Capitolo 4 Problemi di vario genere - Supsi

Diario problemi interessanti Capitolo 2. Meccanica classica
che puo’ essere riscritto come segue
δF (x(t), ˙x(t))
δx
· G(x(t), ˙x(t))
dt
Ora se la parentesi di Poisson e’ nulla, abbiamo
δF (x(t), ˙x(t))
δF (x(t), ˙x(t))
δx
δF (x(t), ˙x(t))
δ ˙x
= d ˙x
· G(x(t), ˙x(t))
dt
• Caso ̸= 0 e qualsiasi
δx
Risulta che
δF (x(t), ˙x(t))
·
δx
G(x(t), ˙x(t))
per qualsiasi valore di x(t) e ˙x(t), e quindi
• Caso
δF (x(t), ˙x(t))
δx
qualsiasi e
δF (x(t), ˙x(t))
δ ˙x
· {G(x(t), ˙x(t)), F (x(t), ˙x(t))}
dt
G(x(t), ˙x(t))
dt
̸= 0
= 0
dt
Il procedimento deve essere rifatto sostituendo in equazione (2.1) il termine
anziche’
d ˙x
dt
( ) −1
δF (x(t), ˙x(t))
= −
·
δ ˙x
δF (x(t), δ ˙x(t))
( ) −1
dx δF (x(t), ˙x(t))
= −
·
dt δx
δF (x(t), δ ˙x(t))
In quando ( )
δF (x(t), ˙x(t))
−1
non esiste, ottenendo
δx
δF (x(t), ˙x(t))
δ ˙x
· G(x(t), ˙x(t))
dt
= − dx
dt
Ora se la parentesi di Poisson e’ nulla, abbiamo
δF (x(t), ˙x(t))
δx
per qualsiasi valore di x(t) e ˙x(t), e quindi
δF (x(t), ˙x(t))
δF (x(t), ˙x(t))
· G(x(t), ˙x(t))
G(x(t), ˙x(t))
dt
= 0
= 0
δ ˙x
δ ˙x
· dx
dt
· d ˙x
dt
· {G(x(t), ˙x(t)), F (x(t), ˙x(t))}
dt
• caso = 0 e = 0
δx
δ ˙x
In questo caso la dimostrazione non vale, quindi la costante del moto F (x(t), ˙x(t)) deve
essere scelta in modo tale che questa condizione non si verifichi. Una scelta possibile
potrebbe essere la funzione Hamiltoniana.
= 0
Dunque se {G(x(t), ˙x(t)), F (x(t), ˙x(t))} = 0, allora
costante del moto, che dimostra la tesi.
= 0
G(x(t), ˙x(t))
dt
= 0 e quindi G(x(t), ˙x(t))
10 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 7 gennaio 2012