Teoria della misura e teoria degli insiemi - SELP

da cui
e quindi
da cui h = h ′ e q = q ′ .
h = h ′ + q ′ − q
h ∼ h ′
Inoltre [0, 1] ⊆
q∈Q∩[−1,1] (H + q) ⊆ [−1, 2] .
Supponiamo ora che H sia misurabile; dato che Q ∩ [−1, 1] é numerabile, per la
monotonia della misura e per il fatto che P é invariante per traslazione si ha che H + q
é misurabile secondo Lebesgue e P(H + q) = P(H) per ogni q ∈ Q ∩ [−1, 1]si ha che
P([0, 1]) ≤
P(H + q) =
P(H) ≤ P([−1, 2])
da cui
q∈Q∩[−1,1]
1 ≤
n∈N∩[−1,1]
q∈Q∩[−1,1]
P(H) ≤ 3
Dato che abbiamo supposto che H sia misurabile allora P(H) = 0 o P(H) > 0. Nel
primo caso peró si ottiene che 1 ≤ 0, mentre nel secondo +∞ ≤ 3. Dunque H é un
sottoinsieme di R non misurabile.
3.2 Altre costruzioni di insiemi non misurabili
Innanzitutto vediamo la costruzione di Bernstein che fa uso dell’assioma [WO]. Iniziamo
con la seguente
Definizione 3.2. Un insieme X ⊆ R si dice perfetto se é un insieme chiuso non vuoto
senza punti isolati.
Si possono facilmente dimostrare i seguenti fatti in ZF
Proposizione 3.3 (regolaritá). Se X ∈ L(R) e P(X) > 0 allora esiste un chiuso
H ⊆ X tale che P(H) > 0.
Proposizione 3.4. Ogni sottoinsieme chiuso X di R infinito non numerabile contiene
un insieme perfetto.
Proposizione 3.5. Per ogni insieme perfetto P , |P | = |R|.
da cui segue il
Corollario 3.6. Ogni sottoinsieme chiuso di R é finito, numerabile o continuo.
Possiamo ora passare alla seguente
Definizione 3.7. Un insieme di Bernstein é un sottoinsieme X di R tale che per ogni
insieme perfetto P , P ∩ X = ∅ e P ∩ (R \ X) = ∅.
Osservazione 3.8. Si noti che se X é un insieme di Bernstein, anche R lo é.
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