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P P S ∆Α σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ S Se applichiamo una sollecitazione di trazione all’elemento, e immaginiamo di tagliare la barra in una sezione qualsiasi S avremo questa situazione: all’estremo si ha la forza P e nella sezione S avremo tutte le tensioni normali (σ). Se consideriamo la sezione S (rettangolo) e la dividiamo in tanti rettangolini molto piccoli, ognuno di area ∆A, su ognuno di essi si troverà una σ, pertanto la forza che agisce su un rettangolino sarà uguale ad una σ moltiplicato per l’area del rettangolino (σ * ∆A ); la Sommatoria di tutte le (σ * ∆A) sarà uguale al valore della risultante di tutte le σ cioè la forza P. Pertanto potremo scrivere: ∑ σ * ∆A = P Quindi σ * ∑ ∆A = P ; ma ∑ ∆A= A , quindi σ * A = P da cui si ricava σ = P / A Questa formula ci permette di calcolare la tensione σ in un solido sollecitato a sforzo normale (trazione o compressione). Siccome ogni materiale ha un valore della tensione ammissibile (σ amm ) cioè quella tensione massima che può sopportare prima di rompersi, la formula di verifica si scrive: σ = P / A ≤ σ amm Formula di Verifica a Sforzo Normale A P 2
Per quanto riguarda il Progetto si tratta di calcolare l’area della sezione dell’elemento, pertanto dalla formula inversa della precedente si scrive: ESEMPIO 1: A = P / σ amm Formula di Progetto a Sforzo Normale Verificare a trazione una barra d’acciaio a sezione rettangolare a = 1 cm , b = 2 cm ; sollecitata da una forza di trazione P = 5.000 Kg ; La Tensione ammissibile dell’acciaio è σ amm = 2.000 Kg/cmq. - Si applica la formula di verifica : σ = P / A = 5.000 / 1*2 = 2.500 Kg/cmq < 2.000 Kg/cmq Siccome la tensione di calcolo è risultata inferiore a quella ammissibile, la barra risulta verificata. ESEMPIO 2: Progettare un pilastro in pietra a base quadrata che deve sopportare un carico assiale P= 12.000 Kg. La tensione ammissibile è di 110 Kg/cmq. - Si applica la formula di progetto: A = P / σ = 12.000 / 110 = 109 cmq , ciò vuol dire che il pilastro per potere sopportare il carico P deve avere una sezione di area A= 109 cmq. Essendo la sezione quadrata si può ricavare il lato: l = √ A = √ 109 = 10.5 cmq che si arrotonda a 11 cmq. OSSERVAZIONE: - se la sezione fosse rettangolare si poteva assegnare un lato per esempio a e determinare l’altro lato b = A/a. - Se la sezione fosse circolare si poteva determinare il raggio o il diametro: R =√ A/л ; D = 2 * √ A/л Abbiamo detto che ogni materiale ha la sua tensione ammissibile (σ amm) essa viene determinata con le prove di laboratorio. Il suo valore lo troviamo sui manuali già calcolato per ogni tipo di materiale (acciaio, legno, calcestruzzo ecc.). Per quanto riguarda la σ amm dell’acciaio, possiamo dire che si determina in laboratorio con la prova di trazione (questa prova si studia nel corso di Tecnologia delle Costruzioni). Dallo studio della prova di trazione e dal grafico che si ricava si sa che finchè il carico raggiunge un certo limite, il materiale rimane nello stato elastico, cioè ritorna allo stato iniziale quando viene tolto il carico. In questa fase che è quella che a noi interessa, è valida la legge di HOOKE : σ = E * ε E = Modulo di Yang o modulo di elasticità (valore costante per il materiale). ε = Allungamento unitario = ∆l / l (allungamento diviso lunghezza iniziale) Questa legge dice che la tensione è proporzionale alla deformazione. Mediante la prova di trazione, veramente, si determina non la σ amm , ma la σ di snervamento, cioè quel valore della σ oltre il quale non vale più la legge di Hooke. Allora per essere sicuri di 3
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