Teoria della misura e teoria degli insiemi - SELP
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<strong>Teoria</strong> <strong>della</strong> <strong>misura</strong> e <strong>teoria</strong> <strong>degli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
Samuele Maschio<br />
1 <strong>Teoria</strong> <strong>della</strong> <strong>misura</strong>: nozioni di base<br />
Definizione 1.1. Sia X un insieme. Una σ-algebra di sotto<strong>insiemi</strong> di X é un insieme<br />
H ⊆ P(X) tale che<br />
1. ∅ ∈ H;<br />
2. Per ogni Y , se Y ∈ H allora X \ Y ∈ H;<br />
3. Per ogni famiglia numerabile {Xn} n∈N ⊆ H si ha <br />
n∈N Xn ∈ H.<br />
Proposizione 1.2. Sia X un insieme e sia X ⊆ {H σ-algebre di sotto<strong>insiemi</strong> di X}.<br />
Allora X é una σ-algebra di sotto<strong>insiemi</strong> di X.<br />
Definizione 1.3. Sia X un insieme e sia J ⊆ P(X). Si dice σ-algebra generata da J<br />
la σ-algebra<br />
H: = {I-algebre di sotto<strong>insiemi</strong> di X | J ⊆ I} .<br />
Ci concentriamo ora su alcune σ-algebra di sotto<strong>insiemi</strong> di R. Richiamiamo la<br />
seguente<br />
Definizione 1.4. Un sottoinsieme X ⊆ R é aperto se per ogni x ∈ X esiste ɛ > 0 tale<br />
che (x − ɛ, x + ɛ) ⊆ X. Un sottoinsieme X di R é chiuso se R \ X é aperto.<br />
Proposizione 1.5. Ogni sottoinsieme aperto di R é unione al piú numerabile di<br />
intervalli aperti a due a due disgiunti.<br />
Definizione 1.6. La σ-algebra dei boreliani di R, indicata con B(R), é la σ-algebra di<br />
sotto<strong>insiemi</strong> di R generata dalla famiglia <strong>degli</strong> aperti di R.<br />
Definizione 1.7. Sia H una σ-algebra di sotto<strong>insiemi</strong> di X. Una <strong>misura</strong> su H é una<br />
funzione P: H → R + tale che<br />
1. P(∅) = 0;<br />
2. P( <br />
n∈N Xn) = <br />
n∈N P(Xn) per ogni famiglia numerabile {Xn} n∈N tale che Xi ∩<br />
Xj = ∅ per ogni i, j ∈ N tali che i = j.<br />
Proposizione 1.8. Se P é una <strong>misura</strong> su una σ-algebra H e X, X ′ ∈ H sono tali che<br />
X ⊆ X ′ , allora P(X) ≤ P(X ′ ).<br />
1
Definizione 1.9. Sia X ⊆ R aperto tale che X = <br />
n∈H (xn, yn) dove gli intervalli<br />
(xn, yn) al variare di n ∈ H ⊆ N sono a due a due disgiunti. Si definisce<br />
P ′ (X) = <br />
(yn − xn).<br />
n∈H<br />
Definizione 1.10. Un sottoinsieme X di R é <strong>misura</strong>bile secondo Lebesgue se per ogni<br />
ɛ > 0 esiste un aperto H e un chiuso H ′ di R tali che<br />
1. H ′ ⊆ X ⊆ H;<br />
2. P ′ (H \ H ′ ) < ɛ.<br />
Definizione 1.11. Si denota con L(R) l’insieme dei sotto<strong>insiemi</strong> di R <strong>misura</strong>bili secono<br />
Lebesgue.<br />
Teorema 1.12. L’insieme L(R) é una σ-algebra di sotto<strong>insiemi</strong> di R.<br />
Teorema 1.13. Definita P(X): = inf P ′ (H)| X ⊆ H H aperto per ogni X <strong>misura</strong>bile<br />
secondo Lebesgue, si ha che<br />
1. P é una <strong>misura</strong> su L(R), ogni aperto di R é <strong>misura</strong>bile secondo Lebesgue e P ≡ P ′<br />
sugli aperti di R;<br />
2. Per ogni X ∈ L(R) e per ogni ¯x ∈ R si ha che X + x = {x + ¯x| x ∈ X} ∈ L(R)<br />
e P(X + ¯x) = P(X) ( invarianza);<br />
3. Per ogni x ∈ R si ha che P({x}) = 0 ( non banalitá).<br />
Una volta osservato che anche P(R) é banalmente una σ-algebra di sotto<strong>insiemi</strong> di<br />
R, si ottiene, dato che tutti gli aperti sono <strong>misura</strong>bili secondo Lebesgue, il seguente<br />
Teorema 1.14.<br />
B(R) ⊆ L(R) ⊆ P(R).<br />
I paragrafi 3 e 4 saranno dedicati al problema di capire se le due inclusioni possano<br />
e, se sí, sotto quali condizioni essere strette.<br />
2 Alcuni assiomi <strong>della</strong> <strong>teoria</strong> <strong>degli</strong> <strong>insiemi</strong><br />
Assioma 2.1 (DC). Se R é una relazione binaria su un insieme non vuoto X tale che<br />
per ogni x ∈ X esiste x ′ tale che x ′ Rx allora esiste una successione ξ: ω → X tale che<br />
per ogni n ∈ ω si ha ξ(n + 1)Rξ(n).<br />
Assioma 2.2 (ω-AC). Se X è un insieme numerabile tale che per ogni x ∈ X, x = ∅,<br />
allora esiste una funzione ψ: X → X tale che ψ(x) ∈ x per ogni x ∈ X.<br />
Proposizione 2.3. In ZF si ha [DC] → [ω − AC].<br />
Assioma 2.4 (AC). Se X è un insieme tale che per ogni x ∈ X, x = ∅, allora esiste<br />
una funzione ψ: X → X tale che ψ(x) ∈ x per ogni x ∈ X.<br />
2
Assioma 2.5 (ZL). Se (X, ≤) é un ordine parziale tale che ogni catena Y ⊆ X ha un<br />
maggiorante y ∈ X, allora X ha un elemento massimale.<br />
Assioma 2.6 (WO). Ogni insieme puó essere ben ordinato.<br />
Proposizione 2.7. In ZF si ha [AC]→[ω-AC]<br />
Proposizione 2.8. In ZF sono equivalenti [AC]≡[ZL]≡[WO]<br />
Supponiamo ora di lavorare in ZF C = ZF + [AC]. Dato che [AC]≡[WO] si ha che<br />
possiamo definire la cardinalitá di ogni insieme e formulare il seguente<br />
Assioma 2.9 (CH).<br />
∀X((X ⊆ R ∧ X infinito) → (|X| = |N| ∨ |X| = |R|)).<br />
Infine terremo in considerazione il seguente<br />
Assioma 2.10 (WIC). Esiste un cardinale debolmente inacessibile<br />
RIcordiamo la seguente<br />
Definizione 2.11. Un cardinale debolmente inacessibile é un cardinale limite e regolare.<br />
3 Insiemi non <strong>misura</strong>bili<br />
3.1 La costruzione di Vitali<br />
Teorema 3.1 (Vitali). Se vale ZF C allora esiste un sottoinsieme di R non <strong>misura</strong>bile<br />
(cioé in ZF [AC]→ (L(R) = P(R))).<br />
Dimostrazione. Sia X = [0, 1] e sia ∼ la relazione definita su X da<br />
x ∼ x ′ se e solo se x − x ′ ∈ Q.<br />
Questa relazione é una relazione di equivalenza infatti<br />
1. per ogni x ∈ R si ha x − x ∈ Q;<br />
2. se x − y ∈ Q allora y − x = −(x − y) ∈ Q;<br />
3. se x − y ∈ Q e y − z ∈ Q allora x − z = (x − y) + (y − z) ∈ Q.<br />
Sia X ′ : = X/ ∼ l’insieme delle classi di equivalenza rispetto alla relazione ∼ ovvero<br />
<strong>degli</strong> <strong>insiemi</strong> <strong>della</strong> forma [x]∼: = {x ′ ∈ X|x ′ ∼ x}.<br />
Per [AC] esiste H ⊆ R tale che |H ∩ Y | = 1 per ogni Y ∈ X ′ , ovvero H contiene<br />
uno e un solo elemento per ogni classe di equivalenza.<br />
Siano ora q, q ′ ∈ Q tali che q = q ′ . Abbiamo H + q ∩ H + q ′ = ∅ dato che se<br />
y ∈ H + q ∩ H + q ′ si ha che esistono h, h ′ ∈ H tali che<br />
y = h + q = h ′ + q ′<br />
3
da cui<br />
e quindi<br />
da cui h = h ′ e q = q ′ .<br />
h = h ′ + q ′ − q<br />
h ∼ h ′<br />
Inoltre [0, 1] ⊆ <br />
q∈Q∩[−1,1] (H + q) ⊆ [−1, 2] .<br />
Supponiamo ora che H sia <strong>misura</strong>bile; dato che Q ∩ [−1, 1] é numerabile, per la<br />
monotonia <strong>della</strong> <strong>misura</strong> e per il fatto che P é invariante per traslazione si ha che H + q<br />
é <strong>misura</strong>bile secondo Lebesgue e P(H + q) = P(H) per ogni q ∈ Q ∩ [−1, 1]si ha che<br />
P([0, 1]) ≤<br />
<br />
P(H + q) =<br />
<br />
P(H) ≤ P([−1, 2])<br />
da cui<br />
q∈Q∩[−1,1]<br />
1 ≤<br />
<br />
n∈N∩[−1,1]<br />
q∈Q∩[−1,1]<br />
P(H) ≤ 3<br />
Dato che abbiamo supposto che H sia <strong>misura</strong>bile allora P(H) = 0 o P(H) > 0. Nel<br />
primo caso peró si ottiene che 1 ≤ 0, mentre nel secondo +∞ ≤ 3. Dunque H é un<br />
sottoinsieme di R non <strong>misura</strong>bile.<br />
3.2 Altre costruzioni di <strong>insiemi</strong> non <strong>misura</strong>bili<br />
Innanzitutto vediamo la costruzione di Bernstein che fa uso dell’assioma [WO]. Iniziamo<br />
con la seguente<br />
Definizione 3.2. Un insieme X ⊆ R si dice perfetto se é un insieme chiuso non vuoto<br />
senza punti isolati.<br />
Si possono facilmente dimostrare i seguenti fatti in ZF<br />
Proposizione 3.3 (regolaritá). Se X ∈ L(R) e P(X) > 0 allora esiste un chiuso<br />
H ⊆ X tale che P(H) > 0.<br />
Proposizione 3.4. Ogni sottoinsieme chiuso X di R infinito non numerabile contiene<br />
un insieme perfetto.<br />
Proposizione 3.5. Per ogni insieme perfetto P , |P | = |R|.<br />
da cui segue il<br />
Corollario 3.6. Ogni sottoinsieme chiuso di R é finito, numerabile o continuo.<br />
Possiamo ora passare alla seguente<br />
Definizione 3.7. Un insieme di Bernstein é un sottoinsieme X di R tale che per ogni<br />
insieme perfetto P , P ∩ X = ∅ e P ∩ (R \ X) = ∅.<br />
Osservazione 3.8. Si noti che se X é un insieme di Bernstein, anche R lo é.<br />
4
Teorema 3.9. Se X é un insieme di Bernstein, allora non é <strong>misura</strong>bile secondo<br />
Lebesgue.<br />
Dimostrazione. Supponiamo che X sia <strong>misura</strong>bile secondo Lebesgue, allora possiamo<br />
supporre che P(X) > 0 (altrimenti possiamo consideriamo R \ X). Dato che X ha<br />
<strong>misura</strong> positiva esiste un chiuso H di <strong>misura</strong> positiva tale che H ⊆ X; inoltre essendo<br />
H di <strong>misura</strong> positiva é infinito non numerabile, da cui si ottiene che deve contenere un<br />
insieme perfetto P , da cui si ottiene che P ⊆ X e dunque (R \ X) ∩ P = ∅ e quindi che<br />
X non é di Bernstein.<br />
Prima di passare al prossimo teorema si ha questo risultato<br />
Proposizione 3.10. Se P é l’insieme <strong>degli</strong> <strong>insiemi</strong> perfetti si ha che |P| = |R|.<br />
Teorema 3.11. In ZF si ha [WO]→ [Esiste un insieme di Bernstein].<br />
Dimostrazione. Per [WO] esiste un buon ordinamento di P e quindi possiamo costruire<br />
una successione transfinita di <strong>insiemi</strong> perfetti<br />
dove π = min {ξ ∈ ON| |π| = |R|} tale che<br />
{Pξ} ξ
Dimostrazione. Ovviamente si ha che <br />
q∈Q X + qp¯j = R e inoltre (X + qp¯j) ∩ X = ∅<br />
perché altrimenti p¯j sarebbe esprimibile come combinazione lineare finita di elementi<br />
di {pj} j∈J\{¯j} . Supponiamo che X sia <strong>misura</strong>bile, dalla prima delle due espressioni si<br />
ottiene grazie all’invarianza che P(X) > 0. In particolare per il lemma di Bernstein<br />
esiste ɛ tale che per ogni 0 < r < ɛ si ha X ∩ (X + r) = ∅. In particolare esiste ¯q ∈ Q<br />
tale che 0 < p¯j ¯q < r, da cui X ∩ (X + ¯qp¯j) = ∅. Abbiamo dunque una contraddizione<br />
con la seconda espressione.<br />
Il seguente risultato é noto<br />
Proposizione 3.16. In ZF si ha che [ZL]→[Ogni spazio vettoriale ha una base].<br />
3.3 La necessitá dell’assioma di scelta<br />
Abbiamo visto nelle sottosezioni precedenti come si possa costruire un non<strong>misura</strong>bile<br />
disponendo dell’assioma <strong>della</strong> scelta o di un suo equivalente. Ma é veramente indispensabile<br />
utilizzarlo? Se non fosse indispensabile si dovrebbe riuscire a costruire in ZF o<br />
almeno in ZF +[ω−AC] un insieme non <strong>misura</strong>bile. Viceversa per provare la necessitá<br />
dell’assioma di scelta, basterebbe costruire un modello di ZF o meglio ZF + [ω − AC]<br />
(dato che per sviluppare buona parte dell’analisi matematica é sufficiente disporre <strong>della</strong><br />
scelta numerabile) in cui L()(R) = P(R) . In tal senso Solovay riuscí ad ottenere il<br />
seguente risultato<br />
Teorema 3.17 (Solovay). Se é consistente ZF +[WIC] allora si puó costruire un<br />
modello di ZF +[DC]+[L(R) = P(R)].<br />
Il problema di questo risultato é la presenza dell’ipotesi di esistenza di un cardinale<br />
debolmente inaccessibile. Il fatto spiacevole é che questo fatto non puó essere eliminato<br />
a causa del seguente risultato<br />
Teorema 3.18 (Shelah). Se é consistente ZF +[DC]+[L(R) = P(R)] allora si puó<br />
costruire un modello di ZF +[WIC] .<br />
Infatti se avessimo che Cons(ZF ) → Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R))), dato che<br />
come é noto<br />
ZF + [WIC] ⊢ Cons(ZF )<br />
si avrebbe<br />
da cui<br />
ZF + [WIC] ⊢ Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R)))<br />
ZF + [WIC] ⊢ Cons(ZF + [WIC])<br />
il che contraddice il secondo teorema di Godel.<br />
4 Insiemi <strong>misura</strong>bili non boreliani<br />
Innanzitutto si ha il seguente fatto<br />
Proposizione 4.1.<br />
|L(R)| = |P(R)| .<br />
6
Dimostrazione. Tutti i sotto<strong>insiemi</strong> di ogni sottoinsieme di <strong>misura</strong> nulla sono <strong>misura</strong>bili;<br />
in particolare lo sono tutti quelli dell’insieme di Cantor che ha cardinalitá<br />
continua.<br />
Definizione 4.2. Si definiscono gli <strong>insiemi</strong> Σξ e Πξ per ξ < ω1 tramite le seguenti<br />
Σ0 = {aperti di R} Π0 = {chiusi di R}<br />
⎧<br />
⎨ <br />
Σξ = Xn| Xn ∈<br />
⎩<br />
<br />
⎫<br />
⎬<br />
Πξ ′, n ∈ N<br />
⎭ .<br />
n∈N<br />
ξ ′
Dato l’insieme di Cantor H, si vede facilmente che ψ ′ (H) = 1. In particolare, generalizzando<br />
la costruzione di Vitali, si puó construire un sottoinsieme non <strong>misura</strong>bile di<br />
H (questo perché H ha <strong>misura</strong> positiva). Si chiami questo insieme X. In particolare<br />
X non é boreliano. Consideriamo ora X ′ : = ψ ′−1 (X). Innanzitutto X ′ ⊆ H e dunque,<br />
essendo sottoinsieme di un insieme di <strong>misura</strong> nulla, X ′ é <strong>misura</strong>bile. Tuttavia X ′ non<br />
puó essere boreliano. Infatti dato che ogni funzione continua é anche <strong>misura</strong>bile rispetto<br />
ai boreliani, si dovrebbe avere che X é boreliano. Dunque X ′ é l’insieme <strong>misura</strong>bile<br />
non boreliano.<br />
Esempio 4.9 (ω−AC). Gli <strong>insiemi</strong> analitici sono le immagini tramite funzioni continue<br />
di boreliani in spazi polacchi. Gli <strong>insiemi</strong> coanalitici sono i complementari di <strong>insiemi</strong><br />
analitici. Si ha che gli <strong>insiemi</strong> boreliani sono esattamente tutti gli <strong>insiemi</strong> allo stesso<br />
tempo analitici e coanalitici. Inoltre ogni insieme analitico (e quindi anche coanalitico)<br />
é <strong>misura</strong>bile secondo Lebesgue. Un esempio di <strong>misura</strong>bile non boreliano si puó quindi<br />
ottenere costruendo un insieme coanalitico che non sia analitico. Un esempio di insieme<br />
coanalitico non analitico é W O, l’insieme delle codifiche dei buoni ordinamenti su N.<br />
La codifica di una relazione R sui numeri naturali é il numero reale [R] ottenuto in<br />
questo modo:<br />
L’insieme W O é definito da<br />
[R]: =<br />
<br />
n,m∈N| nRm<br />
10 −2n 3 m<br />
.<br />
W O: = {x ∈ R| esiste R buon ordine in N(x = [R])} .<br />
Nei prossimi paragrafi assumiamo sempre di trovarci in ZF C.<br />
5 Estensioni invarianti <strong>della</strong> <strong>misura</strong> di Lebesgue<br />
La prossima domanda é la seguente: ’La <strong>misura</strong> di Lebesgue ammette estensioni invarianti<br />
su σ-algebre che estendono L(R)?’. Ovvero esiste una σ-algebra H di sotto<strong>insiemi</strong><br />
di R e una <strong>misura</strong> P su H tale che:<br />
1. L(R) ⊂ H;<br />
2. P|H ≡ P;<br />
3. X ∈ H ∧ x ∈ R → (X + x) ∈ H;<br />
4. X ∈ H ∧ x ∈ R → P(X + x) = P(X).<br />
Inoltre esiste un’estensione massimale?<br />
Ovvero esiste (H, P) estensione invariante che non ammette estensioni invarianti?<br />
I seguenti teoremi di Kharazishvili e Ciesielski danno una risposta al problema<br />
Teorema 5.1. La <strong>misura</strong> di Lebesgue ammette estensioni invarianti, ma non esiste<br />
alcuna estensione massimale.<br />
Il teorema é una conseguenza immediata del seguente<br />
Lemma 5.2. Esiste una famiglia numerabile {Xn} n∈N di sotto<strong>insiemi</strong> di R tali che<br />
8
1. <br />
n∈N Xn = R;<br />
2. Xi ∩ Xj = ∅ per ogni i, j ∈ N tali che i = j;<br />
3. Per ogni n ∈ N, se Xn appartiene alla σ-algebra su cui é definita un’estensione<br />
invariante <strong>della</strong> <strong>misura</strong> di Lebesgue P allora P(Xn) = 0;<br />
4. Per ogni n ∈ N, se Xn /∈ L(R) allora esiste un’estensione invariante (H, P) tale<br />
che Xn ∈ H.<br />
6 Estensioni universali <strong>della</strong> <strong>misura</strong> di Lebesgue<br />
Una volta appurato che non esiste una estensione invariante privilegiata per la <strong>misura</strong><br />
di Lebesgue, passiamo al problema dell’esistenza di un’estensione universale <strong>della</strong> <strong>misura</strong><br />
di Lebesgue (che non sia necessariamente invariante), ovvero ci chiediamo se esista una<br />
<strong>misura</strong> P su P(R) tale che<br />
P(X) = P(X)<br />
per ogni X ∈ L(R). Questo problema viene risolto dal<br />
Teorema 6.1 (ULAM). Se c’é una <strong>misura</strong> non banale su P(X) allora si verifica uno<br />
dei seguenti fatti:<br />
1. c’é una <strong>misura</strong> a due valori su P(X) e |X| é maggiore del piú piccolo cardinale<br />
debolmente inaccessibile;<br />
2. c’é una <strong>misura</strong> senza atomi in P(R) e |R| é maggiore del piú piccolo cardinale<br />
debolmente inacessibile.<br />
Per chiarire il significato del teorema, si ricorda che una <strong>misura</strong> é a due valori<br />
se assume solo i valori 0 e 1; inoltre una <strong>misura</strong> é senza atomi se ogni insieme di<br />
<strong>misura</strong> positiva puó essere ripartito in due <strong>insiemi</strong> di <strong>misura</strong> positiva. Abbiamo dunque<br />
il seguente:<br />
Corollario 6.2. Se esiste una estensione universale <strong>della</strong> <strong>misura</strong> di Lebesgue sui reali<br />
allora esiste un cardinale debolemente inacessibile e la cardinalitá del continuo é<br />
maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inacessibile.<br />
Dunque<br />
[Esiste un’estensione universale <strong>della</strong> <strong>misura</strong> di Lebesgue] → [W IC]<br />
Inoltre dato che in tal caso la cardinalitá del continuo é maggiore del piú piccolo cardinale<br />
inaccessibile e dato che ogni cardinale debolmente inaccessibile é per definizione<br />
un cardinale limite non numerabile, si ha che<br />
[Esiste un’estensione universale <strong>della</strong> <strong>misura</strong> di Lebesgue] → ¬[CH]<br />
In particolare in ZF C + [CH] la <strong>misura</strong> di Lebesgue sui reali non ammette estensioni<br />
universali.<br />
9
Riferimenti bibliografici<br />
[1] K. Ciesielski. How good is Lebesgue measure?<br />
[2] K. Ciesielski. Isometrically invariant extensions of Lebesgue measure.<br />
[3] K. Ciesielski. Set theoretical real analysis.<br />
[4] Doob. Measure theory.<br />
[5] T.J. Jech. Set Theory. The 3rd millennium edition.<br />
[6] A.B.Kharazishvili. Nonmeasurable sets and functions.<br />
[7] K.Kunen. Set Theory.<br />
[8] R.M.Solovay. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue<br />
measurable.<br />
[9] Villani. Insiemi non <strong>misura</strong>bili secondo Lebesgue.<br />
10