Modelli Log-lineari Bivariati - Skuola.net

Modelli Log-lineari Bivariati 

Luca Stefanutti 

Università di Padova 

Dipartimento di Psicologia Applicata 

Via Venezia 8, 35131 Padova 

L.Stefanutti (Università di Padova) Modelli Log-lineari 1 / 71

Contenuti 

1 Il Modello Additivo 

2 Proprietà del Modello Additivo 

3 Modello Log-lineare di Analisi Multipla 

4 Stima dei Parametri 

5 Varianza ed Errore Standard della Stima 

6 La Standardizzazione dei Parametri 


Il Modello Additivo 

Modello Moltiplicativo e Modello Additivo 

Il modello di indipendenza è un modello moltiplicativo: 

pij = pi.p.j 

Ad esso corrisponde biunivocamente una rappresentazione 

additiva (modello additivo) ottenuta attraverso una semplice 

trasformazione logaritmica: 

ln pij = ln pi. + ln p.j 

Questa rappresentazione è in generale più semplice da trattare 

della precedente e consente lo sviluppo di modelli basati su 

equazioni lineari (come accade ad es. nell’analisi della varianza o 

nella regressione) 



Modello Moltiplicativo e Modello Additivo 

Nel modello moltiplicativo di indipendenza le frequenze teoriche 

(attese) sono 

Fij = Fi.F.j 

N 

Nel modello additivo di indipendenza la medesima relazione 

assume una forma lineare: 

ln Fij = ln Fi. + ln F.j − ln N 

Fissata la numerosità del campione, ln Fij è una funzione lineare 

dei logaritmi delle frequenze marginali di riga e colonna. 



Confronto fra i Modelli Moltiplicativo e Additivo 

Un Esempio 

Le frequenze nella seguente tavola rispettano il modello 

(moltiplicativo) di indipendenza 

Var 1 

Var 2 

1 2 3 4 5 

1 5.0 10.0 20.0 23.3 31.7 90.0 

2 3.9 7.8 15.6 18.1 24.6 70.0 

3 2.8 5.6 11.1 13.0 17.6 50.0 

4 2.2 4.4 8.9 10.4 14.1 40.0 

5 1.1 2.2 4.4 5.2 7.0 20.0 

15.0 30.0 60.0 70.0 95.0 270.0 

La trasformazione logaritmica (modello additivo) è la seguente 

Var 1 

Var 2 

1 2 3 4 5 

1 1.61 2.30 3.00 3.15 3.46 4.50 

2 1.36 2.05 2.74 2.90 3.20 4.25 

3 1.02 1.71 2.41 2.56 2.87 3.91 

4 0.80 1.49 2.18 2.34 2.64 3.69 

5 0.11 0.80 1.49 1.65 1.95 3.00 

2.71 3.40 4.09 4.25 4.55 5.60 



Confronto fra i Modelli Moltiplicativo e Additivo 

Un Esempio 

Nei due diagrammi seguenti ogni segmento di retta corrisponde a 

una riga della tavola 

Frequenza Attesa (F ij ) 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

MODELLO MOLTIPLICATIVO 

Riga 1 

Riga 2 

Riga 3 

Riga 4 

Riga 5 

0 

0 20 40 60 80 100 

Totale marginale di colonna (F ) 

.j 

ln F ij 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

MODELLO ADDITIVO 

1 

Riga 1 

Riga 2 

0.5 

0 

Riga 3 

Riga 4 

Riga 5 

2.5 3 3.5 4 4.5 5 

ln F 

.j 

Nel diagramma corrispondente al modello additivo è facile rilevare 

l’indipendenza: i segmenti sono tutti tra loro paralleli 



Media Generale dei Logaritmi 

Effettuate le trasformazioni logaritmiche ln Fij, possiamo calcolare 

una media generale 

µ = 1 

rc 

r 

i=1 j=1 

c 

ln Fij 

Sottraendo µ da ognuna delle log-frequenze ln Fij si effettua un 

semplice cambio di scala (traslazione) che pone la media µ 

all’origine della scala: 

ln Fij − µ 

Questo non cambia i reciproci rapporti tra le celle della tavola. 



Scarti dalla Media Generale dei Logaritmi 

Diagramma dei ln Fij a sinistra 

Diagramma degli scarti ln Fij − µ dalla media generale a destra 

ln F ij 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

MODELLO ADDITIVO 

1 

Riga 1 

Riga 2 

0.5 

0 

Riga 3 

Riga 4 

Riga 5 

2.5 3 3.5 4 4.5 5 

ln F 

.j 

ln F ij 

1.5 

1 

0.5 

0 

−0.5 

SCARTI DALLA MEDIA GENERALE 

−1 

Riga 1 

Riga 2 

−1.5 

−2 

Riga 3 

Riga 4 

Riga 5 

2.5 3 3.5 4 4.5 5 

ln F 

.j 


Proprietà Notevole 

Proprietà del Modello Additivo 

Si prenda in esame una qualunque cella (i, j) 

Considerando la media dei logaritmi delle frequenze appartenenti 

alla riga i 

c 1 

ln Fil 

c 

l=1 

e la media dei logaritmi delle frequenze appartenti alla colonna j 

r 1 

ln Fkj 

r 

k=1 

Sotto la condizione di indipendenza si osserva la seguente 

proprietà notevole: 

ln Fij = 1 

c 

c 

l=1 

ln Fil + 1 

r 

r 

ln Fkj − µ 

L.Stefanutti (Università di Padova) Modelli Log-lineari 9 / 71 

k=1


Rappresentazione Geometrica della Proprietà 

Notevole 

Media di riga i 

ln Fij 

Media generale 

ln F.j 

Media dei logaritmi 

delle frequenze 

marginali di colonna 

Retta della riga i 

Deviazione della media di riga 

dalla media generale 

Deviazione della media di 

colonna dalla media generale 



Dimostrazione Algebrica 

Volendo verificare l’uguaglianza 

ln Fij = 1 

c 

c 

l=1 

ln Fil + 1 

r 

r 

k=1 

moltiplichiamo entrambi i termini per rc: 

rc ln Fij = r 

c 

ln Fil + c 

l=1 

ciò equivale a scrivere 

rc ln Fij = 

r 

k=1 l=1 

c 

ln Fil + 

ln Fkj − 1 

rc 

r 

ln Fkj − 

k=1 

r 

k=1 l=1 

c 

ln Fkj − 

r 

k=1 l=1 

r 

k=1 l=1 

r 

c 

ln Fkl 

c 

ln Fkl 

k=1 l=1 

c 

ln Fkl 




Dalla precedente uguaglianza, raccogliendo sotto la medesima 

sommatoria si ottiene 

rc ln Fij = 

r 

k=1 l=1 

c 

(ln Fil + ln Fkj − ln Fkl) 

ricordando che, in generale, per indipendenza vale 

si può scrivere 

rc ln Fij = 

r 

k=1 l=1 

ln Fij = ln Fi. + ln F.j − ln N, 

c 

(ln Fi. + ln F.l − ln N + ln Fk. + ln F.j − ln N− 

− ln Fk. − ln F.l + ln N) 




Semplificando il termine di destra della precedente uguaglianza si 

ottiene 

r c 

rc ln Fij = (ln Fi. + ln F.j − ln N) 

k=1 l=1 

ed essendo entrambi i termini in parentesi costanti rispetto agli 

indici k ed l 

rc ln Fij = rc(ln Fi. + ln F.j − ln N) 

da cui: 

ln Fij = ln Fi. + ln F.j − ln N 

L’uguaglianza risulta pertanto verificata. 



Esempio. Media Generale 

La seguente è la tavola dei logaritmi delle frequenze Fij ottenuta in 

precedenza 

Var 2 

1 2 3 4 5 

1 1.61 2.30 3.00 3.15 3.46 4.50 

2 1.36 2.05 2.74 2.90 3.20 4.25 

Var 1 3 1.02 1.71 2.41 2.56 2.87 3.91 

4 0.80 1.49 2.18 2.34 2.64 3.69 

5 0.11 0.80 1.49 1.65 1.95 3.00 

2.71 3.40 4.09 4.25 

Calcoliamo la media generale dei logaritmi in tabella: 

4.55 5.60 

µ = 

1.61 + 2.30 + · · · + 1.95 

5 × 5 

= 2.07 



Esempio. Media di Riga 

Var 1 

Var 2 

1 2 3 4 5 

1 1.61 2.30 3.00 3.15 3.46 

2 1.36 2.05 2.74 2.90 3.20 

3 1.02 1.71 2.41 2.56 2.87 

4 0.80 1.49 2.18 2.34 2.64 

5 0.11 0.80 1.49 1.65 1.95 

Calcoliamo la media della riga 1: 

1 

c 

c 

ln F1l = 

l=1 

1.61 + 2.30 + · · · + 3.46 

5 

= 2.70 



Esempio. Media di Colonna 

Var 1 

Var 2 

1 2 3 4 5 

1 1.61 2.30 3.00 3.15 3.46 

2 1.36 2.05 2.74 2.90 3.20 

3 1.02 1.71 2.41 2.56 2.87 

4 0.80 1.49 2.18 2.34 2.64 

5 0.11 0.80 1.49 1.65 1.95 

Calcoliamo la media della colonna 1: 

1 

r 

r 

ln Fk1 = 

k=1 

1.61 + 1.36 + · · · + 0.11 

5 

= 0.98 



Esempio. Verifica Numerica 

Verifichiamo numericamente la proprietà notevole rispetto alla 

cella (1, 1): 

ln F11 = 1 

5 

5 

l=1 

sostituendo i numeri ai simboli: 

ln F1l + 1 

5 

5 

ln Fk1 − µ 

k=1 

1.61 = 2.70 + 0.98 − 2.07 



Proprietà Notevole e Deviazioni dalla Media 

Considerando le deviazioni dalla media generale µ la proprietà 

notevole 

ln Fij = 1 

c 

ln Fil + 

c 

1 

r 

ln Fkj − µ 

r 

l=1 

k=1 

può essere riscritta come (sottraiamo µ da entrambi i termini): 

ln Fij − µ = 1 

c 

c 

l=1 

ln Fil − µ + 1 

r 

r 

ln Fkj − µ 


k=1


Proprietà Notevole e Deviazioni dalla Media 

Si ottiene in questo modo la seguente scomposizione: 

ln Fij − µ = 

 

deviaz. di Fij da media generale 

c 1 

= ln Fil − µ 

c 

l=1 

 

deviaz. riga i da media generale 

r 1 

+ 

ln Fkj − µ 

r 

k=1 

 

deviaz. colonna j da media generale 



Indichiamo con µ 1(i) la deviazione della riga i dalla media 

generale: 

µ 1(i) = 1 

c 

ln Fil − µ 

c 

Indichiamo con µ 2(j) la deviazione della colonna j dalla media 

generale: 

µ 2(j) = 1 

r 

ln Fkj − µ 

r 

l=1 

k=1 

Possiamo ora riscrivere la precedente scomposizione come 

da cui: 

ln Fij − µ = µ 1(i) + µ 2(j) 

ln Fij = µ + µ 1(i) + µ 2(j) 


Modello Log-lineare di Analisi Multipla 


Nel modello log-lineare di analisi multipla, sotto la condizione di 

indipendenza, il logaritmo della frequenza attesa Fij si scompone 

in: 

una media generale µ 

una deviazione µ 1(i) della riga i dalla media generale µ 

una deviazione µ 2(j) della colonna j dalla media generale µ 

Vale cioè il seguente modello additivo: 

ln Fij = µ + µ 1(i) + µ 2(j) 

Il modello si compone di: 

un parametro µ 

r parametri µ 1(i), uno per ogni riga i 

c parametri µ 2(j), uno per ogni colonna j 

totale: r + c + 1 parametri 


Esempio 


Negli esempi precedenti si era ottenuto: 

e 

1 

c 

µ = 

1.61 + 2.30 + · · · + 1.95 

5 × 5 

c 

ln F1l = 2.70, 

l=1 

1 

r 

= 2.07, 

r 

ln Fk1 = 0.98 

I parametri della riga 1 e della colonna 1 risultano pertanto essere 

e 

µ 1(1) = 1 

c 

µ 2(1) = 1 

r 

k=1 

c 

ln F1l − µ = 2.70 − 2.07 = 0.63 

l=1 

r 

ln Fk1 − µ = 0.98 − 2.07 = −1.09 

k=1 



Vincoli dei Parametri 

La somma delle deviazioni di riga dalla media è zero: 

r 

µ 1(i) = 0 

i=1 

Analogamente, la somma delle deviazioni di colonna dalla media 

è zero: 

c 

µ 2(j) = 0 

j=1 



Deviazioni Sistematiche dal Modello di Indipendenza 

La dipendenza (o non indipendenza) fra due variabili può essere 

intesa come una deviazione sistematica dal modello di 

indipendenza. 

(1,1) 

ln Fij secondo il 

modello di 

indipendenza 

(1,2) 

(1,3) 

(1,4) 

(1,5) 

(1,6) 

Deviazione sistematica 

dal modello di 

indipendenza 


Interazione 


La deviazione sistematica dal modello di indipendenza può essere 

diversa nelle diverse celle della tavola 

Essa esprime una interazione tra una specifica categoria della 

variabile di riga e una specifica categoria della variabile di colonna 

A partire dal modello di indipendenza 

ln Fij = µ + µ 1(i) + µ 2(j) 

l’interazione è modellata con un parametro µ 12(ij) specifico della 

cella (i, j) chiamato parametro di interazione 

Si ottiene così un modello di dipendenza specificato nel modo 

seguente: 

ln Fij = µ + µ 1(i) + µ 2(j) + µ 12(ij) 



Modello Log-lineare di Dipendenza (o Saturo) 

Nel modello log-lineare di dipendenza (anche detto modello 

log-lineare saturo il logaritmo della frequenza attesa Fij si 

scompone in 

una media generale µ dei logaritmi 

una deviazione di riga µ 1(i) dalla media generale 

una deviazione di colonna µ 2(j) dalla media generale 

una deviazione µ 12(ij) dalla indipendenza (parametro di interazione) 

Nel complesso il modello si compone di: 

1 parametro µ 

r parametri µ 1(i) 

c parametri µ 2(j) 

rc parametri µ 12(ij) 

Totale: 1 + r + c + rc parametri (tuttavia alcuni di essi non sono 

liberi di variare, come si vedrà) 



Vincoli dei Parametri di Interazione 

La somma entro una qualunque riga i dei parametri di interazione 

è zero: 

c 

µ 12(ij) = 0 

j=1 

La somma entro una qualunque colonna j dei parametri di 

interazione è zero: 

r 

µ 12(ij) = 0 

i=1 

Da quanto sopra è evidente che 

r 

i=1 j=1 

c 

µ 12(ij) = 0 


Stima dei Parametri 

Stima dei Parametri del Modello Saturo 

Per calcolare i parametri del modello saturo è necessario 

conoscere le frequenze attese Fij 

Tipicamente queste frequenze non sono note e debbono essere 

stimate dai dati. 

Le stime delle frequenze Fij possono essere impiegate per 

stimare i parametri del modello. 

Ricordiamo che nel modello saturo la stima per massima 

verosimiglianza della probabilità pij è 

ˆpij = nij 

N 

la stima della frequenza attesa Fij è 

ˆFij = Nˆpij = nij 



Stima dei Parametri del Modello Saturo 

Sostituendo le stime ˆ Fij = nij ai valori veri Fij nelle formule di 

calcolo dei parametri del modello saturo si ottiene: 

ˆµ 1(i) = 1 

c 

c 

j=1 

ˆµ = 1 

rc 

r 

i=1 j=1 

c 

ln nij 

ln nij − ˆµ, ˆµ 2(j) = 1 

r 

r 

ln nij − ˆµ 

i=1 

ˆµ 12(ij) = ln nij − ˆµ − ˆµ 1(i) − ˆµ 2(j) 


Gradi di Libertà 


Dal momento che i parametri µ 1(i) sommano a zero, solamente 

r − 1 di essi sono effettivamente stimati dai dati (l’r-esimo 

parametro è ottenuto per differenza) 

Dal momento che i parametri µ 2(j) sommano a zero, solamente 

c − 1 di essi sono effettivamente stimati dai dati (il’c-esimo 

parametro è ottenuto per differenza) 

Dal momento che i parametri µ 12(ij) sommano a zero sia 

attraverso le righe, sia attraverso le colonne, solamente 

(r − 1)(c − 1) di essi sono stimati dai dati (gli altri sono ottenuti 

per differenza) 


Gradi di Libertà 


Numero di parametri stimati dai dati: 

1 parametro µ 

r − 1 parametri µ 1(i) 

c − 1 parametri µ 2(j) 

(r − 1)(c − 1) parametri µ 12(ij) 

Totale: 

q = 1 + (r − 1) + (c − 1) + (r − 1)(c − 1) 

= 1 + r − 1 + c − 1 + rc − r − c + 1 

= rc 

Numero di celle della tavola effettivamente utilizzate per stimare i 

parametri: r × c 

Gradi di libertà: rc − q = 0 


Esercizio/Esempio 


Completiamo l’analisi dei dati sul mancinismo stimando i 

parametri del modello saturo 

destrimani mancini ambidestri 

femmina 1070 92 8 1170 

maschio 934 113 20 1067 

2004 205 28 2237 

Già sappiamo che il modello di indipendenza è stato respinto. 



Esempio. Logaritmi delle Frequenze Osservate 

Calcoliamo innanzitutto i logaritmi delle frequenze nij: 

destrimano mancino ambidestro 

femmina 6.975 4.522 2.079 

maschio 6.839 4.727 2.996 



Esempio. Medie Marginali 

Calcoliamo quindi le medie di riga... 


femmina 6.975 4.522 2.079 4.526 

maschio 6.839 4.727 2.996 4.854 

... e le medie di colonna 


femmina 6.975 4.522 2.079 

maschio 6.839 4.727 2.996 

6.907 4.625 2.538 



Esempio. Media Generale 

Otteniamo la media generale µ come media delle medie di riga (o, 

equivalentemente, come media delle medie di colonna) 


femmina 6.975 4.522 2.079 4.526 

maschio 6.839 4.727 2.996 4.854 

6.907 4.625 2.538 4.690 



Esempio. Deviazioni di Riga dalla Media Generale 

Stimiamo il parametro µ 1(1): 

ˆµ 1(1) = 1 

c 

Stimiamo il parametro µ 1(2): 

ˆµ 1(2) = 1 

c 

Osserviamo che 

 

ln n1j − µ = 4.526 − 4.690 = −0.164 

j 

 

ln n2j − µ = 4.854 − 4.690 = 0.164 

j 

ˆµ 1(1) = −ˆµ 1(2) 



Esempio. Deviazioni di Colonna dalla Media Generale 

Stimiamo i parametri µ 2(j): 

ˆµ 2(1) = 1 

r 

ˆµ 2(2) = 1 

r 

ˆµ 2(3) = 1 

r 

 

ln ni1 − µ = 6.907 − 4.690 = 2.218 

i 

 

ln ni2 − µ = 4.625 − 4.690 = −0.065 

i 

 

ln ni3 − µ = 2.538 − 4.690 = −2.152 

i 

Osserviamo nuovamente (salvo errori di approssimazione) 

ˆµ 2(1) + ˆµ 2(2) + ˆµ 2(3) = 2.218 + (−0.065) + (−2.152) = 0 



Esempio. Stima dei Parametri di Interazione 

La stima del parametro µ 12(11) è 

ˆµ 12(11) = ln n11 − ˆµ 1(1) − ˆµ 2(1) − µ 

= 6.975 − (−0.164) − 2.218 − 4.690 = 0.232 

La stima del parametro µ 12(12) è 

ˆµ 12(12) = ln n12 − ˆµ 1(1) − ˆµ 2(2) − µ 

= 4.522 − (−0.164) − (−0.065) − 4.690 = 0.062 



Esempio. Stima dei Parametri di Interazione 

Procedendo in modo simile per tutti gli altri parametri si ottiene: 


femmina 0.232 0.062 ‐0.294 

maschio ‐0.232 0.232 ‐0.062 0.062 0.294 

E’ facile osservare che i marginali di riga e di colonna sono tutti 

zero 



Deviazione dall’Indipendenza 

Confrontiamo i logaritmi delle frequenze attese secondo il modello 

di indipendenza e quelli delle frequenze osservate 

ln F ij 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

ambidestri 

femmina attese 

maschio attese 

femmina osservate 

maschio osservate 

mancini 

destrimani 

2 

3 3.5 4 4.5 5 5.5 

ln F 

.j 

6 6.5 7 7.5 8 


Varianza ed Errore Standard della Stima 

Stima dei Parametri ed Errore Casuale 

Il parametro di interazione µ 12(ij) è una misura della deviazione dal 

modello di indipendenza nello specifico incrocio tra le categorie i 

e j 

µ 12(ij) = 0 indica che, nello specifico incrocio (i, j) le due variabili 

sono tra loro indipendenti 

La stima ˆµ 12(ij) è affetta da errore casuale è può differire dal valore 

vero µ 12(ij). 

E’ estremamente probabile che ˆµ 12(ij) = 0 anche quando, in effetti 

µ 12(ij) = 0 



Errore Standard della Stima 

I parametri µ, µ 1(i), µ 2(j), µ 12,(ij) sono stimati per massima 

verosimiglianza. 

In particolare la distribuzione campionaria delle stime di questi 

parametri è normale, con valore atteso uguale al valore vero. 

L’ampiezza della distribuzione dipende dall’errore standard della 

stima. 



Varianza delle Frequenze Osservate 

La frequenza nij osservata nel campione può essere intesa come 

la particolare realizzazione di una variabile casuale Nij il cui rango 

(insieme delle possibili realizzazioni) è l’insieme dei numeri 

naturali 

La trasformazione logaritmica ln nij di conseguenza è una 

realizzazione della variabile casuale ln Nij 

Questa variabile casuale ha varianza (Plackett, 1962) 

var(ln nij) = 1 


nij



Ricordiamo che, date due variabili casuali X1 e X2 la loro somma 

X1 + X2 

è anch’essa una variabile casuale avente varianza 

In generale, date X1, X2, . . . , Xn, 

var(X1 + X2) = var(X1) + var(X2) 

var(X1 + X2 + · · · + Xn) = var(X1) + var(X2) + · · · + var(Xn) 




Ricordiamo inoltre che, data una qualunque variabile casuale X 

avente varianza var(X) e una costante numerica a, il prodotto 

aX 

è anch’esso una variabile casuale e la sua varianza è 

Dunque: 

a 2 var(X) 

var(a ln nij) = a2 


nij


Varianza del Parametro µ 1(i) 

Considerata la k-esima riga di una tavola r × c, ci proponiamo di 

derivare la varianza della stima del parametro µ 1(k): 

⎛ 

var(ˆµ 1(k)) = var ⎝ 1 

c 

⎛ 

= var ⎝ 1 

c 

⎞ 

c 

ln nkj − ˆµ ⎠ 

j=1 

c 

j=1 

ln nkj − 1 

rc 

r 

i=1 j=1 

⎞ 

c 

ln nij⎠ 



Varianza del Parametro µ 1(i) 

Alcune semplici osservazioni ci porteranno a riscrivere 

⎛ 

var ⎝ 1 

c 

ln nkj − 

c 

1 

⎞ 

r c 

ln nij⎠ 

rc 

nella forma 

j=1 

⎛ 

r 

var ⎝ 

c 

i=1 j=1 

i=1 j=1 

aij ln nij 

Infatti esistono particolari scelte dei coefficienti aij che rendono le 

due scritture soprastanti fra loro equivalenti 


⎞ 

⎠


I Coefficenti aij. Esempio 

Consideriamo ad esempio una tavola 3 × 4 e calcoliamo la stima 

della deviazione di riga µ 1(1) 

ˆµ 1(1) = 1 

4 (ln n11 + ln n12 + ln n13 + ln n14)− 

− 1 

12 (ln n11 + ln n12 + ln n13 + ln n14) 

− 1 

12 (ln n21 + ln n22 + ln n23 + ln n24) 

− 1 

12 (ln n31 + ln n32 + ln n33 + ln n34) 




La precedente equazione può essere riscritta come 

ˆµ 1(1) = 3 

12 (ln n11 + ln n12 + ln n13 + ln n14)− 

− 1 

12 (ln n11 + ln n12 + ln n13 + ln n14) 

− 1 

12 (ln n21 + ln n22 + ln n23 + ln n24) 

− 1 

12 (ln n31 + ln n32 + ln n33 + ln n34) 




Segue che 

da cui 

3 − 1 

ˆµ 1(1) = 

12 (ln n11 + ln n12 + ln n13 + ln n14)− 

− 1 

12 (ln n21 + ln n22 + ln n23 + ln n24) 

− 1 

12 (ln n31 + ln n32 + ln n33 + ln n34) 

ˆµ 1(1) = 2 

12 ln n11 + 2 

12 ln n12 + 2 

12 ln n13 + 2 

ln n14+ 

 

12 

− 1 

 

ln n21 + − 

12 

1 

 

 

ln n22 + · · · + − 

12 

1 

 

ln n34 

12 




Se definiamo i coefficienti aij nel modo seguente: 

aij = 

allora possiamo scrivere 

ˆµ 1(1) = 

 

2/12 se i = 1 

−1/12 se i = 1 

r 

c 

i=1 j=1 

aij ln nij 



I Coefficienti aij per il Parametro µ 1(i) 

In generale, data una tavola r × c, considerata la k-esima riga 

della tavola possiamo scrivere: 

dove: 

ˆµ 1(k) = 

aij = 

r 

c 

i=1 j=1 

 

r−1 

rc 

− 1 

rc 

aij ln nij 

se i = k 

se i = k 



Varianza della Stima del Parametro µ1 

Possiamo ora derivare la varianza della stima del parametro µ 1(k): 

⎛ 

r 

var(ˆµ 1(k)) = var ⎝ 

c 

i=1 j=1 

aij ln nij 

Per la proprietà delle variabili casuali somma di variabili casuali: 

var(ˆµ 1(k)) = 

Essendo aij una costante: 


r 

i=1 j=1 

r 

i=1 j=1 

⎞ 

⎠ 

c 

var(aij ln nij) 

c 

a 2 ij var(ln nij) 



Errore Standard della Stima del Parametro µ1 

Essendo var(ln nij) = 1/nij si ottiene infine: 


r 

c 

a 2 ij 

nij 

i=1 j=1 

L’errore standard della stima del parametro µ 1(k) è 

 

 

 

 

r 

s(ˆµ 1(k)) = var(ˆµ 1(k)) = 

c 

a 2 ij 

nij 

i=1 j=1 


Esempio 


Calcoliamo la varianza e l’errore standard della stima ˆµ 1(1) per la 

tavola sul mancinismo. 

Si tratta di una tavola 2 × 3: r = 2, c = 3 

I coefficienti aij sono: 

se i = 1 e 

se i = 2 

aij = 

r − 1 

rc 

aij = − 1 

rc 

2 − 1 1 

= = 

2 × 3 6 

= −1 

6 


Esempio 


Approntiamo la seguente tabella di calcolo: 

Si ottiene dunque: 

e 

i j aij nij a 2 ij /nij 

1 1 1/6 1070 .0000 + 

1 2 1/6 92 .0003 + 

1 3 1/6 8 .0035 + 

2 1 −1/6 934 .0000 + 

2 2 −1/6 113 .0002 + 

2 3 −1/6 20 .0014 = 

.0055 

s(ˆµ 1(1)) = 

var(ˆµ 1(1)) = .0055 

 

var(ˆµ 1(1)) = .0739 



Varianza delle Stime del Parametro µ2 

Seguendo analoghe considerazioni per il parametro µ 2(l) si 

ottiene: 

r c a 

var(ˆµ 2(l)) = 

2 ij 

nij 

i=1 j=1 

In questo caso, tuttavia i coefficienti aij sono 

aij = 

 

c−1 

rc 

− 1 

rc 

se j = l 

se j = l 


Esempio 


Approntiamo la seguente tabella di calcolo: 


e 


1 1 2/6 1070 .0001 + 

1 2 −1/6 92 .0003 + 

1 3 −1/6 8 .0035 + 

2 1 2/6 934 .0001 + 

2 2 −1/6 113 .0002 + 

2 3 −1/6 20 .0014 = 

.0056 

s(ˆµ 2(1)) = 

var(ˆµ 2(1)) = .0056 

 

var(ˆµ 1(1)) = .0750 



Varianza delle Stime del Parametro µ12 

La varianza del parametro µ 12(kl) ha anch’essa forma generale 

var(µ 12(kl)) = 

r 

c 

a 2 ij 

nij 

i=1 j=1 

Tuttavia, i coefficienti aij sono definiti nel modo seguente: 

⎧ 

(r−1)(c−1) 

rc se i = k e j = l 

⎪⎨ 

− 

aij = 

⎪⎩ 

(r−1) 


− (c−1) 


se i = k e j = l 

1 

rc 



Coefficienti aij per la Varianza del Parametro µ12 

Valori dei coefficienti aij per il calcolo della varianza della stima del 

parametro µ 12(kl) 

1 

2 

. . 

k − r−1 

rc 

. 

r 

1 2 · · · l · · · c 

1 

rc 

1 

rc · · · − c−1 

1 

rc 

1 

rc · · · 

rc 

− 

· · · 1 

rc 

c−1 

rc · · · 1 

rc 

. 

1 

rc 

. 

− r−1 

rc 

· · · 

. 

(r−1)(c−1) 

rc · · · − r−1 

rc 

. 

. 

. 

1 

rc · · · − c−1 

rc · · · 1 

rc 


.

Esempio 


Calcoliamo i coefficienti aij per la varianza della stima parametro 

µ 12(23) in una tavola 3 × 4 

1 

1 2 3 4 

1 

12 

2 − 2 

12 

3 

1 

12 

1 

12 

− 2 

12 

1 

12 

− 3 

12 

6 

12 

− 3 

12 

1 

12 

− 2 

12 


1 

12


Coefficienti aij per µ 12(22) 

Volendo ad esempio calcolare la varianza della stima del 

parametro µ 12(22) nella tavola 2 × 3 sul mancinismo: 


maschio 1/6 −2/6 1/6 

femmina −1/6 2/6 −1/6 



Calcoliamo la varianza di ˆµ 12(22) 


e 


1 1 0.167 1070 .0000 

1 2 -0.333 92 .0012 

1 3 0.167 8 .0035 

2 1 -0.167 934 .0000 

2 2 0.333 113 .0010 

2 3 -0.167 20 .0014 

0.000 .0071 

s(ˆµ 12(22)) = 

var(ˆµ 12(22)) = .0071 

 

var(ˆµ 12(22)) = .0843 


La Standardizzazione dei Parametri 

Standardizzazione dei Parametri 

Si consideri ad esempio il parametro µ 12(ij) 

Se µ 12(ij) = 0, esso indica una deviazione dall’indipendenza 

all’incrocio tra la riga i e la colonna j 

Per verificare µ 12(ij) = 0 a partire dalla stima ˆµ 12(ij) si definisce il 

seguente sistema di ipotesi: 

H0 : µ 12(ij) = 0 (non c’è deviazione dall’indipendenza) 

H1 : µ 12(ij) = 0 (c’è deviazione dall’indipendenza) 

La statistica-test è 

z 12(ij) = 

ˆµ 12(ij)−0 

 

var(ˆµ 12(ij)) 

Per N → ∞ la distribuzione di z 12(ij) si approssima a una 

distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1. 



Test di Ipotesi Multipli e Simultanei 

Dati n test di ipotesi tra loro indipendenti, effettuati 

simultaneamente sul medesimo campione, ognuno a un livello di 

significatività (probabilità di errore del I ◦ tipo) pari ad α: 

Probabilità di non commettere un errore del I ◦ tipo nel singolo test: 

1 − α 

Probabilità di non commettere un errore del I ◦ tipo in nessuno degli 

n test: 

(1 − α) n 

Probabilità di commettere un errore del I ◦ tipo in almeno uno dei 

test: 

1 − (1 − α) n 

Esempio, scelto α = .05, la probabilità di commettere un errore 

del I ◦ tipo in almeno uno di 10 test simultanei è 

1 − (1 − .05) 10 = .40 



Correzione di Bonferroni per Test Multipli Indipendenti 

Sia α la probabilità di commettere un errore del I ◦ tipo in almeno 

uno di n test simultanei e indipendenti 

La correzione di Bonferroni consiste nel valutare ognuno degli n 

test a un livello di significatività pari a 

α 

n 

Esempio: con n = 10 test indipendenti, scelto α = .05, il livello di 

significatività per ogni singolo test è 

Osserviamo che 

.05 

10 

= .005 

1 − (1 − .005) 10 ≈ .05 = α 



Correzione di α per i Parametri di Interazione 

Ipotesi Monodirezionale (a Una Coda) 

Volendo verificare l’ipotesi che ognuna delle stime dei parametri di 

interazione ˆµ 12(ij) sia maggiore (risp. minore) di zero (ipotesi 

monodirezionale) si effettuano complessivamente r × c test 

statistici 

Gli r × c test tuttavia non sono indipendenti a causa dei vincoli 

introdotti sui parametri di interazione 

Si hanno complessivamente (r − 1)(c − 1) parametri liberi di 

variare 

Questo è anche il numero di test tra loro indipendenti 

La correzione è dunque: 

α 

(r − 1)(c − 1) 



Correzione di α per i Parametri di Interazione 

Ipotesi Bidirezionale (a Due Code) 

Se l’ipotesi è bidirezionale è necessario dividere ulteriormente per 

due: 

α 

2(r − 1)(c − 1) 

Esempio: fissato α a .05 in una tavola 2 × 3 il livello di 

significatività per il test bidirezionale della stima del parametro 

ˆµ 12(ij) sarà 

.05 .05 

= = .0125 

2(2 − 1)(3 − 1) 4 


Esempio 


Stima del parametro µ 12(22): 

Errore standard: 

Parametro standardizzato: 

ˆµ 12(22) = −.062 

s(ˆµ 12(22)) = .0843 

z12(22) = ˆµ 12(22) −.062 

= = −.735 

s(ˆµ 12(22)) .0843 


Esempio 


Livello di significatività - ipotesi bidirezionale 

Valore critico: 

.05 .05 

= = .0125 

2(2 − 1)(3 − 1) 4 

|z.0125| = 2.24 

Decisione statistica: essendo |z 12(22)| = .735 minore di 

|z.0125| = 2.24 non si respinge l’ipotesi nulla 

Non possiamo concludere che µ 12(22) sia diverso da zero 

Non possiamo concludere che all’incrocio tra la categoria maschio 

e la categoria mancino vi sia una deviazione dall’indipendenza 


Correzione di α 


In generale, con ipotesi bidirezionale: 

α 

2gdl 

Parametri delle deviazioni di riga µ 1(i): 

α 

2(r − 1) 

Parametri delle deviazioni di colonna µ 2(j): 

Parametri di interazione µ 12(ij): 

α 

2(c − 1) 

α 

2(r − 1)(c − 1)

Modelli Log-lineari Bivariati - Skuola.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?