Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 -
58 3 Statica del Corpo Rigido
Troviamo che dev’essere:
r = g + rA + rB = 0,
m(Q) = −⇀
QG × g = 0,
dove Q è il punto di intersezione delle rette d’azione delle reazioni vincolari.
Per analizzare le conseguenze di queste due equazioni, scegliamo il riferimento
cartesiano in figura, con O ≡ A. Allora, detto φ il parametro che individua le
configurazioni della barra candidate ad essere di equilibrio, abbiamo che:
B ≡ (l sin φ, l cosφ);
Q ≡ (0, q), con q = l cosφ − d, d = l sin φtanα;
G ≡ ( 1 1
l sin φ, l cosφ);
2 2
g = ge1 .
L’equazione m(Q) = 0 assume la forma:
⎛
⎝ e1
l
2
e2 e3
sin φ g
l
2 cosφ − q
0
⎞
0 ⎠ = g(
0
l
2 cosφ − q)e3 = 0,
cioè:
− l
cosφ + l sin φtanα = 0 ⇒ cotφ = 2 tanα.
2
Per α ∈ (0, π/2), la funzione cotangente è invertibile; c’è dunque un’unica
configurazione di equilibrio, determinata dall’angolo d’apertura della cavità:
φ = cot −1 (2 tanα). (9.2)
Bozza
za Bozza
Bozza
Bozza Boz
Bozza
za
Boz
Ebbene, quest’unica configurazione d’equilibrio è instabile: ogni men che
piccola perturbazione comporta la caduta della barra nella cavità.
Esercizi
9.1. Per la barra di Fig. 3.3, si calcolino le reazioni di equilibrio e le distanze
del punto C da A e da B, determinando il comportamento di queste quantità
anche per α → 0, π/2.
Soluzione. Quanto alle reazioni
rA = rAe2, rB = rB(cosαe1 + sin αe2),
la condizione di nullo del risultante implica che
0 = (g + rB cosα)e1 + (rA + rB sin α)e2 ⇔
Quanto alle distanze cercate, la condizione che le determina è:
rA = g tanαe2
rB = −g(e1 + tanαe2) .