Capitolo 4 Problemi di vario genere - Supsi

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Diario problemi interessanti Capitolo 1. Elettromagnetismo 1.1.2 Biot-Savart per filo rettilineo indefinito da Maxwell Seconda equazione di Maxwell δBz δy δBx δz δBy δx − δBx δy ∇ × B = µ0 · J che nel caso di un filo normale ad un piano cartesiano e passante per il punto x = 0, y = 0 diventa ⎡ ⎢ ⎣ δBy − δz δBz − δx ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ µ0 · Jz(x, y) Notare che se il filo e’ rettilineo ed infinitamente lungo, Bz = 0 e Bx come pure By non dipendono da z, quindi δBz δy δBy δz δBx δz δBz δx = 0 = 0 = 0 = 0 E’ quindi possibile concentrarsi solo sulla terza equazione Per la geometria del problema δBy δx − δBx δy = µ0 · Jz(x, y) √ Bx = −B0(r(x, y)) · sin(α(x, y)) = −B0( x2 + y2 ]) · By = √ B0(r(x, y)) · cos(α(x, y)) = B0( x2 + y2 ]) · y √ x 2 + y 2 x √ x 2 + y 2 √ Per brevita’ si utilizzera’ B0( x2 + y2 ]) = B0. Facendo le derivate parziali si ottiene Ma δBx δy δBy δx = −δB0 δy · y √ x2 + y2 − B0 ⎛ · ⎝ = δB0 δx · δB0 δy = δB0 δx = x √ x2 + y2 + B0 ⎛ · ⎝ δB0 δr(x, y) · δr(x, y) δy δB0 δr(x, y) · δr(x, y) δx 1 √ x 2 + y 2 − 1 √ x 2 + y 2 − = δB0 δr(x, y) · = δB0 δr(x, y) · y 2 (x 2 + y 2 ) 3 2 x 2 (x 2 + y 2 ) 3 2 y √ x 2 + y 2 x √ x 2 + y 2 6 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 7 gennaio 2012 ⎞ ⎠ ⎞ ⎠
1.2. Legge di Ampere, dalla forma differenziale alla forma integrale Diario problemi interessanti e allora δBx δy δBy δx = δB0 = − δr(x, y) · y2 x2 + y2 − B0 ⎛ · ⎝ δB0 δr(x, y) · x 2 x 2 + y 2 + B0 · 1 √ x 2 + y 2 − ⎛ 1 ⎝√ x2 + y2 − y 2 (x 2 + y 2 ) 3 2 x 2 (x 2 + y 2 ) 3 2 Per la simmetria del problema, e’ possibile analizzare il problema solamente lungo l’asse delle ascisse, dunque si impone y = 0 e x ≥ 0, ottenendo δBx δy δBy δx = −B0 x = δB0 δx che sostituite nell equazione di Maxwell danno δB0 δx + 2 · B0 x + B0 x − B0 x − B0 x = µ0 · J(x, 0) = µ0 · J notare che J e costante (geometria problema). La cui soluzione e’ del tipo che se inserita da’ e quindi Allora B0 = C · x 2 · C = J C = J/2 B0 = J I(x) · x = 2 2 · π · x Nota: campo sul bordo di un filo con J costante su tutta la superficie del filo. Con questa condizione al contorno si potrebbe poi procedere alla soluzione del caso generico. 1.2 Legge di Ampere, dalla forma differenziale alla forma integrale Seconda equazione di Maxwell δBz δy δBx δz δBy δx − δBx δy ∇ × B = µ0 · J che nel caso di un filo normale ad un piano cartesiano e passante per il punto x = 0, y = 0 diventa ⎡ ⎢ ⎣ δBy − δz δBz − δx ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 µ0 · Jz(x, y) ⎤ ⎥ ⎦ Notare che se il filo e’ rettilineo ed infinitamente lungo, Bz = 0 e Bx come pure By non dipendono da z, quindi δBz δy = 0 7 gennaio 2012 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 7 ⎞ ⎠ ⎞ ⎠
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Page 13 and 14: Capitolo 3 Combinatoria 3.1 Problem
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