Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

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- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 64 3 Statica del Corpo Rigido Π(c)[vrig] := c · ωo . In conclusione, la potenza spesa in un atto di moto rigido da un sistema di forze e coppie S = {(Pi,fi), i = 1, 2, . . ., N; (Qj,cj), j = 1, 2, . . .,M} è: Π(S)[vrig] = N fi · wo + ωo × −−⇀ M + i=1 = N i=1 fi i=1 PoPi j=1 ci · ωo · wo + N M −−⇀ PoPi × fi + j=1 cj · ωo = r · wo + m(Po) · ωo , (11.2) dove (r,m(Po)) sono il risultante e il momento risultante del sistema considerato. Osservazione. Risultante r e momento risultante m, le variabili dinamiche globali di un dato sistema di forze e coppie, sono rispettivamente coniugate – nel senso della nozione di potenza spesa – alle variabili cinematiche che parametrizzano la classe dei movimenti (≡ atti di moto) rigidi, vale a dire, wo, che specifica quelli traslatorii, e ωo, che specifica quelli rotatorii. Per questo motivo, anche in statica, quelle variabili dinamiche globali sono quantità significative. 12 Sistemi bilanciati di forze e coppie. Equazioni cardinali Un sistema di forze e coppie si dice bilanciato se spende potenza nulla in ogni atto di moto rigido (10.4). In particolare, un sistema di forze e coppie bilanciato applicato ad un corpo rigido spende potenza nulla in ogni istante di ogni moto del corpo. Vale il seguente risultato di caratterizzazione: Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz Un sistema S di forze e coppie è bilanciato se e solo se soddisfa le cosidette equazioni cardinali della statica del corpo rigido: r = 0 & m = 0 . 2 (12.1) Basta un’occhiata a (11.2) per verificare che, se valgono le equazioni (12.1), allora il sistema in esame è bilanciato. Il converso si dimostra osservando che, se r · wo + m · ωo = 0 ∀wo, ωo ∈ V, allora, ponendo in questa relazione ωo = 0 [wo = 0] e valendosi dell’arbitrarietà di scelta di wo [ωo] si conclude che r = 0 [m = 0]. 2 Scrivendo la seconda delle equazioni cardinali, non val la pena di precisare il polo rispetto al quale si calcola il momento risultante, dato che la prima equazione garantisce che la scelta del polo è ininfluente.
- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 12 Sistemi bilanciati di forze e coppie. Equazioni cardinali 65 Osservazione. Si usa dire che la prima equazione cardinale esprime ‘l’equilibrio alla traslazione’, perchè, come abbiamo visto, la si ottiene imponendo l’annullarsi della potenza per ogni atto di moto traslatorio; per una ragione del tutto analoga, si dice che la seconda equazione esprime ‘l’equilibrio alla rotazione’. Esercizi 12.1. Scelto un riferimento cartesiano ortonormale di origine O, si consideri un campo di velocità v tale che: v(A) = v(e1 + e2), A ≡ (0, 0, 0); v(B) = v(e1 + 2e2), B ≡ l(1, 0, 0); v(C) = v(2e1 + e2), C ≡ l(0, 1, 0). Mostrare che il campo v non è un atto di moto rigido. Soluzione. Una proprietà saliente dei campi di velocità che sono atti di moto rigido è che, comunque vengano scelti due punti P, Q, si ha sempre: (v(P) − v(Q)) · −⇀ PQ = 0 (si richiami la relazione (10.2)). Dunque, perché v sia rigido è necessario che siano soddisfatte le seguenti tre condizioni: (v(A) −v(B)) · −⇀ −⇀ −−⇀ AB = 0, (v(A) −v(C)) · AC = 0, (v(B) −v(C)) · BC = 0. Un semplice calcolo mostra che v non soddisfa la terza di queste. Infatti: v(B) · −⇀ −⇀ BC = lv = −v(C) · BC . Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz 12.2. Un cubo rigido di spigolo l ha ad un certo istante un vertice nell’origine e spigoli paralleli agli assi cartesiani (Fig. 3.23); in quell’istante, è nota la velocità dei punti Po ≡ O, P1 e P2: v(O) = ve3, v(P1) = ve2, v(P2) = −ve1, dove v è un numero reale assegnato. Si determinino la velocità angolare ω del cubo e la velocità del suo punto P3 ≡ l(1, 1, 1). Soluzione. Dalla formula generale (10.6), otteniamo: v(Pi) = v(O) + ω × −⇀ OP i, i = 1, 2 ; dunque, ve2 = ve3 + ω × (le1), −ve1 = ve3 + (lω × e2). Moltiplicando scalarmente per e2 e per e3 ambo i membri della prima equazione, troviamo:
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