Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

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- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 80 3 Statica del Corpo Rigido La forza peso è conservativa: questo aggettivo connota ogni forza cui si può associare un potenziale, vale a dire, una funzione scalare della posizione Φ = Φ(x1, x2, x3) tale che f = −∇Φ, ∇Φ = (∂xiΦ)ei . 4 Nel caso della forza peso e del problema piano in esame, tale funzione potenziale è (a meno di una costante additiva inessenziale): Φ(x1, x2) = mΓ(x1, x2), Γ(x1, x2) = gx2, (x1, x2) ∈ R 2 , dove Γ è il potenziale associato all’accelerazione di gravità: g = −∇Γ = −ge2, cioè, alla forza peso per unità di massa. Prendiamo atto di due fatti, che sono manifestazioni in questo caso particolare di proprietà che riconosceremo valide un po’ più avanti: - visto che ∇Φ(x1, x2) = mge2, nelle posizioni di equilibrio del pendolo si ha che ∇Φ·e1 = 0, dove e1 è la comune direzione, in quelle posizioni, delle velocità compatibili con il vincolo; - nella posizione di equilibrio superiore, che ci appare instabile, Φ(0, h) = mgh = max; in quella inferiore, che ci appare stabile, Φ(0, −h) = −mgh = min. L’aspetto comune ai due fatti è che entrambi vengono descritti in termini del potenziale, una funzione che incorpora tutta l’informazione rilevante tanto per stabilire quali siano le soluzioni del problema di equilibrio quanto per qualificarne la natura. Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz Osservazioni. 1. La situazione appena descritta è caratteristica di quei sistemi meccanici che, come il pendolo dell’esempio, siano soggetti esclusivamente a forze conservative nel corso dei moti che i vincoli esterni non escludono. L’idea generale retrostante è che, per questi sistemi, la grandezza meccanica primaria è il potenziale, non la forza, che è una nozione secondaria, ottenuta dalla prima; e che, dunque, in termini di proprietà del potenziale si debba descrivere il comportamento di questi sistemi. 2. Nell’ambito della Statica, non c’è ambiguità né difficoltà a qualificare la natura delle posizioni d’equilibrio soltanto nel caso di sistemi soggetti a forze conservative. In Dinamica, la questione può essere trattata in modo soddisfacente in tutti i casi. Per tradurre l’idea esposta nella prima delle Osservazioni precedenti in un criterio di risoluzione del problema di equilibrio, conviene introdurre le nozioni matematiche di derivata direzionale e gradiente di un campo scalare. 4 Il simbolo ∇ si legge “nabla”.
- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 15 Metodo del potenziale. Equilibrio stabile, instabile, indifferente. 81 Dato un campo scalare regolare Ψ = Ψ(P), definito in ogni punto P di un insieme aperto dello spazio euclideo E, ∂dΨ(P), la derivata direzionale di Φ nella direzione d, è così definita: Ψ(P + δd) − Ψ(P) ∂dΨ(P) := lim , |d| = 1 ; δ→0 δ dunque, la derivata direzionale è per definizione il numero reale che si ottiene quando esiste finito il limite che appare nella relazione precedente e che ne fornisce l’interpretazione: ∂dΨ(P) ci dice come tende a variare il valore del campo Ψ quando ci si allontana da P in direzione d. Il gradiente di Ψ nel punto P è per definizione il vettore ∇Ψ(P) tale che ∇Ψ(P) · d := ∂dΨ(P) per ogni direzione d. Per calcolarne gradiente e derivate direzionali, è spesso conveniente pensare il campo Ψ come una funzione delle coordinate cartesiane del punto tipico P: Ψ = ˆ Ψ(x1, x2, x3). Allora, ∇Ψ è il vettore che ha per componenti le derivate parziali di Ψ: (∇Ψ)i = ∂Ψ (= ∂xiΨ), ∂xi mentre la derivata in direzione d = diei di Ψ vale ∂dΨ(x1, x2, x3) = di ∂xiΨ(x1, x2, x3). Siamo ora in grado di formalizzare la relazione tra il metodo delle potenze per la ricerca di posizioni di equilibrio e la nozione di potenziale. La potenza spesa da una generica forza conservativa (P,f ) di potenziale Φ vale: Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz f (P)·v(P) = −∇Φ(P)·v(P) = −a ∂aΦ, dove a = |v(P)| e a = vers(v(P)); dunque, quella potenza si annulla se e solo se si annulla la derivata del potenziale nella direzione della velocità del punto di applicazione della forza. Nel caso del pendolo semplice, quindi, −f (P) ≡ ∇Φ = mg e2, ∂dΦ = mg(e2 · d); ∂dΦ = 0 ⇔ d e1. Poichè la velocità del punto B di applicazione della forza peso in un atto di moto rigido compatibile con il vincolo è: v(B) = ω × −⇀ AB = ω(x1e2 − x2e1), x1 = h sinϕ, x2 = h(1 − cosϕ),
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