Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

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- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 60 3 Statica del Corpo Rigido t ↦→ pO(t) := −⇀ OP(t) fornisce la posizione assoluta di P all’istante t rispetto all’origine O di quel riferimento. La posizione relativa a P di Q è: pP(Q, t) := −⇀ −⇀ −⇀ PQ(t) = Q(t) − P(t) = OQ(t) − OP(t) = pO(Q, t) − pO(P, t) e può, quindi, essere intesa come la differenza tra le posizioni assolute di Q e P all’istante corrente. Differenziando la posizione assoluta di P: t ↦→ d dt pO(t) =: vO(P, t), se ne ottiene la velocità assoluta all’istante t, mentre la velocità relativa a P di Q è la differenza delle rispettive velocità assolute: d dt (pO(Q, t) − pO(P, t)) = vO(Q, t) − vO(P, t) =: vP(Q, t). D’ora in avanti, avendo fissato un riferimento spazio-temporale “assoluto”, scriveremo per semplicità p(P, t) e v(P, t), invece di pO(P, t) e vO(P, t), per posizione e velocità assolute di P al tempo t. Una prima importante conseguenza dell’ipotesi di rigidità si ricava differenziando rispetto al tempo una versione equivalente dell’equazione (10.1) che la esprime: | −⇀ 2 PQ(t)| = cost.. Si ottiene: 0 = −⇀ d −⇀ PQ · PQ = pP(Q, t) · vP(Q, t); dt (10.2) dunque, dati due punti P, Q di un corpo rigido in moto, ad ogni istante il luogo Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz Figura 3.5. delle possibili velocità vP(Q, t) di Q relative a P è il piano perpendicolare al vettore pP(Q, t), che specifica la posizione di Q relativa a P (Fig. 3.5). Precisamente, si può far vedere che vale la seguente formula di rappresentazione del campo di velocità relative:
- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 - 10 Cinematica 61 vP(Q, t) = ω(t) × pP(Q, t), Q ∈ Crig ; (10.3) il vettore ω è detto velocità angolare. Mostriamo che ω non dipende dalla scelta di P supponendo, per assurdo, che ne dipenda. Cominciamo scegliendo di rappresentare la velocità assoluta di Q in termini della velocità assoluta di P e della velocità di Q relativa a P: v(Q) = v(P) + vP(Q) = v(P) + ω(P) × −⇀ 1 PQ; similmente, se per dare una rappresentazione della velocità assoluta di Q scegliamo un qualunque altro punto P ′ invece di P, otteniamo: v(Q) = v(P ′ ) + ω(P ′ ) × −−⇀ P ′ Q; d’altra parte, dev’essere anche vero che v(P ′ ) = v(P) + ω(P) × −−⇀ PP ′ . Combinando le ultime tre relazioni, troviamo: v(P) + ω(P) × −⇀ −−⇀ ′ ′ −−⇀ ′ PQ = v(P) + ω(P) × PP + ω(P ) × P Q, e ne deduciamo che ω(P) × ( −⇀ −−⇀ ′ ′ −−⇀ ′ ′ −−⇀ ′ PQ − PP ) = ω(P ) × P Q ⇒ (ω(P) − ω(P ) × P Q = 0, ovvero, visto che l’ultima relazione vettoriale vale qualunque sia Q e che, quindi, si può scegliere il vettore −−⇀ P ′ Q in modo arbitrario, ω(P) = ω(P ′ ). Bozza za Bozza Bozza Bozza Boz Bozza za Boz Ma, poiché anche la scelta di P ′ è arbitraria, si conclude che, nella rappresentazione (10.3) del campo delle velocità relative ad un punto P dei punti di un corpo rigido, la velocità angolare ω è effettivamente indipendente da P. Osservazioni. 1. È facile vedere che, se vale la (10.3), allora il corpo è rigido. Basta infatti prendere il prodotto scalare di quella relazione per pP(Q, t) per ottenere: 0 = pP(Q, t) · vP(Q, t) ⇒ |pP(Q, t)| 2 = cost.. 2. Un campo vettoriale che abbia la forma w(Q) = wo + ωo × −−⇀ PoQ, Q ∈ C, (10.4) si dice un atto di moto rigido definito sulla regione C; è facile vedere che wo = w(Po), onde l’ultima relazione ammette la scrittura equivalente 1 Qui e nel seguito di questa dimostrazione, per semplicità di scrittura, lasciamo sottintesa la dipendenza da t; per la stessa ragione, scriviamo v(P), invece di vO(P), per la velocità assoluta di P.
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