Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

More documents

Recommendations

Info

- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 56 3 Statica del Corpo Rigido getta in B ad una forza di direzione e verso costanti. L’intuizione ci suggerisce che due configurazioni di equilibrio sono possibili, quelle rappresentate in Fig. 3.1.b; nel caso (1), l’equilibrio ci appare stabile (nel senso che piccole pertubazioni della configurazione in figura non sembrano foriere di grandi effetti), instabile nel caso (2), quando perturbazioni comunque piccole ci sembrano capaci di indurre l’abbandono della configurazione di equilibrio relativa. Sulla base di questo esempio, del problema generale della statica del corpo rigido si può dare la seguente formulazione verbale: date le forze agenti sul corpo e le condizioni di vincolo, trovare le configurazioni di equilibrio e le relative reazioni vincolari; quindi, qualificare la natura dell’equilibrio in ciascuna delle suddette configurazioni. Per formalizzare la prima parte di questo tipo di problemi, in vista della loro risoluzione, introduciamo provvisoriamente il seguente: Principio di Equilibrio. In una configurazione di equilibrio, il sistema di tutte le forza e coppie applicate al corpo, siano esse attive o reattive, deve essere un sistema nullo. Applicato al caso dell’asta di Fig. 3.1.a, il Principio di Equilibrio si traduce nella seguente coppia di equazioni: f + rA = 0 & −⇀ AB × f = 0, (9.1) che esprimono, rispettivamente, l’annullarsi del risultante e del momento risultante rispetto al polo A del sistema di forze {(B,f ), (A,rA)} (qui rA denota l’incognita reazione vincolare applicata all’asta in corrispondenza della cerniera di vincolo). Dalla seconda equazione si deduce che, in una configurazione di equilibrio, −⇀ AB deve essere parallelo a f : è proprio questa condizione che seleziona, tra le tutte le possibili configurazioni compatibili con il vincolo in A, le due configurazioni in Fig. 3.1.b. Invece, la prima equazione, che si può naturalmente riscrivere nella forma equivalente Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz rA = −f , seleziona, tra tutte le possibile reazioni vincolari che la cerniera è in grado di produrre, quella che rende nullo il sistema di forze sia nell’una che nell’altra delle due configurazioni di equilibrio. Esempio 2. Applichiamo adesso il Principio di Equilibrio al caso di Fig. 3.2, nel quale l’asta è incernierata nel suo punto di mezzo e soggetta a due forze estreme identiche, di direzione e verso costanti. Questa volta, il sistema di forze in gioco è: {(A,f ), (B,f ), (O,rO)}, dove rO denota la reazione vincolare nella cerniera di vincolo. Il Principio di Equilibrio fornisce: 2f + rO = 0, −⇀ OA × f + −⇀ OB × f = 0; la prima equazione determina la reazione vincolare, la seconda (che è identicamente soddisfatta, perchè −⇀ OA+ −⇀ OB = 0) determina l’insieme delle configurazioni d’equilibrio: tutte quelle di angolo φ ∈ [0, 2π). Per la nostra intuizione, la
- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - Figura 3.2. 9 Tre esempi introduttivi 57 probabilità di trovare l’asta nell’una o nell’altra di queste infinite configurazioni è la stessa: la natura dell’equilibrio non ci pare né stabile né instabile – come accadeva per le due configurazioni dell’esempio precedente, che ci sembrava avessero, rispettivamente, probabilità 1 e 0 d’essere osservate – ma piuttosto indifferente, nel senso che qualunque perturbazione ammissibile di posizione, anche se non piccola, ci pare evidente che porti l’asta in una diversa ma non meno probabile configurazione di equilibrio. La conclusione da trarre da questi due esempi è che il Principio di Equilibrio nulla dice sulla stabilità delle configurazioni che determina. Si potrebbe pensare che così non sia quando di configurazioni di equilibrio possibile ce ne sia una soltanto. Che questa congettura sia falsa è provato dal prossimo esempio, che propone un problema di statica del corpo rigido un pò più complesso del precedente. Esempio 3. Consideriamo una barra rigida pesante, di lunghezza l, a contatto con le pareti di una cavità di angolo d’apertura α, come in Fig. 3.3. Se supponiamo il contatto privo di attrito, le reazioni vincolari rA,rB saranno perpendicolari alle pareti; non sappiamo tuttavia a priori se ci siano coppie (A, B) di punti di contatto per le quali l’equilibrio sia possibile. Per saperlo, applichiamo il Principio di Equilibrio al sistema di forze {(G,g), (A,rA), (B,rB)}. Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz Figura 3.3.
Page 1: - Appunti di Meccanica dei Solidi/S
Page 5 and 6: - Appunti di Meccanica dei Solidi/S

Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?