Capitolo 4 Problemi di vario genere - Supsi

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Diario problemi interessanti Capitolo 2. Meccanica classica si ottiene e quindi m (t) · dV/dt = −dm/dt · ve dV/dt = − 1 · dm/dt · ve m (t) 12 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 7 gennaio 2012
Capitolo 3 Combinatoria 3.1 Problema dei 7 libri 7 persone prendono 7 libri (uno a testa) in prestito da una libreria che contiene 7 libri, esse riportano i libri una volta letti contemporaneamente e ripescano di nuovo 7 libri (uno a testa). Quante possibili configurazioni esistono per le quali nessuno dei lettori rilegga lo stesso libro? Se numeriamo le persone da 1 a 7, ed denominano i libro scelto dalla persona numero x al primo sorteggio con x, risulta che alcune delle combinazioni al secondo sorteggio sicuramente da eliminare sono (1, l2, l3, l4, l5, l6, l7) dove li possono assumere qualsiasi valore tra 2 e 7, cioe’ quelle che hanno libro 1 alla posizione 1, che sono (n − 1)!. Altre combinazioni che andrebbero eliminate sono (l1, 2, l3, l4, l5, l6, l7) cioe’ quelle che hanno libro 2 alla posizione 2, che sono (n − 1)!, e cosi via per n volte. Naturalmente non possiamo affermare che la totalita’ delle combinazioni da eliminare siano semplicemente n · (n − 1)! siccome alcune combinazioni considerate in sono gia comprese in (l1, 2, l3, l4, l5, l6, l7) (1, l2, l3, l4, l5, l6, l7) e cosi via. Per trovare dunque la totalita’ delle combinazioni da eliminare, che chiameremo C, basta applicare la regola dell’unione di insiemi, dove si deve immaginare che l’insieme C1 contenga tutte le combinazioni di libri che iniziano per 1, l’insieme C2 tutte le combinazioni di libri che hanno un 2 al secondo posto, e cosi via. Le combinazioni totali non buone sono rappresentate da C1 ∪C2 ∪C3 ∪....Cn che risulta minore di n·(n −1)!. Gli elementi in Ci ∩Cj saranno (n−2)! siccome saranno tutte le combinazioni con il libro i alla posizione i ed il libro j alla posizione j, e cosi via. Si trova dunque che C = n · (n − 1)! − n! n! · (n − 2)! + · (n − 3)! − . . . (n − 2)! · 2! (n − 3)! · 3! 7 gennaio 2012 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 13
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