A. De Simone, "Posizionamento Doppler con osservabili GPS

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI
“PARTHENOPE”
Facoltà di Scienze e Tecnologie
Corso di Laurea Magistrale in
Scienze e Tecnologie della Navigazione
Indirizzo Navigazione
POSIZIONAMENTO DOPPLER CON
OSSERVABILI GPS:
UNA METODOLOGIA ALTERNATIVA
Relatori Candidato
Prof. Salvatore Gaglione Antonio De Simone
Dott. Antonio Angrisano matr. 0121/018
Anno Accademico 2010/2011

Copyright © 2011 Antonio De Simone. All right reserved.
Questo documento può essere riprodotto e distribuito in tutto o in parte, con ogni mezzo fisico
o elettronico, purché questo avviso di copyright sia mantenuto su tutte le copie. La
ridistribuzione commerciale non è permessa. Ogni traduzione, lavoro derivato o
comprendente questo documento deve contenere questo stesso avviso di copyright: per
esempio, non si possono produrre lavori derivati da questo documento ed imporre restrizioni
aggiuntive sulla sua distribuzione. Per ulteriori informazioni si prega di contattare l‟autore
all‟indirizzo desimoneantonio@gmail.com.
Napoli, 2011
2

Abstract
Il sistema GPS fornisce informazioni di posizione, velocità e sincronizzazione temporale su
scala globale con continuità e accuratezza solo in caso di buone condizioni di intervisibilità
ricevitore-satelliti.
In scenari urbani o indoor la navigazione satellitare risulta particolarmente critica per la
carenza o il degrado dei segnali GPS, dovuta alla presenza di ostacoli che bloccano o
disturbano i segnali elettromagnetici. In ambienti particolarmente ostili risulta difficile la
demodulazione del messaggio di navigazione e dei ranging code rendendo il posizionamento
assoluto con misure di pseudorange (single point positioning) poco accurato o discontinuo; in
tali condizioni la misura della frequenza del segnale (e dunque lo shift Doppler) e
l‟individuazione del satellite di provenienza potrebbero essere le sole informazioni
disponibili.
I sistemi Assisted-GNSS sono in grado di ottenere le effemeridi dei satelliti della
costellazione attraverso la rete cellulare; con tali informazioni ed elaborando opportunamente
l‟osservabile Doppler è possibile una stima della posizione del mobile.
Lo scopo principale di questo lavoro è testare algoritmi innovativi per il posizionamento
Doppler in modalità single point, sia in modalità statica che cinematica. Tali algoritmi
necessitano la conoscenza della velocità del ricevitore GPS. Nel caso statico la velocità è
nota, mentre nel caso cinematico è stimata adottando una tecnica di calcolo basata
sull‟utilizzo delle stesse misure Doppler.
3

Ringraziamenti
Questa tesi di Laurea Magistrale è il risultato del mio lavoro di ricerca sul posizionamento
Doppler con osservabili GPS, reso possibile dalla fattiva collaborazione dei ricercatori e
dottorandi del Laboratorio di Navigazione del Dipartimento di Scienze Applicate
dell‟Università Parthenope di Napoli.
Desidero quindi ringraziare innanzitutto il Dott. Salvatore Gaglione e il Dott. Antonio
Angrisano per la continua disponibilità manifestata durante questi mesi di intenso lavoro di
ricerca, e per avermi trasmesso idee e conocenze preziose. Desidero inoltre ringraziarli per la
fiducia che hanno deposto in me affidandomi un progetto di tesi tanto ambizioso.
Ringrazio anche gli amici di corso e gli amici di sempre per il loro incoraggiamento, per il
tempo trascorso insieme nelle brevi pause dallo studio e per la loro bella amicizia.
E un grazie speciale a Valeria, per tutto quanto è stato e quello che deve ancora essere.
Infine, ho in cuore di ringraziare i miei genitori per il sostegno, la stima e l‟affetto che non mi
hanno mai fatto mancare.
4

…se a pruavia alcun segnale avverta,
ferma, poi avanza adagio stando allerta
tu dagli eventi prenderai consiglio,
lesto e sicuro in subito periglio…
5

Indice
Abstract ................................................................................................................................................ 3
Ringraziamenti .................................................................................................................................... 4
Indice ................................................................................................................................................... 6
Indice delle Tabelle ............................................................................................................................. 9
Indice delle Figure ............................................................................................................................. 10
Elenco degli Acronimi ....................................................................................................................... 12
1 Introduzione .................................................................................................................................... 14
2 Il Sistema GPS ................................................................................................................................ 16
2.1 Architettura del Sistema ........................................................................................................... 16
2.2 Principio di Funzionamento ..................................................................................................... 19
2.3 Struttura del Segnale ................................................................................................................. 21
2.4 Osservabili ................................................................................................................................ 25
2.5 Errori delle Osservabili ............................................................................................................. 30
2.5.1 Errori Accidentali ............................................................................................................. 31
2.5.2 Errori Sistematici .............................................................................................................. 32
2.5.3 Errori Grossolani .............................................................................................................. 35
2.6 Sistemi di Riferimento .............................................................................................................. 37
6

2.7 Tecniche di Posizionamento ..................................................................................................... 39
3 Algoritmi per il Calcolo di Posizione e Velocità del Ricevitore .................................................... 42
3.1 Calcolo di Posizione e Velocità dei Satelliti ............................................................................ 42
3.2 Posizionamento con Osservabili Pseudorange......................................................................... 46
3.2.1 Equazione di Misura di Pseudorange ............................................................................... 46
3.2.2 Stima della Soluzione ....................................................................................................... 48
3.2.3 Descrizione Dettagliata dell‟Algoritmo............................................................................ 53
3.2.4 Algoritmi di Correzione ................................................................................................... 55
3.2.5 Limiti del Posizionamento con Pseudorange ................................................................... 57
3.3 Posizionamento con Osservabili Doppler................................................................................. 58
3.3.1 Utilità del Posizionamento Doppler ................................................................................. 58
3.3.2 Comparazione tra Doppler GPS e Transit ........................................................................ 60
3.3.3 Equazione di Misura Doppler ........................................................................................... 63
3.3.4 L‟errore di Deriva dell‟Orologio ...................................................................................... 66
3.3.5 Formulazione Matematica del Problema di Posizionamento ........................................... 67
3.3.6 Soluzione Doppler ............................................................................................................ 71
3.3.7 Descrizione Dettagliata dell‟Algoritmo Doppler ............................................................. 75
3.4 Calcolo della Velocità del Ricevitore ....................................................................................... 77
4 Test e Risultati ................................................................................................................................ 80
4.1 Caratteristiche della Stazione ................................................................................................... 80
4.2 Posizionamento Statico ............................................................................................................ 83
7

4.2.1 Accuratezza della Posizione ............................................................................................. 84
4.2.2 Dipendenza del Posizionamento Doppler dalla Posizione Stimata .................................. 90
4.2.3 Dipendenza del Posizionamento Doppler dalla Velocità Stimata .................................... 92
4.2.4 Considerazioni sul Posizionamento Doppler Statico ....................................................... 94
4.3 Posizionamento Cinematico ..................................................................................................... 94
4.3.1 Dipendenza della Velocità Doppler dalla Posizione Stimata ........................................... 95
4.3.2 Accuratezza della Posizione ............................................................................................. 97
4.3.3 Considerazioni sul Posizionamento Doppler Cinematico .............................................. 105
5 Conclusioni ................................................................................................................................... 109
5.1 Sviluppi futuri ......................................................................................................................... 111
Bibliografia ...................................................................................................................................... 112
Appendice: l‟Effetto Doppler .......................................................................................................... 115
8

Indice delle Tabelle
TABELLA 3.1 – EFFEMERIDI GPS TRASMESSE (BROADCAST EPHEMERIS).............................................................. 43
TABELLA 3.2 – CALCOLO DI POSIZIONE E VELOCITÀ DEI SATELLITI GPS [DA (IS-GPS-200, 2004) E (REMONDI,
2004)] ........................................................................................................................................................... 44
TABELLA 4.1 – COORDINATE DELLA STAZIONE DI RIFERIMENTO ........................................................................... 81
TABELLA 4.2 – CONFRONTO TRA POSIZIONAMENTO CON PR E DOPPLER IN TERMINI DI ERRORI RMS .................. 89
TABELLA 4.3 – CONFRONTO TRA POSIZIONAMENTO CON PR E DOPPLER IN TERMINI DI ERRORI MASSIMI ............ 89
TABELLA 4.4 – ERRORI RMS NEL POSIZIONAMENTO DOPPLER STATICO CON INCERTEZZA SULLA POSIZIONE ...... 91
TABELLA 4.5 – ERRORI MASSIMI NEL POSIZIONAMENTO DOPPLER STATICO CON INCERTEZZA SULLA POSIZIONE 91
TABELLA 4.6 – ERRORE RMS SULLA POSIZIONE DOPPLER CON POSIZIONE ESATTA E VELOCITÀ INCERTA ........... 93
TABELLA 4.7 –ERRORE RMS SULLA VELOCITÀ AL VARIARE DELL‟APPROSSIMAZIONE SULLA POSIZIONE STIMATA
...................................................................................................................................................................... 96
TABELLA 4.8 – CONFRONTO TRA POSIZIONAMENTO CON PR E DOPPLER STATICO E CINEMATICO MODE 1 IN
TERMINI DI ERRORE RMS ........................................................................................................................... 100
TABELLA 4.9 – CONFRONTO TRA POSIZIONAMENTO CON PR E DOPPLER STATICO E CINEMATICO MODE 1 IN
TERMINI DI ERRORE MASSIMO .................................................................................................................... 100
TABELLA 4.10 – CONFRONTO TRA POSIZIONAMENTO DOPPLER CINEMATICO MODE 2 E GLI ALTRI APPROCCI
CONSIDERATI IN TERMINI DI ERRORE RMS ................................................................................................. 104
TABELLA 4.11 – CONFRONTO TRA POSIZIONAMENTO CON PR E DOPPLER CINEMATICO MODE 2 IN TERMINI DI
ERRORE MASSIMO ...................................................................................................................................... 105
9

Indice delle Figure
FIGURA 2.1 – ARCHITETTURA DEL SISTEMA GPS .................................................................................................. 17
FIGURA 2.2 – RAPPRESENTAZIONE PIANA DELLA COSTELLAZIONE DI SATELLITI GPS (KAPLAN,2006)................. 18
FIGURA 2.3 – PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO DEL POSIZIONAMENTO GPS CON PSEUDORANGE (LEHTINEN,2001) 20
FIGURA 2.4 – MODULAZIONE DEL SEGNALE GPS (DA KAPLAN 2006) ................................................................... 23
FIGURA 2.5 – ERRORI DELLE OSSERVABILI GPS (VULTAGGIO, 2010) .................................................................... 37
FIGURA 2.6 – SISTEMI DI RIFERIMENTO ECI, ECEF E ENU (DA ANGRISANO 2010) .............................................. 39
FIGURA 2.7 – SCHEMA COMPONENTI SISTEMA DGPS (KAPLAN, 2006) ................................................................. 40
FIGURA 3.1 – ALGORITMO DI CALCOLO DELLA POSIZIONE CON OSSERVABILI PSEUDORANGE .............................. 53
FIGURA 3.2 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO CON PSEUDORANGE .......................... 54
FIGURA 3.3 – SCHEMA DEI COMPONENTI DI UN SISTEMA A-GPS ........................................................................... 59
FIGURA 3.4 –COSTELLAZIONE BIRDCAGE TRANSIT (VULTAGGIO, 2010) ............................................................. 61
FIGURA 3.5 – COSTELLAZIONE GPS (KAPLAN, 2006) ............................................................................................ 62
FIGURA 3.6 – LUOGO DI POSIZIONE CONICO (LEHTINEN,2001) .............................................................................. 65
FIGURA 3.7 – ALGORITMO DI CALCOLO DELLA POSIZIONE CON OSSERVABILI DOPPLER ....................................... 75
FIGURA 3.8 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO DOPPLER .......................................... 76
FIGURA 3.9 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO PER IL CALCOLO DELLA VELOCITÀ CON OSSERVABILI
DOPPLER. ...................................................................................................................................................... 79
FIGURA 4.1 – RICEVITORE GPS E ANTENNA CON GROUND PLANE E RADOME DELLA STAZIONE UAAG
(TRIMBLE.COM) ............................................................................................................................................ 82
FIGURA 4.2 – DETTAGLIO DEL GROUND PLANE DELL‟ANTENNA ZEPHYR – DISSIPAZIONE DEL MULTIPATH
(TRIMBLE.COM) ............................................................................................................................................ 83
FIGURA 4.3 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO DOPPLER PER IL CASO STATICO ........ 84
FIGURA 4.4 – POSIZIONI ORIZZONTALI CALCOLATE CON OSSERVABILI PSEUDORANGE, DOPPLER ........................ 85
FIGURA 4.5 – ERRORE ORIZZONTALE, ERRORE VERTICALE E DOPPLER PDOP (POSIZIONAMENTO DOPPLER) ...... 86
FIGURA 4.6 – ERRORE ORIZZONTALE, ERRORE VERTICALE E PDOP (POSIZIONAMENTO PSEUDORANGE) ............. 87
FIGURA 4.7 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO DOPPLER CON POSIZIONE ESATTA E
VELOCITÀ INCERTA ...................................................................................................................................... 92
10

FIGURA 4.8 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO DOPPLER PER IL CASO CINEMATICO . 95
FIGURA 4.9 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO DOPPLER PER IL CASO CINEMATICO
(MODE 1) ...................................................................................................................................................... 97
FIGURA 4.10 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO DI POSIZIONAMENTO DOPPLER PER IL CASO CINEMATICO
(MODE 2) ...................................................................................................................................................... 98
FIGURA 4.11 – POSIZIONI ORIZZONTALI CALCOLATE CON OSSERVABILI PSEUDORANGE E DOPPLER (STATICO E
CINEMATICO MODE 1) .................................................................................................................................. 99
FIGURA 4.12 – ERRORE ORIZZONTALE, ERRORE VERTICALE E DPDOP (DOPPLER CINEMATICO MODE 1) ......... 101
FIGURA 4.13 – POSIZIONI ORIZZONTALI CALCOLATE CON PR E DOPPLER (STATICO, CINEMATICO MODE 1 E 2) 102
FIGURA 4.14 – ERRORE ORIZZONTALE, ERRORE VERTICALE E DOPPLER PDOP (DOPPLER STATICO, CINEMATICO
MODE 1 E 2) ................................................................................................................................................ 103
FIGURA 4.15 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO CINEMATICO CON FONTE ESTERNA PER LA VELOCITÀ ... 107
FIGURA 4.16 – SCHEMA A BLOCCHI DELL‟ALGORITMO CINEMATICO CON FONTE ESTERNA PER LA POSIZIONE .. 108
FIGURA 0.1 – CURVE DOPPLER E RISPETTIVE POSIZIONI RILEVATORE (VULTAGGIO,2010) ................................. 117
11

Elenco degli Acronimi
BMCS Backup Master Control Station
BPSK Binary Phase Shift Keying
C/A Code Coarse Acquisition Code
CDMA Code Division Multiple Access
DGPS Differential GPS
DoD U.S. Department of Defence
DOP Diluition Of Precision
DPDOP Doppler Precise DOP
ECEF Earth Centered Earth Fixed
ECI Earth Centered Inertial
ENU East North Up
FOC Full Of Capability
GA Ground Antennas
GDOP Geometric Diluition Of Position
GNSS Global Navigation Satellite System
GPS Global Positioning System
IGS International GNSS Service
MCS Master Control Station
12

MEO Medium Earth Orbit
MS Monitor Stations
OCS Operational Control System
P Code Precision Code
PDOP Precise Diluition Of Precision
PPS Precise Positioning Service
PR Pseudorange
PRN Pseudo-Random Noise
RMS Root Mean Square
SA Select Aviability
SPS Standard Positioning Service
SSM Spread Spectrum Modulation
SV Space Vehicle
TEC Total Electron Content
UTC Universal Time Cordinate
UTM Universal Transverse Mercator
WGS84 World Geodetic System 1984
13

1 Introduzione
Dalle sue origini fino ai primi anni „80 la navigazione satellitare è stata una tecnologia
esclusivamente militare. Da allora la situazione è molto cambiata e le potenzialità
commerciali delle applicazioni di posizionamento satellitare hanno fatto si che si creassero
infrastutture e tecnologie destinate anche ad uso civile.
L‟obiettivo principale di questo lavoro è di sviluppare nuove applicazioni per il
posizionamento in single point di ricevitori SPS (Standard Positioning Service).
Dopo una breve panoramica sul sistema GPS, sono introdotte le caratteristiche principali del
segnale GPS e delle misure che i ricevitori satellitari sono in grado di effettuare (osservabili).
Ampio spazio è dedicato all‟analisi delle principali fonti di errore che caratterizzano le
osservabili, degradando le prestazioni del sistema, e di come sono state affrontate al fine di
mitigarne l‟effetto.
Successivamente è stata affrontata una panoramica sulle principali tecniche di posizionamento
satellitare e sono stati definiti i sistemi di riferimento utilizzati nel lavoro.
È poi descitta la teoria alla base del posizionamento con misure di pseudorange e con misure
di Doppler sui segnali GPS.
In seguito è evidenziata la possibilità di realizzare un posizionamento GPS con osservabili
Doppler in ambiente ostile, intendendo con tale termine un luogo in cui la misura di
pseudorange è affetta da errori troppo grandi o addirittura impossibile da effettuare.
14

L‟osservabile shift-Doppler viene acquisita dai ricevitori senza la necessità di demodulare i
ranging-code dalle portanti ed è una misura effettuata intrinsecamente da tutti i ricevitori
GPS, anche quelli low-cost. Non tutti i ricevitori però rendono disponibile questa misura in
uscita, poiché la ricerca riguardante la tecnologia Doppler GPS ha subito un forte impulso
solo negli ultimi anni. Infatti, la diffusione di smartphone con ricevitori GPS integrati ed altri
analoghi dispositivi di uso comune, come i navigatori satellitari per automobili, ha portato alla
ribalta nuove problematiche di posizionamento satellitare risolvibili anche mediante l‟impiego
di osservabili Doppler. La possibilità di accedere alla rete internet via cellulare ha poi
definitivamente aperto la strada allo sviluppo di nuove tecniche di posizionamento GPS,
denominate tecniche Assisted-GPS.
La metodologia di posizionamento Doppler sviluppata in questo lavoro è una tipica tecnica
basata sull‟utilizzo di dati A-GPS, in quanto le osservabili shift-Doppler sono acquisite dal
ricevitore, mentre le effemeridi dei satelliti possono essere fornite da appositi servizi internet.
In questo lavoro sono proposti algoritmi innovativi per il posizionamento GPS con
osservabile Doppler sia in modalità statica che cinematica; la modalità cinematica richiede la
conoscenza della velocità del ricevitore GPS. Nel caso statico la velocità è nota, poiché la
stazione non è in movimento, mentre nel caso cinematico essa è stimata mediante una tecnica
di calcolo basata sull‟utilizzo delle stesse misure Doppler, le cui prestazioni sono analizzate.
Lo studio delle prestazioni dell‟algoritmo proposto fa uso di dati di una stazione fissa, la cui
posizione è nota con precisione millimetrica.
Il lavoro si conclude con la descizione delle possibili applicazioni di questa ricerca e con i
suoi possibili sviluppi.
15

2 Il Sistema GPS
Il sistema NAVSTAR GPS (NAVigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning
System) è un sistema satellitare per il posizionamento e la sincronizzazione temporale. Il suo
funzionamento è basato sulla ricezione di segnali radio emessi da una costellazione di satelliti
artificiali in orbita attorno alla Terra. La tecnica impiegata è nota come one way ranging, che,
descritta al paragrafo 2.2, non prevede emissione di segnali da parte del ricevitore GPS.
Questa caratteristica fa si che il luogo in cui si trova l‟utilizzatore dei servizi GPS non sia
individuabile da terzi soggetti e costituisce un fattore di importanza strategica per l‟utilizzo
militare dei servizi GPS.
Il sistema GPS è un sistema duale, cioè fornisce servizi sia per applicazioni militari che civili.
È progettato per fornire una copertura globale e permette il posizionamento tridimensionale di
oggetti, anche in movimento, ed in ogni condizione meteorologica; gestito dal DoD
(Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti), il lancio del primo satellite è avvenuto nel 1978
(GPS Standard Positioning Service Performance Standard, 2008) e ha raggiunto la piena
capacità operativa (Full Of Capability) nel 1995 (Kaplan, 2006).
2.1 Architettura del Sistema
Il sistema GPS si compone di tre segmenti:
il segmento spaziale,
il segmento di controllo,
il segmento utente.
16

Figura 2.1 – Architettura del Sistema GPS
Il segmento spaziale è costituito da una costellazione di satelliti artificiali il cui numero è
variabile nel tempo. La costellazione GPS è definita a “24 slot espandibile” (GPS Standard
Positioning Service Performance Standard, 2008), definendo slot una delimitata posizione
dello spazio atta ad accogliere un satellite; dei 24 slot, 3 sono denominati “espandibili”,
poiché è previsto che possano accogliere due satelliti in posizione avanzata ed arretrata
rispetto alla posizione teorica.
Il numero attuale di satelliti operativi che costituiscono la costellazione GPS è 31 satelliti, di
cui 28 operativi alla data del 1 giugno 2011 (ftp://tycho.usno.navy.mil/pub/gps/gpstd.txt); essi
sono in numero superiore ai 24 previsti poiché alcuni satelliti rimangono funzionanti per un
tempo superiore a quello stimato in fase di progettazione. I satelliti eccedenti sono i nuovi
satelliti che andranno a sostituire quelli in via di dismissione o proprio i satelliti negli ultimi
mesi del loro periodo operativo.
17

Figura 2.2 – Rappresentazione Piana della Costellazione di Satelliti GPS (Kaplan,2006)
Gli slot sono distribuiti in sei piani orbitali MEO 1 (Medium Earth Orbit), inclinati di circa
55°, i cui nodi ascendenti adiacenti sono separati da un angolo di 60°. I satelliti sono dunque
disposti in orbite ellittiche poco eccentriche e ad un‟altitudine di circa 20200 km dalla Terra.
Il loro periodo di rivoluzione è di 12 ore sideree 2 , e risultano a traccia ripetitiva. La visibilità
di satelliti prevista per una generica località della superficie terrestre è di almeno 4 satelliti,
fino a un massimo di 10 con un mask angle 3 di 10° (Vultaggio, 2010).
Dal punto di vista delle caratteristiche tecniche, i satelliti GPS sono abilitati a ricevere segnali
dal segmento di controllo, demodulare e processare i dati ricevuti, generare e infine modulare
le portanti da trasmettere con i dati elaborati. Essi inoltre sono dotati di razzi a reazione che
consentono di effettuare piccoli spostamenti e variazioni di assetto, gestite dal segmento di
controllo.
1 Le orbite MEO sono limitate inferiormente delle fasce di Van Hallen, il cui ambiente radioattivo può
pregiudicare il corretto funzionamento degli apparati elettronici, e si estendono da 20000 Km fino a 36000 Km
dalla superficie della Terra, distanza alla quale le orbite diventano geosincrone.
2 12 ore sideree equivalgono a un intervallo di tempo di 11 ore e 58 minuti.
3 Le osservabili relative a satelliti bassi sull‟orizzonte sono spesso affette da grossi errori atmosferici (cfr.
paragrafo 2.5.2); quando è possibile è preferibile non utilizzare le misure relative a satelliti con distanza zenitale
maggiore di 10 gradi.
18

Il segmento di controllo, noto anche come Operational Control System (OCS), è costituito
da (Global Positioning System Standard Positioning Service Performance Standard, 2008):
una Master Control Station (MCS),
una Backup Master Control Station (BMCS),
quattro Ground Antennas (GA) e
numerose Monitor Stations (MS) distribuite globalmente
Le MS svolgono molteplici attività, tra cui quelle di effettuare misure di pseudorange e di fase
sui segnali GPS e raccogliere informazioni sullo stato dell‟atmosfera. Tali dati vengono
elaborati dalla MCS al fine di produrre le effemeridi dei satelliti ed i parametri correttivi degli
orologi di bordo, da includere nel messaggio di navigazione.
La funzione delle GA è quella di trasmettere i dati elaborati ai satelliti, come il messaggio di
navigazione e le istruzioni di manovra.
Il segmento di controllo ha inoltre il compito di mantenere il tempo di sistema GPS e la sua
sincronizzazione con il tempo UTC (Universal Time Coordinated).
Con segmento utente, infine, si intendono i destinatari dei servizi di pozizionamento cioè gli
utenti civili, che muniti di apposito ricevitore acquisiscono il segnale in chiaro del servizio
SPS (Standard Positioning Service), e gli utenti militari (o autorizzati dal DoD), abilitati a
decodificare il segnale criptato a maggiore precisione del servizio PPS (Precise Positioning
Service).
2.2 Principio di Funzionamento
Il principio di funzionamento del sistema GPS si basa sulla tecnica del one way ranging: la
distanza tra satellite e ricevitore è stimata misurando il tempo impiegato dal segnale
19

proveniente dal satellite a raggiungere il ricevitore e moltiplicandolo per la velocità di
propagazione del segnale (pari alla velocità della luce).
Teoricamente, conoscendo la velocità di propagazione dei segnali elettromagnetici e la
posizione di almeno tre satelliti al momento della trasmissione, sarebbe possibile calcolare la
posizione dell‟antenna ricevente con sole tre misure di distanza ricevitore-satellite. In tal caso,
infatti, non considerando le fonti di errore descritte in seguito, la posizione del ricevitore
corrisponderebbe all‟intersezione di tre luoghi di posizione sferici centrati nei satelliti al
momento della trasmisisone, i cui raggi sono le rispettive distanze misurate tra satelliti e
ricevitore.
Figura 2.3 – Principio di Funzionamento del Posizionamento GPS con Pseudorange
(Lehtinen,2001)
Tuttavia solo teoricamente il posizionamento è possibile con tre satelliti, poiché la scarsa
precisione del clock del ricevitore non permette una sincronizzazione precisa tra il tempo del
ricevitore ed il tempo GPS. Pertanto l‟asincronismo o offset tra il tempo GPS e quello del
ricevitore sono considerati come ulteriore incognita del problema da risolvere. Ne segue che
20

per il calcolo della posizione tridimensionale GPS sono necessarie almeno quattro misure
contemporanee da satelliti diversi.
Per migliorare la precisione nella posizione calcolata dal ricevitore è necessario considerare
gli effetti di una serie di fenomeni pertubativi, che, in proporzioni diverse, peggiorano
l‟accuratezza della posizione calcolata:
offset tra gli orologi dei satelliti e il tempo GPS,
rifrazione ionosferica e troposferica,
incertezza con cui si conoscono le effemeridi dei satelliti,
multipath 4 ,
rumore del ricevitore.
Si riporta nel paragrafo 2.5 un‟analisi dettagliata degli effetti generati dai fenomeni elencati e
di come possono essere trattati.
2.3 Struttura del Segnale
I satelliti GPS trasmettono con continuità dei segnali elettromagnetici opportunamente
modulati. Questi segnali vengono ricevuti da appositi ricevitori GPS, quali fruitori dei servizi
GPS, e dalle stazioni del segmento di controllo, impegnate nella gestione del sistema. La
generazione dei segnali GPS è basata sull‟utilizzo di oscillatori atomici ad alta precisione
imbarcati sui satelliti, caratterizzati da una stabilità dell‟ordine di (Parkinson-Spilker,
1996).
L‟accuratezza nel posizionamento raggiungibile dal sistema GPS è legata alla qualità del
clock dei satelliti, il quale è tenuto costantemente sotto controllo dalle stazioni del segmento
4 Il multipath introduce un ritardo temporale non modellabile dovuto alle riflessioni multiple del segnale su
ostacoli o superfici incontrate durante il suo percorso dal satellite all‟antenna del ricevitore.
21

terrestre. La frequenza fondamentale del clock dei satelliti è di 10.23 MHz e viene
impiegata per generare le tre componenti principali del segnale GPS: le portanti, i codici ed il
messaggio di navigazione.
Le portanti del segnale, ottenute moltiplicando la frequenza fondamentale per opportuni
coefficienti, sono due:
con lunghezza d‟onda
con lunghezza d‟onda
L‟uso combinato delle due frequenze permette ai ricevitori a doppia frequenza di eliminare il
ritardo del segnale dovuto alla rifrazione ionosferica.
La misura del tempo di propagazione del segnale, dal satellite al ricevitore, viene ricavata a
partire dai codici binari, detti ranging code, che modulano le portanti con la tecnica BPSK 5 .
In particolare la tecnica di modulazione BPSK adottata dal GPS prende il nome di DSSS
(Direct Sequence Spread Spectrum). I codici, pur avendo natura deterministica, hanno un
aspetto pseudo-casuale, da cui il nome di pseudo-random noise (PRN); essi, sono generati
mediante la tecnica SSM 6 e dimostrano buone caratteristiche di resistenza alle interferenze
ambientali e buona robustezza rispetto alla decodifica da parte di ricevitori non autorizzati
(Cina, 2000).
La figura seguente illustra il processo di modulazione della portante (RF carrier), modulata
dai dati del messaggio di navigazione (Data waveform) e dai codici pseudo-casuali (spreading
waveform). Il segnale modulato è individuato dalla dicitura DSSS signal.
5 La modulazione BPSK (Binary Phase-Shift Keying) è basata sul cambio di fase di 180° della portante in
corrispondenza di un cambio di valore nel segnale modulante; non è prevista invece alcuna variazione di fase se
il segnale modulante resta costante.
6 La tecnica SSM (Spread Spectrum Modulation) consiste nell‟impiegare una banda di frequenza molto più larga
di quella necessaria per il segnale.
22

Figura 2.4 – Modulazione del Segnale GPS (da Kaplan 2006)
I ranging codes, quali codici modulanti utilizzati per stimare la distanza satellite ricevitore,
sono due:
il codice C/A ed
il codice P.
Il codice C/A (Coarse Acquisition) ha una frequenza pari a ed è diverso per ogni
satellite; tale codice, destinato al servizio SPS, modula solo la portante L1 e consente un
posizionamento meno preciso del codice P.
Il codice P (Precision o Protect,) ha una frequenza e, come nel caso del codice C/A, è
diverso da satellite a satellite; destinato al serivzio PPS, modula entrambe le portanti ed è
decodificabile dai soli ricevitori autorizzati dal DoD.
Un terzo codice modulante, con una frequenza di 50 Hz, costituisce il messaggio di
navigazione. Indicato generalmente con la lettera D, esso modula entrambe le portanti e
23

fornisce una serie di informazioni indispensabili per il calcolo della posizione del ricevitore
tra cui:
le effemeridi del satellite o broadcast ephemeris, ovvero le informazioni per il calcolo
della sua posizione,
l‟almanacco dei satelliti di tutta la costellazione GPS, ovvero le effemeridi
approssimate di tutti i satelliti GPS utilizzate per il calcolo della visibilità dei satelliti,
le informazioni sul funzionamento di tutti i satelliti della costellazione,
i parametri correttivi del clock del satellite ed
il tempo di riferimento delle effemeridi.
Tutti i satelliti GPS trasmettono segnali alla stessa frequenza portante ma con diverso
messaggio di navigazione e con diverso ranging code, affinchè il ricevitore possa distinguere
tra i segnali ricevuti. Tale tecnica è definita CDMA (Code Division Multiple Access). I codici
adottati sono stati progettati per avere la minima correlazione per tutti gli sfasamenti
temporali (Kaplan, 2006).
Dal 31 gennaio 1994 è stata attivata in maniera permanente la tecnica dell‟Anti-spoofing e da
quel momento il codice P è disponibile ai soli utenti autorizzati mediante ricezione del codice
Y, dato dalla somma del codice P e di un codice di crittografia W(t) (Cina, 2000).
Il programma di modernizzazione del sistema GPS prevede la trasmissione di nuovi segnali:
il segnale in chiaro L2C, che in combinazione con il segnale L1 consente anche agli
utenti non autorizzati ad adoperare il codice P di limitare l‟errore ionosferico,
il segnale L5, modulato su una ulteriore portante a 1176.45 MHz e destinato ad
applicazioni definite di sicurezza,
il segnale L1C, progettato per l‟interoperabilità con il sistema Galileo e con gli altri
sistemi di navigazione satellitare e
24

destinato all‟uso militare è invece prevista l‟implementazione del codice M,
modulante entrambe le portanti L1 e L2 (Angrisano, 2010).
2.4 Osservabili
Le osservabili GPS sono i tipi di misure realizzabili con i ricevitori GPS elaborando i segnali
ricevuti e sono:
Misure di pseudorange (su codice C/A o su codice P),
Misure di fase (sulla portante L1 o su L2) e
Misure di shift Doppler (sulla portante L1 o su L2)
Le unità di misura per le grandezze appena definete sono rispettivamente metri, numero di
cicli ed hertz.
La misura di pseudorange si ottiene mediante un‟operazione di matching tra il codice C/A (o
P) ricevuto dal satellite e una sua replica generata internamente al ricevitore stesso, al fine di
determinare l‟intervallo corrispondente al ritardo tra il tempo di trasmissione e il tempo di
ricezione. In realtà, gli orologi del satellite e del ricevitore non sono sincronizzati, per cui
l‟intervallo temporale è pari alla differenza tra il tempo di ricezione misurato con l‟orologio
del ricevitore e il tempo di trasmissione misurato con l‟orologio del satellite :
2.1
25

L‟equazione 2.1 può essere opportunamente manipolata aggiungendo e sottraendo la quantità
, differenza tra le epoche di ricezione e trasmissione nella scala GPS 7 (scala
temporale di riferimento del sistema):
con
=
=
offset dell‟orologio del satellite rispetto al tempo GPS e
offset dell‟orologio del ricevitore rispetto al tempo GPS.
Moltiplicando ambo i membri per la velocità della luce si ha:
con
pseudorange e
distanza geometrica satellite-ricevitore.
La distanza è definita come:
7 La scala del tempo GPS è collegata alla scala UTC; la scala UTC ha una componente atomica, che definisce la
lunghezza del secondo ed una astronomica, legata al tempo UT1. Il giorno nella scala UT1 è definito come
intervallo tra due passaggi consecutivi del Sole al meridiano di Greenwich, considerando le correzioni dovute al
moto polare ed alla polodia. Nel caso in cui la differenza tra UT1 e UTC sia maggiore di 0.9 secondi, il tempo
UTC viene aggiornato inserendo in quest‟ultimo dei salti di 1 secondo (leap seconds). Il tempo GPS per
definizione non contempla salti temporali, per cui la differenza con il tempo UTC, coincidenti all‟istante zero
GPS, è pari al numero di leap second.
2.2
2.3
26

dove
, sono le coordinate del ricevitore e
sono le coordinate dell‟ -esimo satellite.
La misura di pseudorange è però affetta, oltre che dagli errori dovuti agli offset degli orologi,
anche dal contributo di errore , causato dai fenomeni introdotti al paragrafo 2.2.
L‟equazione di pseudorange si può dunque scrivere come segue:
dove il termine include errori di varia natura come mostrato di seguito:
in cui
è l‟errore introdotto dalla rifrazione ionosferica,
è l‟errore introdotto dalla rifrazione troposferica,
è l‟errore orbitale,
è l‟errore di multipath e
è l‟errore dovuto al rumore del ricevitore.
2.4
2.5
2.6
27

L‟accuratezza sulla precisione raggiungibile in modalità single point 8 , con una buona
configurazione geometrica dei satelliti GPS in vista, è di circa 10 metri (Angrisano, 2010).
La misura di fase si ottiene dal confronto tra la fase della portante ricevuta e la fase del
segnale replica generato dal ricevitore.
L‟utilizzo cinematico delle misure di fase è possibile solo risolvendo l‟ambiguità di fase per
ogni equazione di misura (Cina, 2000), cioè determinado il numero intero di lunghezze
d‟onda che coprono la distanza dal ricevitore all‟i-esimo satellite. La risoluzione
dell‟ambiguità di fase è necessaria ogni qual volta si aggancia un segnale e siccome la misura
di fase è molto sensibile al cycle slip 9 , questa tecnica non si presta agevolmente all‟utilizzo
cinematico (Vultaggio, 2010) e non è oggetto di questo lavoro.
Infine, l‟osservabile Doppler è la misura della differenza (shift Doppler) tra la frequenza della
portante GPS ricevuta e la frequenza nominale della stessa. La frequenza ricevuta differisce
da quella trasmessa a causa del moto relativo tra satellite e ricevitore.
Il prodotto tra lo shift Doppler e la lunghezza d‟onda della portante corrisponde alla derivata
della distanza tra il satellite e il ricevitore, a cui si da il nome di deltarange, anche detto
pseudorange rate (Parkinson-Spilker, 1996). Conoscendo la posizione e la velocità dei
satelliti si può utilizzare l‟osservabile deltarange per calcolare la velocità del ricevitore
(Kaplan, 2006) (considerando però nota la posizione del ricevitore).
Per il satellite i-esimo, l‟equazione che descrive l‟osservabile pseudorange rate, legata alla
misura Doppler, è la seguente:
8 In questo lavoro, il posizionamento è stato studiato nella modalità single point, cioè per una data epoca di
osservazione sono state elaborate le sole osservabili relative a quell‟epoca. Inoltre, non si è fatto ricorso a
correzioni differenziali o alcuna tecnica relativa per aumentare l‟accuratezza del calcolo.
9 Cicle slip: perdita momentanea della visibilità del satellite che introduce un‟incertezza sul numero intero di
cicli del segnale tra il centro di fase dell‟antenna trasmittente del satellite e il centro di fase dell‟antenna del
ricevitore.
28

dove
i simboli “ ” e “ ” indicano rispettivamenteil prodotto scalare tra due vettori ed il modulo
di un vettore,
è la velocità 10 dell‟i-esimo satellite,
è la velocità dell‟utente,
rappresenta la velocità relativa satellite ricevitore,
è il vettore posizione dell‟i-esimo satellite,
è il versore della congiungente satellite ricevitore,
è la velocità della luce nel vuoto,
è il clock drift dell‟orologio del satellite rispetto al tempo GPS,
è il clock drift dell‟orologio del ricevitore rispetto al tempo GPS,
rappresenta i contributi di errore causati dai fenomeni introdotti al paragrafo 2.2, esplicitati
nella formula 2.8.
Gli errori dell‟osservabile pseudorange rate (tranne gli errori legati agli orologi) sono
riassunti nella seguente espressione:
in cui
10 Tutte le velocità, se non indicato diversamente, si intendono espresse nel sistema di coordinate ECEF.
2.7
2.8
29

è l‟errore in velocità dovuto all‟errore ionosferico (m/s),
è l‟errore in velocità dovuto all‟errore troposferico (m/s),
è l‟errore in velocità dovuto all‟errore orbitale (m/s),
è l‟errore in velocità dovuto all‟errore di multipath (m/s) e
è l‟errore in velocità legato al rumore del ricevitore (m/s).
L‟accuratezza nel calcolo della velocità raggiungibile mediante osservabili Doppler è
dell‟ordine di qualche centimetro per secondo (Hoffmann-Wellenhof, 1992). La notevole
precisione intrinseca della osservabile pseudorange rate è dovuta al fatto che le componenti di
errore che intervengono nella 2.7 risultano le derivate dei corrispettivi termini relativi
all‟osservabile fase.
Si riporta in appendice al lavoro una breve descrizione del modello fisico dell‟effetto Doppler.
2.5 Errori delle Osservabili
Come illustrato nel lavoro di (Cina, 2000), la precisione delle posizioni calcolate da un
ricevitore GPS dipende dalla precisione con cui possono essere determinate le distanze
satellite-ricevitore.
In generale gli errori delle misure possono essere classificate in tre categorie:
errori accidentali di misura, definiti come errori di entità variabile dovuti alla
inevitabile e imprevedibile imprecisione degli strumenti usati;
errori sistematici dovuti all‟accuratezza con cui è stata svolta l‟operazione di misura e
dall‟idoneità o meno degli struenti utilizzati. Gli errori sistematici influiscono sulle
misurazioni sempre nello stesso verso e spesso con la stessa entità;
30

errori grossolani, errori non prevedibili e di entità variabile, dovuti a fattori esterni che
possono intervenire durante la misurazione.
Nelle seguenti sezioni i vari errori delle osservabili GPS sono classificati nelle diverse
tipologie di errore.
2.5.1 Errori Accidentali
Rientra nella categoria degli errori accidentali di misura l‟errore nel calcolo
dell‟autocorrelazione tra il codice trasmesso dal satellite e la sua replica generata localmente
nel ricevitore; in maniera empirica si può asserire che le attuali tecniche di processamento dei
segnali digitali consentono una precisione dell‟ordine dell‟1% della durata del bit del ranging
code (Angrisano, 2006). Pertanto la precisione delle misure di pseudorange è strettamente
dipendente dalla durata temporale del bit trasmesso; considerando la durata del bit per i
ranging code, per il codice C/A si ha una precisione sulla misura di ±3 metri, mentre per il
codice P la precisione è di ±30 cm. Analogamente, la precisione teorica sulla misura di fase è
dell‟1% della lunghezza d‟onda, quindi ±2mm per la portante L1 (Vultaggio, 2010).
Infine, essendo la misura Doppler definita come derivata della misura di fase della portante
(Angrisano, 2010), si può asserire che la precisione sulla misura Doppler dipende dalla
precisione con cui si misura la fase.
La Selective Availability (SA) può essere considerata un ulteriore contributo all‟errore sulle
misure di tipo accidentale. La SA è una tecnica per degradare le prestazioni GPS voluta dal
DoD e non più attiva dall‟anno 2000; i satelliti costruiti a partire dal 2007 non prevedono più
la possibilità di attivare tale funzione (GPS Standard Positioning Service Performance
Standard, 2008). Il degradamento della precisione era realizzato sia introducendo errori nelle
effemeridi trasmesse che riducendo la precisione degli orologi atomici. Con SA attivata la
precisione di posizionamento dichiarata dal DoD era di 300 metri in planimetria al 99.9% di
31

probabilità e 100 metri al 95% (Cina, 2000). L‟errore introdotto dalla SA era comunque
riducibile fortemente mediante tecniche di misura differenziali.
2.5.2 Errori Sistematici
Gli errori sistematici riscontrabili nel sistema GPS sono l‟offset degli orologi del satellite e del
ricevitore, i ritardi dovuti alle rifrazioni atmosferiche e gli errori delle effemeridi.
L‟errore degli orologi dei satelliti e dei ricevitori si può suddividere in due aliquote:
- l‟errore di offset o asincronismo, definito come traslazione temporale dell‟origine dei
tempi rispetto al tempo GPS ed
- il drift o deriva dell‟orologio, legato all‟accelerazione del ritmo di scansione del tempo
(Cina, 2000).
Gli errori degli orologi dei satelliti sono tenuti sotto osservazione dalle stazioni del segmento
di controllo GPS, le quali, tramite il messaggio di navigazione, forniscono i parametri per il
calcolo dell‟errore da rimuovere.
L‟errore del clock del ricevitore, è anch‟esso legato dall‟asincronismo rispetto al tempo GPS e
alla stabilità dell‟orologio locale, di solito al quarzo. Come già detto, a causa della limitata
stabilità del clock locale e dell‟impossibilità fisica di sincronizzarlo con il tempo GPS
(Vultaggio, 2010), tale errore è considerato come ulteriore incognita da calcolare.
Gli errori di rifrazione atmosferica derivano dal considerare costante la velocità di
propagazione delle onde elettromagnetiche in atmosfera. La velocità di propagazione della
luce, infatti, dipende dalle caratteristiche fisico-chimiche del mezzo che attraversa (Parkinson-
Spilker, 1996); generalmente due strati dell‟atmosfera risultano di interesse per il sistema
GPS: troposfera e ionosfera.
32

La troposfera si estende dal suolo fino a circa 50 Km di quota (Parkinson-Spilker, 1996) e si
può considerare a sua volta costituita da due parti:
una parte umida, con estensione dal suolo fino a circa 11 km di quota, a cui è dovuto il
90% dell‟errore troposferico e
una parte secca, con estensione dal limite superiore della parte umida fino a 50 Km di
quota, alla quale si deve il restante 10% di errore.
La velocità di propagazione della luce nella troposfera è influenzata prevalentemente dalle
grandezze fisiche, quali la temperatura, l‟umidità e la pressione atmosferica. Fortunatamente,
questi parametri non variano velocemente in valore assoluto e l‟errore sulla distanza misurata
generalmente non varia di più del ±10%, tranne che su lunghi periodi di osservazione
(Parkinson-Spilker, 1996). L‟errore legato alla troposfera di un satellite situato allo zenith
dell‟osservatore è di 2-3 metri circa; generalmente l‟entità di tale errore per un generico
satellite dipende direttamente dall‟angolo zenitale del satellite (di solito l‟errore cresce con
l‟angolo zenitale). Tali caratteristiche rendono il suo contributo modellabile e quindi
fortemente riducibile. Resta comunque valida la procedura di mascheramento dei satelliti con
angolo zenitale maggiore di 75° al fine di limitare l‟errore della rifrazione troposferica sulla
misura di distanza alla decina di metri. In questo lavoro è stato utilizzato il modello di
Hopfield descritto in dettaglio in (Parkinson-Spilker, 1996).
L‟effetto rifrattivo della troposfera è invariante con la frequenza fino a 15 GHz e pertanto non
è eliminabile dai ricevitori a doppia frequenza.
L‟effetto troposferico sulle misure di deltarange comporta un errore molto ridotto, in quanto,
considerata la lenta velocità di variazione dei parametri fisici dell‟atmosfera e la conseguente
33

piccola velocità di variazione dell‟indice di rifrazione, la derivata dell‟errore sulla misura
pseudorange è anch‟essa molto piccola (Parkinson-Spilker, 1996).
La ionosfera si estende dal limite della troposfera fino a circa 1000 Km di quota. In questa
regione la velocità di trasmissione delle onde elettro-magnetiche è fortemente dipendente dal
contenuto totale di elettroni incontrato dal segnale durante la sua propagazione (TEC – Total
Electron Content).
Dal punto di vista della misura di pseudorange, la rifrazione ionosferica apporta un ritardo del
segnale, per cui la misura risulta sistematicamente maggiore di quella vera. Al contrario, la
misura di fase della portante subisce un anticipo temporale di pari entità (Hoffmann-
Wellenhof et al. 1992).
Le caratteristiche fisiche della ionosfera variano molto rapidamente nel tempo, per cui l‟errore
allo zenith sulla misura di distanza dovuto alla rifrazione ionosferica può variare da pochi
metri ad alcune decine di metri e non è facilmente modellabile (Parkinson-Spilker, 1996). In
caso di posizionamento con pseudorange con singola frequenza è possibile ridurre gli effetti
del ritardo atmosferico attraverso opportuni modelli (IS-GPS-200, 2004); il più diffuso
modello ionosferico è il modello di Kloubuchar, adottato in questo lavoro, i cui parametri
correttivi sono inclusi nel messaggio di navigazione trasmesso dai satelliti.
La ionosfera è un mezzo di trasmissione dispersivo in frequenza, pertanto risulta possibile
eliminare il ritardo introdotto sul segnale mediante un modello matematico (detto “iono-free”)
che combina le misure sulle due portanti.
L‟errore ionosferico sulle misure deltarange è proporzionale alla velocità di variazione del
TEC nell‟atmosfera; considerata la variabilità di questo parametro si può con buona
approssimazione affermare che la ionosfera può apportare uno shift massimo in frequenza di
0.085 Hz su L1, corrispondente a un errore deltarange di 1.6 cm al secondo (Parkinson-
Spilker, 1996).
34

Gli errori d‟orbita incidono significativamente sulla precisione del calcolo della posizione,
soprattutto per le applicazioni di posizionamento di precisione, a mezzo di misure di fase o di
pseudorange. Essi sono legate all‟incertezza con cui si conoscono le coordinate vere
istantanee dei satelliti. In particolare, le effemeridi trasmesse o broadcast individuano una
traiettoria del satellite predetta, la cui accuratezza è circa 2-3 metri (Warren, 2002); le
effemeridi “precise” sono calcolate e diffuse a posteriori da appositi istituti ed hanno
accuratezza di 3-5 centimetri (Héroux, 1998). Inoltre, per le applicazioni in tempo reale, l‟IGS
(International GNSS Service) è in grado di fornire le orbite dei satelliti GNSS con precisione
sub-metrica. Gli errori d‟orbita, infine, così come tutti gli errori sistematici, sono comunque
riducibili mediante tecniche di posizionamento relativo o differenziale (Vultaggio, 2010).
2.5.3 Errori Grossolani
Gli errori grossolani influiscono notevolmente sulle misure. In particolare le misure effettuate
in ambiente “ostile”, ad esempio in ambiente cittadino o indoor, sono spesso affette da questo
genere di errore.
Appartengono alla categoria degli errori grossolani i seguenti errori riscontrabili nel sistema
GPS:
- il multipath,
- il rumore del ricevitore,
- le interferenze elettromagnetiche,
- la posizione del centro di fase dell‟antenna.
Il multipath si ha quando parte del segnale trasmesso arriva all‟antenna ricevente in maniera
indiretta, riflessa da superfici incontrate durante il percorso di propagazione, e dunque la
misura tra il centro di fase dell‟antenna del ricevitore e quello del satellite non avviene
secondo un percorso rettilineo. In generale solo una piccola parte del segnale arriva riflesso al
35

icevitore, ma questo fenomeno causa comunque dei disturbi alle misure (Cina, 2000). Le
riflessioni multiple possono causare errori importanti sulle misure di pseudorange e fase,
poiché allungano il tempo di percorrenza del segnale e quindi la distanza misurata.
Sulle misure Doppler, invece, il multipath interviene in maniera trascurabile (Godha, 2006).
Le interferenze elettromagnetiche possono causare elevata rumorosità del segnale, per cui
risulta difficile effettuare una buona autocorrelazione all‟interno del ricevitore. La
conseguenza diretta è la presenza di errori nelle misure e nel caso peggiore la perdita del
segnale (Cina, 2000).
Nei riguardi delle interferenze elettromagnetiche le misure Doppler sono molto meno sensibili
delle misure di codice, proprio per la particolare architettura del segnale (A.Lehtinen, 2001).
Questo si traduce nella possibilità di effettuare misure di frequenza Doppler su segnali GPS di
cui non si riesce ad estrarre la componente modulante, rendendo possibile con opportuni
algoritmi il calcolo della posizione del ricevitore anche in presenza di segnali molto disturbati
come si vedrà nel seguito di questo lavoro.
L‟errore introdotto nel considerare fissa la posizione del centro di fase dell‟antenna al variare
della frequenza ricevuta si può considerare trascurabile per gli scopi di navigazione, in quanto
è dell‟ordine del centimetro (Cina, 2000).
I principali errori che caratterizzano le osservabili GPS sono mostrate in Figura 2.5.
36

2.6 Sistemi di Riferimento
Figura 2.5 – Errori delle Osservabili GPS (Vultaggio, 2010)
Alcuni sistemi di riferimento maggiormente usati in navigazione ed in questo lavoro sono di
seguito definiti.
37

Il sistema di coordinate ECI (Earth-Centred Inertial) è un sistema inerziale 11 definito nella
maniera seguente:
Origine nel centro di massa della Terra,
Asse X diretto verso il punto vernale,
Asse Y diretto in modo che la terna risulti ortogonale e levogira ed
Asse Z coincidente con l‟asse di rotazione terrestre.
In realtà, essendo il centro della Terra in moto di rivoluzione intorno al Sole e l‟asse di
rotazione sottoposto a moti di precessione e nutazione, il sistema di coordinate ECI non è
inerziale; tuttavia per gli scopi navigazionali lo si considera tale (Nastro, 2004).
Il sistema di coordinate ECEF (Earth-Centred Earth-Fixed) è solidale alla Terra ed è definito
come segue:
Origine nel centro di massa della Terra,
Asse X diretto verso il piede del meridiano di Greenwich,
Asse Y diretto in modo che la terna risulti ortogonale e levogira ed
Asse Z coincidente con l‟asse di rotazione terrestre.
Il sistema di coordinate ENU (East North Up) è un sistema locale, definito come segue:
Origine nel centro del sistema di navigazione,
Asse X diretto verso il punto cardinale Est,
Asse Y diretto verso il punto cardinale Nord ed
Asse Z diretto verso l‟alto lungo la normale ellissoidica
11 Assenza si rotazioni e accelerazioni rispetto alle stelle fisse.
38

Per convenienza di calcolo, in generale si usa riportare le posizioni dei satelliti e dell‟antenna
ricevente nel sistema di coordinate ECEF, solidale alla Terra. Le orbite dei satelliti sono
fornite in forma Kepleriana legate al riferimento ECI e poi convertite, a livello del ricevitore e
tramite opportuni algoritmi (descritti nella sezione 3.1) in un riferimento ECEF. In questo
lavoro, se non diversamente specificato, tutte le coordinate saranno espresse nel sistema
ECEF.
Per quanto riguarda il sistema di riferimento geodetico, generalmente i ricevitori GPS
forniscono di default le coordinate rispetto all‟ellissoide geocentrico WGS84 (World Geodetic
System 1984).
Le terne ECEF, ECI e ENU sono riportate in Figura 2.6.
Figura 2.6 – Sistemi di Riferimento ECI, ECEF e ENU (da Angrisano 2010)
2.7 Tecniche di Posizionamento
Il posizionamento GPS può essere eseguito secondo diverse modalità (Cina, 2000), di seguito
elencate:
39

Posizionamento assoluto o single point positioning, in cui le coordinate di un vertice
sono determinate rispetto al sistema di riferimento globale WGS84;
Posizionamento relativo, in cui vengono calcolate le componenti del vettore base-line
che unisce due vertici, riducendo notevolmente gli errori sistematici sulle misure
effettuate dalle due stazioni;
Posizionamento differenziale, posizionamento di un rover (ricevitore GPS solitamente
mobile) con pseudorange corrette o correzioni sulla posizione calcolata. Le correzioni
sono calcolate da una stazione di riferimento di cui è nota la posizione e trasmesse
mediante varie tecniche (HF, GPRS, da satellite, ecc). Vengono ridotti gli errori
sistematici come nel caso di posizionamento relativo.
Per quanto riguarda le misure GPS, queste possono essere:
Statiche, se la stazione è fissa;
Figura 2.7 – Schema Componenti sistema DGPS (Kaplan, 2006)
Cinematiche, se il ricevitore è in continuo movimento
40

Le osservabili GPS possono essere elaborate:
In tempo reale, la posizione è calcolata dal ricevitore epoca per epoca;
In post-elaborazione, i dati sono elaborati dopo l‟acquisizione, con la possibilità di
utilizzare effemeridi precise in luogo delle effemeridi trasmesse.
In generale, le modalità di misura più diffusamente impiegate sono:
Misure di codice, sul codice C/A o P
Misure di fase sulle portanti del segnale
Una terza modalità di misura, non utilizzata per posizionamenti di precisione, è la misura di
shift Doppler dei segnali GPS che è alla base degli algoritmi sviluppati in questo lavoro e
mostrati nei capitoli successivi.
41

3 Algoritmi per il Calcolo di Posizione e Velocità del
Ricevitore
Nel presente capitolo è affrontato lo studio teorico alla base degli algoritmi implementati in
questo lavoro. Sono esaminate le tecniche per il calcolo di posizione e velocità di un
ricevitore con osservabili pseudorange e Doppler; in particolare sono descritte: una tecnica
iterativa per il posizionamento con osservabili pseudorange, una tecnica innovativa di
posizionamento con osservabili Doppler ed una tecnica per il calcolo della velocità con
osservabili Doppler.
Gli algoritmi di posizionamento basati su osservabili pseudorange, come sarà chiarito in
seguito, richiedono in input la posizione dei satelliti all‟epoca di trasmissione; gli algoritmi
che fanno uso delle osservabili Doppler, necessitano inoltre della velocità dei satelliti allo
stesso istante. Per questa ragione l‟algoritmo per il calcolo di posizione e velocità dei satelliti
con effemeridi trasmesse è riportato di seguito.
3.1 Calcolo di Posizione e Velocità dei Satelliti
Un satellite GPS ruota intorno alla Terra descrivendo orbite ellittiche. A causa di fenomeni
perturbativi, però, come la non sfericità della Terra, l‟orbita percorsa dal satellite non è mai
perfettamente ellittica. Pertanto, oltre ai sei parametri Kepleriani che individuano per ogni
istante l‟orbita teorica e la posizione del satellite su di essa, le effemeridi trasmesse includono
altri nove parametri che tengono conto delle perturbazioni, definiti appunto parametri
perturbativi. Nella seguente tabella sono elencati tutti gli elementi che compongono le
effemeridi trasmesse dai singoli satelliti (informazioni contenute nel messaggio di
42

navigazione), con relativa descrizione, unità di misura e natura (parametro Kepleriano o
perturbativo).
Tabella 3.1 – Effemeridi GPS Trasmesse (Broadcast Ephemeris)
Parametri Descrizione Commenti
M 0
n
Anomalia Media al Tempo di Riferimento
Correzione del Moto Medio
e Eccentricità
A
0
i 0
Radice Quadrata del Semi-Asse Maggiore
Longitudine del Nodo Ascendente
Angolo di Inclinazione al Tempo di Riferimento
Argomento del Perigeo
Velocità Angolare dell‟Ascensione Retta
IDOT Velocità Angolare dell‟Inclinazione
C uc
C us
C rc
C rs
C ic
C is
toe
Ampiezza dell‟Armonica Coseno del Termine di
Correzione dell‟Argomento di Latitudine
Ampiezza dell‟Armonica Seno del Termine di
Correzione dell‟Argomento di Latitudine
Ampiezza dell‟Armonica Coseno del Termine di
Correzione del Raggio dell‟Orbita
Ampiezza dell‟Armonica Seno del Termine di
Correzione del Raggio dell‟Orbita
Ampiezza dell‟Armonica Coseno del Termine di
Correzione dell‟Angolo di Inclinazione
Ampiezza dell‟Armonica Seno del Termine di
Correzione dell‟Angolo di Inclinazione
Tempo di Riferimento delle Effemeridi (s)
Parametro Kepleriano
(rad)
Parametro di
Correzione
(rad/s)
Parametro Kepleriano
(adimensionale)
Parametro Kepleriano
(m 1/2 )
Parametro Kepleriano
(rad)
Parametro Kepleriano
(rad)
Parametro Kepleriano
(rad)
Parametro di
Correzione (rad/s)
Parametro di
Correzione (rad/s)
Parametro di
Correzione (rad)
Parametro di
Correzione (rad)
Parametro di
Correzione (m)
Parametro di
Correzione (m)
Parametro di
Correzione (rad)
Parametro di
Correzione (rad)
43

L‟ultima riga della Tabella 3.1 riporta il tempo di riferimento delle effemeridi, definito come
l‟istante di tempo in cui sono riferiti i parametri delle effemeridi. Il calcolo diretto della
posizione dei satelliti è dunque possibile solo per l‟istante (o epoca) di riferimento.
In generale, occorre conoscere con la massima precisione possibile la posizione dei satelliti
all‟epoca di trasmissione dei segnali che si è ricevuti, non necessariamente coincidente con
l‟epoca . A tale scopo sono stati sviluppati degli algoritmi di propagazione orbitale.
L‟algoritmo di propagazione orbitale implementato in questo lavoro è tratto da (IS-GPS-200,
2004). L‟algoritmo per il calcolo della velocità dei satelliti, adottato nel presente lavoro, è
descritto in dettaglio in (Remondi, 2004).
La tabella successiva riporta l‟algoritmo completo per il calcolo della posizione dei satelliti e
della loro velocità, espressi in coordinate ECEF.
Tabella 3.2 – Calcolo di Posizione e Velocità dei Satelliti GPS [da (IS-GPS-200, 2004) e
14
3.986005 10 (m 3 /s 2 )
5
e 7.2921151467 10 (rad/s)
(Remondi, 2004)]
Costante Gravitazionale
Terrestre WGS84
Velocità Angolare
Terrestre WGS84
2
A A
Semi-Asse Maggiore
n
Moto Medio Calcolato
A
0 3
t t toe
Intervallo di Tempo dal
t
n n0 n
Moto Medio Corretto
M M0 n t
Anomalia Media
M E esin E
oe
Equazione di Keplero
(si ricava E in maniera
iterativa)
44

M n
M
E
1 ecosE
Velocità Angolare
dell‟Anomalia Media
Velocità Angolare
dell‟Anomalia
Eccentrica
1
e E v 2arctan tan
1e 2
Anomalia Vera
E E e v 1 e cos E sin
v sin 1 cos
v
v
u C sin 2 C cos 2
us uc
u v 2Cuscos2Cucsin2 v
1 cos
rs sin 2rccos2 Velocità Angolare
dell‟Anomalia Vera
Argomento di
Latitudine
Argomento di
Latitudine Corretto
Velocità Angolare
dell‟Argomento di
Latitudine
r A e E C C
Raggio Corretto
r Aesin E E 2Crscos2Crcsin2 v
Velocità di Variazione
del Raggio
i i0 IDOT t Cis sin 2 Cic
cos 2
Inclinazione Corretta
i IDOT 2Ciscos2Cicsin2 v
t t
0 e e oe
e
x r cos u
orb
y r sin u
z
orb
orb
0
x rcosu y u
y rsin u xu
z
orb orb
orb orb
orb
0
Velocità Angolare
dell‟Inclinazione
Longitudine Corretta
del Nodo Ascendente
Velocità Angolare
del Nodo Ascendente
Posizione nel Piano
Orbitale
Velocità nel Piano
Orbitale
45

x x cos y cos i sin
orb orb
y x sin y cos i cos
orb orb
z y sin i
orb orb
x x cos y cos i sin y sin i sin i y
orb orb orb
y x sin y cos i cos y sin i cos i x
orb orb orb
z y sin i y cos i i
orb orb
3.2 Posizionamento con Osservabili Pseudorange
Posizione
in coordinate ECEF
Velocità
in coordinate ECEF
Il posizionamento con misure di pseudorange è la tecnica di posizionamento principale per
cui è stato progettato il sistema GPS. In questa sezione si riporta un‟analisi dettagliata del suo
modello matematico e dell‟algoritmo implementato.
3.2.1 Equazione di Misura di Pseudorange
La misura di pseudorange, definita al paragrafo 2.4, può essere espressa come somma della
pseudorange vera e del contributo degli errori descritti al paragrafo 2.2:
con pseudorange vera definita come
dove
3.1
3.2
46

sono le coordinate del ricevitore,
sono le coordinate dell‟ -esimo satellite,
è la velocità della luce,
è l’offset tra l‟orologio del ricevitore e il tempo GPS e
è un termine che include i vari errori di misura.
La 3.1 può essere riscritta esplicitando tutti i termini:
dove i termini d‟errore sono già stati definti in precedenza.
L‟offset dell‟orologio del satellite rispetto al tempo GPS, può essere determinato
usando i parametri inclusi nel messaggio di navigazione e può essere omessa dall‟equazione
della pseudorange, così come i vari termini d‟errore possono essere corretti o fortemente
ridotti mediante l‟uso di opportuni modelli. L‟equazione di pseudorange può quindi essere
espressa come segue:
Tale equazione rappresenta la relazione tra l‟osservabile pseudorange, riportata al primo
membro e le incognite del problema di posizionamento, costituite dalle coordinate e
dall‟offset del clock del ricevitore.
3.3
3.4
47

Per ricavare le quattro incognite sono necessarie almeno quattro misure simultanee di
pseudorange, cioè devono essere effettuate misure di codice da almeno quattro satelliti
contemporaneamente.
Il sistema da risolvere è quindi costituito da un insieme di equazioni del tipo 3.4 ed assume
quindi la seguente forma:
con numero di misure effettuate nell‟epoca considerata.
Ricavando anche l‟offset del ricevitore, il sistema di equazioni può essere utilizzato anche per
fornire con buona precisione il tempo GPS, utile per applicazioni che richiedono la
sincronizzazione con il tempo UTC.
3.2.2 Stima della Soluzione
Il sistema di equazioni di pseudorange 3.5, non è lineare nelle incognite e e può
essere risolto mediante tecniche di linearizzazione intorno ad una posizione stimata.
Per ogni satellite, si definisce definisce pertanto una pseudorange stimata in cui le coordinate
e l‟offset dell‟orologio del ricevitore assumono dei valori stimati:
dove
3.5
3.6
48

è la pseudorange stimata relativa all‟i-esimo satellite,
e sono le coordinate stimate del ricevitore,
e sono le coordinate dell‟i-esimo satellite,
è la stima dell‟offset del ricevitore.
L‟equazione di pseudorange linearizzata è ottenuta sviluppando in serie di Taylor l‟equazione
3.4 intorno alle stime a priori di posizione e offset dell‟orologio del ricevitore; la misura di
pseudorange risulta uguale alla pseudorange stimata sommata alle derivate parziali
dell‟equazione di pseudorange rispetto alle incognite (valutate nella posizione stimata),
moltiplicate per le differenze tra parametri veri e stimati:
in cui le derivate parziali possono essere sviluppate come segue
3.7
3.8
49

e dove
ricevitore esatta e quella stimata scelta per la linearizzazione e
sono la differenze tra la posizione del
è differenza tra l‟offset vero e quello stimato.
Il sistema linearizzato (costituito da equazioni del tipo 3.7 può essere posto nella seguente
forma matriciale (Vultaggio, 2010):
dove
con differenza tra misura di pseudorange e pseudorange stimata,
matrice di misura (o matrice disegno) i cui elementi rappresentano i coseni direttori dei vettori
rispetto alla terna di riferimento ECEF e
3.9
3.10
3.11
50

Il vettore contiene le nuove incognite da stimare.
In caso di quattro misure di pseudorange simultaneee, dalla 3.9 è possibile calcolare il vettore
delle correzioni come segue (ipotizzando che la matrice disegno sia invertibile):
Le correzioni vengono aggiunte alle coordinate della posizione stimata e all‟offset stimato
al fine di ottenere la posizione aggiornatacon misure di pseudorange:
con vettore delle incognite che include le tre coordinate e l‟offset del ricevitore
e vettore delle stime delle incognite
3.12
3.13
3.14
51

Generalmente i satelliti osservati sono in numero maggiore di quattro, per cui il sistema 3.9
risulta sovradeterminato ed incompatibile, cioè non ammette soluzione esatta. Assumendo gli
errori nelle misure di pseudorange non correlati e a media nulla, il sistema 3.9 viene risolto
secondo la tecnica dei minimi quadrati ed assume la seguente forma (Angrisano, 2006):
La ricerca della soluzione del sistema 3.9 ai minimi quadrati è un processo iterativo e si
compone dei seguenti passi:
Inizializzazione del vettore delle incognite con posizione e offset dell‟orologio stimati,
Calcolo della matrice disegno ,
Calcolo della soluzione del sistema 3.9, tramite l‟espressione 3.15,
Aggiornamento della posizione e offset stimati tramite l‟equazione 3.14,
Nuova inizializzazione del vettore delle incognite con la posizione stimata e offset
aggiornati,
Nuovo ciclo
Il criterio di arresto è legato alla differenza tra le posizioni stimate in due cicli consecutivi:
quando è inferiore ad una soglia predefinita il processo si arresta.
Affinchè il metodo converga è sufficiente fornire una stima della posizione iniziale anche non
accurata. Per quanto riguarda l‟asincronismo del ricevitore, non è possibile effettuare una
stima iniziale, per cui si pone questo parametro uguale a zero.
3.15
52

La precisione o accuratezza nel calcolo della posizione in modalità single point è di circa 10
metri (Angrisano, 2010).
A seguire è riportato lo schema a blocchi dell‟algoritmo di posizionamento con osservabili
pseudorange, in cui gli input sono le osservabili pseudorange, e la posizione stimata del
ricevitore.
Figura 3.1 – Algoritmo di Calcolo della Posizione con Osservabili Pseudorange
3.2.3 Descrizione Dettagliata dell’Algoritmo
Si riporta di seguito lo schema a blocchi dell‟algoritmo di posizionamento con pseudorange
in cui sono evidenziati i sottoprogrammi sviluppati per effettuare le correzioni all‟osservabile
pseudorange. Nel paragrafo seguente tali algoritmi saranno illustrati in dettaglio.
53

Figura 3.2 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento con Pseudorange
Le osservabili utilizzate sono state acquisite da una stazione fissa, pertanto è stato sviluppato
un apposito algoritmo per la lettura dei file RINEX di osservabili. Il blocco OBS GPS
rappresenta l‟osservabile pseudorange acquisita dal ricevitore in una determinata epoca di
misura. L‟osservabile è definita “RAW PSEUDORANGE” in quanto affetta dagli errori
descritti al Paragrafo 2.5. La correzione per l‟offset dell‟orologio del satellite e la correzione
54

elativistica sono ricavate dalle informazioni contenute nel messaggio di navigazione. Per la
lettura delle effemeridi è stato sviluppato un algoritmo di lettura dei file RINEX di
navigazione e le effemeridi sono indicate come “GPS EPH”. Gli errori dovuti alla
propagazione atmosferica dipendono dalla posizione stimata dal ricevitore e dalla posizione
dei satelliti all‟istante di misura; inoltre dipendono dal giorno dell‟anno, poiché hanno una
variabilità stagionale, e dall‟ora del giorno. Per l‟errore di propagazione ionosferica vengono
inoltre forniti dal sistema GPS dei parametri di correzione. Le correzioni per l‟errore
troposferico e ionosferico vengono calcolate mediante appositi algoritmi e sono incluse
blocco “ATMOSPHERIC MODEL”. Il calcolo della posizione del ricevitore richiede oltre
alle osservabili anche la posizione dei satelliti all‟istante di trasmissione. La posizione dei
satellti viene calcolata da un algoritmo di propagazione orbitale, individuato nel grafico dal
blocco ”ORBITAL PROPAGATOR GPS”, e tratto da (IS-GPS-200, 2004); tale algoritmo è
stato mostrato in dettaglio al paragrafo 3.1. Successivamente la posizione dei satelliti viene
ulteriormente corretta per la rotazione terrestre intervenuta durante la propagazione dei
segnali dai satelliti al ricevitore. Il calcolo della posizione è infine risolto mediante uno
stimatore ai minimi quadrati, rappresentato nel grafico con la dicitura LEAST SQUARE
ESTIMATOR.
3.2.4 Algoritmi di Correzione
Correzione per l’offset orologio del satellite
Come già accennato il messaggio di navigazione contiene dei parametri correttivi atti ad
eliminare l‟asincronismo tra l‟orologio del satellite ed il tempo GPS. Il polinomio utilizzato
per modellare tale effetto è il seguente:
+ 3.16
55

con
tempo di riferimento delle correzioni del clock,
epoca per cui si vuole calcolare la correzione,
e parametri correttivi contenuti nel messaggio di navigazione,
la correzione relativistica che tiene conto della piccola eccentricità delle orbite dei
satelliti GPS che causa una variazione continua e periodica della velocità dei satelliti
(Vultaggio, 2010).
La correzione relativistica viene calcolata mediante la seguente espressione(IS-GPS-200,
2004):
con
eccentricità dell‟orbita,
radice del semiasse maggiore dell‟orbita e
anomalia eccentrica del satellite.
,
L‟errore residuo dell‟offset dell‟orologio del satellite dopo la correzione introdotta, può
variare tra 0.4 e 4 metri RMS, a seconda di quanto siano recenti le correzioni (Kaplan, 2006).
Correzione per la rifrazione ionosferica e troposferica
Per la correzione del ritardo introdotto dalla rifrazione ionosferica esistono vari modelli (ad
es. il modello di Klobuchar) che sulla base dei parametri forniti nel messaggio di navigazione
3.17
56

permettono di ridurre questo errore. L‟errore residuo sulla posizione dopo l‟applicazione del
modello di Klobuchar è di circa 7 metri RMS (Kaplan, 2006).
Le misure di pseudorange possono essere anche corrette per il ritardo troposferico, mediante
appositi modelli matematici del fenomeno. Il modello utilizzato in questo lavoro è il modello
di Hopfield.
Correzione per la rotazione terrestre
La posizione dei satelliti viene calcolata nel sistema di coordinate ECEF, solidale alla Terra.
L‟algoritmo di posizionamento deve tenere conto della variazione di coordinate ECEF dei
satelliti avvenuta durante il tempo che occorre affinché il segnale GPS dal satellite raggiunga
il ricevitore.
3.2.5 Limiti del Posizionamento con Pseudorange
Il sistema GPS è stato progettato per operare mediante misure di pseudorange e per
posizionamento in open sky, ad esempio in mare aperto, garantendo in queste circostanze
delle ottime prestazioni. Il numero garantito di satelliti visibili in ogni istante è di almeno 4,
anche se in buone condizioni di visibilità varia da 6 a 12 (Vultaggio, 2010).
L‟integrazione del GPS con altri sistemi satellitari come il Russo GLONASS o il nascente
sistema Europeo Galileo porterà ad avere un numero di satelliti visibili sensibilmente
incrementato. Per un utilizzo in ambiente cittadino, invece, caratterizzato dalla presenza di
ostacoli di varia natura, oppure in ambiente indoor, cioè all‟interno di edifici, si osserva un
netto decadimento delle prestazioni di posizionamento, in termini di errore sulla posizione o
di impossibilità a calcolarla.
Gli ostacoli possono essere una fonte di errore nel posizionamento da diversi punti di vista:
limitano la visibilità del cielo e quindi il numero di satelliti intervisibili con l‟antenna;
57

possono generare fenomeni di riflessione del segnale o multipath, il quale arriva al
ricevitore percorrendo una distanza maggiore della traiettoria diretta, errore che si
propaga sul calcolo del posizione degradandola sensibilmente.
Può capitare, soprattutto in ambiente disturbato, che il segnale ricevuto da uno o più satelliti
visibili, sia talmente disturbato da non riuscirne a estrapolare il messaggio di navigazione e/o
il ranging code. In tal caso la misura di pseudo-distanza dal satellite risulta inutilizzabile per il
calcolo della posizione ed è necessario attuare un approccio differente. Ad esempio il
messaggio di navigazione può essere reso disponibile al ricevitore attraverso altri canali
(Assisted GPS) e, nonostante la difficoltà a demodulare il ranging code, può essere possibile
riconoscere la frequenza del segnale ricevuto ed il satellite di provenienza. In queste
circostanze sarebbe possibile fare uso delle informazioni disponibili per ottenere una
informazione di navigazione come sarà mostrato in seguito.
3.3 Posizionamento con Osservabili Doppler
In questa sezione la trattazione matematica del posizionamento con osservabili Doppler è
preceduta da una breve introduzione sull‟effettiva utilità di tale tecnica e da un confronto con
il più noto sistema satellitare che fa uso di misure Doppler, il Transit.
In seguito è trattata l‟implementazione dell‟algoritmo e un‟analisi numerica della sua
convergenza.
3.3.1 Utilità del Posizionamento Doppler
Nel paragrafo 3.2.5 è stato illustrato il caso in cui il segnale ricevuto risulta molto disturbato e
se ne riesce a misurare solo la frequenza della portante, ma non i codici modulanti. È possibile
58

utilizzare questa informazione ai fini del calcolo della posizione realizzando un
posizionamento Doppler. La frequenza ricevuta dall‟antenna è uguale alla frequenza
trasmessa più una variazione, che può arrivare a ±4 KHz in caso di ricevitore stazionario
(Kaplan, 2006) dovuta all‟effetto Doppler, generato dal moto relativo tra satellite e ricevitore.
L‟osservabile Doppler garantisce una buona robustezza rispetto al fenomeno del multipath
(dominante in aree urbane), poiché la sua equazione di misura è la derivata dell‟equazione di
misure dell‟osservabile fase e quindi l‟errore di multipath è la derivata dell‟omologo errore
nel caso della fase. Così come per il posizionamento con pseudorange, anche per il
posizionamento Doppler GPS è necessario conoscere le posizioni dei satelliti all‟istante di
trasmissione. È inoltre richiesta la conoscenza delle velocità degli stessi. Non potendo
ricorrere al messaggio di navigazione trasmesso, poiché illeggibile nel caso teorizzato, una
soluzione possibile è la tecnica dell‟assisted-GPS. Tale tecnica prevede che il ricevitore sia
connesso con una rete internet, mediante wi-fi, GPRS o 3G ad esempio, dalla quale ricevere le
effemeridi dei satelliti e la sincronizzazione con il tempo GPS.
Figura 3.3 – Schema dei Componenti di un Sistema A-GPS
59

L‟ipotesi di connettività con una rete internet non rende l‟applicazione della tecnica Doppler
GPS poco praticabile, poiché bisogna considerare che sempre più i moderni smartphone
integrano ricevitori GPS e connettività internet.
In ultima analisi, si deve considerare che per effettuare misure di frequenza non è richiesto
hardware specifico, ma è solo necessario che il ricevitore utilizzi l‟informazione Doppler
come ingresso di un opportuno algoritmo.
3.3.2 Comparazione tra Doppler GPS e Transit
Il sistema Transit è stato il primo sistema di navigazione satellitare globale e faceva uso della
misura Doppler. Il Transit è stato sviluppato negli anni ‟60 ed il suo segmento spaziale è
costituito da satelliti posti in orbita circolare a circa 1075 km di quota. Il ricevitore per
calcolare la sua posizione necessitava delle misurazioni di un solo satellite inseguito per
diversi minuti. Ogni satellite trasmetteva due portanti a 150 MHz e 400 MHz modulate in fase
con le effemeridi, contenenti dati di velocità e posizione del satellite stesso.
Il sistema GPS è stato ampiamente descritto nella prima parte del presente lavoro ed il
posizionamento con pseudorange consente prestazioni in single point positioning dell‟ordine
della decina di metri; l‟accuratezza del posizionamento con il sistema Transit è invece
dell‟ordine di 500 m (Lehetinen 2001).
Per meglio comprendere le specificità delle tecniche di posizionamento Doppler, può essere
interessante comparare le caratteristiche tecniche e le prestazioni del Transit e del GPS.
Per quanto riguarda la visibilità dei satelliti, la costellazione GPS consente un posizionamento
continuo e con misure da più satelliti, mentre il sistema Transit consentiva unicamente un
posizionamento discontinuo e con un solo satellite per volta, visibile ad intervalli 12 di alcune
ore.
12 Assenza di satelliti in vista per massimo 8 ore al 95% dei casi, e intervallo massimo di assenza satelliti minore
di 24 ore (Danchik, 1998).
60

In riferimento agli errori dovuti alla rifrazione atmosferica, il segnale GPS garantisce
prestazioni migliori del Transit, in quanto ha una frequenza almeno tre volte più grande del
segnale Transit, di conseguenza l‟errore relativo sulla misura di frequenza risulta minore
(A.Lehtinen, 2001); d‟altra parte però, il servizio di posizionamento SPS GPS offre una sola
portante in chiaro, mentre le due portanti del Transit consentivano anche agli utenti civili di
eliminare l‟errore ionosferico. Con i nuovi segnali trasmessi dai satelliti GPS di ultima
generazione anche gli utenti civili potranno utilizzare ricevitori a doppio canale e potranno
quindi eliminare l‟errore ionosferico. I satelliti GPS, posti a più di 20000 Km di quota, sono
caratterizzati da velocità minori rispetto ai satelliti Transit, che invece descrivono orbite più
basse (intorno ai 1000 Km); tutto ciò comporta un maggiore range di variazione
dell‟osservabile Doppler per il sistema Transit.
Figura 3.4 –Costellazione Birdcage TRANSIT (Vultaggio, 2010)
La grande differenza nella velocità di variazione dello shift Doppler è uno dei motivi per cui i
modelli che impiegano osservabili Doppler GPS siano decisamente diversi da quelli per le
61

osservabili Transit. Tale diversità è imputabile principalmente sia alle difficoltà di effettuare
una misura sufficientemente precisa della frequenza, sia alla possibilità di utilizzare più
satelliti GPS per calcolare la posizione del ricevitore con una sola epoca di misura.
Figura 3.5 – Costellazione GPS (Kaplan, 2006)
Al paragrafo successivo è illustrato il modello matematico ideale del posizionamento con
osservabili Doppler, ipotizzando cioè di avere una precisione sulla misura di frequenza
ottimale.
La precisione sul calcolo della posizione effettuata con osservabili Doppler GPS è dell‟ordine
del centinaio di metri, mentre quella raggiungibile con osservabili Transit è, come
precedentemente indicato, di circa 500 metri.
Appare evidente come il solo utilizzo delle osservabili Doppler del sistema GPS possa
ovviare in maniera soddisfacente alla dismissione del Transit.
62

3.3.3 Equazione di Misura Doppler
La frequenza del segnale GPS ricevuto differisce dalla frequenza trasmessa dal satellite a
causa dell‟effetto Doppler. Questo shift in frequenza è causato dal moto relativo tra il satellite
e il ricevitore. L‟equazione che modella l‟effetto Doppler può essere espressa nella seguente
forma (A.Lehtinen, 2001), dove i simboli “ ” e “ ” indicano rispettivamenteil prodotto
scalare e il modulo di un vettore:
dove
è lo shift Doppler,
è la frequenza ricevuta dall‟i-esimo satellite, al netto degli errori dovuti ai clock drift,
è la frequenza della portante GPS,
è la velocità 13 del satellite,
è la velocità dell‟utente,
è la velocità della luce,
è il vettore delle coordinate del satellite,
è il vettore delle coordinate del ricevitore, e
è la frequenza trasmessa dal satellite.
L‟osservabile Doppler può essere convertita in termini di deltarange o derivata della distanza
ricevitore-satellite mediante la seguente equazione:
13 Tutte le velocità, se non indicato diversamente, si intendono espresse nel sistema di coordinate ECEF.
3.18
63

Si fa notare che il primo membro della 3.19 è la velocità di avvicinamento del satellite al
ricevitore, per cui si può scrivere:
Assumendo nulli gli errori dei clock di ricevitore e satelliti e note la velocità del ricevitore, le
posizioni e le velocità dei satelliti, la velocità della luce e la frequenza trasmessa ,
mediante tre misure della frequenza ricevuta dallo stesso satellite in istanti successivi, sarebbe
possibile ricavare le tre componenti incognite del vettore posizione del ricevitore .
Risolvendo, infatti, la 3.19 rispetto all‟angolo , misurato tra la velocità relativa e
la congiungente ( ), si ottiene:
Allora le possibili posizioni del ricevitore individuano un cono (Figura 3.6) centrato nella
posizione del satellite , di semi-apertura e con semiasse rivolto nella direzione della
velocità del satellite se lo shift-Doppler è positivo e viceversa. Un caso particolare è quello in
cui lo shift-Doppler è nullo e allora la posizione del ricevitore apparterrà ad un piano passante
per la posizione del satellite e ortogonale alla velocità relativa .
3.19
3.20
3.21
64

Figura 3.6 – Luogo di Posizione Conico (Lehtinen,2001)
Considerando un osservatore fermo, con tre misure di frequenza successive dallo stesso
satellite è possibile identificare tre luoghi di posizione conici, definiti dalla 3.19, i cui vertici
sono situati nella posizione del satellite all‟epoca delle misure. L‟interesezione dei tre luoghi
di posizione individua la posizione del ricevitore GPS nello spazio.
Tuttavia, il moto di un satellite GPS lungo la sua orbita e la rotazione della Terra causano una
variazione di frequenza compresa tra 0.5 e 1 Hz al secondo, mentre il moto del ricevitore
influisce con variazioni di frequenza nell‟intervallo tra 1 e 10 Hz al secondo (Chan-Woo Park,
2008). Pertanto per utilizzare il modello teorico suddetto sarebbe necessaria una precisione
sulla misura di shift-Doppler difficilmente raggiungibile con gli attuali ricevitori GPS
(A.Lehtinen, 2001). Un piccolo errore nella misura della frequenza, infatti, si propaga come
errore sull‟angolo di semiapertura del luogo di posizione conico. Considerata la grande
distanza a cui si trova il vertice del cono, cioè nella posizione del satellite, un piccolo errore
nell‟angolo di semiapertura comporta un errore in distanza di grandezza non accettabile.
Un‟altra possibile applicazione potrebbe prevedere l‟impiego di misure simultanee da più
satelliti. In via teorica, con tre ossevabili collezionate alla stessa epoca sarebbe possibile
65

calcolare la posizione del ricevitore come intersezione di tre luoghi di posizione conici.
Tuttavia, anche in questa applicazione appare evidente come la notevole debolezza
geometrica del luogo di posizione conico conduca ad un‟incertezza sulla posizione
inaccettabile. Infatti, considerate le grandi distanze che separano i satelliti dal ricevitore, un
piccolo errore sulla misura indiretta dell‟angolo di semiapertura del cono genererebbe un
considerevole errore in termini di posizione. È peraltro importante notare che bontà della
misura di frequenza dipende dalla precisione dell‟oscillatore del ricevitore, generalmente al
quarzo, tecnologia che non garantisce prestazioni assolute molto elevate (Kaplan, 2006).
Come sarà mostrato nei paragrafi successivi, si ricorre pertanto a una formulazione del
problema nella quale compare una quarta incognita, il clock drift error , e all‟osservabile
Doppler si preferisce l‟osservabile pseudorange rate, in quanto misura della velocità di
variazione della distanza satellite-ricevitore.
3.3.4 L’errore di Deriva dell’Orologio
La frequenza trasmessa dei satelliti ha eccellenti caratteristiche di stabilità nel tempo, poiché
viene generata da orologi atomici (Kaplan, 2006). In generale, esiste una differenza tra la
frequenza nominale della portante L1 o L2 e la frequenza realmente generata dal satellite, ma
dal punto di vista numerico, nei calcoli di posizione introduce una variazione tanto piccola da
poter essere trascurata (Kaplan, 2006).Una misura accurata della frequenza della portante
GPS è possibile solo utilizzando oscillatori ad altissima precisione e, considerata la tecnologia
attuale dei ricevitori, tutto ciò raramente avviene.
Diviene pertanto necessario introdurre nei modelli matematici che fanno uso di osservabili
Doppler una nuova incognita: la deriva dell‟orologio del ricevitore o clock drift, indicato con
.
66

Se è positivo l‟orologio del ricevitore scandisce il tempo a una velocità maggiore di quella
del tempo UTC e viceversa. L‟errore nella misura di frequenza può essere modellato come
segue:
Si fa notare come l‟errore nella frequenza sia indipendente dalla frequenza ricevuta e
risulti costante per segnali misurati contemporaneamente. In generale, il clock drift non è
costante nel tempo.
3.3.5 Formulazione Matematica del Problema di Posizionamento
Indichiamo con la misura della frequenza del segnale dell‟ -esimo satellite. La necessità di
considerare l‟incidenza dell‟errore dovuto al clock drift del ricevitore nella misurra di
conduce a un nuovo modello della variazione di frequenza, che si ottiene dall‟unione
dell‟equazione 3.18 dello shift-Doppler con l‟equazione 3.22 dell‟errore :
dove
è la frequenza ricevuta dall‟i-esimo satellite,
è il rumore non modellabile nella misura di frequenza e gli altri termini dell‟equazione
sono già stati definiti in precedenza.
Moltiplicando l‟equazione 3.23 per
si ottiene:
3.22
3.23
67

Le parentesi quadre racchiudono la definizione di un nuovo parametro: il deltarange vero.
Tale parametro si può ricavare anche derivando rispetto al tempo l‟equazione della
pseudorange vera 3.2, qui riscritta per comodità senza la presenza dell‟offset del clock del
satellite, che derivato dà luogo ad un termine generalmente trascurabile (Kaplan, 2006):
da cui:
Ponendo
la 3.24 può essere quindi riscritta come segue:
L‟osservabile deltarange è uguale al deltarange vero più gli errori della misura:
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
68

Combinando le ultime due equazioni si ottiene la misura di deltarange in funzione della
misura Doppler, :
Dalla combinazione della 3.28 con la 3.26 si ottiene l‟equazione completa di misura
dell‟osservabile deltarange:
Ponendo
la 3.26 si può scrivere come:
Approssimando il deltarange vero con il deltarange misurato , dunque considerando
trascurabili gli errori , si ottiene:
equivalente a:
3.29
3.30
3.31
3.32
69

L‟equazione 3.33 rappresenta l‟equazione operativa della misura di pseudorange rate, da
adoperare per la stima della posizione e/o della velocità del mobile.
Per ogni satellite da cui è possibile effettuare una misura Doppler è possibile scrivere
un‟equazione simile alla 3.33. Da n misure simultanee si ottiene dunque il seguente sistema di
equazioni:
dove
sono i vettori velocità relativa ricevitore-satelliti, considerati noti,
sono i vettori posizione di ogni satellite, considerati noti,
sono le osservabili deltarange e sono quantità misurate,
è il vettore posizione del ricevitore, considearato incognito e
è l‟errore introdotto sull‟osservabile deltarange dal clock drift, considerato incognito.
Il sistema ora esposto presenta quattro incognite, cioè le tre coordinate della posizione del
ricevitore e il clock drift. Per risolvere questo sistema occorrono allora almeno quattro satelliti
visibili.
3.33
3.34
70

3.3.6 Soluzione Doppler
Il sistema di equazioni per posizionamento Doppler 3.34 risulta essere molto più complesso
del sistema di equazioni 3.5, come dimostrato dalla presenza della velocità relativa tra satellite
e ricevitore. Di conseguenza, non sono note soluzioni in forma chiusa per risolvere questo
sistema come nel caso del posizionamento con pseudorange (A.Lehtinen, 2001).
Il problema, in analogia con il posizionamento con pseudorange descritto nella sezione 3.2,
può essere risolto tramite un algoritmo iterativo, in cui una stima iniziale della posizione del
ricevitore viene aggiornata ad ogni iterazione con nuovi valori e utilizzata come nuova stima
della posizione.
Il sistema di equazioni 3.34 risulta essere non lineare nelle incognite considerate; un possibile
approccio alla sua risoluzione è l‟applicazione di una procedura di linearizzazione, mediante
sviluppo di Taylor con troncamento al primo ordine. La singola equazione di misura di
pseudorange rate 3.33, linearizzata intorno ad una stima delle incognite, assume la forma:
con
3.35
71

e
Un set di n equazioni del tipo 3.35 assume la seguente forma:
in cui il vettore delle misure corrette da informazioni a priori è
con
matrice disegno è
3.36
3.37
differenza tra misura di pseudorange rate e pseudorange rate stimata e la
3.38
72

Il vettore delle correzioni da stimare è indicato come:
Analogamente al caso di posizionamento con osservabile pseudorange, in caso di quattro
misure di pseudorange rate simultaneee, dalla 3.36 è possibile calcolare il vettore delle
correzioni come segue:
Il vettore è costituito da correzioni che aggiunte alle coordinate della posizione stimata ed
al drift stimato del clock dell‟orologio consentono di ottenere una stima aggiornata delle
incognite, in accordo con la seguente espressione:
con vettore delle incognite
3.39
3.40
3.41
73

e vettore delle stime a priori delle incognite
Se le misure di pseudorange rate disponibili per una data epoca sono in numero maggiore di
quattro, il sistema 3.36 risulta sovradeterminato e va risolto mediante una opportuna tecnica di
stima. Generalmente il sistema viene risolto mediante la tecnica dei minimi quadrati e la
soluzione assume la seguente forma:
La soluzione ai minimi quadrati del sistema 3.36 è ottenuta iterativamente secondo i seguenti
step:
Inizializzazione del vettore delle incognite con posizione e drift dell‟orologio stimati,
Calcolo della matrice disegno ,
Calcolo della soluzione del sistema 3.36, tramite l‟espressione 3.44,
Aggiornamento della posizione e drift stimati tramite l‟equazione 3.41,
Nuova inizializzazione del vettore delle incognite con la posizione stimata e drift
aggiornati,
Nuovo ciclo
3.42
3.43
3.44
74

Il criterio di arresto è legato alla differenza tra le posizioni stimate in due cicli consecutivi:
quando è inferiore ad una soglia predefinita il processo si arresta.
Come risulta evidente dalla equazione 3.35, per risolvere il sistema 3.36 è necessario avere a
disposizione una stima della posizione iniziale e della velocità del ricevitore relativamente
prossime alla posizione e velocità vere. Per quanto riguarda la deriva temporale del ricevitore,
non è possibile effettuarne una buona stima iniziale, per cui si pone inizialmente questo
parametro uguale a zero. È necessaria anche la conoscenza di posizione e velocità dei satelliti
osservati, informazione supposta nota.
Di seguito è mostrato lo schema a blocchi dell‟algoritmo per il posizionamento Doppler
implementato, in cui le frecce con verso entrante nel blocco centrale rappresentano le
grandezze in input, mentre quelle uscenti rappresentano gli output.
Figura 3.7 – Algoritmo di Calcolo della Posizione con Osservabili Doppler
3.3.7 Descrizione Dettagliata dell’Algoritmo Doppler
In analogia a quanto visto al paragrafo 3.2.3, si riporta di seguito lo schema a blocchi
dell‟algoritmo di posizionamento con osservabili Doppler.
75

Figura 3.8 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento Doppler
Lo schema in Figura 3.8 risulta molto simile all‟omologo schema per il posizionamento con
pseudorange Figura 3.2; come già discusso, non è stato necessario sviluppare algoritmi per la
correzione degli effetti di rifrazione atmosferica sui segnali Doppler, in quanto gli errori
intervengono mediante le loro derivate.
Il calcolo della posizione del ricevitore richiede oltre alle osservabili e alla posizione dei
satelliti, anche la velocità dei satelliti all‟istante di misura. Analogamente al posizionamento
con pseudorange, per il calcolo della posizione dei satelliti all‟epoca di misura viene
utilizzato l‟algoritmo di propagazione orbitale sviluppato da (Remondi, 2004) (illustrato al
Paragrafo 3.1) e individuato nel grafico dal blocco GNSS SKY. Successivamente la posizione
dei satelliti è corretta per la rotazione terrestre che ha agito durante la propagazione dei
segnali dai satelliti al ricevitore.
76

Il calcolo della posizione è infine effettuato mediante uno stimatore ai minimi quadrati,
rappresentato nel grafico con la dicitura LEAST SQUARE ESTIMATOR.
3.4 Calcolo della Velocità del Ricevitore
In generale i moderni ricevitori GPS provvedono al calcolo della velocità dell‟antenna
mediante algoritmi basati sulle osservabili Doppler (Kaplan, 2006).
Esistono diversi metodi per il calcolo della velocità del ricevitore e nel seguito è illustrata la
metodologia utilizzata in questo lavoro, per la quale si considerano note le coordinate della
posizione del ricevitore, come anche la posizione e la velocità dei satelliti, calcolate con
l‟algoritmo illustrato al paragrafo 3.1.
L‟espressione per il calcolo della velocità dell‟utente si può dedurre dalla definizione di
deltarange 3.33 riportata di seguito considerato trascurabile 14 il clock drift dell‟orologio del
satellite:
La precedente equazione può essere riarrangiata come segue, portando al primo membro
dell‟equazione i termini supposti noti o misurati:
Svolgendo i prodotti scalari si ha:
14 Mediante i parametri inclusi nel messaggio di navigazione è possibile calcolare il clock drift dell‟orologio del
satellite; tuttavia la frequenza trasmessa dal satellite si discosta di poco da quella generata dall‟oscillatore di
bordo, pertanto nell‟applicazione numerica le frequenze possono assumersi uguali (Kaplan, 2006).
3.45
77

dove
, e sono le componenti della velocità del satellite nel sistema ECEF e
, e sono le componenti della velocità del ricevitore nel sistema ECEF.
Nella equazione 3.46 le componenti della velocità e il clock drift del ricevitore rappresentano
le quattro incognite da calcolare; pertanto occorrono misurazioni simultanee di pseudorange
rate da quattro satelliti per poter stimare le incognite. L‟equazione 3.46 è già lineare nelle
incognite per cui non è necessario alcun processo di linearizzazione.
Ponendo:
si può scrivere:
dove
,
;
,
;
3.46
3.47
78

Da cui la soluzione è data da:
Nel caso generale, in cui si dispone di piu di quattro satelliti, il sistema può essere risolto
mediante la tecnica dei minimi quadrati, e il sistema 3.48 diventa:
Lo schema a blocchi dell‟algoritmo implementato è rappresentato nella seguente figura:
Figura 3.9 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo per il Calcolo della Velocità con Osservabili
3.48
3.49
Doppler.
79

4 Test e Risultati
Per testare l‟algoritmo proposto per il posizionamento Doppler (descritto al paragrafo 3.3.6)
sono stati utilizzati i dati di una stazione fissa GPS, posizionata in un punto di coordinate
note. Un valido termine di paragone per studiare le prestazioni dell‟algoritmo di
posizionamento Doppler è l‟algoritmo di posizionamento con pseudorange (descritto al
paragrafo 3.2.2). La posizione nota della stazione GPS considerata è utilizzata come
riferimento per valutare le prestazioni delle tecniche qui considerate.
Tutti gli algoritmi di posizionamento sono stati sviluppati in ambiente Matlab cosi come gli
algoritmi accessori, come la function per la lettura delle effemeridi trasmesse in formato
Rinex.
Oltre ai nuclei computazionali per il posizionamento Doppler e pseudorange sono stati
implementati i sottoprogrammi per il calcolo dell‟offset del satellite, la correzione relativistica
e la correzione per la rotazione terrestre (descritti nella sezione 3.2.4). Sono stati sviluppati
anche gli algoritmi che implementano i modelli per la correzione ionosferica (modello di
Klobuchar) e troposferica (modello di Hopfield).
Gli algoritmi di posizionamente sono testati in due modalità: statica e cinematica.
In modalità statica la velocità del ricevitore, nulla in quanto la stazione è fissa, è imposta pari
a zero, mentre nel caso cinematico è stimata con l‟algoritmo descritto al paragrafo 3.4,
simulando il caso di utente in moto con velocità incognita.
4.1 Caratteristiche della Stazione
Le osservabili utilizzate in questo lavoro sono state raccolte da una stazione fissa appartenente
alla rete CORS (Continuously Operating Reference Stations). La rete CORS è gestita
80

dall‟NGS (National Geodetic Survey), quale ufficio del National Ocean Service. Quest‟ultimo
a sua volta fa capo all‟ente americano NOAA (National Oceanic and Atmospheric
Administration). La rete CORS è nata dalla cooperazione tra il governo, enti accademici e
organizzazioni private. I siti sono indipendenti e gestiti autonomamente. Ogni agenzia
condivide i dati acquisiti con NGS, e NGS a sua volta, analizza e distribuisce i dati
gratuitamente. Ad oggi la rete CORS contiene oltre 1.800 stazioni.
Per quanto riguarda le effemeridi dei satelliti, sono state utilizzate le “Global Ephemeris”, file
contenenti le effemeridi di tutti i satelliti operativi aggiornate ogni due ore; i file di dati
contengono le osservabili di tutti i satelliti visibili acquisite ad intervalli di 30 secondi.
Sia il file di dati delle osservabili che il file di navigazione delle effemeridi sono riferiti a un
intervallo temporale di 24 ore e sono stati scaricati dal sito internet del CORS
(http://www.ngs.noaa.gov/CORS/).
Per gli scopi di questa ricerca è stata utilizzata una stazione dotata di un ricevitore che
fornisse oltre alle osservabili pseudorange anche le osservabili Doppler. In particolare è stata
scelta la stazione denominata (CORS ID) “UAAG”, gestita dall‟ University of Alaska
Anchorage (Anchorage Borough, USA), e di coordinate:
Tabella 4.1 – Coordinate della Stazione di Riferimento
ITRF00 POSITION (EPOCH 1997.0)
Computed in Nov. 2007 using 44 days of dat
X = -2663934.320 m latitude = 61 11 27.85992 N
Y = -1548947.592 m longitude = 149 49 26.73071 W
Z = 5565691.862 m ellipsoid height = 66.299 m
81

Latitudine, longitudine ed altezza ellissoidica sono state calcolate dalle corrispondenti
coordinate cartesiane utilizzando i parametri dell‟ellissoide GRS80:
semiasse maggiore = 6.378.137,0 metri
schiacciamento = 1/298,257222101
Per quanto riguarda l‟aspetto hardware, la stazione è costituita da:
Ricevitore Trimble NETRS
Antenna Trimble Zephyr L1/L2 Geodetic (5700) con Ground Plane e Radome
Figura 4.1 – Ricevitore GPS e Antenna con Ground Plane e Radome della stazione UAAG
(Trimble.com)
Il Ground Plane è un particolare supporto dell‟antenna che consente di ridurre i disturbi
introdotti dal fenomeno di multipath. Essa è costituita da una base resistiva che dissipa
82

sottoforma di calore la potenza dei segnali non desiderati, permettendo ai soli segnali
provenienti dalla retta congiungente ricevitore-satellite di raggiungere l‟antenna.
Figura 4.2 – Dettaglio del Ground Plane dell’antenna Zephyr – Dissipazione del Multipath
(Trimble.com)
Nella Figura 4.2 le frecce con riempimento sfumato indicano i segnali non desiderati, mentre
le frecce con riempimento costante indicano il segnale proveniente dal più breve percorso
satellite-ricevitore.
4.2 Posizionamento Statico
In questa sezione l‟algoritmo per il posizionamento Doppler (3.3.6) è implementato per il caso
statico, cioè la velocità del ricevitore non è considerato un ingresso variabile (soggetto ad
eventuali errori di stima) ma è posto pari a zero, valore vero della velocità in quanto la
stazione utilizzata per testare gli algoritmi sviluppati è fissa. Lo schema funzionale
dell‟algoritmo di posizionamento Doppler di Figura 3.7 è quindi riportato di seguito con
l‟ingresso “Velocità Stimata” fissato a zero.
83

Figura 4.3 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento Doppler per il Caso Statico
4.2.1 Accuratezza della Posizione
Per analizzare l‟accuratezza del posizionamento proposto, è stata scelta una rappresentazione
in coordinate cartografiche UTM; in particolare le coordinate Nord ed Est dei punti calcolati
con l‟algoritmo Doppler sono rappresentate insieme alle omologhe coordinate ottenute con il
classico posizionamento assoluto con pseudorange. È infine rappresentata la posizione
orizzontale vera della stazione per consentire un facile raffronto tra le prestazioni delle diverse
strategie di posizionamento.
Si considera per primo il caso in cui la posizione stimata del ricevitore è posta uguale alla
posizione vera. In Figura 4.4 sono rappresentate in verde le posizioni orizzontali relative al
posizionamento Doppler, in blu i corrispondenti punti ottenuti dal posizionamento con
pseudorange e con un cerchietto rosso è indicata la posizione esatta del ricevitore.
I risultati prodotti in Figura 4.4 dalle elaborazioni hanno largamente confermato le aspettative
mostrando che l‟accuratezza raggiungibile con l‟algoritmo di posizionamento con
pseudorange è di gran lunga superiore a quella raggiungibile con l‟algoritmo Doppler. Questa
differenza è dovuta principalmente alla intrinseca debolezza della geometria di osservazione
Doppler rispetto alla geometria delle misure pseudorange (Parkinson-Spilker, 1996). Tale
debolezza nella geometria di osservazione si traduce in valori del DOP molto più grandi nel
caso di posizionamento Doppler.
84

Figura 4.4 – Posizioni Orizzontali Calcolate con Osservabili Pseudorange, Doppler
In Figura 4.5 è mostrato l‟andamento nel tempo degli errori orizzontale e verticale e la
corrispondente evoluzione del parametro DPDOP (Doppler Position Diluition Of Precision),
quale indice dell‟influenza della geometria della costellazione di satelliti sulla precisione della
posizione calcolata. Appare evidente, in analogia al posizionamento con pseudorange, che
l‟accuratezza sulla precisione calcolata dipenda fortemente dalla geometria dei satelliti.
Dall‟ultimo grafico in Figura 4.5 risultano altresì evidenti gli elevati valori del parametro
geometrico DPDOP sempre superiori a 700, laddove valori tipici del PDOP si limitano a
poche unità.
85

Figura 4.5 – Errore Orizzontale, Errore Verticale e Doppler PDOP (Posizionamento Doppler)
Analogamente, per l‟algoritmo di posizionamento con pseudorange è stato studiato
l‟andamento nel tempo degli errori orizzontale e verticale in relazione al PDOP (Position
Diluition Of Precision) e riportato in Figura 4.6.
.
86

Figura 4.6 – Errore Orizzontale, Errore Verticale e PDOP (Posizionamento Pseudorange)
Anche dal confronto tra la Figura 4.5 e la Figura 4.6 risulta evidente l‟intrinseca superiorità
del posizionamento con pseudorange rispetto al Doppler, sia in termini di errori orizzontali e
verticali che in termini di bontà della geometria di osservazione.
Risultano notevoli in Figura 4.6 i picchi di errore orizzontale (circa 100 metri) e verticale
(circa 200 metri) riscontabili nel caso di posizionamento con osservabili pseudorange. Tali
picchi risultano in corrispondenza di massimi del PDOP (cioè minimi della bontà della
geometria), ma tali valori sono comunque piuttosto bassi (di poco superiori a 2) e dunque non
giustificano un incremento di errore dell‟entità riscontrata. Da un‟analisi più approfondita
dell‟intorno delle aree critiche, si è potuto verificare che entrambi i picchi sono legati alla
87

presenza, nel set di osservazioni disponibili, di un segnale ricevuto da un satellite molto
basso, cui è associato una misura molto rumorosa (affetta da blunder). Nello specifico,
intorno all‟epoca GPS 301600 sorge il satellite con indentificativo 31, mentre intorno
all‟epoca 319000 il satellite 13 è in procinto di tramontare. Questi due casi isolati dimostrano
la vulnerabilità dell‟osservabile pseudorange a interferenze, rumore o blunder, che possono
risultare molto frequenti in ambienti ostili come i canyon urbani. Inoltre dalla Figura 4.5 si
evince che l‟osservabile Doppler risulta più robusta rispetto a questo tipo di errori,
avvalorandone l‟uso in supporto della pseudorange in ambienti critici.
Va comunque precisato che la presenza di errori grossolani isolati può essere trattata con
opportuni algoritmi statistici di “blunder detection” (Petovello 2003).
Un confronto sintetico tra gli algoritmi qui considerati può essere effettuato in termini di
errori massimi e RMS. L‟errore RMS (Root Mean Square) è definito come segue:
dove
è il numero di campioni e
sono gli scarti tra il valore i-esimo e il valore medio dei campioni.
In Tabella 4.2 sono riportati gli errori RMS (nelle direzioni Est, Nord e Up, sul piano
orizzontale e tridimensionali) riferiti alle posizioni calcolate con algoritmo pseudorange e con
algoritmo Doppler. In Tabella 4.3 sono riportati i corrispondenti errori massimi.
Gli errori sono stati calcolati confrontando le posizioni calcolate con quella esatta.
88

Tabella 4.2 – Confronto tra Posizionamento con PR e Doppler in Termini di Errori RMS
Errore RMS [metri]
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 6,66 4,79 16,43 8,21 18,37
Doppler 75,29 50,06 98,40 90,42 133,64
Tabella 4.3 – Confronto tra Posizionamento con PR e Doppler in Termini di Errori Massimi
Errore Massimo [metri]
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 79,62 76,76 241,96 99,77 259,07
Doppler 422,82 225,83 495,25 440,07 566,70
Dalla Tabella 4.2 risulta confermata l‟accuratezza della decina di metri del sistema GPS in
modalità single point in condizioni di buona visibilità satellitare. L‟accuratezza del proposto
posizionamento Doppler è di un ordine di grandezza più grande, cioè è dell‟ordine del
centinaio di metri. Dalla Tabella 4.3 risultano i grandi errori massimi del posizionamento con
pseudorange precedentemente interpretati e gli errori massimi del caso Doppler sono circa il
quadruplo.
Si considera ora il caso in cui, a parte la prima iterazione in cui la posizione stimata è uguale a
quella esatta, si utilizza come posizione stimata sia per l‟algoritmo pseudorange che per
quello Doppler l‟ultima posizione calcolata dal rispettivo algoritmo. Da un confronto
effettuato tra i grafici delle posizioni e degli errori omologhi, nonché dal confronto tra errori
RMS e massimi per i due casi considerati, risulta evidente che l‟accuratezza sulla posizione
89

calcolata non dipende significativamente dalla bontà della posizione stimata in ingresso.
Questo risultato era prevedibile nel caso di posizionamento con pseudorange, che risulta
convergere anche con posizioni stimate molto lontane dalla posizione reale del ricevitore
(Strang and Borre, 1997). Nel caso di posizionamento con osservabile Doppler tale risultato è
notevole, in quanto consente di affermare che l‟algoritmo converge anche avendo in ingresso
una stima della posizione molto incerta, proveniente da una precedente stima con lo stesso
algoritmo (incerta al centinaio di metri) o da una stima con misure di pseudorange in
condizioni geometriche o di disponibilità satellitare critiche. Ovviamente tale conclusione è
legata all‟ipotesi ideale di avere a disposizione una conoscenza molto precisa della velocità
del ricevitore. Spesso tale condizione non si verifica e la dipendenza delle prestazioni
dell‟algoritmo Doppler dalla conoscenza della velocità del mobile è analizzata al paragrafo
4.2.3.
4.2.2 Dipendenza del Posizionamento Doppler dalla Posizione Stimata
Come risulta evidente dallo schema in Figura 4.3, una volta fissato il valore della velocità
stimata in ingresso, la posizione calcolata risulta dipendente, oltre che dalle misure Doppler,
dalla posizione stimata in ingresso. Risulta quindi di interesse analizzare la sensibilità della
posizione in uscita in funzione dalla sua stima in ingresso. Non esiste una dimostrazione
teorica che provi la convergenza del metodo proposto (A.Lehtinen, 2001). Lo studio della
convergenza, però, può essere affrontato in maniera numerica, testando l‟implementazione
dell‟algoritmo numerico al calcolatore al variare dell‟approssimazione sulla posizione stimata.
I risultati delle elaborazioni eseguite con velocità stimata posta uguale a zero ed errori sulla
posizone in input crescenti sono riassunti nelle seguenti tabelle (in termini di errori massimi e
RMS).
90

Tabella 4.4 – Errori RMS nel Posizionamento Doppler Statico con Incertezza sulla Posizione
Errore RMS [metri]
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 6,66 4,79 16,43 8,21 18,37
Doppler
(dP=0-100 m)
Doppler
(dP=1 km)
Doppler
(dP=10 km)
Doppler
(dP=100 km)
Doppler
(dP=1000 km)
Doppler
(dP=10000 km)
75,29 50,06 98,40 90,42 133,64
75,29 50,06 98,42 90,42 133,65
75,39 50,07 98,74 90,50 133,94
80,37 73,58 196,32 108,97 224,54
4419,77 6488,36 10943,26 7850,69 13468,04
75411,84 75076,36 788878,58 106411,49 796023,13
Tabella 4.5 – Errori Massimi nel Posizionamento Doppler Statico con Incertezza sulla Posizione
Errore Massimo [metri]
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 79,62 76,76 241,96 99,77 259,07
Doppler
(dP=0-100)
Doppler
(dP=1 km)
Doppler
(dP=10 km)
Doppler
(dP=100 km)
Doppler
(dP=1000 km)
Doppler
(dP=10000 km)
422,82 225,82 495,25 440,07 566,71
422,82 225,80 495,29 440,07 566,74
422,14 225,77 496,03 439,72 567,69
432,03 253,87 584,22 434,35 650,31
16721,44 12955,32 18999,05 17730,18 25289,54
290260,01 263598,64 1185476,91 297329,20 1222194,82
91

Dai valori in Tabella 4.4 e Tabella 4.5 si evince che per errori sulla posizione stimata fino alle
decine di kilometri il metodo converge verso la stessa soluzione del caso con posizione in
ingresso esatta (righe evidenziate in verde). Oltre tale livello di approssimazione l‟accuratezza
sul calcolo della posizione scema rapidamente, raggiungendo limiti inaccettabili per
approssimazioni dell‟ordine del migliaio di km (come evidenziato in giallo).
Tale caratteristica avvalora l‟ipotesi di utilizzo del posizionamento Doppler in situazioni
critiche, in cui la posizione stimata disponibile è molto incerta.
4.2.3 Dipendenza del Posizionamento Doppler dalla Velocità Stimata
Nella sezione precedente è stata riscontrata l‟indipendenza dell‟accuratezza del
posizionamento Doppler dalla stima a priori della posizione del ricevitore entro la decina di
kilometri; oggetto di questa sezione è lo studio dell‟output dell‟algoritmo di posizionamento
statico al variare dell‟errore sulla velocità in ingresso. La posizione stimata è stata posta
uguale a quella della stazione fissa. In Figura 4.7 è riportato lo schema funzionale
dell‟algoritmo di posizionamento Doppler, indicando che la posizione in ingresso è
considerata nota e la velocità in ingresso affetta da incertezza.
Figura 4.7 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento Doppler con Posizione Esatta e
Velocità Incerta
92

Le elaborazioni sono state eseguite al variare delle tre componenti della velocità stimata,
analizzando l‟andamento dell‟errore RMS della differenza tra la posizione calcolata e quella
esatta.
È stato evidenziato come l‟accuratezza della posizione calcolata sia fortemente dipendente
dall‟accuratezza della velocità in input, in accordo con (A.Lehtinen, 2001). In Tabella 4.6
sono riportati gli errori RMS di posizione in caso di errore sulla velocità stimata del ricevitore
di 0.01, 0.1 e 1 m/s. Già con un errore di 1 cm/s risulta evidente un degrado dell‟accuratezza
della posizione, che però rimane dello stesso ordine di grandezza del caso di velocità esatta.
Per errori sulla velocità stimata superiori al cm/s l‟algoritmo di posizionamento Doppler non
consente più un calcolo di posizione Doppler accurato al centinaio di metri.
Tabella 4.6 – Errore RMS sulla Posizione Doppler con Posizione Esatta e Velocità Incerta
Errore RMS [metri]
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 6,66 4,79 16,43 8,21 18,37
Doppler (V=0) 75,29 50,06 98,40 90,42 133,64
Doppler (V=0.01) 137,58 56,12 90,76 148,59 174,12
Doppler (V=0.1) 970,09 267,19 337,19 1006,21 1061,21
Doppler (V=1) 9472,03 2635,33 3585,68 9831,81 10465,25
93

4.2.4 Considerazioni sul Posizionamento Doppler Statico
Il caso statico può avere un‟importante valenza ai fini dell‟implementazione dell‟algoritmo
cinematico, poiché ne rappresenta un caso particolare e semplificato.
Nel caso di grosso errore sulle osservabili, la posizione calcolata risulta molto distante da
quella reale; un grosso errore sulla posizione stimata provoca un ampio errore sul calcolo
della velocità, che può causare un errore inaccettabile sulla posizione calcolata. Un possibile
approccio alla risoluzione del problema appena descritto è l‟implementazione di opportune
tecniche di Stop & Go, che consistono nel fermare per qualche istante il ricevitore, calcolando
la posizione con l‟algoritmo Doppler per ricevitore fermo. Conoscendo la velocità esatta del
ricevitore, si può ottenere, a meno di errori sulle osservabili, un dato di posizione affidabile.
4.3 Posizionamento Cinematico
In questa sezione l‟algoritmo per il posizionamento Doppler (descritto in 3.3.6) è
implementato per il caso cinematico, per cui la velocità del ricevitore è ora considerata un
ingresso variabile, per calcolare il quale è utilizzato l‟algoritmo per la stima della velocità da
misure Doppler (descritto in 3.4). Nell‟algoritmo proposto, i blocchi per il posizionamento
Doppler (Figura 3.7) e per il calcolo della velocità Doppler (Figura 3.9) sono innestati
secondo uno schema a cascata (mostrato in Figura 4.8), generando un‟efficace e innovativa
tecnica di posizionamento cinematico. Il seguente diagramma a blocchi illustra la
combinazione dei due algoritmi.
94

Figura 4.8 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento Doppler per il Caso Cinematico
Prima di analizzare le prestazioni dell‟algoritmo cinematico, è necessario studiare
numericamente la propagazione per entrambi i blocchi degli errori dei parametri in input
sull‟output.
Per quanto riguarda il Blocco 1 si studia la dipendenza dell‟errore sul calcolo della velocità
dall‟errore sulla posizione stimata. Tale analisi sarà affrontata nel paragrafo successivo. Lo
studio numerico della propagazione degli errori sul Blocco 2, invece è stato affrontato nei
paragrafi precedenti.
4.3.1 Dipendenza della Velocità Doppler dalla Posizione Stimata
L‟accuratezza della velocità del ricevitore calcolata con il metodo illustrato in sezione 3.4
dipende dall‟approssimazione con cui si conoscono la posizione del ricevitore, le posizioni e
le velocità dei satelliti (Kaplan, 2006). Le posizioni e le velocità dei satelliti sono considerati
95

parametri noti con buona affidabilità, per cui in particolare va analizzata la dipendenza
dell‟errore sul calcolo della velocità dall‟errore sulla posizione stimata.
I dati utilizzati nel test sono stati raccolti da una stazione fissa di coordinate note. Le posizioni
stimate poste in input sono un‟approssimazione via via più larga della posizione esatta
(dell‟ordine rispettivamente delle decine, delle centinaia e delle migliaia di metri).
In Tabella 4.7 sono riportati gli errori RMS e massimi della velocità stimata lungo le direzioni
Est, Nord e Up.
Tabella 4.7 –Errore RMS sulla Velocità al Variare dell’Approssimazione sulla Posizione Stimata
Ordine di Approssimazione
Posizione Stimata
Errore RMS [m/s]
Est Nord Up
Posizione Esatta 0,010 0,010 0,026
~10 m 0,011 0,010 0,026
~100 m 0,014 0,012 0,031
~1000 m 0,105 0,091 0,157
Con un‟approssimazione dell‟ordine delle decine di metri, la velocità calcolata rientra
nell‟accuratezza teorica raggiungibile con la tecnica implementata di qualche centimetro al
secondo (Hoffmann-Wellenhof, 1992). Per approssimazioni sulla posizione dell‟ordine delle
centinaia di metri l‟accuratezza della velocità calcolata risulta ancora vicina all‟accuratezza
teorica. Questo dato è di importanza primaria al fine dell‟impiego cinematico del metodo, in
quanto le posizioni calcolate in Doppler cinematico, come sarà mostrato più avanti, sono
spesso affette da errori di tale entità.
96

4.3.2 Accuratezza della Posizione
L‟algoritmo cinematico, costituito dai blocchi 1 e 2 posti in cascata, è stato utilizzato secondo
due modalità:
Una prima modalità in cui la posizione stimata in input ai due blocchi è posta uguale a
quella esatta (Mode 1 descritta in Figura 4.9)
Una seconda modalità in cui la posizione stimata in input ai due blocchi è l‟output del
Blocco 2 all‟epoca precedente (Mode 2 descritta in Figura 4.10).
Per entrambe le modalità la velocità stimata è uguale a quella calcolata dal Blocco 1.
Figura 4.9 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento Doppler per il Caso Cinematico
(Mode 1)
97

Figura 4.10 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo di Posizionamento Doppler per il Caso
Cinematico (Mode 2)
Il posizionamento Doppler in Mode 1 ha lo scopo di studiare l‟andamento dell‟errore della
posizione calcolata in relazione alle velocità calcolate dal Blocco 1. In Figura 4.11 sono
riportati sul piano orizzontale le posizioni ottenute nella modalità considerata, congiuntamente
con il caso Doppler statico, con le posizioni ottenute con osservabili pseudorange e con la
posizione vera. Appare evidente come l‟inesattezza della velocità calcolata dal Blocco 1 si
propaghi sull‟uscita del Blocco 2 sottoforma di errore di posizione; infatti, la distribuzione di
punti di colore magenta, che rappresentano le posizioni calcolate in Mode 1, risulta più ampia
della rispettiva distribuzione di colore verde, relativa alle posizioni calcolate in modalità
statica.
98

Figura 4.11 – Posizioni Orizzontali Calcolate con Osservabili Pseudorange e Doppler (Statico e
Cinematico Mode 1)
Nelle tabelle seguenti (Tabella 4.9 e Tabella 4.8) sono riportati rispettivamente un confronto
tra gli errori massimi e RMS (nelle direzioni Est, Nord, Up, sul piano orizzontale e
tridimensionali) riferiti alle posizioni calcolate con algoritmo pseudorange, Doppler statico e
cinematico (Mode 1). Gli errori sono stati calcolati comparando le posizioni calcolate con
quella esatta.
99

Tabella 4.8 – Confronto tra Posizionamento con PR e Doppler Statico e Cinematico Mode 1 in
Errore RMS [metri]
Termini di Errore RMS
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 6,66 4,79 16,43 8,21 18,37
Doppler
Statico
Doppler
Cinematico
Mode 1
75,29 50,06 98,40 90,42 133,6
89,68 62,39 89,75 109,25 141,39
Tabella 4.9 – Confronto tra Posizionamento con PR e Doppler Statico e Cinematico Mode 1 in
Errore Massimo [metri]
Termini di Errore Massimo
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 79,62 76,76 241,96 99,77 259,07
Doppler
Statico
Doppler
Cinematico
Mode 1
422,82 225,83 495,25 440,07 566,70
465,37 283,26 473,05 471,83 519,72
Dalle tabelle risulta evidente la maggiore dispersione delle posizioni calcolate in cinematico
(Mode 1) rispetto alle posizioni calcolate in modalità statica; in particolare è importante
notare che i picchi di errore massimo (dell‟ordine delle centinaia di metri), secondo quanto
affermato al paragrafo 4.3.1, consentono ancora di ottenere una buona stima della velocità del
ricevitore.
100

Nella Figura 4.12 è riportato l‟andamento degli errori assoluti orizzontali e verticali calcolati
in Doppler al variare del DPDOP, indice della bontà della geometria della costellazione
satellitare. In verde sono riportati gli errori rispetto alla posizione esatta calcolati in modalità
statica e in magenta quelli calcolati in cinematico (Mode 1).
Figura 4.12 – Errore Orizzontale, Errore Verticale e DPDOP (Doppler Cinematico Mode 1)
In linea con le aspettative, dalla Figura 4.12 risulta evidente il legame diretto tra l‟andamento
degli errori e quello del parametro DPDOP.
101

Il posizionamento Doppler in Mode 2 ha lo scopo di studiare una situazione totalmente
cinematica, in cui l‟andamento dell‟errore della posizione calcolata è in relazione sia con le
velocità calcolate dal Blocco 1 che con le posizioni calcolate dal Blocco 2. L‟algoritmo è stato
inzializzato con posizione stimata coincidente con la posizione vera e velocità stimata iniziale
uguale a zero.
In figura Figura 4.13 sono riportate sul piano orizzontale le posizioni ottenute nelle due
modalità cinematiche considerate (Mode 1 e Mode 2), unitamente al caso Doppler statico, alle
posizioni ottenute con osservabili pseudorange e alla posizione vera.
Figura 4.13 – Posizioni Orizzontali Calcolate con PR e Doppler (Statico, Cinematico Mode 1 e 2)
Dalla Figura 4.13 è possibile notare che la nuvola di punti di colore nero, corrispondenti alla
configurazione cinematica Mode 2, mostra una dispersione più ampia rispetto sia alla nuvola
102

di punti di colore magenta, calcolati in Mode 1, che alla nuvola di punti in verde, calcolati in
modalità statica. La maggiore dispersione delle posizioni calcolata in Mode 2, in linea con le
previsioni teoriche, è dovuta principalmente alla stima inaccurata della velocità nel Blocco 1 a
causa dell‟errore sulla posizione stimata in input. La Figura 4.14 riporta l‟andamento nel
tempo degli errori orizzontale e verticale in relazione al Doppler PDOP. In verde, magenta e
nero sono riportati rispettivamente gli errori calcolati in modalità statica, Mode 1 e Mode 2.
Dalla figura si evince, in linea con le precedenti elaborazioni, che i massimi errori di
posizione si riscontrano in corrispondenza delle peggiori geometrie satellitari.
Figura 4.14 – Errore Orizzontale, Errore Verticale e Doppler PDOP (Doppler Statico,
Cinematico Mode 1 e 2)
103

Inoltre, viene evidenziata una caratteristica molto interessante per l‟impiego cinematico del
posizionamento Doppler: il picco di errore di 1200 metri in orizzontale (riscontrato in Mode 2
intorno alle ore 13:00 locali), non si causa una divergenza della soluzione nelle epoche
successive, dimostrando una sostanziale stabilità del metodo anche in situazioni critiche. Tale
proprietà non analizzata a fondo in questo lavoro, costituisce uno dei possibili spunti per
ulteriori studi di approfondimento.
Le tabelle seguenti (Tabella 4.10 e Tabella 4.11) riportano rispettivamente gli errori RMS e
massimi tra la posizione esatta e quelle calcolate con osservabili pseudorange e Doppler in
Mode 1 e 2. In particolare sono riportati gli errori nelle coordinate Est, Nord, Up, nel piano
orizzontale e tridimensionali.
Tabella 4.10 – Confronto tra Posizionamento Doppler Cinematico Mode 2 e gli altri approcci
Errore RMS [metri]
considerati in Termini di Errore RMS
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 6,66 4,79 16,43 8,21 18,37
Doppler
Statico
Doppler
Cinematico
Mode 1
Doppler
Cinematico
Mode 2
75,29 50,06 98,40 90,42 133,6
89,68 62,39 89,75 109,25 141,39
190,31 124,56 134,55 227,45 264,27
104

Tabella 4.11 – Confronto tra Posizionamento con PR e Doppler Cinematico Mode 2 in Termini
Errore Massimo [metri]
di Errore Massimo
Est Nord Up Horiz. 3D
PR 79,62 76,76 241,96 99,77 259,07
Doppler
Statico
Doppler
Cinematico
Mode 1
Doppler
Cinematico
Mode 2
422,82 225,83 495,25 440,07 566,70
465,37 283,26 473,05 471,83 519,72
1126,75 589,54 626,19 1221,87 1257,09
Una ulteriore conferma delle buone caratteristiche di stabilità mostrate dall‟algoritmo
cinematico (Mode 2), si evince da un confronto tra le due tabelle precedenti, in cui all‟errore
massimo orizzontale di 1200 metri circa corrisponde un errore RMS di 200 metri circa.
4.3.3 Considerazioni sul Posizionamento Doppler Cinematico
L‟algoritmo per il posizionamento Doppler cinematico “Mode 2” fornisce i peggiori risultati
in termini di accuratezza rispetto al caso Doppler statico e Doppler cinematico “Mode 1”, ma
è sicuramente utilizzabile in un maggior numero di situazioni (gli altri 2 casi citati sono
essenzialmente casi studio). Si procede con la descrizione di una tipica situazione in cui è
utilizzabile tale algoritmo.
Si suppone di conoscere la posizione del ricevitore con approssimazione massima dell‟ordine
del centinaio di metri, ottenuta ad esempio con misure di pseudorange in ambiente ostile e si
procede al calcolo della velocità del ricevitore mediante il Blocco 1 (Figura 4.10).
105

Considerando i valori della Tabella 4.7, si avrà un‟accuratezza sulla velocità stimata
dell‟ordine del centimetro al secondo.
In input al Blocco 2 si avranno le osservabili Doppler, la velocità stimata al Blocco 1 (con
incertezza al cm/s) e la posizione stimata (con incertezza ai 100 m). Per quanto visto nella
sezione precedente in questa situazione è possibile calcolare la posizione del ricevitore con
l‟algoritmo proposto con un‟accuratezza dell‟ordine del centinaio di metri. Tale accuratezza
nella posizione consente l‟applicazione della procedura descritta per parecchi secondi fino a
che l‟incertezza sulla posizione Doppler non arriva a parecchie centinaia di metri.
L‟algoritmo proposto può quindi considerarsi stabile, a meno di grossi errori sul calcolo della
posizione iniziale.
Una potenziale diversa implementazione dell‟algoritmo con i due blocchi in cascata è data
dalla possibilità di integrare il dato di velocità calcolato in Doppler con informazioni prodotte
da una fonte esterna. In particolare si potrebbe impiegare un odometro o un sensore inerziale
per verificare la bontà della velocità calcolata, e all‟occorrenza sostituire o integrare l‟input
del Blocco 2 con il dato della fonte esterna. Lo schema a blocchi della Figura 4.15 riporta un
ipotetica configurazione con l‟aggiunta del blocco Fonte Esterna.
Altra possibile variante, di cui in Figura 4.16 si riporta lo schema a blocchi, si può realizzare
avendo a disposizione informazioni esterne circa il moto con cui il ricevitore può fisicamente
spostarsi. Ad esempio in caso di moto pedestre o veicolare, è possibile integrare il dato di
posizione con informazioni cartografiche o strumenti altimetrici, al fine minimizzare gli errori
verticale e orizzontale nella posizione stimata.
106

Figura 4.15 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo Cinematico con Fonte Esterna per la Velocità
In ultima analisi, la tecnologia A-GPS consente di trasferire al ricevitore una serie di
informazioni che, opportunamente trattate, possono fornire un utile supporto agli algoritmi
Doppler proposti in questo lavoro. A titolo di esempio si consideri la possibilità di ottenere
un‟approssimazione della posizione del ricevitore mobile connesso con la rete cellulare
(Kaplan, 2006).
107

Figura 4.16 – Schema a Blocchi dell’Algoritmo Cinematico con Fonte Esterna per la Posizione
108

5 Conclusioni
Lo studio affrontato in questo lavoro evidenzia la possibilità di sviluppare innovative tecniche
di posizionamento GPS che facciano uso delle osservabili Doppler.
In ambienti critici per la navigazione satellitare, come i canyon urbani, l‟osservabile
pseudorange è fortemente influenzata da errori causati dalla rifrazione atmosferica e dal
multipath; l‟osservabile shift-Doppler presenta spiccate caratteristiche di robustezza rispetto a
tali fenomeni che ne suggeriscono l‟uso in supporto o in sostituzione (per brevi periodi) delle
classiche metodologie di posizionamento in single point.
Il nucleo principale del lavoro è stata la ricerca bibliografica e sperimentale che ha portato
allo sviluppo di software per il calcolo di posizione e velocità del ricevitore con osservabili
Doppler. In particolare sono stati implementati in ambiente di programmazione Matlab gli
algoritmi per il calcolo di posizione e velocità dei satelliti (propagazione orbitale), gli
algoritmi per il posizionamento in single point sia con osservabili pseudorange che Doppler
(opportunamente trasformate in pseudorange rate), più una libreria di algoritmi di supporto.
L‟algoritmo di posizionamento Doppler sviluppato richiede la conoscenza stimata della
posizione e della velocità del ricevitore.
Tale algoritmo è stato stato testato inizialmente in modalità statica, cioè utilizzando le
osservabili acquisite da una stazione fissa di riferimento e ponendo la velocità del ricevitore
uguale a zero ed i risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti con il classico
posizionamento con osservabili pseudorange in termini di errore massimo e RMS.
Rispettando le aspettative, è stato verificato che l‟errore RMS orizzontale del posizionamento
Doppler è dell‟ordine del centinaio di metri, mentre con l‟uso pseudorange è di circa 10 metri.
Le prestazioni raggiungibili con quest‟ultima tecnica di posizionamento sono di gran lunga
109

superiori alle prestazioni del posizionamento Doppler; tuttavia in determinate circostanze le
osservabili Doppler possono risultare l‟unica risorsa disponibile per il calcolo della posizione.
La dipendenza del posizionamento Doppler dalla conoscenza della posizione e della velocità
del ricevitore è stata analizzata, appurando che l‟algoritmo converge alla medesima soluzione
per posizioni stimate errate fino a qualche chilometro e che l‟accuratezza della soluzione resta
dello stesso ordine di grandezza per errori fino a qualche cm/s.
Le osservabili Doppler sono state utilizzate anche per calcolare la velocità del ricevitore,
mediante un opportuno algoritmo che prevede la conoscenza di una stima della posizione; è
stato accertato che con una posizione stimata entro le centinaia di metri la velocità calcolata è
dell‟ordine dei cm/s.
Dalla possibilità di porre in cascata gli algoritmi Doppler di posizionamento e per il calcolo
della velocità è nata l‟idea di sviluppare un innovativo algoritmo cinematico Doppler. In tale
algoritmo la velocità Doppler calcolata viene posta in input all‟algoritmo per il calcolo della
posizione, che verrà usata all‟epoca successiva come nuova posizione stimata per il calcolo
della velocità e della posizione e così via. I test effettuati hanno dimostrato una sostanziale
stabilità dell‟algoritmo cinematico, in quanto nonostante occasionali picchi di errore nella
posizione calcolata dovuti alla incertezza di posizione e velocità stimata, l‟errore Doppler è
per lunghi tratti nell‟ordine delle centinaia di metri.
I risultati raggiunti incoraggiano la ricerca e lo sviluppo di algoritmi di posizionamento che in
situazioni particolari possano sopperire alle carenze delle tecniche di posizionamento con
pseudorange. In particolare si fa riferimento a luoghi chiusi o con forti disturbi
elettromagnetici, in cui potrebbe essere impossibile demodulare i ranging-code dai segnali
GPS. In tale evenienza è stato dimostrato in questo lavoro che l‟osservabile Doppler può
essere impiegata per un posizionamento affidabile e senza dover ricorrere ad hardware
aggiuntivo.
110

5.1 Sviluppi futuri
Un possibile approccio per migliorare le prestazioni del posizionamento consiste nel
considerare una multi – costellazione satellitare che comprenda in aggiunta al diffuso GPS
altri sistemi GNSS. Il sistema satellitare GLONASS, alter-ego Russo del GPS, è attualmente
in fase di rilancio ed a breve sarà completamente operativo. Esso rappresenta una valida
alternativa al GPS ma anche un possibile componente del suddetto sistema integrato. Anche il
nascente sistema satellitare Europeo Galileo, che attualmente annovera nella sua costellazione
due soli satelliti attivi, può essere considerato come possibile componente.
Un sistema integrato GNSS è caratterizzato da una disponibilità satellitare incrementata
rispetto al solo sistema GPS, garantendo un miglioramento del posizionamento in termini di
accuratezza, continuità ed integrità in ambienti ostili per la navigazione satellitare.
111

Bibliografia
Angrisano, A. (2010), GNSS/Integration Methods, PhD Thesis, Dipartimento di Scienze
Applicate, Università Parthenope di Napoli.
Angrisano, A. (2006), Sviluppo di Software per lo Studio della Visibilità della Costellazione
dei Satelliti GPS, MSc Thesis, Dipartimento di Scienze Applicate, Università Parthenope di
Napoli.
Chan-Woo Park, Sun Choi (2008), High sensivity GPS receiver and method for compensating
for Doppler variation, US Patent 24-6-2008 US 7,391,366 B2.
Cina, A. (2000), GPS. Principi, modalità e tecniche di posizionamento. Celid.
Danchik, Robert J. (1998), An overview of Transit Developement, Johns Hopkins Apl
Technical Digest, volume 19, number 1.
Global Positioning System Standard Positioning Service Performance Standard (2008), Us
Department of Defense, IV Edition, September 2008.
Godha, S., Lachapelle, G. and Cannon, M.E. (2006), Integrated GPS/INS System for
Pedestrian Navigation in a Signal Degraded Environment, Proceedings of ION GNSS06, 26-
29 Sept., Fort Worth, Session A5, pp. 2151 – 2164, The Institute of Navigation.
112

Gurtner, W. (2000), RINEX: Receiver independent exchange format version 2.10, Technical
report, Astronomical Institute, University of Berne.
Halliday, Resnick, Walker (2001), Fondamenti di fisica, Casa Editrice Ambrosiana.
Héroux, Kouba, Collins, Lahaye (1998), GPS Carrier-Phase Point Positioning with Precise
Orbit Products, Naturale Resource Canada.
Hoffmann-Wellenhof, B., Lichtenegger, H. and Collins, J. (1992), Global Positioning System:
Theory and Practice, Springer New York.
IS-GPS-200 (2004) Navstar GPS Space Segment/Navigation User Interfaces, Revision D,
ARINC Research Corporation, El Segundo, CA
Lehtinen, A. (2001), Doppler positioning with GPS, MSc Thesis, Department of Electrical
Engineering, Tampere University of Technology, Finlandia.
Nastro V. (2004), Navigazione inerziale ed integrata, Guida Editore, 2004
Parkinson B. W. and J. J. Spilker Jr. (1996), Global Positioning System: Theory And
Applications, volume 1 e 2, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc., Washington
D.C., USA.
Petovello, M. (2003), Real-time Integration of a Tactical-Grade IMU and GPS for High-
Accuracy Positioning and Navigation, PhD Thesis, Department of Geomatics Engineering,
University of Calgary, Canada, UCGE Report No. 20173.
113

Remondi, B. W. (2004), Computing Satellite Velocity Using the Broadcast Ephemeris, GPS
Solutions, 8(3):pp.181-183.
Strang G. and Borre K. (1997), “Linear Algebra, Geodesy and GPS”, Wellesley-Cambridge
Press
Vultaggio, M (2010), Navigazione Satellitare, Dipartimento di Scienze Applicate, Università
Parthenope di Napoli
Vultaggio, M (2007), Navigazione I, Dipartimento di Scienze Applicate, Università
Parthenope di Napoli
Vultaggio, M (2007), Navigazione II, Dipartimento di Scienze Applicate, Università
Parthenope di Napoli
Ward, P.W. etal (2006), GPS Satellite Signal Characteristics, Kaplan, E.D. ed., Understanding
GPS: Principles and Applications (second edition), Chapter 4, Artech House Mobile
Communications Series.
Warren, D. (2002), Broadcast vs Precise GPS Ephemerides: a historical perspective, Royal
Australian Air Force, 2002.
114

Appendice: l’Effetto Doppler
Il fenomeno porta il nome del fisico austriaco che nel 1843 ne ha portato a termine il primo
studio scientifico. Esso consiste nella variazione di frequenza che subisce un onda di qualsiasi
genere quando trasmettitore e ricevitore sono in moto relativo. Più precisamente, accade che
la frequenza aumenta se sorgente e ricevitore si avvicinano e viceversa.
L‟entità della variazione in frequenza dipende unicamente dalla velocità relativa tra
trasmettitore e ricevitore in relazione alla velocità di propagazione dell‟onda.
Nel caso delle onde elettromagnetiche, che com‟è noto si propagano alla velocità della luce
nel vuoto, la variazione di frequenza dovuta a un allontanamento è espressa dalla seguente
relazione (Halliday-Resnick-Walker):
dove
è la frequenza ricevuta,
è la frequenza trasmessa,
,
è la velocità relativa tra sorgente e rilevatore,
è la velocità della luce.
Nel caso in cui provochi un avvicinamento il segno del parametro è invertito.
115

Per , cioè per basse velocità, l‟espressione precedente può essere approssimata
mediante sviluppo in serie di potenze di nella seguente espressione:
In genere per gli usi navigazionali, il contributo del termine al quadrato che esprime l‟effetto
relativistico viene considerato mediante opportune correzioni durante il processamento delle
misure oppure è trascurato. Pertanto la relazione dell‟effetto Doppler più diffusamente
impiegata negli algoritmi di navigazione è la seguente:
dove rappresenta l‟angolo tra la retta congiungente trasmettitore-ricevitore e la direzione di
propagazione dell‟onda.
Per quanto riguarda invece l‟espressione dell‟effetto Doppler per tutte le altre onde, ad
esempio quelle di pressione, la propagazione avviene solo in presenza di un mezzo di
trasmissione (aria, acqua, etc.), e bisognerà pertanto riferire le velocità del rivelatore e della
sorgente a tale sistema di riferimento:
dove è la velocità di propagazione dell‟onda nel mezzo, e sono rispettivamente le
velocità del rilevatore e della sorgente rispetto al sistema di riferimento.
116

In Figura 0.1 sono rappresentate le curve caratteristiche dell‟effetto Doppler per un segnale
emesso da una sorgente che si muove verso destra lungo la retta orizzontale (a), e misurato da
rilevatori posti nei punti A, B e C.
Figura 0.1 – Curve Doppler e Rispettive Posizioni Rilevatore (Vultaggio,2010)
Le curve consentono di trarre importanti informazioni per gli scopi di posizionamento, in
quanto il loro andamento, soprattutto in prossimità del punto di intersezione con l‟asse delle
frequenze, è indice della distanza tra ricevitore e sorgente e della velocità relativa(Vultaggio,
2010). Numerose sono le applicazioni tecnologiche dell‟effetto Doppler e molte sono anche le
applicazioni di carattere prettamente scientifico. A titolo di esempio si ricordano i radar
doppler, i radar-SAR, i sonar e i vari dispositivi per uso medico. Dal punto di vista della
ricerca scientifica, l‟osservazione di immagini astronomiche, alla luce dello spostamento in
frequenza dovuto al moto relativo, ha aperto la strada a teorie innovative, come il Red-Shift
nella teoria del Big Bang, la ricerca di altri sistemi planetari e lo studio di stelle binarie.
L‟elenco delle applicazioni è molto ampio e sicuramente aperto a nuovi aggiornamenti,
pertanto si rimanda il lettore ad ulteriori fonti per approfondimenti.
117