Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

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- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 66 3 Statica del Corpo Rigido Figura 3.9. ω · e3 = v l = ω · e2 ; moltiplicando scalarmente per e1 la seconda equazione, troviamo: ω · e1 = − v l . In definitiva, la velocità angolare cercata è il vettore ω = v l (−e1 + e2 + e3). Quanto alla velocità del punto P3, essa risulta essere: v(P) = v(2e2 − e3), come mostra un facile calcolo basato sulla rappresentazione del campo di velocità in un punto P generico del cubo: v(P) = v(O) + ω × −⇀ OP = (ve3) + v l ω × (xiei) = v (x3 − x2)e1 + (x1 + x3)e2 + (l − x1 − x2)e3) l . Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz 12.3. Si supponga che al cubo rigido di cui all’esercizio precedente sia applicata la coppia di forze (Q1,f1), (Q2,f2), con Q1 ≡ l(1, 0, 0), f1 = fe1 ; Q2 ≡ l(0, 1, 0), f2 = −fe1 . Calcolare la potenza spesa. Soluzione. Si ha r = 0, m = c, dove c è il vettore momento risultante della coppia di forze: c = −−−⇀ Q1Q2 × (−fe1), −−−⇀ Q1Q2 = l(−e1 + e2). La potenza spesa è dunque: ω · c = v l (−e1 + e2 + e3) · l(−e1 + e2) × (−fe1) = fv .
- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 13 Vincoli esterni 13 Vincoli esterni 67 Ci si potrebbe chiedere per quale motivo sia stata introdotta la nozione di sistema bilanciato di forze e coppie quando si sarebbe potuto caratterizzare tali sistemi come quelli che soddisfano le equazioni cardinali. Il motivo principale è che, procedendo in questo modo, si conferisce alla statica del corpo rigido un formato che si presta meglio a successive generalizzazioni (tra quelle che compiremo, in particolare, la statica dei sistemi di corpi rigidi e quella di classi di corpi in vario modo deformabili). Un altro motivo importante è che, procedendo in termini di potenza spesa in un atto di moto invece che in termini di equazioni di bilancio, si può agevolmente formulare una caratterizzazione costitutiva convincente dei vincoli esterni, cioè, delle restrizioni di movimento indotte in uno o più punti di un corpo dalla presenza dell’ambiente esterno al corpo medesimo. Ci proponiamo di descrivere soltanto un tipo, speciale ma importante, di vincoli esterni posizionali, quelli che sono: 1) bilaterali, cioè, tali da impedire spostamento e rotazioni qualunque ne sia il verso o il senso (come fanno i doppi binari sui quali corrono i carrelli delle “montagne russe”). I vincoli unilaterali, come l’appoggio su una superficie (Fig. 3.10), impediscono lo spostamento in un verso e non in Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz Figura 3.10. quello opposto: il piano d’appoggio è in grado di sostenere il corpo, ma non di trattenerlo se viene sollevato; 2) lisci, cioè, privi di attrito. La reazione esercitata da una superficie liscia è normale alla superficie stessa. Se il vincolo è scabro, nella configurazione di equilibrio, la reazione è contenuta all’interno del cono d’attrito e presenta quindi una componente normale al piano d’appoggio e una parallela, entrambe in genere non nulle; 3) perfetti, cioè, tali da esercitare una reazione comunque grande (un vincolo imperfetto fornirebbe una risposta limitata in modulo, un comportamento che potrebbe avere conseguenze spiacevoli nel caso delle “montagne russe” ma anche, invece, suggerire il criterio di progetto di dispositivi di rilassamento di una restrizione di mobilità). In termini generali, la caratterizzazione che adopereremo per questo tipo di vincoli è la seguente: il sistema di una forza e una coppia di reazione, che la
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