Capitolo 4 Problemi di vario genere - Supsi

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Diario problemi interessanti Capitolo 1. Elettromagnetismo Concentrandosi solo sulla terza equazione δBy δx δBy δz δBx δz δBz δx = 0 = 0 = 0 − δBx δy = µ0 · Jz(x, y) Per trovare la corrente bisogna integrare sulla superficie, ad esempio integriamo su una superficie cerchio di raggio R ∫ R −R ∫ c(x) −c(x) δBy δx ∫ ∫ δBx − dydx = δy µ0 · Jz(x, y)dxdy = µ0 · I con y = c(x) equazione dell’arco di cerchio, scomponendo l’integrale ∫ R −R Che si puo’ scrivere anche ∫ R −R ∫ c(x) −c(x) ∫ c ′ (y) −c ′ (y) ∫ δBy R ∫ c(x) δBx dydx − δx −R −c(x) δy dydx = µ0 · I ∫ δBy R ∫ c(x) δBx dxdy − δx −R −c(x) δy dydx = µ0 · I con x = c ′ (y) equazione dell’arco di cerchio (ma da asse y ad x). E quindi ∫ R By(c −R ′ (y), y) − By(−c ′ ∫ R (y), y)dy − −R che sono integrali circolari Bydy + Bxdx = µ0 · I ottenendo quindi il teorema di Ampere Bx(x, c(x)) − Bx(x, −c(x))dx = µ0 · I Bydy + Bxdx = µ0 · I = Bdl = µ0 · I Notare che si sarebbe potuto scegliere di integrare su qualsiasi altra superficie chiusa oltre il cerchio, ed il risultato sarebbe stato sempre lo stesso. 8 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 7 gennaio 2012
Capitolo 2 Meccanica classica 2.1 Legame tra parentesi di Poisson e costanti del moto, caso unidimensionale Dimostrazione che se {G(x(t), ˙x(t)), F (x(t), ˙x(t))} = 0 con F (x(t), ˙x(t)) = c allora G(x(t), ˙x(t)) costante del moto e viceversa. 2.1.1 Parentesi di Poisson zero implica costante del moto Siano date due funzioni F (x(t), ˙x(t)) e G(x(t), ˙x(t)), dove F (x(t), ˙x(t)) sappiamo essere costante del moto, quindi F (x(t), ˙x(t)) = c La derivata rispetto al tempo delle due funzioni risulta essere F (x(t), ˙x(t)) dt G(x(t), ˙x(t)) dt = δF (x(t), ˙x(t)) = δG(x(t), ˙x(t)) δx δx · dx dt · dx dt quindi dalla prima delle due equazioni ( ) −1 dx δF (x(t), ˙x(t)) = − · dt δx δF (x(t), δ ˙x(t)) che sostituito nella seconda (2.1) da’ G(x(t), ˙x(t)) dt δG(x(t), ˙x(t)) = − · δx moltiplicando dalle due parti per ( δF (x(t), ˙x(t)) δx δF (x(t), ˙x(t)) δx · d ˙x = 0 dt δG(x(t), ˙x(t)) + · δ ˙x d ˙x dt + δF (x(t), δ ˙x(t)) δ ˙x δ ˙x · d ˙x dt (2.1) ) −1 · δF (x(t), δ ˙x(t)) · δ ˙x d ˙x δG(x(t), ˙x(t)) + · dt δ ˙x d ˙x dt si ottiene δF (x(t), ˙x(t)) · δx G(x(t), ˙x(t)) δG(x(t), ˙x(t)) = − · dt δx δF (x(t), δ ˙x(t)) · δ ˙x d ˙x ˙x(t)) +δG(x(t), · dt δ ˙x δF (x(t), ˙x(t)) · δx d ˙x dt e mettendo in evidenza il termine d ˙x dt a destra del uguale δF (x(t), ˙x(t)) · δx G(x(t), ˙x(t)) = dt d ˙x dt · ( δG(x(t), ˙x(t)) − · δx δF (x(t), δ ˙x(t)) + δ ˙x δG(x(t), ˙x(t)) · δ ˙x δF (x(t), ˙x(t)) ) δx 7 gennaio 2012 SUPSI–DTI, CH-6928 Manno 9
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