Statica del Corpo Rigido - Università degli Studi di Roma Tor Vergata

- Appunti di Meccanica dei Solidi/Statica, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 -
56 3 Statica del Corpo Rigido
getta in B ad una forza di direzione e verso costanti. L’intuizione ci suggerisce
che due configurazioni di equilibrio sono possibili, quelle rappresentate in Fig.
3.1.b; nel caso (1), l’equilibrio ci appare stabile (nel senso che piccole pertubazioni
della configurazione in figura non sembrano foriere di grandi effetti),
instabile nel caso (2), quando perturbazioni comunque piccole ci sembrano
capaci di indurre l’abbandono della configurazione di equilibrio relativa.
Sulla base di questo esempio, del problema generale della statica del corpo
rigido si può dare la seguente formulazione verbale: date le forze agenti sul
corpo e le condizioni di vincolo, trovare le configurazioni di equilibrio e le relative
reazioni vincolari; quindi, qualificare la natura dell’equilibrio in ciascuna
delle suddette configurazioni. Per formalizzare la prima parte di questo tipo
di problemi, in vista della loro risoluzione, introduciamo provvisoriamente il
seguente:
Principio di Equilibrio. In una configurazione di equilibrio, il sistema
di tutte le forza e coppie applicate al corpo, siano esse attive o reattive, deve
essere un sistema nullo.
Applicato al caso dell’asta di Fig. 3.1.a, il Principio di Equilibrio si traduce
nella seguente coppia di equazioni:
f + rA = 0 & −⇀
AB × f = 0, (9.1)
che esprimono, rispettivamente, l’annullarsi del risultante e del momento risultante
rispetto al polo A del sistema di forze {(B,f ), (A,rA)} (qui rA denota
l’incognita reazione vincolare applicata all’asta in corrispondenza della cerniera
di vincolo). Dalla seconda equazione si deduce che, in una configurazione
di equilibrio, −⇀
AB deve essere parallelo a f : è proprio questa condizione che
seleziona, tra le tutte le possibili configurazioni compatibili con il vincolo in
A, le due configurazioni in Fig. 3.1.b. Invece, la prima equazione, che si può
naturalmente riscrivere nella forma equivalente
Bozza
za Bozza
Bozza
Bozza Boz
Bozza
za
Boz
rA = −f ,
seleziona, tra tutte le possibile reazioni vincolari che la cerniera è in grado di
produrre, quella che rende nullo il sistema di forze sia nell’una che nell’altra
delle due configurazioni di equilibrio.
Esempio 2. Applichiamo adesso il Principio di Equilibrio al caso di Fig. 3.2,
nel quale l’asta è incernierata nel suo punto di mezzo e soggetta a due forze
estreme identiche, di direzione e verso costanti. Questa volta, il sistema di forze
in gioco è: {(A,f ), (B,f ), (O,rO)}, dove rO denota la reazione vincolare nella
cerniera di vincolo. Il Principio di Equilibrio fornisce:
2f + rO = 0, −⇀
OA × f + −⇀
OB × f = 0;
la prima equazione determina la reazione vincolare, la seconda (che è identicamente
soddisfatta, perchè −⇀
OA+ −⇀
OB = 0) determina l’insieme delle configurazioni
d’equilibrio: tutte quelle di angolo φ ∈ [0, 2π). Per la nostra intuizione, la