e espressa sempre in metri.
d = 1. 93 e
(4.10)
4.3- Orizzonte marino
Per la presenza dell'atmosfera, il raggio luminoso proveniente da un
punto della superficie terrestre, ad esempio dal punto A della figura 4.4,
giunge all'occhio dell’osservatore O senza essere fermato da questa, solamente
se l’angolo tra la tangente a alla curva di rifrazione geodetica
nel punto A ed il raggio terrestre relativo allo stesso punto è maggiore di
90°. Quando quest' angolo è proprio uguale a 90°, nel punto B della figura,
questo punto rappresenta il limite di visibilità ed è visto
dall’osservatore provenire secondo la direzione della tangente t alla
curva di rifrazione nel punto O. L'angolo che questa tangente forma col
piano orizzontale passante per O è detto depressione apparente e viene
indicato con la lettera i.
Figura 4.4 – Orizzonte marino
Considerando in tutte le direzioni identiche condizioni fisiche degli strati
d’aria prossimi alla superficie terrestre, la circonferenza minore c’

89
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
passante per tutti i punti analoghi al punto B, di raggio sferico CB (CB
= D), rappresenta l' orizzonte marino apparente.
In figura 4.5, che non rispetta le proporzioni, S rappresenta il centro
dell’arco di curva di rifrazione geodetica BO considerata circolare, il cui
raggio è dato dalla (4.4), per cui SB = ρ . Dal triangolo STC, indicando
con b la distanza SC, ed applicando il teorema di Carnot, si può scrivere:
Ricordando che:
tiene:
da cui:
b
=
2 2
= ( ρ − R)
+ R − 2(
ρ − R)
Rcos(
π − D)
2 2
( ρ − R)
+ R + 2(
ρ − R)
Rcos
D
2
Figura 4.5 – Orizzonte marino
=
(4.11)
2 D
cos D = 1−
2sin
,sostituendo e semplificando si ot-
2
2
ρ − b
2
= 4
( ρ − R)
Rsin
( ρ − b)(
ρ + b)
= 4(
ρ − R)
sin 2
D
=
2
2
D
2
Rsin
( ρ − b)(
ρ + b)
4R(
ρ − R)
2
D
2

Con sufficiente approssimazione si può porre:
ρ + b = 2 ρ,
ρ - b = e, ρ = 7R
per cui si può ottenere la seguente relazione:
sin 2
90
MARIO VULTAGGIO
D 7 e
= (4.12)
2 12 R
che per la piccolezza dell' angolo D può porsi ancora
per cui la (4.12) diventa:
sin
2
D
=
2
( D')
4
2
sin
2
1'
1 7
D' = e = 2.
08 e
(4.13)
sin1'
3R
con D raggio dell'orizzonte marino espresso in miglia ed e l'elevazione
dell’occhio dell’osservatore in metri. Sempre dalla figura 4.5 risulta:
TCˆ
S = TOˆ
S + CSˆ
O e per essere l’angolo CSO ˆ molto piccolo, può ritenersi
TCˆ
S ≅ TOˆ
S .Ma l’angolo TOˆ S è uguale ad i (angoli i cui lati sono
tra loro perpendicolari), per cui: T Cˆ
S = i . Dal triangolo STC per la relazione
dei seni si ha:
sinTCˆ
S ρ − R sin i 6
= = =
sin STˆ
C b sin D 7
per essere
ρ = 7R, b ≅ ρ ≅ 7R e sin i = i'
sin1'
, sin D = D'
sin1'
si ottiene la seguente relazione:
i = 1.
78 e
(4.14)
con i in primi ed e in metri.
Il valore di i fornito dalla (4.14) è noto quale depressione media apparente
dell’orizzonte, perchè corrisponde a condizioni fisiche medie
dei bassi strati atmosferici attraversati dai raggi luminosi provenienti
dalla superficie marina, per le quali il coefficiente Ko = 0.16 può ritenersi
abbastanza attendibile; lontano dalle predette condizioni il valore di i

91
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
può risultare notevolmente diverso da quello dato dalla (4.9); valori anormali
si hanno più frequentemente con calma assoluta di vento (fenomeno
particolarmente presente in alcuni mari, quali il Mar Rosso, il
Golfo Persico ed il Mare del Nord). Alcuni, poi, fanno dipendere il coefficiente
di rifrazione geodetica dalla differenza fra le temperature dei
bassi strati dell'aria e dell'acqua marina superficiale. Infine, l’ipotesi
della uniformità in azimut delle condizioni fisiche dei bassi strati
dell’atmosfera può essere accettata soltanto se si è in mare aperto, lontani
dalle coste, risultando di conseguenza circolare l' orizzonte marino
o apparente. Quanto fin qui detto sulla depressione dell’orizzonte i è
molto importante, dato che le altezze degli astri vengono misurate da
bordo rispetto all'orizzonte marino, per essere poi riferite al piano orizzontale
passante per l' occhio dell' osservatore. Un valore anormale di i
inficia di conseguenza la precisione della posizione astronomica calcolata.
Tavole relative alle relazioni (4.13) e (4.14) sono riportate nelle varie
pubblicazioni nautiche in dotazione a bordo (v. Tavole Nautiche
dell’Istituto Idrografico).
4.4-Orizzonte radar
Come già accennato, anche le onde radio subiscono rifrazione lungo il
loro percorso e per quelle utilizzate dal radar si può considerare Ko=
0.25; tenendo poi presenti le modeste distanze in gioco, può considerarsi
valido tutto quanto fin qui esposto per le onde luminose; la (4.4) dà in
questo caso ρ = 4R
.
Nella figura 4.6, il punto O rappresenta l’antenna del radar avente elevazione
h sul livello medio del mare (dal punto C della figura) e la circonferenza
minore c’ indica il limite della calotta sferica radar -visibile
rappresentando quindi l’orizzonte radar. Dalla (4.6) sia ha:
sin 2
D 2h
=
2 3R
che per considerazione già svolte precedentemente può essere espressa
nel seguente modo:
1 8
D' = h = 2.
22 h
(4.15)
sin1'
3R

92
MARIO VULTAGGIO
con D, raggio dell’orizzonte radar, espresso in miglia e l'altezza h dell'
antenna in metri.
Figura 4.6 – Orizzonte radar
4.5- Distanze con misure di angoli orizzontali
Siano ρ 1 e ρ 2 (v. figura 4.7) i rilevamenti polari del punto A, misurati
negli istanti tl e t2 dalla nave N, in moto con prora e velocità note; supponendo
nulli gli angoli di deriva e di scarroccio (Pv = Rv). Queste misure
angolari possono essere effettuate sia per mezzo dell’indicatore di
angoli del PPI (Plan Position Indicator) del radar di bordo oppure con
grafometro sistemato sul lato del ponte di comando di una nave. In entrambi
i casi il tracciamento dei rilevamenti polari dell’oggetto osservato
richiede la loro trasformazione da rilevamenti polari, riferiti al piano
longitudinale della nave, a rilevamenti veri utilizzando la ben nota relazione:
( ± ρ)
Ril P +
(4.16)
v
= v

P R
v v
Ν T
d T
ρ 2
Ν 2
ρ 2
93
m
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
1
Figura 4.7 – Distanza con rilevamenti polari
Noto il percorso m effettuato tra i due istanti:
d
ρ 1
A
( t t )
m = v −
è possibile calcolare la distanza d della nave dal punto A all' istante della
misura del secondo rilevamento ed anche la minima distanza dallo
stesso punto, detta distanza al traverso (dT) nave in NT da cui il punto A
viene rilevato per ρ = 90°
.
Dal triangolo piano N1N2A, applicando la relazione dei seni, si ricava:
( ) m
d
sin ρ1
= (4.17)
sin ρ 2 − ρ1
e dal triangolo rettangolo N2NTA si ottiene:
d T
2
1
ρ 1
Ν
d
sin ρ sin ρ
= sin ρ 2 =
(4.18)
sin
( ) m
1 2
ρ − ρ
Se ρ 2 = 2ρ 1 , il triangolo N1N2A è isoscele e le relazioni (4.17) e (4.18)
diventano rispettivamente:
d = m , dT
= msin
ρ
Con ρ 1 = 22. 5°
, ρ 2 = 45°
(metodo delle due quarte) si ha
d = m,
dT
= 0,
707m
; con ρ 1 = 45° , ρ 2 = 90°
(metodo del 45 e 90) si ha
che dT= m; in questo secondo caso la minima distanza è uguale al per-
2
1
2
N

94
MARIO VULTAGGIO
corso effettuato tra gli istanti delle misure dei due rilevamenti, nota però
solamente quando la nave è al traverso di A(NT).
Indicando con mT il percorso da compiere per raggiungere NT a partire
dall' istante della misura del secondo rilevamento polare, dal triangolo
rettangolo N2 NT A si ricava:
Dalla (4.17), ponendo ρ 2 − ρ1
= Δρ
si ha:
mT = d cos ρ 2
(4.19)
m m
sin Δ ρ = sin ρ1
= sin ρ
d d
cosicché la variazione del rilevamento polare diminuisce al diminuire di
ρ ed all’aumentare della distanza dal punto. Questa ultima proprietà
suggerisce una procedura da seguire quando si osservano due misure
simultanee: per evitare una significativa variazione dei rilevamenti fra
due osservazioni consecutive occorre osservare sempre, come prima
osservazione, l’oggetto più lontano e di angolo (ρ) più piccolo.
La (4.18) puoi essere così trasformata:
d
m sin ρ sin ρ
1 2
T = =
(4.20)
sin ρ 2 cos ρ1
− cos ρ 2 sin ρ1
cot ρ1
− cot ρ 2
Ponendo nella (4.20)
m
1
ρ 2 − cot ρ = si ha: dT = Km
K
cot 1
per cui la distanza al traverso risulta uguale al prodotto di K per il percorso
effettuato tra gli istanti delle misure dei due rilevamenti.
E’ possibile trovare una serie di angoli polari ρ 1 , ρ 2,
ρ3
,..... ρ n tali che la
differenza delle cotangenti di due di essi consecutivi sia uguale ad una
1
costante ; tale serie è chiamata serie di rilevamenti determinati o se-
K
rie di Troub. Si noti che per un dato valore di K sulla direzione della
prua sono uguali i vari percorsi parziali relativi a due rilevamenti successivi
della serie.
Se i rilevamenti ρ 1, ρ 2 di figura 4.7 sono rilevamenti della serie, si ricava:

T
T
95
i
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
m = d cot ρ = Kmcot
ρ
(4.21)
con i l’indice del generico rilevamento polare della serie; fissato il valore
di K si possono ricavare i valori degli angoli polari della serie;di seguito
sono elencati i rilevamenti polari della serie di Troub per K = 1 e
K = 2. Nelle tabelle I e II ed in corrispondenza di ciascun rilevamento è
riportato sia il valore della cotangente ed la distanza ancora da effettuare
per giungere al traverso del punto rilevato espressa in termini del percorso
m fra due rilevamenti polari successivi della serie.
Scafo affondato
N T
N 4
i
ρ 3
N 3
ρ 2
Secca
N 2
Figura 4.8 – Serie di rilevamenti polari
Tabella I e II – Rilevamenti polari della serie di Troub per K=1 e K=2.
K=1
ρ cotan mT
18.5° 3 3m
26.5° 2 2m
45° 1 M
90° 0 0
ρ 4
ρ 1
N 1
K=2
ρ cotan mT
18.5° 3 6m
22° 2.5 5m
26.5° 2 4m
34° 1.5 3m
45° 1 2m
63° 0.5 m
90° 0 0

96
MARIO VULTAGGIO
Si consideri, ora, la misura dei due rilevamenti polari 1 2 ,ρ ρ in presenza
di una corrente nota che allontana la nave dalla costa (v. figura 4.9).
R v
Pv
Scafo affondato
N T
Corrente
A
ρ 4
N 4
ρ 3
N 3
ρ 2
Secca
Figura 4.9 – Serie di rilevamenti polari con navigazione in presenza
di corrente
La distanza d dal punto A all'istante del secondo rilevamento è data in
questo caso da:
d
2
( )
( ) m
ρ1
+ lder
ρ − ρ
2
1
N 2
ρ 1
N 1
sin
= (4.22)
sin
e la minima distanza dallo stesso punto, segmento di perpendicolare abbassata
da A sulla direzione della rotta, indicata ancora con dT risulta
d d sin ρ + l , relazione che per la (4.17) diventa:
T
= 2
( )
der
d
T
( ρ1
+ lder
) sin(
ρ 2 + lder
)
sin(
ρ − ρ )
sin
= m
(4.23)
Nel punto NT di minima distanza il rilevamento polare di A risulta ugua-
90 ° − l . Il percorso N2NT, indicato lo stesso con mT è dato da:
le der
T
2
1
( l )
m d cos ρ +
(4.24)
= 2
Se la corrente avvicina la nave alla costa l' angolo di deriva lder va sottratto
nelle relazioni (4.22), (4.23), (4.24).
der

97
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
4.6- Altre utilizzazioni dei rilevamenti polari
I rilevamenti polari, oltre che per determinazioni di distanze, vengono
impiegati anche per:
• ottenere il rilevamento rispetto alla linea meridiana (l’azimut);
• orientare la nave secondo una data prora magnetica;
• passare al traverso di un punto della costa ad una predeterminata
distanza;
• individuare la presenza di una corrente e determinare l' angolo d i
deriva.
Nota la prora vera, il rilevamento rispetto alla direzione del nord (cioè
l'azimut) è dato dalla prima delle relazioni (3.10) oppure dalla (4.16):
Ril v
= Pv + ( ± ρ )
considerata algebrica quando ρ è misurato nel sistema semicircolare.
Nell' effettuare la compensazione delle bussole magnetiche occorre
orientare la nave, situata in una posizione nota, secondo date prore magnetiche.
Conoscendo il rilevamento magnetico di un punto noto della
costa rispetto alla posizione della nave, dalla relazione (4.16):
ρ = Rilm − Pm
(4.25)
si ricava il rilevamento polare secondo il quale deve essere rilevato al
grafometro il punto della costa per fare assumere alla nave la prora magnetica
stabilita. Basta, pertanto, orientare l' alidada del grafometro per
il rilevamento polare ottenuto e ruotare la nave fino a collimare il punto.
Figura 4.10 – Rilevamento polare

98
MARIO VULTAGGIO
Il rilevamento magnetico del punto si ottiene togliendo algebricamente
la declinazione magnetica dal rilevamento vero dedotto dalla carta nautica.
S' immagini ora di conoscere in un dato istante la distanza d della nave
N (vedi fig. 4.10) dal punto noto A della costa. Stabilendo di voler
passare alla distanza dT (distanza di sicurezza), è possibile ottenere dal
triangolo ANNT il rilevamento polare del punto che definisce in N la
prora da seguire:
sin ρ =
(4.26)
d
per cui la detta prora sarà poi ottenuta dalla differenza algebrica
P b = Rilb
− ρ dopo aver misurato il Rilb alla normale.
Per individuare la presenza di una corrente e determinare l’angolo di
deriva occorrono almeno tre rilevamenti successivi della serie di Troub.
Dalla figura 4.11 si nota che se c’è deriva (PV ≠ RV), i percorsi parziali
tra gli istanti di misura dei successivi rilevamenti della serie non sono
uguali e precisamente vanno diminuendo se la corrente è diretta verso la
costa, aumentando se diretta verso il largo. Ciò dal fatto che i rileva-
' ' '
menti ρ 2 , ρ3
, ρ 4 , sono misurati nei punti N 2,
N3,
N4,......
, della rotta vera
'
''
''
''
R V (corrente diretta verso la costa.) e nei punti N 2 , N 3 , N 4 ,..... della rotta
RV (corrente diretta verso il largo). Pertanto, detti Δ t1, Δt2
gli intervalli
di tempo rispettivamente tra gli istanti di misura di ρ 1, ρ 2 e ρ3, ρ 4 si
possono verificare tre casi:
• t1 = Δt2
Δ : non esiste corrente oppure questa è diretta per prua o
per poppa;
Δ t1 > Δt
: la corrente è diretta verso la costa o verso il punto osservato;
Δ t1 < Δt
la corrente è diretta verso il largo o allontana la nave
dall’oggetto osservato.
• 2
• 2
d T

N1
N’ 2
N2 N’’ 2
N’’ 3
N’ 3
N 3
N’’
4
99
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
N’ 4
N 4
A
R’’ v
Figura 4.11 – Rilevamenti polari
I casi contemplati negli ultimi due punti si ottengono da considerazioni
geometriche procedendo al calcolo della deriva e velocità effettiva della
nave costante.
' ' '
Dai due triangoli AN 1N 2 e AN 2 N 3 , caso di corrente verso la costa, si
ricava per la relazione dei seni:
( ρ1
− lder
)
( ρ − ρ )
' ' sin
AN2
= N1N
2
sin 2 1
per cui dalla uguaglianza risulta:
sin
sin
( ρ1
− lder
)
( ρ − ρ )
2
1
sin
•
sin
e
AN
'
2
= N
'
2
N
' '
( ρ3
− ρ2
) N2
N3
VΔt2
= =
( ρ ) '
3 − lder
N N VΔt1
1
2
'
3
R v
R’ v
sin
sin
P v
( ρ3
− lder
)
( ρ − ρ )
3
2
(4.27)
con V la velocità effettiva della nave. Il primo membro, dopo aver sviluppato
e diviso numeratore e denominatore per
e considerato che
si ha:
sin ρ sin ρ sin ρ sin l
1
1
2
2
cot ρ − cot ρ = cot ρ − cot ρ
3
2
dr
3

cot l
cot l
der
der
− cot ρ1
Δt
==
− cot ρ Δt
Scomponendo:
cotl
der − cot ρ1
− ( cotl
der − cot ρ3
) Δt2
− Δt1
cot ρ3
− cot ρ1
= =
cotl
der − cot ρ3
Δt1
cotl
der − cot ρ3
ed essendo: ρ − cot ρ = 1 facilmente si ricava:
cot 3
1
Δt
cot ρ
100
3
2
1
MARIO VULTAGGIO
(4.28)
(4.29)
1
lder = + cot 3
(4.30)
Δt2
− Δt1
''
''
''
Seguendo un analogo procedimento per i triangoli AN 1N 2 e AN 2 N3
caso
della corrente diretta verso il largo, si ricava:
Δt
cot ρ
1 lder = − cot 3
(4.31)
Δt2
− Δt1
Evidentemente in quest’ultimo argomento trattato sono considerati costanti
i parametri dei moti della nave e della corrente.
4.7- Distanze con misure di angoli verticali
Gli oggetti rilevati ed i punti notevoli riconosciuti dal navigante possono
essere utilizzati per determinare la loro distanza dall’osservatore
stesso. La figura. 4.12 rappresenta un possibile scenario all’interno di
un orizzonte associato ad un osservatore O, avente elevazione e sul livello
del mare; in essa sono rappresentati oggetti (oggetti che si trovano
all’interno dell’orizzonte: navi,boe, isole, ecc); lo scenario, inoltre, include
al limite del suo orizzonte apparente, l' estremità B dell'oggetto K
(per esempio, un faro) di nota altezza h.
In questa situazione la traiettoria dei raggi luminosi che giungono in
O provenienti da K riesce tangente alla superficie terrestre nel punto B,
punto limite per gli orizzonti apparenti di O e di K; di qui la distanza
dell'oggetto K dall' osservatore è data da d = CA , somma dei raggi dei
due orizzonti: d 1 = CE = CB e d = BA ; per la (4.13)
con e ed h in metri e d in miglia.
2
( e h )
d = 2 , 08 +
(4.32)

101
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
Figura 4.12 - Distanza di oggetti interni ed esterni all’orizzonte
dell’osservatore O
In pratica l’estremità B, per essere ben vista da O, deve essere un pò alta
sull' orizzonte; ciò comporta che l’oggetto K è visto da O ad una distanza
d’ leggermente inferiore a d, ottenuta ponendo nella (4.32) il coefficiente
2.04 al posto del coefficiente 2.08:
( e h )
'
d = 2,
04 +
(4.33)
La fig. 4.12 dà anche l' idea della distanza alla quale un oggetto di nota
elevazione, per esempio la costa, viene avvistato da un radar avente
l'antenna ad una determinata altezza sul livello medio del mare. Considerando
nel punto O l'antenna e tenendo presente la (4.15), la distanza
CD è data da:
( e h )
d = 2 . 22 +
(4.34)
con e ed h le altezze in metri sul livello del mare rispettivamente dell'
antenna e dell' oggetto D; in questo caso, la distanza d (in miglia) è nota
quale portata geografica del radar.
Il valore fornito dalla (4.34) è soltanto indicativo per aver assunto un
coefficiente medio di rifrazione per le radioonde emesse dal radar, coefficiente
che, com’è noto, dipende dalle condizioni fisiche degli strati di
aria interessati alla propagazione radioelettrica ed in modo speciale dal
gradiente termico. Inoltre, la portata d aumenta con la temperatura dell'aria
più elevata di quella del mare; a grandi distanze essa risente delle

102
MARIO VULTAGGIO
prestazioni dell'apparato, della natura del bersaglio e della potenza emessa.
Caso particolare si ha quando l’oggetto (v. figura. 4.13) F di nota altezza
h, è situato tutto dentro l' orizzonte apparente dell' osservatore O.
In questo caso l’osservatore può misurare la sua altezza angolare per
mezzo di un angolo verticale α per mezzo di un sestante. In questa situazione,
per semplicità di calcolo, si considera piana la superficie terrestre
nell'intorno dell' oggetto, associato al segmento AF e rettilineo il
percorso dei raggi luminosi. La misura effettuata individua l' arco di circonferenza
FOA da tutti i punti del quale l'oggetto F viene misurato secondo
l' angolo α (v. figura 4.14).
Figura 4.13 - Distanza di oggetto interno all’orizzonte
dell’osservatore O
Se si trascura, poi, l'elevazione e dell’occhio dell' osservatore, questi
deve essere considerato nel punto C1 per cui la sua distanza dall' oggetto
è data da:
C A = d = hcotα
(4.35)
1
Figura 4.14 - Distanza di oggetto interno all’orizzonte
dell’osservatore O

103
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
In realtà, considerando l’elevazione e (occhio in O), l' esatta distanza
dell' osservatore dall’oggetto è data dal segmento CA, più grande di d;
1'errore è rappresentato dal segmento CC1.
Figura 4.15 -
Nella fig. 4.15 i segmenti BD e CD sono rispettivamente paralleli ai
segmenti CA ed AB: il quadrilatero CABD è un rettangolo. Essendo CC2
e CA segmenti secanti alla circonferenza condotti dal punto esterno C
ed i segmenti CO e CC1,. parti esterne di essi, per un noto teorema di
geometria si ha:
( h e)
CC1 CC2
e −
= , CC1
=
CO CA
CA
In pratica CA> h, donde il rapporto (h-e)/CA è minore dell’unità; di qui
l’errore CC1 risulta minore dell’elevazione e. Volendo esprimere d in
miglia ed h. in metri, la (4.35) diventa:
hcotα
d =
1852
Infine si può presentare il seguente caso (v. figura 4.16): l'osservatore
con occhio B nel punto O, con elevazione e sul livello medio del mare,
misura l' angolo verticale α relativo alla parte del faro rappresentato in
figura, di nota altezza h, che compare al di sopra dell’orizzonte apparente.

104
MARIO VULTAGGIO
Figura 4.16 – Distanza di uno oggetto esterno all’orizzonte
dell’osservatore O
Evidentemente l' oggetto è oltre l'orizzonte e l' angolo misurato si riferisce
alle traiettorie dei raggi luminosi provenienti dai suoi punti B e D;
quella proveniente da D riesce tangente in E all'orizzonte apparente dell'
osservatore. La distanza D=CA fra l' osservatore e la base dell' oggetto è
data da formule che richiedono lunghe e laboriose dimostrazioni; si riporta
qui quella proposta dall’Istituto Idrografico:
D =
( h − e)
cot ( − i)
( 1 ko
) ⎤
⎥⎦
⎡ d −
⎢ α +
(4.25)
⎣ 2R
sin1'
con i la depressione apparente dell' orizzonte, d la distanza dell' orizzonte
marino, ko il coefficiente medio di rifrazione geodetica, R il raggio
terrestre.
Con le relazioni (4.22), (4.23), (4.24) e (4.25) sono compilate delle tabelle
inserite nelle pubblicazioni nautiche in dotazione sulle navi, quali,
ad esempio, le "Tavole Nautiche". In queste la tabella relativa all’ ultima
relazione citata fornisce la distanza D in miglia in funzione dell' argomento
orizzontale (h-e) in metri e delle argomento verticale (α -i) in
gradi e primi. Nel caso che α è minore di i bisogna entrare con l' argomento
(i -a); il valore ottenuto aumentato del doppio del detto argomento
fornisce la distanza desiderata.
APPENDICE A.7

APPENDICE A
105
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
LA CURVA D’AZIMUT IN NAVIGAZIONE COSTIERA
A.4.1 - Considerazioni generali.
La determinazione della posizione di un mobile trova la sua soluzione
nell’impiego dei luoghi di posizione; essi non sono altro che luoghi ge-
ometrici di punti che godono tutti di una determinata prefissata proprie-
tà. In senso nautico occorre aggiungere che tale proprietà deve poter es-
sere ottenuta per mezzo di misure.
Trovarsi su un luogo di posizione significa dunque constatare con
una misura la proprietà di cui essa gode ed inversamente l’aver constatato
con una misura questa proprietà significa trovarsi su uno degli infiniti
punti di cui è costituito il luogo di posizione. E’ importante osservare
che i punti che costituiscono il luogo di posizione godono tutti della
stessa proprietà e quindi la determinazione di un solo luogo di posizione
non è sufficiente a determinare la posizione del mobile.
I luoghi di posizione usati in navigazione sono:
• luogo di posizione di uguale azimut (curva d’azimut e semiretta
di rilevamento);
• luogo di posizione di uguale differenza d’azimut (cerchio capace);
• luogo di posizione di uguale distanza (cerchio di distanza);
• luogo di posizione di uguale profondità (curva batimetrica).
Prima di procedere alla descrizione dei metodi da usare per determi-
nare la posizione in navigazione costiera occorre prima studiare i luoghi
di posizione nella loro forma generale e successivamente definire la loro
forma ed espressione analitica nell’intorno dell’oggetto osservato.

A.4.2 - Equazione della curva d’azimut
106
MARIO VULTAGGIO
Per studiare la curva d’azimut occorre prima definire l’azimut. Si definisce
l’azimut di un oggetto l’angolo dietro formato fra il piano meridiano
contenente la verticale e il piano verticale contenente l’oggetto
osservato. Esso, normalmente è indicato con la lettera Az e si conta da
0° a 360° nel senso orario oppure come angolo azimutale Z contato da
0° a 180° nel senso orario ed antiorario.
Quando si misura da un mobile, la cui posizione non è nota, l’azimut di
uno oggetto di coordinate note, sulla terra rappresentativa si genera una
curva i cui punti godono tutti della proprietà di osservare l’oggetto sotto
lo stesso azimut.
Consideriamo il triangolo sferico (v. figura 1) i cui vertici siano Pe (Polo
elevato- omonimo all’osservatore), O l’osservatore ed A l’oggetto osservato.
Sia Z, contato da 0° a 180° l’azimut osservato ed i cui lati ed
angoli sono di significato noto.
L’equazione generale della curva d’azimut si ricava applicando il teorema
delle cotangenti ai seguenti quattro elementi consecutivi seguendo
lo schema riportato in figura A.4.2:
( 90 − φ ) sin(
90 − φ ) = cos(
90 − φ ) cos Δλ
+ sinΔ
cot gZ
cot g A λ
che può essere scritta semplicemente nella sua forma generale:
Figura A.4.1 – Sfera rappresentativa e triangolo sferico associato
alla misura Z
tan A
φ cosφ
= sinφ
cos Δλ
+ sinΔλ
cot gZ (A.4.1)

107
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
Figura A.4.2 - Applicazione della formula di Vieta
Dimostriamo che la curva d’azimut gode delle seguenti proprietà:
• Contiene l’osservatore (curva continua);
• Passa per il polo omonimo all’osservatore;
• Passa per l’oggetto osservato.
La prima proprietà si ricava direttamente dall’equazione (A.4.1) dato
che essa è rappresentata da funzione continua e derivabile; le restanti
proprietà si dimostrano applicando l’equazione fondamentale della trigonometria
sferica al lato sferico O1A contenente l’oggetto osservato di
figura A.4.3.

Figura A.4.3 – Triangolo ortodromico
sin A
108
MARIO VULTAGGIO
φ = sinφ
cos D + cosφ
sin Dcos
Z
(A.4.2)
Considerando D=0 , si ottiene che φ = φ A ; questa condizione conferma
la proprietà della curva di passare per l’oggetto osservato (A). Inoltre,
per φ = 90°
si ha, sempre dalla (A.4.2)
A
( 90°
− φ A ) = cos D , D = 90°
A
sinφ = cos D , cos
−φ
per cui la curva passa anche per il polo elevato Pe. La curva d’azimut
gode di altre proprietà che comunque per la sua applicazione in navigazione
costiera non sono importanti e non inficiano la sua applicazione.
A.4.3 - Semiretta di rilevamento (Rilevamento)
Sia α A l’angolo che la curva d’azimut forma con il meridiano del triangolo
sferico definito dalla curva d’azimut nel punto A; considerando il
triangolo sferico infinitesimo nel punto A (figura A.4.4) si ricava la relazione
trigonometrica che permette di definire il valore di α A :
dλ
dλ cosφ A = dφ
tanα
A tanα
A = cosφ
A (A.4.3)
dφ
nella quale tan A
α , limitatamente all’intorno di A, può essere considerato
il coefficiente angolare della retta tangente alla curva d’azimut. Infatti,
considerando che un generico punto della curva, in prossimità di A, ha
coordinate:

φ = φ − φ , λ = λ − dλ
A
d A
109
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
si applica la linearizzazione del luogo di posizione derivando
l’equazione della curva d’azimut (A.4.1) rispetto alla latitudine φ :
Figura A.4.4 – Curva d’Azimut e triangolo sferico in prossimità
dell’oggetto osservato
⎛ dλ
⎞
⎛ dλ
⎞
− tanφ
Asinφ
= cosφ
cosΔλ
− sinΔλsinφ⎜
− ⎟ + cosΔλ
cot gZ⎜
− ⎟
⎝ dφ
⎠
⎝ dφ
⎠
che può essere scritta nel seguente modo:
sinφ
Asinφ
+ cosφ
A cosφ
cosΔλ
− cos Z cosΔλ
+ sinZsinΔλsinφ
⎛ dλ
⎞
−
=
⎜ ⎟
cosφ
A
sinZ
⎝ dφ
⎠
ed applicando al numeratore del primo membro la relazione fondamentale
della trigonometria sferica ed al numeratore del secondo
membro la corrispondente relazione correlativa si ha:

cos D cos A ⎛ dλ
⎞
− = ⎜ ⎟
cosφ
A sin Z ⎝ dφ
⎠
dλ
cos D sin Z cosφ
= tanα
A = −
dφ
cosφ
cos A
110
A
MARIO VULTAGGIO
(A.4.4)
che si semplifica ulteriormente, applicando al triangolo sferico il teorema
dei seni:
cosφ
sin A
cosφ
sinZcosφ
A = , sinA =
(A.4.5)
sin Z
cosφ
A
la cui sostituzione nella (A.4.4) fornisce l’equazione dell’angolo α A
in funzione di elementi del triangolo sferico associato alla curva
d’azimut di angolo Z:
⎧ tanα
A = −cos
Dtan
A
⎪
⎨D
= 0 , tanα
0 = −tan
A = tan( 180 − A
⎪
⎩α
0 = 180°
− Ao
o
)
(A.4.6)
Questa ultima condizione associa il valore di α A all’angolo A del
triangolo sferico per D=0; occorre allora stabilire una relazione che
fornisce A in termini di Z.
Applicando, allora, la relazione di Vieta al lato di A si ha:
e per D=0 si ha:
tan A
φ sin D
=
cos Dcos
0 = cos Ao
+ sin Ao
cot gZ
tan Z = tan( 180°
− A )
o
,
A +
tan A
sin Acot
o
gZ
= −tan
Z
(A.4.7)
Il confronto della (A.4.6) con la (A.4.7) fornisce la seguente relazione:
α Z
(A.4.8)
o =
proprietà importante perché stabilisce che la curva d’azimut nel punto
A forma un angolo con il meridiano l’angolo misurato Z.

A.4.4 - Equazione della semiretta di rilevamento
111
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
Si consideri l’equazione della curva d’azimut ed un punto di coordinate
molto prossimo all’oggetto osservato di coordinate:
( φ λ)
, A( φ , λ ) , per cui O(
φ Δφ
λ − Δλ)
O ,
, A
tan A
A
A − A
φ cosφ
= sinφ
cos Δλ
+ sinΔλ
cot gZ
Sostituendo le coordinate di O, sviluppando in serie ed arrestandosi
al termine del primo ordine si ha:
A
[ cosφ
+ Δφ
φ ] = [ sinφ
− Δφ
cosφ
] cos Δλ
+ sin cot gZ
tanφ Δλ
A
sin A
A
A
sviluppando ulteriormente si ha:
2
2
3
sin φ A
⎡ Δλ
⎤
⎡ Δλ
⎤
sinφ
A + Δφ
= sinφ
A ⎢1
+ ⎥ − cos φ AΔφ
+ ⎢Δλ
+ ⎥ cot gZ
cosφ
A
⎣ 2 ⎦
⎣ 6 ⎦
dalla quale si ricava l’equazione della semiretta di rilevamento:
A cot cosφ λ φ Δ = Δ
L’equazione trovata rappresenta l’equazione di una retta sul piano
passante per l’origine; infatti, essa può essere espressa per mezzo
della seguente equazione:
y = x cot gα
Ricordando che nel piano di Mercatore le coordinate (x, y) hanno il
seguente significato:
A
o
gZ
y = Δφ
sec
φ , x = Δλ
, Z = α
o

112
MARIO VULTAGGIO
e nel piano nautico le coordinate (x, y) hanno, invece, il significato
di:
y = Δφ
, x = Δλ
cosφ
, Z = α
si può tracciare la semiretta di rilevamento sia sul piano di Mercatore
che sul piano nautico tracciando la semiretta passante per
l’oggetto osservato che fa un angolo α con il meridiano uguale a Z.
Figura A.4.5 – Semiretta di rilevamento per piano nautico e nel piano
di Mercatore
A
o

APPENDICE B
113
CAPITOLO 4 – L’ORIZZONTE IN NAVIGAZIONE
SERIE DI TRAUB IN PRESENZA DI CORRENTE
B.4.1 – Sviluppo dell’espressione trigonometrica (4.27)
' '
sin(
ρ1
−α
) sin(
ρ3
− ρ 2 ) N 2 N 3 vΔt2
= =
sin(
ρ 2 − ρ1
) sin(
ρ3
−α
) N1N
2 vΔt1
[ sin ρ1
cosα
− cos ρ1
sinα
][ sin ρ3
cos ρ 2 − cos ρ3
sin ρ 2 ] Δt2
=
[ sin ρ 2 cos ρ1
− cos ρ 23 sin ρ1][
sin ρ3
cosα
− cos ρ3
sinα
] Δt1
sin ρ cosα
sin ρ cos ρ − sin ρ cosα
cos ρ sin ρ − cos ρ sinα
sin ρ cos ρ + cos ρ sinα
cos ρ sin ρ
1
3
2
1
3 2
1
3
2
1
3 2
sin ρ cos ρ sin ρ cosα
− sin ρ cos ρ sin ρ sinα
− cos ρ sin ρ sin ρ cosα
+ cos ρ sin ρ cos ρ sinα
2
1
3
2
1
3
Dividendo numeratore e denominatore per la seguente espressione trigonometrica
sin ρ1 sin ρ 2 sin ρ3
sinα
si ha:
cot ρ 2 cotα
− cot ρ3
cotα
− cot ρ1
cot ρ 2 + cot ρ1
cot ρ3
Δt
=
cot ρ cotα
− cot ρ cot ρ − cot ρ cotα
+ cot ρ cot ρ Δt
1
cotα
cotα
cot l
cot l
1
3
[ cot ρ 2 − cot ρ3
] − cot ρ1[
cot ρ 2 − cot ρ3
] Δt2
=
[ cot ρ1
− cot ρ 2 ] − cot ρ3
[ cot ρ 2 − cot ρ1]
Δt1
dr
dr
− cot ρ1
Δt
=
− cot ρ Δt
3
2
1
2
2
1
2
3
3
2
2
1
1
3

114
MARIO VULTAGGIO