Un approccio probabilistico alla rappresentazione dell ... - SELP

Un approccio probabilistico alla
rappresentazione dell’incertezza: probabilità
imprecise, scommesse e funzionali normalizzati
su spazi di Riesz.
Martina Fedel

A me
ed a tutti quelli che
mi hanno visto “sudare”.

Ringraziamenti
E’ doveroso e allo stesso tempo piacevole ringraziare coloro che hanno col-
laborato a questa Tesi: il prof. Klaus Keimel per aver mostrato da subito
interesse per l’argomento e contribuito a renderne più solide le basi, il prof.
Giuseppe Scianna per avermi pazientemente aiutato a orientarmi fra topo-
logie e funzionali, e il prof. Raffaele Chiappinelli per gli utili suggerimenti
sul Teorema di Hahn-Banach. Un grazie va anche al dott. Hykel Hosni, che
mi ha da subito sostenuto ed indirizzato dandomi utili spunti di riflessione,
e al prof. Franco Montagna per avermi seguito e supportato fin dall’inizio e
avermi offerto la possibilità di entrare in contatto con il mondo della ricerca.

Introduzione
Se pensiamo alla Logica come allo studio del ragionamento corretto, risulta
di particolare interesse andare ad analizzare i processi di inferenza che carat-
terizzano la mente umana e le situazioni in cui si svolgono, con l’intento di
fornirne un’adeguata formalizzazione.
Osserviamo come prima cosa che l’incertezza è una componente fonda-
mentale ed ineliminabile della vita di tutti i giorni, ed in particolare soffer-
miamoci sul fatto che anche in situazioni di ignoranza parziale, l’uomo non
rimane in una condizione di stasi, ma è in grado di (e molto spesso deve)
ragionare e prendere quindi decisioni: dunque sembra lecito affermare che
riuscire ad elaborare un formalismo che renda possibile rappresentare e trat-
tare l’incertezza, ed arrivare in un secondo momento ad una formalizzazione
del ragionamento in condizioni di incertezza, siano obbiettivi di particolare
interesse e rilevanza.
Nella Tesi si affronta il primo problema, ed in particolare si sviluppa
e analizza un approccio probabilistico alla rappresentazione dell’incertezza
basato sull’utilizzo degli intervalli di probabilità e dei concetti originali di
probabilità superiore e inferiore. Ma se vogliamo quantificare numericamen-
te l’opinione personale, per sua natura incerta, che un determinato evento
si verifichi, risulta essere di fondamentale importanza mettere in chiaro co-
sa rappresentano i numeri scelti, ossia dare una risposta soddisfacente alla
domanda “Che cos’è la probabilità di un evento?”
Tanto la visione frequentista che quella basata sul concetto dell’equiproba-
bilità dei casi, non sembrano fornire risposte adeguate. Le rispettive proposte
sono infatti le seguenti:
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1. La probabilità di un evento E è la frequenza dell’evento su un numero
molto grande di prove (o il limite della frequenza quando il numero di
prove tende all’infinito).
2. Se l’esperimento a cui l’evento si riferisce ha un numero finito di esiti e
non c’è alcuna ragione per ritenere che un esito sia più probabile di un
altro, la probabilità dell’evento E è il rapporto fra il numero degli esiti
in cui E si verifica (casi favorevoli) e il numero totale degli esiti (casi
possibili).
ma è facile trovare esempi che mettano in evidenza la loro inadeguatezza.
Per quanto riguarda la prima risposta, una obiezione è la grande diffi-
coltà (se non impossibilità) di ripetere uno stesso esperimento un numero
molto grande di volte mantenendo le medesime condizioni; inoltre si possono
presentare situazioni in cui è difficile analizzare anche un solo evento. Ad
esempio, come potremmo valutare, in base alla frequenza, la probabilità che
un eventuale ponte sullo stretto di Messina resista per almeno cento anni
senza crollare? I ponti esistenti non si trovano mai nelle stesse condizioni, e
molti di essi hanno meno di cento anni, per cui la valutazione della frequenza
è molto problematica.
Nella seconda risposta, si può subito obiettare che sono assai poche le
situazioni in cui gli esiti di un esperimento si possono ritenere equiproba-
bili; inoltre seguendo questo approccio si arriva a trasformare l’assenza di
informazione sulla probabilità degli esiti nella loro supposta equiprobabilità.
Quindi se chiedessimo ad una persona qualunque quale è la probabilità che
ci sia vita in una galassia lontana, non avendo idea della risposta, dovrebbe
rispondere: il 50%.
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Ma suponiamo ora di chiedere alla stessa persona quale sia la probabilità
che su tale galassia ci sia rispettivamente
1. esattamente un pianeta abitato
2. esattamente due pianeti abitati,
3. esattamente tre pianeti abitati,
e così via fino a mille pianeti abitati. Sicuramente la somma delle probabilità
da lui proposte supererebbe largamente il 100%, e quindi le sue previsioni
violerebbero uno dei principi cardine della probabilità, ossia che la probabilità
dell’unione di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità.
Analizziamo adesso l’approccio soggettivistico proposto da De Finetti e
Ramsey, basato sull’idea di interpretare la probabilità in termini di scom-
messe e che tutt’ora sembra il più convincente.
Immaginiamo che ad uno scommettitore venga proposta la seguente scom-
messa: sia dato un numero α ∈ [0, 1]; lo scommettitore può scegliere di pagare
α al banco, ricevendo 1 se l’evento E si verifica (guadagnando quindi 1 − α),
e nulla se E non si verifica (perdendo α). Lo scommettitore però, qualora
ritenga che la quota α sia troppo alta, può anche chiedere di invertire i ter-
mini della scommessa, cioè di scambiare il suo ruolo con quello del banco, e
quindi di scommettere contro E.
Secondo la visione soggettivistica possiamo quindi affermare che la pro-
babilità di E è l’estremo superiore degli α per cui lo scommettitore sceglie di
scommettere a favore di E quando la quota è α.
Da questo punto di vista ogni scelta di numeri dovrebbe essere accettabile,
in quanto due individui razionali possono avere opinioni diverse riguardo il
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verificarsi o meno di un evento (la scelta del termine “soggettivistico” sta
proprio a sottolineare il fatto che si ammetta che la probabilità di un evento
non abbia valenza assoluta); perché allora ha senso chiedere che un tale
assegnamento numerico rispetti gli assiomi classici della probabilità?
Osserviamo innanzitutto che sembra lecito supporre che sia lo scommet-
titore che il bookmaker siano di fatto esseri razionali; questo, rimanendo
nell’ambito delle scommesse, si può tradurre nel fatto che entrambi si preoc-
cuperanno di incrementare i loro guadagni limitando le perdite. Il criterio di
razionalità proposto da De Finetti rispecchia proprio questa idea: un insieme
di scommesse viene detto razionale (o coerente) se non c’è un Dutch Book,
ossia una strategia che assicura un guadagno positivo allo scommettitore.
Il risultato dimostrato da De Finetti, che giustifica a pieno il richiedere
che un assegnamento soggettivo soddisfi gli assiomi di probabilità, è il se-
guente: un insieme di scommesse è coerente se e solo se le quote associate
dal bookmaker agli eventi sono una probabilità.
Una prima interessante generalizzazione di questo risultato, che vale nel
caso in cui gli eventi coinvolti siano crisp (o veri o falsi), può essere quella di
vedere cosa succede se si prendono in esame eventi fuzzy (a più valori), quali
ad esempio “Domani ci sarà molto traffico sulla A1.”
Questo caso è stato trattato da Mundici, il quale come prima cosa ha
mostrato che il criterio di razionalità basato sul Dutch Book è ancora accet-
tabile e poi, dopo aver introdotto il concetto di stato (l’analogo della misura
probabilità per gli eventi a più valori), ha dimostrato un risultato sullo stile
di quello di De Finetti: un insieme di scommesse è razionale se e solo se le
quote associate dal bookmaker agli eventi soddisfano gli assiomi di stato.
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Una seconda generalizzazione, fino ad ora non considerata in letteratura, è
vedere cosa succede quanto sono coinvolti quelli che ho chiamato “eventi fuzzy
altamente incerti”, ossia eventi per i quali la situazione di incertezza è tale
da rendere impossibile, per un individuo razionale, scegliere un numero che
rappresenti la sua opinione soggettiva che tale evento si verifichi. Per esempio
consideriamo il caso dell’estrazione di un numero della tombola e supponiamo
di sapere che le estrazioni sono truccate in modo a noi sconosciuto: l’evento
“Uscirà un numero alto”, è un evento fuzzy altamente incerto.
Mettiamoci per un attimo nell’ottica di un bookmaker: per scongiurare
esiti potenzialmente nefasti per le sue finanze, è plausibile supporre che il
bookmaker scelga condizioni così svantaggiose per lo scommettitore da in-
durlo a rinunciare a scommettere su un tale evento, e ovviamente non sia
disposto ad uno scambio di ruoli. Osserviamo che questo comportamento
corrisponde alla seguente situazione: il bookmaker accetta solo scommesse
positive, con quota β per chi scommette a favore dell’evento E e con quo-
ta α < β per chi scommette contro E (ossia su ¬E), di fatto dando una
probabilità inferiore e una probabilità superiore per E ed indicando quindi
l’intervallo a cui secondo lui appartiene la probabilità dell’evento.
Quello che ci proponiamo di fare è arrivare anche in questo caso ad un
risultato sullo stile di quello di De Finetti. A tale scopo da una parte cerche-
remo di trovare un adeguato criterio di razionalità per un insieme di scom-
messe su eventi fuzzy altamente incerti, poiché la non esistenza di un Dutch
Book risulta essere una condizione necessaria ma non sufficiente. Dall’al-
tra presenteremo assiomaticamente il concetto di probabilità superiore (ed
inferiore) per poi dimostrare che un insieme di scommesse è razionale se e
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solo se le quote associate agli eventi dal bookmaker soddisfano gli assiomi di
probabilità superiore.
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Abstract
Nel Capitolo 1 si presenta la classe delle MV−algebre e si mostra come ogni
MV-algebra semisemplice possa essere vista come un’algebra di funzioni con-
tinue da uno spazio di Hausdorff compatto rispetto alla hull kernel topology in
[0; 1]. Si presenta poi sintatticamente la logica proposizionale di ̷Lukasiewicz,
e si fa vedere che le MV-algebre sono la sua semantica algebrica equivalente.
Gli eventi a più valori, che sono in realtà classi di equivalenza di formule
modulo la loro dimostrabile equivalenza nella logica di Lukasiewicz o in una
teoria consistente T sulla logica di Lukasiewicz, possono quindi essere visti
come elementi di una MV-algebra.
Sempre nel Capitolo 1 si introduce il concetto di gruppo abeliano retico-
lare e il funtore Γ di Mundici che determina una equivalenza tra le categorie
dei gruppi abeliani reticolari con unità forte, i cui morfismi sono gli omo-
morfismi che preservano l’unità, e delle MV-algebre i cui morfismi sono gli
omomorfismi. Sfruttando tale equivalenza categoriale, si mostra che i gruppi
abeliani reticolari con unità forte possono essere visti come gruppi di funzioni
continue da uno spazio compatto di Hausdorff in R.
Per ragioni tecniche risulterà conveniente andare a considerare una classe
più ampia di eventi; in particolare, dato un evento φ per ogni α ∈ [0, 1]
si assume l’esistenza di un evento αφ tale che per ogni valutazione v si ha
v(αφ) = αv(φ). L’algebra degli eventi diventa quindi una MV-algebra di
Riesz. Nel Capitolo 2 come prima cosa si introducono proprio le MV-algebre
di Riesz; poi si passa agli spazi vettoriali di Riesz e, sfruttando il funtore
Γ, si riesce a dimostrare l’equivalenza categoriale tra MV-algebre di Riesz e
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spazi di Riesz con unità forte. Il capitolo si conclude con la dimostrazione
di un teorema sullo stile di Hahn-Banach per spazi di Riesz che risulterà
fondamentale in seguito.
Nel Capitolo 3 si richiama brevemente il concetto di stato e si presentano
assiomaticamente le probabilità superiori mettendone in luce le più importan-
ti proprietà. Si dimostra poi come l’equivalenza categoriale tra MV-algebre
di Riesz e spazi di Riesz con unità forte induca una biiezione tra probabi-
lità superiori e funzionali sublineari, normalizzati, monotoni e debolmente
additivi, ossia tali che dati α ∈ R e v ∈ V , si ha: f(v + α) = f(v) + α)..
Sfruttando tale biiezione faremo ricorso a risultati dell’analisi funzionale per
arrivare ad un Teorema di rappresentazione per le probabilità superiori e
inferiori; in particolare, sfruttando il teorema di Hahn-Banach per spazi di
Riesz, dimostreremo che è possibile rappresentare una probabilità superiore
(risp. inferiore) come massimo (risp. minimo) di un insieme di stati convesso
e chiuso rispetto alla topologia debole*. Più precisamente dimostreremo che
esiste una biiezione tra insiemi di stati convessi e chiusi rispetto alla topologia
debole* e probabilità superiori.
Da ultimo nel Capitolo4 si cerca di mettere in relazione i risultati astratti
e algebrici raggiunti nei capitoli precedenti con l’interpretazione in termini di
scommesse delle probabilità imprecise. Dopo una presentazione dei risultati
ottenuti in precedenza da De Finetti e Mundici, si fa vedere che nel caso di
“eventi fuzzy altamente incerti”, sia le regole per effettuare le scommesse che
il criterio di razionalità di un book cambiano: non è infatti più permesso
uno scambio di ruoli tra bookmaker e scommettitore e l’assenza di un Dutch
Book è una condizione necessaria ma non suffciente alla razionalità di un
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insieme di scommesse.
In questa situazione, chiamando scommessa stupida una scommessa per la
quale è possibile trovare un insieme di scommesse che assicuri allo scommet-
titore un guadagno strettamente maggiore, si dice che un book è razionale
(o coerente) se non esiste alcuna scommessa stupida per lo scommettitore
basata su di esso.
Al termine del capitolo si dimostra il risultato centrale della Tesi, ossia che
un insieme di scommesse è razionale (o coerente) se e solo se le quote associate
agli eventi dal bookmaker soddisfano gli assiomi di probabilità superiore.
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Capitolo 1
MV-algebre e Gruppi abeliani
reticolari.
1.1 La classe MV delle MV-algebre
Ricordiamo brevemente alcuni concetti fondamentali dell’algebra universale:
Definizione 1.1.1. Un linguaggio algebrico è una coppia L =< F, τ > for-
mata da simboli di funzione con le loro arietà.
Se X è un insieme numerabile di variabili, definiamo induttivamente l’insieme
dei termini del linguaggio L che indicheremo che T ermL:
1. Se x ∈ X allora x ∈ T ermL
2. Se f ∈ L è una funzione n-aria e t1, . . . , tn ∈ T ermL allora f(t1, . . . , tn) ∈
T ermL
3. Non ci sono termini ottenuti in altro modo.
Le equazioni del linguaggio L sono date dall’insieme
EqL = {t = s| t, s ∈ T ermL}.
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Si dice algebra la coppia A =< A, < f A | f ∈ L >> dove A è un insieme non
vuoto detto universo e se f è una funzione n-aria, f A : A n −→ A.
Introduciamo adesso le MV-algebre e mostriamo alcune delle loro prin-
cipali proprietà rimandando per una trattazione più dettagliata a [5]. In
particolare facciamo vedere che la classe delle MV-algebre sia una varietà.
Definizione 1.1.2. Un’algebra A =< A, & A , → A , ∧ A , ∨ A , 0 A , 1 A > è una
MV-algebra se valgono le seguenti condizioni:
1. < A, & A , 1 A > è un monoide commutativo
2. < A, ∧ A , ∨ A , 0 A , 1 A > è un reticolo limitato
3. → A è il residuo di & A ossia a& A c ≤ b se e solo se c ≤ a → A b dove ≤
è la relazione d’ordine reticolare.
4. A soddisfa l’equazione della prelinearità (x → y) ∨ (y → x) = 1
5. A soddisfa l’equazione della divisibilità x&(x → y) = x ∧ y
6. A soddisfa l’equazione di involuzione (x → 0) → 0 = x.
Se l’ordine è lineare si parla di MV-catena.
Spesso le MV-algebre vengono introdotte tramite una definizione equiva-
lente a quella sopra esposta:
Definizione 1.1.3. Una MV − algebra è un’algebra < A, ⊕, ¬, 0 > con una
operazione binaria ⊕, un’operazione unaria ¬ e una costante 0 che soddisfano
le seguenti equazioni:
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(MV1) x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z
(MV2) x ⊕ y = y ⊕ x
(MV3) x ⊕ 0 = x
(MV4) ¬¬x = x
(MV5) x ⊕ ¬0 = ¬0
(MV6) ¬(¬x ⊕ y) ⊕ y = ¬(¬y ⊕ x) ⊕ x
Cerchiamo adesso di far vedere perché le due definizioni sono equivalenti.
Da una parte ogni MV-algebra A presentata secondo la Definizione1.1.3 può
essere presentata nella forma descritta dalla Definizione1.1.2.
Infatti (MV1)-(MV3) ci dicono che < A, ⊕, 0 > è un monoide abeliano.
Inoltre su A possiamo definire le seguenti operazioni:
• Una costante (od operazione 0-aria) 1 data da 1 def
= ¬0.
• Una operazione binaria → data da x → y def
= ¬x ⊕ y
• L’operazione binaria & come duale di ⊕ ossia x&y = ¬(¬x ⊕ ¬y)
• Una relazione d’ordine ≤ A tale che per ogni due elementi x, y ∈ A si
ha x ≤ A y sse¬x ⊕ y = 1.
Osserviamo adesso che l’operazione → appena definita è il residuo di & poiché
si ha:
x&z ≤ b sse z ≤ x → y
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,ossia ¬(¬x ⊕ ¬z) ≤ y se e slo se z ≤ (¬x ⊕ ¬y).
Inoltre utilizzando le (MV1)-(MV6) si dimostrano le seguenti proposizioni che
fanno vedere rispettivamente come le condizioni 2,4,5 e 6 della Definizione
1.1.2 siano soddisfatte.
Proposizione 1.1.1. Su ogni MV-algebra A la relazione d’ordine ≤ A de-
termina una struttura di reticolo limitato.
Infatti per ogni due elementi x, y ∈ A si ha
(i) x ∨ y = (x → y) → y
(ii) x ∧ y = ¬(¬x ∨ ¬y)
Proposizione 1.1.2. Sia A una MV-algebra secondo la definizione1.1.3.
Allora valgono le seguenti equazioni:
1. (x → y) ∨ (y → x) = 1
2. (x → 0) → 0 = x
3. x&(x → y) = x ∧ y
Viceversa, se abbiamo una MV-algebra A presentata secondo la Definizione1.1.2,
questa può essere presentata anche nella forma descritta dalla Definizione1.1.3.
Si vede che gli assiomi (MV1)-(MV3) sono soddisfatti ed inoltre se si definisce
• L’operazione di negazione come: ¬a = a → 0.
• L’operazione ⊕ come duale di & ossia x ⊕ y def.
= ¬(¬x&¬y)
anche (MV4)-(MV6) sono soddisfatti.
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Oss. Su ogni MV-algebra A possiamo definire una nuova costante 1 e due
operazioni binarie ⊙, ⊖ come segue:
(i) 1 def
= ¬0
(ii) x ⊙ y def
= ¬(¬x ⊕ ¬y)
(iii) x ⊖ y def
= x ⊙ ¬y
Inoltre per ogni numero naturale n, possiamo definire le operazioni (n)x,
e x n per induzione su n come segue:
(iv) (0)x = 0 e (n + 1)x = (n)x ⊕ x
(v) x 0 = 1 e x n+1 = x n ⊙ x
Definizione 1.1.4. Una MV-algebra si dice divisibile se per ogni x esiste un
elemento, denotato con x
x
, tale che (n − 1) n n
= x ⊖ x
n .
Da ora in avanti, in una MV-algebra divisibile, quando n ≤ m e 0 < m,
scriveremo n
x x per (n) m m
e n
m
per (n) 1
m .
Diamo adesso alcuni esempi di MV-algebra:
Esempio. Un primo esempio è l’MV-algebra standard, data da
[0, 1]MV =< [0, 1], ⊕, ¬ >,
dove ¬x def
= 1 − x e x ⊕ y def
= min{1, x + y} sono le operazioni di ̷Lukasiewicz.
Inoltre si ha x ⊙ y = max{0, x + y − 1} e x ⊖ y = max{0, x − y}
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Osserviamo che in questo caso la relazione d’ordine ≤[0,1] coincide con quella
naturale; infatti si ha
x ≤[0,1] y sse ¬x ⊕ y = 1
sse min{1, 1 − x + y} = 1 sse 1 − x + y ≥ 1
sse x ≤ y
Esempio. Un altro esempio di MV-algebra è dato dall’insieme
{f : [0, 1] −→ [0, 1]| f funzione continua } con le operazioni definite punto a
punto come segue:
(f ⊕ g)(x) def
= f(x) ⊕ ̷L g(x), (¬f)(x) def
= ¬ ̷L (f(x))
dove ⊕ ̷L e ¬ ̷L sono le operazioni di ̷Lukasiewicz sopra definite.
Oss. L’insieme {f : [0, 1] −→ [0, 1]| ffunzione derivabile e limitata} non è
una MV-algebra; infatti le funzioni x|[0,1] e (¬x)|[0,1] sono entrambe derivabili,
ma la funzione (x ∨ ¬x)|[0,1] non lo è.
Definizione 1.1.5. Sia I un linguaggio con n funzioni (=, F1, . . . , Fn) e sia K
la classe delle strutture per I in cui = viene interpretato con l’uguaglianza.
Si dice che K è una varietà se esiste un insieme T di identità (formule
atomiche di I ) per cui K è la classe di tutte le strutture per I che verificano
tutte le identità di T.
Oss. Per la Definizione 1.1.3, si ha banalmente che la classe MV delle MV-
algebre è una varietà; le MV-algebre sono infatti caratterizzate dall’insieme
di uguaglianze (MV1)-(MV6).
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I concetti che andiamo ad introdurre sono concetti generali di algebra
universale, ma in questo caso li limiteremo per semplicità al linguaggio delle
MV-algebre rimandando per una trattazione più generale a [3].
Definizione 1.1.6. Data una MV-algebra < A, ⊕, ¬, 0 > diciamo che B è
una sotto MV-algebra di A se B ⊆ A, 0 ∈ B, B è chiusa per ⊕, ¬ e se le
operazioni su B sono le restrizioni a B delle operazioni su A.
Diciamo che B è immagine omomorfa di A se c’è un omomorfismo f da A a
B,ossia una funzione f : A −→ B tale che
(i) f(0) = 0
(ii) h(x ⊕ y) = h(x) ⊕ h(y)
(iii) h(¬x) = ¬h(x).
Data una collezione di MV-algebre Ai, i ∈ I il loro prodotto diretto sarà dato
dall’algebra A =<
i∈I Ai, ⊕, ¬, 0 > dove le funzioni sono definite coordinata
per coordinata ossia:
(i) l’elemento 0 è la funzione f tale che f(i) = 0 ∀i ∈ I
(ii) (f ⊕ g)(x) def
= f(x) ⊕ g(x)
(iii) (¬f)(x) def
= ¬(f(x)).
Se A =
i∈I Ai, per ogni j ∈ I la proiezione canonica πj : A −→ Aj è
definita da pij(ai : i ∈ I) = aj.
Si dice che A è prodotto sottodiretto di una collezione di algebre Ai, i ∈ I se
esiste una immersione h : A ↩→
i∈I Ai tale che per ogni i ∈ I
πi ◦ h : A −→ Ai sia un omomorfismo suriettivo.
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Teorema 1.1.1 (Birkhoff). Una classe K di strutture per un linguaggio I
è una varietà se e solo se è chiusa per sottoalgebre, immagini omomorfe e
prodotti diretti.
Dimostrazione. Vedi [?].
Oss. Ricordando che la classe delle MV-algebre è una varietà, per il Teorema
di Birkhoff si ottiene che: una sottoalgebra di una MV-algebra è una MV-
algebra,l’immagine omomorfa di MV-albegra è una MV-algebra e il prodotto
diretto di MV-algebre è una MV-algebra.
1.1.1 La hull kernel topology
Definizione 1.1.7. Un filtro su una MV-algebra A (chiamato anche MV-
filtro) è un sottoinsieme F di A tale che:
• 1 ∈ F
• se x, y ∈ F , allora x ⊙ y ∈ F .
Un filtro F si dice proprio se 0 /∈ F , e massimale se è proprio ed ogni filtro
che estende F o non è proprio o coincide con F .
Il radicale di A, indicato con Rad(A), è l’intersezione di tutti i suoi filtri
massimali.
Definizione 1.1.8. Una congruenza su una MV-algebra A è una relazione
di equivalenza θ su A tale che
(i) se (x, y) ∈ θ ⇒ (¬x, ¬y) ∈ θ.
(ii) se (x1, y1)e(x2, y2) ∈ θ ⇒ (x1 ⊕ x2, y1 ⊕ y2) ∈ θ.
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Oss. Osserviamo adesso che le congruenze su MV-algebre sono in corrispon-
denza biiettiva con i filtri. Infatti dati un filtro F e una congruenza θ, se
definiamo
allora le mappe
θF = {(x, y) : x ↔ y ∈ F } , Fθ = {x : (x, 1) ∈ θ}
F ↦→ θF , θ ↦→ Fθ
sono isomorfismi mutualmente inversi tra il reticolo dei filtri e il reticolo delle
congruenze di una MV-algebra (divisibile).
Nel seguito, data una MV-algebra A, un elemento a ∈ A e un filtro F di
A, indichiamo con A/F il quoziente di A modulo la congruenza θF , e con
a/F la classe di equivalenza di a sempre modulo θF .
Definizione 1.1.9. Un’algebra A è semplice se ha solo due congruenze, l’i-
dentità e la congruenza banale A 2 .
Un’algebra A si dice invece semisemplice se è isomorfa ad un prodotto
sottodiretto di algebre semplici.
Ricordiamo adesso un importante risultato:
Proposizione 1.1.3. Sia M un filtro proprio su l’MV-algebra A. Allo-
ra M è massimale se e solo se il quoziente A/M è semplice se e solo se
A/M è isomorfo ad un’ unica sottoalgebra di [0, 1]MV . Di più, A/Rad(A) è
semisemplice, e A è semisemplice se e solo se Rad(A) = {1}.
Facciamo adesso un passo importante, che ci permetterà di vedere ogni
MV-algebra semisemplice A come un’algebra di funzioni continue rispetto
alla hull-kernel topology dallo spazio compatto d Hausdorff M(A) a [0, 1].
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Definizione 1.1.10. Sia M(A) l’insieme dei filtri massimali di una MV-
algebra semisemplice A, e sia, per ogni a ∈ A, Ca = {M ∈ M(A) : a ∈ M}.
La più piccola topologia per la quale ogni insieme della forma Ca è chiuso è
chiamata hull-kernel topology.
Oss. Un importante risultato dimostrato in [13] ci permette di dire che M(A)
con la hull-kernel topology è uno spazio di Hausdorff compatto.
Sia per, a ∈ A per M ∈ M(A),
Φ(a)(M) def.
= a/M.
Allora, dopo aver identificato A/M con l’unica sottoalgebra di [0, 1]MV ad
esso isomorfa, si ha che Φ(a) è una funzione continua da M(A), dotato della
hull kernel topology, a [0, 1], e Φ è un’immersione di A in
M∈M(A) A/M.
Quindi ogni MV-algebra semisemplice A può essere vista come un’algebra
di funzioni continue da uno spazio di Hausdorff compatto M(A) con la hull-
kernel topology in [0, 1]. Le operazioni caratteristiche delle MV-algebre sono
definite punto a punto.
1.2 Gruppi abeliani parzialmente ordinati
Definizione 1.2.1. Un gruppo abeliano parzialmente ordinato è un gruppo
abeliano G =< G, +, 0 > dotato di una relazione d’ordine parziale ≤ G
compatibile con l’addizione ossia tale che
Se x ≤ G y allora t + x ≤ G t + y ∀t ∈ G
Quando la relazione d’ordine è totale G si dice gruppo abeliano totalmente
ordinato (o-gruppo); se la relazione d’ordine ≤ G rende G un reticolo si parla
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invece di gruppo abeliano reticolare ordinato (ℓ-gruppo).
Per ogni elemento x ∈ G gruppo abeliano reticolare, definiamo
+ def
− def
x = 0 ∨ x, x = 0 ∨ −x, |x| def
= x + + x − = x ∨ −x
e per ogni numero naturale n definiamo nx per induzione come segue:
0x = 0, (n + 1)x = nx + x.
Un gruppo abeliano reticolare G si dice divisibile se per ogni elemento x ∈ G
esiste un elemento denotato con x
n
tale che n x
n
= x.
Definizione 1.2.2. Una unità forte u di G è un elemento 0 ≤ u ∈ G tale
che per ogni x ∈ G esiste un numero naturale n ≥ 0 tale che |x| ≤ nu.
Esempio. Sia R =< R, +, −, ≤, 0 > il gruppo dei reali. Allora R è un l-
gruppo e 1 è la sua unità forte; infatti R è archimedeo e quindi ∀x ∈ R∃n ∈ N
tale che x ≤ n.
Esempio. Le funzioni continue su R sono un gruppo abeliano reticolare
rispetto alla somma, al sup e all’inf definiti punto a punto, ma non hanno
unità forte.
Se ci si restringe alle funzioni continue e limitate su R, allora la funzione
costatne 1 è un’unità forte.
Da ora in avanti, in un ℓ-gruppo divisibile con unità forte u, scriveremo
n
x x per n m m
e n
m
per n u
m .
Definizione 1.2.3. Un sottogruppo convesso di un gruppo reticolare abeliano
G è un sottogruppo H di G reticolarmente ordinato tale che per ogni y ∈ G
22

e per ogni x ∈ H, se |y| ≤ |x|, allora y ∈ H.
Un sottogruppo convesso di G si dice proprio se non è uguale a G e massimale
se è un elemento massimale nella classe dei sottogruppo convessi propri.
L’insieme di tutti i sottogruppi convessi massimali di G si indica con M(G).
Osserviamo che se G ha un’unità forte, allora M(G) = ∅, quindi se G ha
un’unità forte possiamo definire il radicale di G, indicato da Rad(G), come
intersezione di tutti i suoi sottogruppi convessi massimali.
Oss. Se u è un’unità forte di G, allora
Rad(G) = {x ∈ G : ∀n(n|x| ≤ u} .
Teorema 1.2.1 (Gurevich-Kokorin). Sia φ(x0, . . . , xn) una formula libera
da quantificatori scritta nel linguaggio degli l-gruppi.
Se ∀x0 . . . ∀xnφ(x0, . . . , xn) è vera in R, allora ∀x0 . . . ∀xnφ(x0, . . . , xn) è vera
in ogni l-gruppo abeliano linearmente ordinato.
Definizione 1.2.4. Siano A = (A, f1, . . . , fk) e B = (B, f1, . . . , fk) due
strutture dello stesso tipo.
Diciamo che A si immerge parzialmente in B se per ogni sottoinsieme finito
X ⊆ A esiste un sottoinsieme finito Y ⊆ B e una funzione f : X −→ Y ,
iniettiva e che preserva le operazioni esistenti in X, ossia tale che se
x = fj(x1 . . . , xm) con x1 . . . , xm ∈ X allora λ(x) = fj(λ(1) . . . , λ(xm)).
Come conseguenza del Teorema di Gurevich-Kokorin si ottiene il seguente
enunciato:
Proposizione 1.2.1. Ogni ℓ-gruppo G si immerge parzialmente in R.
23

Dimostrazione. Sia X = {a1, . . . , am} un sottoinsieme finito di G.
Sia φ(x1, . . . , xm) la formula ottenuta dalla congiunzione delle seguenti clau-
sole:
• xi = xy + xz per ogni i, y, z ∈ [m] tale G ai = ay + az
• xi = xy + xz per ogni i, y, z ∈ [m] tale che G ai = ay + az
• xi ≤ xj per ogni i, j ∈ [m] tale che G ai ≤ aj
• xi xj per ogni i, j ∈ [m] tale che G ai aj
Ne segue che la formula
(∃x1, . . . , xm)(φ(x1, . . . , xm))
è soddisfatta in G e di conseguenta la formula
(∀x1, . . . , xm)(¬φ(x1, . . . , xm))
non è verificata in ogni ℓ-gruppo, in particolare ad esempio non vale in G.
Quindi per il Teorema di Gurevich-Kokorin non vale in R; ne segue che
∃b1, . . . , bm ∈ R tali che R φ(b1, . . . , bm). Chiamiamo Y = {b1, . . . , bm} e
definiamo una mappa λ : X −→ Y tale che λ(ai) = bi. Chiaramante λ è
iniettiva e preserva le operazioni ed è quindi è l’immersione cercata.
Oss. L’immersione parziale λ defnita nella precedente dimostrazione rimane
valida se al linguaggio degli ℓ-gruppi aggiungiamo delle operazioni addizionali
che si defniscono con formule aperte e delle operazioni di gruppo e ordine,
ovvero se esiste una formula aperta φ tale che z = F (x1, . . . , xn) si esprima
come φ(x1, . . . , xn, z).
24

1.2.1 L’equivalenza categoriale tra MV-algebre con unità
forte e ℓ-gruppi
Definizione 1.2.5. Sia G un l-gruppo. Per ogni elemento u ∈ G, u ≥ 0
poniamo [0, u] = {x ∈ G| 0 ≤ x ≤ u} e per ogni x, y ∈ G definiamo
x ⊕ y = u ∧ (x + y), ¬x = u − x
Nel caso in cui u è un’unità forte di G, la struttura < [0, u], ⊕, ¬, 0 > viene
indicata con Γ(G, u).
Inoltre sia h un omomorfismo da G in un l-gruppo G ′ con unità forte u ′ tale
che h(u) = u ′ ; definiamo Γ(h) come la restrizione di h a Γ(G, u).
Proposizione 1.2.2. < [0, u], ⊕, ¬, 0 > è una MV-algebra, quindi in parti-
colare Γ(G, u) è una MV-algebra.
Dimostrazione. Sfruttando la Definizione 1.1.3 dobbiamo vedere che Γ(G, u)
soddisfa le equazioni (MV1)-(MV6). Siano x, y, z ∈ [0, u]
(MV1) Da una parte si ottiene
(x⊕y)⊕z = u∧(u∧(x+y)+z) = u∧((z+u)∧(x+y+z)) = u∧(x+y+z)
e dall’altra x ⊕ (y ⊕ z) = u ∧ (x + y + z) ossia (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)
(MV2) x ⊕ y = u ∧ (x + y) = u ∧ (y + x) = y ⊕ x
(MV3) x ⊕ 0 = u ∧ (x + 0) = u ∧ x = x
(MV4) ¬¬x = u − (u − x) = x
(MV5) x ⊕ ¬0 = u ∧ (x + (u − x)) = u = u − 0 = ¬0
25

(MV6)
¬(¬x ⊕ y) ⊕ y = y ⊕ ¬(y ⊕ ¬x) = u ∧ (y + (u − (u ∧ (y + u − x))))
= u ∧ (y + u + (−u ∨ (−y − u + x)))
= u ∧ ((y + u − u) ∨ (y + u − y + x))
= u ∧ ((y + u − u) ∨ (y + u − y − u + x))
= u ∧ (y ∨ x)
e allo stesso modo ¬(¬y ⊕ x) ⊕ x = u ∧ (x ∨ y) quindi
¬(¬x ⊕ y) ⊕ y = ¬(¬y ⊕ x) ⊕ x.
Vale anche il viceversa:
Proposizione 1.2.3. Sia A una MV-algebra. Allora esiste un l-gruppo GA
ed un elemento u ∈ GA, u > 0 tale che A è isomorfa a Γ(GA, u)
Dimostrazione. Vedi [5].
Oss. In realtà nel 1986 Mundici ha dimostrato qualcosa di più, ossia che
è possibile invertire Γ ottenendo un funtore Γ −1 dalla categoria delle MV-
algebre, in cui i morfismi sono gli omomorfismi, alla categoria degli ℓ−gruppi
con unità forte, in cui i morfismi sono gli omomorfismi che conservano l’unità
forte in modo tale che la coppia (Γ, Γ −1 ) sia un’equivalenza di categorie.
Sfruttando il funtore Γ appena introdotto e in modo simile a quanto fatto
nel caso delle MV-algebre, facciamo vedere che ogni ℓ-gruppo G con unità
forte può essere rappresentato come un ℓ-gruppo di funzioni da M(G) in R
continue rispetto alla hull-kernel topology.
26

Osserviamo innanzitutto che i sottogruppi convessi di un ℓ-gruppo G
sono un reticolo rispetto l’inclusione isomorfo al reticolo delle congruenze
di G tramite la mappa Φ che associa ad ogni sottogruppo convesso H la
congruenza
θH
def
= {(x, y) : x − y ∈ H} .
La mappa inversa di Φ è Φ −1 che associa ad ogni congrunza θ di G il
sottogruppo convesso
H = {x ∈ G : (x, 0) ∈ θ} .
Dato un gruppo abeliano reticolare G, un elemento x ∈ G e un sottogrup-
po convesso H di G, indichiamo con G/H e x/H rispettivamente il quoziente
di G e la classe di equivalente di x modulo la conruenza determinata da H.
Anche in questo caso vale la seguente proposizione:
Proposizione 1.2.4. G/H è semplice se e solo se H è massimale.
Se G è un ℓ-gruppo con unità forte, allora G/Rad(G) è semisemplice; inoltre
G è semisemplice se e solo se Rad(G) = {0}.
Definizione 1.2.6. Sia G un ℓ-gruppo semisemplice con unità forte. La
hull-kernel topology su M(G), insieme dei sottogruppi convessi massimali di
G è la più piccola topologia per cui per ogni a ∈ G, l’insieme
è chiuso.
Ca = {H ∈ M(G) : a ∈ H}
Oss. Se G è un ℓ-gruppo semisemplice con untà forte u, allora gli spazi
topologici M(G) e M(Γ(G, u)), con la hull-kernel topology, sono omeomorfi
27

tramite l’omeomorfismo Φ che associa ad ogni H ∈ M(G) il filtro massimale
{u − (|x| ∧ u) : x ∈ H}.
Quindi M(G) è uno spazio di Hausdorff compatto.
Dopo aver identificato per ogni H ∈ M(G), G/H con la sottoalgebra
di R ad esso isomorfa, si ha che ogni ℓ-gruppo semisemplice G con unità
forte può essere rappresentato come un ℓ-gruppo con unità forte di funzioni
continue da uno spazio di Hausdorff compatto M(G) in R, dove le operazioni
di ℓ-gruppo sono definite punto a punto.
1.3 Un Teorema di Rappresentazione per le
MV-algebre
Esempio. Consideriamo l’l-gruppo R =< R, +, −, ≤, 0 > e la sua unità
forte 1. Si ottiene banalmente che l’MV-algebra Γ(R, 1) coincide con la
MV-algebra standard [0, 1]MV =< [0, 1], ⊕, ¬, 0 >
Come corollario del Teorema 1.2.1 si ottiene la seguente proposizione:
Proposizione 1.3.1. Ogni MV-catena A si immerge parzialmente nell’MV-
algebra standard.
Dimostrazione. Diamo solamente un’idea della dimostrazione. Sia A una
MV-catena e sia G l’ℓ-gruppo con unità forte u tale che Γ(G, u) = A. Per
la Proposizione 1.2.1 G si immerge parzialmente nel gruppo linearmente or-
dinato R. Sia λ tale immersione. Si vede facilmente che Γ(R, 1) coincide
con la MV-algebra standard [0, 1]MV =< [0, 1], ⊕, ¬, 0 > e quindi abbiamo
la tesi.
28

Ricordiamo adesso un risultato importante dell’algebra universale indi-
spensabile per arrivare ad un teorema di rappresentazione per MV-algebre.
Definizione 1.3.1. Un’ algebra A è (finitamente) sottodirettamente irridu-
cibile se e solo se per ogni rappresentazione (finita) sottodiretta h : A ↩→
i∈I Ai esiste i ∈ I tale che πi ◦ h è un isomorfismo.
Teorema 1.3.1. Ogni algebra è rappresentabile come prodotto sottodiretto
di algebre sottodirettamente irriducibili.
Dimostrazione. Vedi [3].
Sfruttando questo risultato generale e il fatto che
Lemma 1.3.1. A ∈ MV è finitamente sottodirettamente irriducibile se e
solo se è una catena.
Dimostrazione. Vedi [5]
si ottiene il seguente enunciato per il quale rimandiamo a [4] e [5]:
Teorema 1.3.2 (Teorema di Rappresentazione per MV-algebre, C.Chang).
Ogni MV-algebra è rappresentabile come prodotto sottodiretto di MV-catene.
1.4 Il calcolo proposizionale infinito-valente
di ̷Lukasiewicz
In questo paragrafo presentiamo sintatticamente la logica proposizionale infinito-
valente di ̷Lukasiewicz (̷L), che ammette come valori di verità l’intervallo rea-
le unitario [0,1], e facciamo vedere che le MV-algebre sono la sua semantica
algebrica equivalente.
29

Ricordiamo brevemente che una logica proposizionale è una coppia
L =< L, ⊢L>, dove L è un linguaggio proposizionale comprendente una
quantità numerabile di variabili proposizionale, delle costanti e delle funzioni
di diverse arietà (connettivi primari), e ⊢L è la relazione di dimostrabilità.
Le formule del linguaggio, indicate con F mL, sono la controparte formale del
concetto intuitivo di proposizione e sono costruite induttivamente tramite
l’uso dei connettivi a partire dalle variabili e costanti.
Una valutazione è una funzione che associa ad ogni variabile proposizionale
il suo valore di verità e può essere estesa all’insieme delle formule tramite il
principio della verofunzionalità.
Definizione 1.4.1 (Logica proposizionale infinito-valente ̷L=< ̷L, ⊢ ̷L >, 1930).
Il linguaggio di ̷Lè
̷L =< x0, x1, . . . , ¬, →, [0, 1] >
dove i connettivi primitivi → e ¬ sono definiti come
x → y def
= min{1, 1 − x + y}, ¬x def
= 1 − x.
Un assioma del calcolo proposizionale di ̷Lukasiewicz a infiniti valori è una
formula che può essere scritta in uno dei modi seguenti, dove φ, ψ, χ sono
formule arbitrarie:
(̷L1) φ → (ψ → φ)
(̷L2) (φ → ψ) → (ψ → χ) → (φ → χ))
(̷L3) ((φ → ψ) → ψ) → ((ψ → φ) → φ)
(̷L4) (¬ψ → ¬φ) → (φ → ψ)
30

e l’unica regola di inferenza è il modus ponens.
Sia F m ̷L l’insieme delle formule del linguaggio. Dati Γ∩{φ} ⊆ F m ̷L diremo
che φ deriva da Γ, in simboli Γ ⊢ ̷L φ, se esiste una dimostrazione di φ a
partire da Γ nel calcolo sopra proposto.
Oss. E’ possibile definire dei connettivi derivati &, ∧, ∨ come segue:
x&y def
= ¬(x → ¬y)
x ∨ y def
= (x → y) → y
x ∧ y def
= ¬(¬x ∨ ¬y)
1.4.1 Algebrizzazione di ̷L e Teorema di completezza
rispetto alla classe MV
La cosa di maggiore importanza per poter andare verso l’algebrizzazione di
una logica proposizionale è tenere in considerazione che le formule logiche
di un linguaggio proposizionale possono essere viste come termini di un lin-
guaggio algebrico. Cerchiamo adesso di illustrare il procedimento in modo
generale rimandando per i dettagli a [1].
Ad ogni logica proposizionale L =< L, ⊢> si associa una varietà (o quasi-
varietà) VL il cui linguaggio ha un simbolo di operazione n−ario per ogni
connettivo n-ario di L e un simbolo di costante per ogni simbolo di costante
proposizionale di L. Il connettivo e la corrispondente operazione sono deno-
tati allo statto modo, quindi le L-formule sono identificate con i termini di
VL. Ecco che si può parlare di un’ algebra delle formule
Fm = 〈F mL, < f Fm |f ∈ L >〉.
31

Una valutazione di L in un’algebra A ∈ VL è un omomorfismo dall’algebra
delle L-formule in A.
Definizione 1.4.2. Sia Γ un insieme di formule e φ una formula di L. Di-
ciamo che φ è una conseguenza semantica di Γ in VL (in simboli Γ |=VL φ)
se per ogni valutazione v in un’algebra A ∈ VL, se v(ψ) = 1 per ogni ψ ∈ Γ,
allora v(φ) = 1.
Dato un insieme Σ di equazioni e un’equazione r = s nel linguaggio delle
VL-algebre, diciamo che r = s è una conseguenza semantica di Σ in VL (in
simboli Σ |=VL γ), se per ogni A ∈ VL e per ogni valutazione v in A se
p A (v) = q A (v) per ogni p = q ∈ Σ allora r A (v) = s A (v). Ricordiamo che per
ogni termine t si indica con t A (v) la sua interpretazione.
Siamo ora giunti alla definizione principale:
Definizione 1.4.3. L è algebrizzabile e VL è la sua semantica algebrica equi-
valente se e solo se esistono delle mappe ◦
e ∗ dalle formule di L alle equazioni
di VL e viceversa tali che ponendo per ogni insieme di formule Γ e per ogni
insieme di equazioni Σ
Γ ◦
= ψ ◦
: ψ ∈ Γ , Σ ∗ = {δ ∗ : ∆ ∈ Σ}
per ogni L−formula φ e per ogni equazione γ nel linguaggio di VL valgono le
seguenti condizioni:
1. {φ} ⊢L φ ◦ ∗ , φ ◦ ∗ ⊢L φ, {γ} |=VL γ∗◦
2. Γ ⊢L φ sse Γ |=VL φ sse Γ◦
3. Σ |=VL γ sse Σ∗ |=VL ψ∗ .
|=VL φ◦.
32
e γ ∗◦ |=VL γ.

Oss. Nel caso che stiamo trattando per ogni formula φ, φ ◦
è l’equazione φ = 1,
e per ogni equazione γ della forma t = s nel linguaggio delle VL-algebre, γ ∗
è la formula t ↔ s.
Torniamo adesso al caso particolare e mostriamo come le MV-algebre,
viste ampiamente nelle precedenti sezioni, siano la semantica algebrica equi-
valente della logica di ̷Lukasiewicz infinito-valente sopra sintatticamente pre-
sentata.
Teorema 1.4.1 (Teorema di Completezza). Per ogni Γ ∩ {φ} ⊆ F m ̷L si ha
Γ ⊢ ̷L φ sse Γ MV φ
Dimostrazione. Per quanto riguarda la correttezza ossia
è sufficiente osservare che
se Γ ⊢ ̷L φ allora Γ MV φ
(i) Le MV-algebre soddisfano gli assiomi del calcolo della logica proposizio-
nale ̷L.
(ii) Le MV-algebre soddisfano il modus ponens: sia A ∈ MV e sia e una A-
valutazione. Se e(φ) = 1 A ed e(φ → ψ) = 1 A allora e(ψ) = 1 A perché
in ogni MV-algebra vale 1 → x = x.
Diamo ora un’idea della dimostrazione della completezza, ossia che
Per i dettagli rimandiamo a [5].
se Γ ̷L φ allora Γ ⊢MV φ.
Suddividiamo la dimostrazione in passi:
33

(i) Diciamo che un insieme T ⊆ F m ̷L è una teoria di se è chiuso per ⊢ ̷L
ossia se T ⊢ ̷L φ allora φ ∈ T . Adesso data una teoria T la relazione
Ω(T ) tale che < φ, ψ >∈ Ω(T ) se e solo se T ⊢ ̷L φ ↔ ψ
(ii) Si riesce poi a dimostrare che Ω(T ) è una relazione di equivalenza su
Fm, compatibile con T nel senso che se < φ, ψ >∈ Ω(T ) e φ ∈ T allora
ψ ∈ T . Inoltre Ω(T ) è la più grande relazione di equivalente si Fm
compatibile con T.
(iii) Per ogni formula φ si ha che < φ, 1 >∈ Ω(T ) se e solo se φ ∈ T .
Infatti da una parte se < φ, 1 >∈ Ω(T ) allora si ha T ⊢ ̷L φ ↔ 1 ed in
particolare T ⊢ ̷L 1 → φ; essendo poi T ⊢ ̷L 1 allora per modus ponens
si ottiene T ⊢ ̷L φ ossia φ ∈ T .
Viceversa se φ ∈ T si ha T ⊢ ̷L φ e T ⊢ ̷L 1 → (1 → φ) da cui per modus
ponens T ⊢ ̷L 1 → φ. Allo stesso modo si ottiene T ⊢ ̷L φ → 1 e quindi
< φ, 1 >∈ Ω(T ).
(iv) L’algebra di Lindenbaum-Tarski del calcolo proposizionale infinito-valente
di ̷Lukasiewicz L =< F m ̷L , 0, ⊕, ¬ > è una MV-algebra.
(v) Supponiamo che Γ ̷L φ. Sia T la teoria generata da Γ; allora φ /∈ T .
Consideriamo adesso F m ̷L /Ω(T ) e la F m ̷L /Ω(T )-valutazione e tale
che per ogni formula ψ sia e(ψ) = |ψ|. Osserviamo quindi che si ha
|ψ| = |1| se e solo se ψ ∈ T da cui e[Γ] = 1 e e(φ) = 1 ossia Γ MV φ.
Questo conclude la dimostrazione.
34

Tenendo presente il Teorema di rappresentazione per MV-algebre come
prodotto sottodiretto di MV-catene, si ottiene come conseguenza il seguente
enunciato:
Teorema 1.4.2. Per ogni Γ ∩ {φ} ⊆ F m ̷L si ha
Γ ⊢ ̷L φ sse Γ {MV −catene} φ
1.4.2 Teorema di Completezza finita standard per ̷L
rispetto all’MV-algebra standard [0, 1]MV
Sfruttando il Teorema 1.4.2 e ricordando che per la Proposizione 1.3.1 ogni
MV-catena si immerge nell’MV-algebra standard, è possibile dimostrare que-
sto importante teorema:
Teorema 1.4.3 (Completezza Standard). Sia φ una formula della logica di
̷Lukasiewicz. Allora si ha
⊢ ̷L φ sse [0,1] φ
Dimostrazione. Per quanto riguarda la correttezza è sufficiente verificare che
l’MV-algebra standard soddisfa gli assiomi del calcolo della logica proposi-
zionale ̷Le il modus ponens.
Per quanto riguarda invece la completezza, supponiamo che ̷L φ.
Allora dato che la logica di ̷Lukasiewicz è completa rispetto alle catene, esiste
una MV-catena A e una A-valutazione v tale che v(φ) < 1. Sia X l’insieme
di tutte le valutazioni, sotto v, delle sottoformule di φ più lo 0 e l’1, ossia
X = {v(ψ)|ψ sottoformula di φ} ∪ {0, 1}.
35

Osserviamo adesso che la Proposizione 1.3.1 esistono una funzione
λ : A −→ [0, 1]MV e un insieme Y ⊆ [0, 1]MV tali che
• λ : X −→ Y è 1-1
• λ preserva le operazioni di X
In particolare, il fatto che λ sia una immersione parziale assicura che esista
una valutazione v ′ : V ariabili −→ [0, 1] tale che v ′ (ψ) = λ(v(ψ)) per ogni ψ
sottoformula di φ. In definitiva si ha v ′ (ψ) < 1 ossia [0,1] φ.
Oss. La precedente dimostrazione può essere estesa al caso della Completezza
Finita Standard, ma non al caso di teorie infinite.
Oss. Unendo il Teorema di Completezza e il Teorema di Completezza Stan-
dard si arriva ad un risultato molto utile: una equazione è soddisfatta nell’MV-
algebra standard [0,1] se e solo se è soddisfatta in tutte le MV-algebre. Quindi
non solo [0, 1]MV è una MV-algebra, ma la classe delle MV-algebre è la varietà
generata da [0, 1]MV .
36

Capitolo 2
MV-algebre di Riesz e Spazi
vettoriali di Riesz.
2.1 MV-algebre di Riesz
Definiamo adesso il concetto di MV-algebra di Riesz, che risulta essere una
classe più ampia di eventi rispetto una MV-algebra qualunque perché che
prevede l’esistenza di eventi della forma αφ con α ∈ [0, 1].
Definizione 2.1.1. Una MV-algebra di Riesz su [0,1] è una struttura
A = (A − , fα | α ∈ [0, 1]) dove A − è una MV-algebra e per ogni α ∈ [0, 1], fα
è una operazione unaria su A che soddisfa le seguenti equazioni per ogni
x, y ∈ A e per ogni α, β ∈ [0, 1]
(i) f1(x) = x
(ii) fα⊖β(x) = fα(x) ⊖ fβ(x)
(iii) fα(x ⊖ y) = fα(x) ⊖ fα(y)
(iv) fαβ(x) = fα(fβ(x))
37

Oss. Ricordiamo che x ⊖ y = ¬(¬x ⊕ y) e rappresenta quindi la differenza
fra x e y troncata a 0.
Da ora in avanti per brevità scriveremo αx al posto di fα(x). Dimostriamo
alcune proprietà delle funzioni appena introdotte:
Lemma 2.1.1. Sia A una MV-algebra di Riesz. Per ogni x ∈ A e per ogni
α, β ∈ [0, 1] valgono le seguenti affermazioni:
(i) 0x = α0 = 0
(ii) se β ≤ α, allora βx ≤ αx
(iii) se x ≤ y, allora αx ≤ αx
(iv) se x ⊙ y = 0 allora α(x ⊕ y) = α(x) + α(y)
(v) se α + β ≤ 1 allora (α + β)(x) = α(x) + β(x)
(vi) α(x ∨ y) = (αx) ∨ (αy) e α(x ∧ y) = (αx) ∧ (αy)
Dimostrazione. (i) 0x = (α ⊖ α)x = αx ⊖ αx = 0
α0 = α(x ⊖ x) = (αx) ⊖ (α) = 0
(ii) Ricordando che a ≤ b se e solo se a ⊖ b = 0 si ha
(iii) αx ⊖ αy = α(x ⊖ y) = α0 = 0
βx ⊖ αx = (β ⊖ α)x = 0x = 0
(iv) Se x ⊙ y = 0 allora (x ⊕ y) ⊖ y = x e quindi αx = α(x ⊕ y) ⊖ αy.
Essendo per (ii) α(x ⊕ y) ≥ αy segue che α(x ⊕ y) = α(x) + α(y).
38

(v) Se α + β ≤ 1 allora α = (α ⊕ β) ⊖ β. Quindi αx = (α + β)(x) ⊖ β(x) e
poiché per (ii) β(x) ≤ (α + β)(x) si ha α + β)(x) = α(x) ⊕ β(x)
(vi) Ricordiamo innanzitutto che x ∨ y = x ⊕ (y ⊖ x) ed osserviamo che
x ⊙ (y ⊖ x) = ¬(¬x ⊕ ¬(y ⊖ x)) = ¬(¬x ⊕ ¬¬(¬y ⊕ x)) = 0
A questo punto si ottiene
α(x ∨ y) iv = (αx) ⊕ (α(y ⊖ x)) = (αx) ⊕ ((αy) ⊖ (αx)) = (αx) ∨ αy
Ricordando poi che x ∧ y = x ⊕ (x ⊖ y) e procedendo allo stesso modo
otteniamo
a(x ∧ y) = (αx) ∧ (αy)
Possiamo ottenere un esempio di MV-algebra di Riesz tramite una co-
struzione che sfrutta il prodotto tensoriale.
Definizione 2.1.2. Siano A, B, C MV-algebre. Un bimorfismo da A × B in
C è una mappa β : A × B −→ C che soddisfa le seguenti condizioni. Per
ogni a, a1, a2 ∈ A e per ogni b, b1, b2 ∈ B:
1. β(1, 1) = 1
2. β(0, b) = β(a, 0) = 0
3. f(x) = β(a, x) e g(y) = β(y, b) sono omomorfismi reticolari da A in C
e da B in C rispettivamnte.
4. Se a1 ⊙ a2 = 0, allora β(a1 ⊕ a2, b) = β(a1, b) ⊕ β(a2, b).
Se b1 ⊙ b2 = 0, allora β(a, b1 ⊕ b2) = β(a, b1) ⊕ β(a, b2).
39

Il prodotto tensoriale di due MV-algebre A and B è una MV-algebra (della
quale si dimostra l’esistenza e l’unicità a meno di isomorfismo) A ⊗ B con la
seguente proprietà:
C’è un bimorfismo x ⊗ y : A × B −→ A ⊗ B tale che per ogni bimorfismo
β : A × B −→ C, con C MV-algebra, esiste un unico omomorfismo
h : A⊗B −→ C tale che per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B, h(a⊗b) = β(a, b).
Teorema 2.1.1. Data una MV-algebra A, il prodotto tensore [0, 1]MV ⊗ A è
una MV-algebra di Riesz se si considerano le operazioni α(β ⊗x) = (αβ)⊗x.
Dimostrazione. Gli assiomi delle MV-algebre di Riesz possono essere verifi-
cati in [0, 1]MV ⊗ A tramite una computazione.
2.2 Spazi vettoriali di Riesz
Definizione 2.2.1. Uno spazio vettoriale di Riesz sui reali (per brevità
spazio di Riesz) è una struttura (V, +, −, 0, ∨, ∧, gα| α ∈ R) che rispetta
le seguenti condizioni:
(i) V − = (V, +, −, 0, ∨, ∧) è un gruppo abeliano reticolare
(ii) se definiamo la moltiplicazione scalare ◦ per α come α ◦ v def
= gα(v),
allora (V, +, −, 0, gα| α ∈ R) è uno spazio vettoriale su R.
Un elemento positivo u di uno spazio di Riesz si dice unità forte se per ogni
v ∈ V c’è un intero positivo n tale che |v| ≤ nu, dove |v| = v ∨ (−v).
Da ora in poi per brevità scriveremo αv al posto di gα(v).
Enunciamo adesso un Lemma che risulterà molto utile in seguito:
40

Lemma 2.2.1. Uno spazio di Riesz e il suo gruppo abeliano reticolare sog-
giacente hanno le stesse congruenze. Quindi il reticolo delle congruenze di
uno spazio di Riesz è isomorfo al reticolo dei suoi sottogruppi convessi.
Dimostrazione. Banalmente una congruenza dello spazio di Riesz V è una
congruenza del gruppo abeliano reticolare V − .
Viceversa, sia θ una congruenza del gruppo abeliano reticolare V − di uno
spazio di Riesz V, e sia H = {x ∈ V : (x, 0) ∈ θ} il sottogrppo convesso
ad essa associato. Dobbiamo dimostrare che se (x, y) ∈ θ e α ∈ R, allora
(αx, αy) ∈ θ, o equivalentemente che se z = x−y ∈ H, allora αz = αx−αy ∈
H.
Sia n un intero positivo tale che n > |α|. Allora nz ∈ H, e |αz| ≤ n|z|.
Poiché H è convesso, αz ∈ H.
Teorema 2.2.1. L’equivalenza tra MV-algebre e gruppi abeliani reticolari
con unità forte data dai funtori di Mundici Γ e Γ −1 si estende ad una equi-
valenza tra la categoia delle MV-algebre di Riesz e la categoria degli spazio
di Riesz con unità forte u, infatti:
(i) Supponiamo che (V, +, −, 0, ∨, ∧, gα| α ∈ R) sia uno spazio vettoriale
di Riesz e che u sia un’unità forte di V − . Allora Γ(V − , u) è una
MV-algebra di Riesz rispetto alle restrizioni all’intervallo [0,u] delle
operazioni {gα| α ∈ R}.
(ii) Viceversa supponniamo che A = (A − , fα |α ∈ [0, 1]) sia una MV-algebra
di Riesz. Allora Γ −1 (A − ) può essere esteso in modo unico ad uno spa-
zio vettoriale di Riesz tale che per ogni α ∈ [0, 1] le restrizioni di gα,
moltiplicazione scalare per α, a [0,u] coincidono con fα.
41

Prima di iniziare la dimostrazione di questo importante teorema enuncia-
mo il seguente lemma:
Lemma 2.2.2. Sia G un gruppo abeliano reticolare divisibile con unità forte
u. Allora per ogni x ∈ G ci sono un numero naturale n ed elementi a, b ∈
Γ(G, u) tali che a ∧ b = 0 e x = na − nb.
Dimostrazione. Osserviamo che x + ∧ x − = 0. Poiché u è unità forte di G,
esiste un n tale che |x| ≤ nu; ricordando che x = x + − x − si vede che a = x+
n
e b = x−
n
sono gli elementi cercati.
Siamo ora in grado di procedere alla dimostrazione del Teorema 2.2.1.
Dimostrazione. (i) Per il Teorema 1.2.5 sappiamo che Γ(V − , u) è una MV-
algebra ed è facile far vedere che le restrizioni di gα a [0,u] rispettano
gli assiomi delle MV-algebre di Riesz.
(ii) Sia A = (A − , fα | α ∈ [0, 1]) una MV-algebra di Riesz. Chiaramente
le operazioni f 1
n
: n ∈ ω rendono A una MV-algebra divisibile, quindi
Γ −1 (A) è un gruppo abeliano reticolare divisibile. A questo punto ci
rimane da definire le operazioni gα : α ∈ R. Ricordiamo che per il
Lemma 2.2.2 per ogni x ∈ Γ −1 (A) ci sono un numero naturale n ed
elementi a, b ∈ A tali che a ∧ b = 0 e x = na − nb. Sia α ∈ R ed m ∈ ω
tale che m ≥ |α|.
Se α ≥ 0 allora α
m
∈ [0, 1] e in questo caso poniamo
gα(x) def
= mn(f α
m (a) − f α
m (b))
Se α < 0 sia β = −α e poniamo invece
gα(x) def
= mn(f β (b) − f β (a)).
m
m
42

Osserviamo per prima cosa che le gα sono ben definite.
Se x = n ′ a ′ − n ′ b ′ con a ′ , b ′ ∈ A e a ′ ∧ b ′ = 0 si ha x + = na = n ′ a ′
e x − = nb = n ′ b ′ ; infatti in R se x = y − z con y ∧ z = 0 allora
y = x + e z = x − , quindi poiché R genera la varietà dei gruppi abeliano
reticolari come quasivarietà, tali uguaglianze sono vere in tutti i gruppi
abeliani reticolari ed in particolare in Γ −1 (A). Supponiamo adesso che
m ′ ≥ |α|; se α ≥ 0
m ′ n ′ (f α
m ′ (a′ ) − f α
m ′ (b′ )) = m ′ n ′ mn(f α
m ′ n ′ m (a) − f α
m ′ n ′ m (b))
= (f α
m (a) − f α
m (b))
se invece α < 0 ponendo β = −α otteniamo
m ′ n ′ (f β
m ′ (b′ ) − f β
m ′ (a′ )) = m ′ n ′ mn(f β
m ′ n ′ (b) − f β
m
m ′ n ′ (a))
m
= (f β (b) − f β (a))
m
m
E’ facile verificare che le operazioni gα : α ∈ R rendono Γ −1 (A) uno
spazio di Riesz.
Inoltre si verifica che per ogni γ ∈ [0, 1], fγ è la restrizione di gγ ad A.
Infatti se x ∈ A possiamo scrivere x = na − nb con n = 1, a = x e b = 0
ed inoltre se γ ∈ [0, 1] possiamo scegliere m = 1 quindi si ottiene:
gγ(x) = (1 · 1)(f γ
1
(x) − f γ (0)) = fγ(x).
1
Come ultima cosa dimostriamo che le operazioni gα : α ∈ ω sono
determinate in modo unico dalle operazioni fγ : γ ∈ [0, 1].
Supponiamo α ≥ 0. Se m ≥ α e x = na − nb con a, b ∈ A e a ∧ b = 0,
poiché per γ ∈ [0, 1] fγ e gγ coincidono su A, si ha g α
m (a) = f α (a) e
m
43

g α
m (b) = fg α
m (a) α (b) e quindi:
m
gα(x) = mn(g α
m (a)) − g α
m (b) = mn(f α
m (a)) − f α (b) = fα(x)
m
Supponiamo invece che α < 0. Se poniamo β = −α e se m ≥ β
e x = na − nb con a, b ∈ A e a ∧ b = 0 si ha g β (a) = f β (a) e
m
m
g β (b) = fg β (a) β (b) e quindi:
m
m m
gα(x) = mn(g β (b)) − g β (a) = mn(f β (b)) − f β (a) = fα(x)
m
m
m
m
ossia le operazioni gα : α ∈ R sono determinate in modo univoco dalle
operazioni fγ : γ ∈ [0, 1]. Questo conclude la dimostrazione.
2.2.1 Il Teorema di Hahn-Banach per spazi di Riesz
Definizione 2.2.2. Sia V uno spazio di Riesz con unità forte u. Un funzio-
nale su V è una mappa da V in R. Un funzionale f si dice:
-subadditivo se per ogni v, w ∈ V, f(v + w) ≤ f(v) + f(w).
-superadditivo se per ogni v, w ∈ V, f(v + w) ≥ f(v) + f(w).
-omogeneo se per ogni α ∈ R e per ogni v ∈ V, se α ≥ 0, allora f(αv) =
αf(v).
-sublineare se è subadditivo e omogeneo.
-superlineare se è superadditivo e omogeneo.
-lineare se è sublineare e superlineare.
-monotono se per ogni v, w ∈ V, se v ≤ w, allora f(v) ≤ f(w).
-normalizzato se f(u) = 1.
44

-debolmente additivo se per ogni costante α ∈ R per ogni v ∈ V, si ha:
f(v + α) = f(v) + α.
Oss. Un funzionale lineare f è monotono se e solo se per ogni v ≥ 0, f(v) ≥ 0.
Lemma 2.2.3. Sia V uno spazio di Riesz con unità forte u e sia f un
funzionale sublineare, monotono e normalizzato su V.
Per ogni v, w ∈ V, se v − w ∈ Rad(V), allora f(v) = f(w). Quindi ponendo
per ogni v ∈ V,
f ′
(v/Rad(V)) def
= f(v)
si ha che f ′ è ben definito ed è un funzionale sublineare, monotono e norma-
lizzato sullo spazio di Riesz semisemplice V/Rad(V). Di più, f è debolmente
additivo se e solo se f ′ è debolmente additivo, e f è lineare se e solo se f ′ è
lineare.
Dimostrazione. Chiaramente si ha f(|v − w|) ≥ 0, perché f(0) = 0 e f è
monotono. Supponiamo che f(|v − w|) > 0. Allora per qualche numero
naturale n, f(n|v − w|) = nf(|v − w|) > 1 = f(u). Ma questo è impossibile
perché n|v − w| ≤ u e f è monotona. Quindi f(|v − w|) = 0.
Ora, poiché v−w ≤ |v−w|, si ha f(v−w) ≤ 0. Allora si ottiene f(v) = f(v−
w+w) ≤ f(v−w)+f(w) ≤ f(w) e in modo simmetrico f(w) ≤ f(v). Quindi,
f(v) = f(w). Le altre affermazioni sono immediate da dimostrare.
Corollario 2.2.2. Sia V uno spazio di Riesz con unità forte u, e sia g una
funzione da un sottoinsieme X di V in R. Le seguenti sono equivalenti:
1. Esiste un funzionale f sublineare (risp. lineare), monotono, norma-
lizzato e debolmente additivo su V tale che per ogni x ∈ X, f(x) =
g(x).
45

2. Esiste un funzionale f ′ su V/Rad(V) sublineare (risp. lineare),monotono,
normalizzato e debolmente additivo e tale che per ogni x ∈ X, f ′ (x/Rad(V)) =
g(x).
Enunciamo adesso un teorema sullo stile di quello di Hahn-Banach per
gli spazi di Riesz che risulterà fondamentale in seguito nel tentativo di dare
una rappresentazione alle probabilità superiori.
Teorema 2.2.3 (Teorema di Hahn-Banach per spazi vettoriali di Riesz). Sia
V = (V, +, −, 0, 1, ∨, ∧, gα : α ∈ R) uno spazio vettoriale reticolare ordinato
e sia u una unità forte del gruppo abeliano reticolare (V, +, −, 0, 1, ∨, ∧); sia
U un sottospazio di V (non necessariamente una sua sottoalgebra) tale che
u ∈ U. Sia Ψ un funzionale normale sublineare che preserva l’ordine definito
su V e Φ un funzionale lineare che preserva l’ordine definito su U e tale che
per ogni w ∈ U si abbia Φ(w) ≤ Ψ(w).
Allora esiste un funzionale normale lineare Λ che preserva l’ordine, definito
su V tale che
(i) Λ estende Φ
(ii) per ogni v ∈ V, Λ(v) ≤ Ψ(v)
Dimostrazione. Per il Lemma di Zorn, esiste un sottospazio vettoriale mas-
simale Y ⊆ V tale che W ⊆ Y e per cui esiste un funzionale lineare che
preserva l’ordine Λ su Y che soddisfa le condizioni (i) e (ii) per ogni y ∈ Y .
Dimostreremo adesso che Y = V e conseguentemente che Λ è l’estensione
cercata.
Supponiamo per assurdo che Y ⊂ V e sia x0 ∈ Y \V . Allora essendo
46

x0 = x + 0 − x − 0 si ha che o x + 0 /∈ Y oppure x − 0 /∈ Y ; quindi senza perdita
di generalità possiamo assumere che x0 > 0. Sia Y ′ lo spazio vettoriale gene-
rato da Y ∪ {x0}; allora ogni elemento y ′ ∈ Y ′ sarà della forma y ′ = y + αx0
con y ∈ Y e α ∈ R.
Cerchiamo adesso un operatore lineare Λ ′ su Y ′ che preserva l’ordine e sod-
disfa le condizioni (i) e (ii) per ogni y ′ ∈ Y ′ , ed osserviamo che questo con-
traddirrebbe la massimalità di Y .
Il funzionale Λ ′ cercato deve soddisfare le seguenti condizioni:
1. Per ogni y ∈ Y e per ogni α ∈ R dovrà essere
Λ ′ (y + αx0) = Λ(y) + αΛ ′ (x0) ≤ Ψ(y + αx0)
2. se y + αx0 ≥ 0 allora Λ(y) + Λ(αx0) ≥ 0.
Sia w = y
α
rispettivamente:
se α > 0 e w = y
−α
se α < 0; allora la condizione (1) diventa
(1a) Per ogni w ∈ Y si ha Λ(w) + Λ ′ (x0) ≤ Ψ(w + x0)
(1b) Per ogni w ∈ Y si ha Λ(w) − Λ ′ (x0) ≤ Ψ(w − x0)
Invece ponendo w = y
, se α > 0 la condizione (2) diventa
−α
(2a) Per ogni w ∈ Y se w ≤ x0 allora Λ(w) ≤ Λ ′ (x0)
mentre se α < 0 diventa
(2b) Per ogni w ∈ Y se w ≥ x0 allora Λ(w) ≥ Λ ′ (x0)
Per quanto riguarda (1a) e (1b) è sufficiente prendere Λ ′ (x0) tale che
(1’) sup z∈Y (Λ(z) − Ψ(z − x0)) ≤ Λ ′ (x0) ≤ infy∈Y (Ψ(y + x0)) − Λ(y)
47

mentre per quanto riguarda (2a) e (2b) è sufficiente prendere Λ ′ (x0) tale che
(2’) sup z∈Y ;z≤x0 Λ(z) ≤ Λ′ (x0) ≤ infw∈Y ;w≥x0 Λ(w).
Ci rimane adesso da dimostrare che esiste un numero reale Λ ′ (x0) che soddisfa
la (1’) e la (2’). Sia a = sup z∈Y (Λ(z)−Ψ(z−x0)), b = infy∈Y (Ψ(y+x0))−Λ(y),
c = sup z∈Y ;z≤x0 Λ(z) e d = infw∈Y ;w≥x0 Λ(w). Chiaramente si ha c ≤ d; quindi
è sufficiente dimostrare che a ≤ b, a ≤ d, c ≤ b, ossia dobbiamo dimostrare
che per ogni x, y, z, w ∈ Y se z ≤ x0 ≤ w allora
(a) Λ(x) − Ψ(x − x0) ≤ Ψ(y − x0) − Λ(y)
(b) Λ(z) ≤ Ψ(y − x0) ≤ −Λ(y)
(c) Λ(x) − Ψ(x − x0) ≤ Λ(w)
La (a) si riduce a Λ(x) + Λ(y) ≤ Ψ(y + x0) + Ψ(x − x0) che è vera perché
Λ(x)+Λ(y) = Λ(x−x0 +y+x0) ≤ Ψ(y+x0 +x−x0) ≤ Ψ(y+x0)+Ψ(x−x0).
La (b) vale perché Λ(z) = Λ(y + z) − Λ(y) ≤ Ψ(y + x0) − Λ(y)
e la (c) perché Λ(w) = Λ(x−(x−w)) ≥ Λ(x)−Ψ(x−w) ≥ Λ(x)−Ψ(x−x0).
Quanto provato fino adesso ci dice che possiamo estendere Λ ad un funzionale
lineare Λ ′ definito su una estensione propria Y ′ di Y ′ e questo contradice la
massialità di Y .
48

Capitolo 3
Probabilità imprecise ed
insiemi chiusi e convessi di
stati.
3.1 Stati per MV-algebre
Richiamiamo brevemente il concetto di stato introdotto da Mundici in [13] e
alcune sue importanti proprietà.
Definizione 3.1.1. Data una MV-algebra A uno stato su A è una funzione
P : A −→ [0, 1] che soddisfa le seguenti proprietà:
1. P (1) = 1
2. Se x ⊙ y = 0 allora P (x ⊕ y) = P (x) + P (y)
Oss. Ricordiamo che per quanto visto nel Capitolo 1, ogni evento, ossia ogni
elemento di una MV-algebra, può essere considerato una funzione continua
da uno spazio compatto di Hausdorff X in R, dove X è l’insieme di tutte le
valutazioni in [0, 1]MV dotato della hull-kernel topology.
49

In particolare poiché ad ogni elemento x ∈ X corrisponde un filtro massimale
della MV-algebra A, associamo ad ogni elemento a ∈ A la funzione
φa(x) def
= x(a), x ∈ X.
dove x(a) è la classe di equivalenza di a modulo x per ogni a ∈ A e per ogni
x ∈ M(A).
Quanto dimostrato da Panti in [14], ci permette di vedere gli stati co-
me integrali delle funzioni di verità degli eventi rispetto ad una misura di
probabilità µ su X, ossia uno stato P : A −→ [0, 1] è tale che
P (a) =
X
φadµ.
Osserviamo a questo punto che nel caso classico le funzioni di verità variano
in {0, 1}, pertanto si ottengono integrali di funzioni caratteristiche, ossia
misure di probabilità. E’ qundi pienamente giustificata l’idea di riferirsi agli
stati come ad una generalizzazione del concetto di probabilità nel caso di
eventi a più valori.
Proposizione 3.1.1. Sia P uno stato su una MV-algebra A. Allora si ha:
(i) P (x) + P (y) = P (x ⊕ y) + P (x ⊙ y) per ogni x, y ∈ A
(ii) P è monotono ossia se x ≤ y allora P (x) ≤ P (y)
(iii) P (¬x) = 1 − P (x)
Dimostrazione. (i) Consideriamo le seguenti identità:
x = ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) ⊕ (x ⊙ y); ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) ⊕ (x ⊙ y) = 0
50

y = ((x ⊕ y) ⊙ ¬x) ⊕ (x ⊙ y); ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) ⊕ (x ⊙ y) = 0
((x ⊕ y) ⊙ ¬y) ⊙ ((x ⊕ y) ⊙ ¬x = 0
((x ⊕ y) ⊙ ¬y ⊕ (x ⊕ y) ⊙ ¬x) ⊙ x ⊙ y = 0
(x ⊕ y) ⊙ ¬y ⊕ (x ⊕ y) ⊙ ¬x ⊕ x ⊙ y = 0
Dividendo i casi x + y < 1 e x + y ≥ 1, si può facilmente verificare che
queste identità valgono per la MV-algebra [0,1]; quindi per il Teorema
di completezza, valgono in ogni MV-algebra ed in particolare in A.
Utilizzando la prima e la seconda e tenendo presente la definizione di
stato si ottiene
P (x) = P ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) + P (x ⊙ y), P (y) = P ((x ⊕ y) ⊙ ¬x) + P (x ⊙ y)
da cui otteniamo
P (x) + P (y) = P ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) + P ((x ⊕ y) ⊙ ¬x) + P (x ⊙ y) + P (x ⊙ y)
(eq3)
= P ((x ⊕ y) ⊙ ¬y ⊕ (x ⊕ y) ⊙ ¬x) + P (x ⊙ y) + P (x ⊙ y)
(eq4)
= P ((x ⊕ y) ⊙ ¬y ⊕ (x ⊕ y) ⊙ ¬x ⊕ x ⊙ y) + P (x ⊙ y)
(eq5)
= P (x ⊕ y) + P (x ⊙ y)
(ii) Supponiamo che x ≤ y e sia z = ¬x ⊙ y. Allora si hanno le seguenti
uguaglianze
x ⊙ z = x ⊙ ¬x ⊙ y = ¬(¬x ⊕ x) ⊙ y = 0
x ⊕ z = x ⊕ (¬x ⊙ y) = x ⊕ ¬(x ⊕ ¬y)
dalla quali segue facilmente che
(MV 6)
= ¬(¬x ⊕ y) ⊕ y = ¬1 ⊕ y = y
P (y) = P (x ⊕ z) = P (x) + P (y) ≥ P (x)
51

(iii) Osserviamo che x ⊕ ¬x = 1, x ⊙ ¬x = 0. Per definizione di stato si ha
quindi:
da cui P (x) = 1 − P (¬x)
1 = P (x ⊕ ¬x) = P (x) + P (¬x)
Oss. Sfruttando la (iii) della proposizione precedente si ottiene facilmente
che dato una stato P si ha P (0) = 0.
3.2 Probabilità superiori per MV-algebre di
Riesz
Andiamo adesso ad introdurre il concetto di probabilità superiori su una
MV-algebra di Riesz, dove dato un evento φ e un numero reale α ∈ [0, 1], si
assume l’esistenza di un evento denotato con αφ tale che per ogni valutazione
v si ha v(αφ) = αv(φ).
Definizione 3.2.1. Data una MV-algebra di Riesz A, una probabilità supe-
riore su A è una funzione P + : A −→ [0, 1] che ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ [0, 1] soddisfa
i seguenti assiomi:
(Ax1) P + è monotona, ossia se x ≤ y allora P + (x) ≤ P + (y)
(Ax2) P + (1) = 1
(Ax3) P + (αx) = αP + (x)
(Ax4) Se x ⊙ y = 0 allora P + (x ⊕ y) ≤ P + (x) + P + (y)
52

(Ax5) Se α ⊙ x = 0 allora P + (α ⊕ x) = α + P + (x)
Lemma 3.2.1. Sia P + una probabilità superiore su una MV-algebra di Riesz
A, allora valgono le seguenti affermazioni:
(i) P + (0) = 0
(ii) P + (¬x) ≥ 1 − P + (x)
Dimostrazione. (i) P + (0) = P + (0x) = 0P + (x) = 0
(ii) Poiché x ⊙ ¬x = 0 e x ⊕ ¬x = 1 si ha
1 = P + (x ⊕ ¬x) ≤ P + (x) ⊕ P + (¬x)
da cui si ottiene P + (¬x) ≥ 1 − P + (x).
Enunciamo adesso un risultato fondamentale che ci permetterà di fare
riferimento a funzionali sublineari, normalizzati, monotoni e debolmente ad-
ditivi su spazi di Riesz con unità forte anzichè a probabilità superiori su
MV-algebre di Riesz, e a funzionali lineari, normalizzati e monotoni anzichè
a stati.
Ricordiamo innanzitutto che per il Teorema 2.2.1 l’equivalenza tra MV-
algebre e gruppi abeliani reticolari con unità forte data dai funtori di Mundici
Γ e Γ −1 si estende ad una equivalenza tra la categoia delle MV-algebre di
Riesz e la categoria degli spazi di Riesz con unità forte u.
Teorema 3.2.1. Sia V uno spazio di Riesz con unità forte u.
53

• Per ogni funzionale f su V normalizzato, monotono, sublineare e de-
bolmente additivo sia Φ(f) la restrizione di f a Γ(V, u).
• Per ogni probabilità superiore P + su Γ(V, u), definiamo una mappa
Ψ(P + ) su V come segue:
(Ψ(P + ))(v) def
= 2n P +
v
2n
u
+ −
2
1
,
2
dove v ∈ V, ed n è un intero positivo tale che |v| ≤ nu, in modo tale
che v u + 2n 2
∈ Γ(V, u).
Allora valgono le seguenti affermazioni:
(i) Φ(f) è una probabilità superiore. Di più,se f è lineare allora Φ(f) è uno
stato.
(ii) Ψ(P + ) è ben definito ed è un funzionale sublineare, monotono, norma-
lizzato e debolmente additivo. Di più, se P + è uno stato, allora Ψ(P + )
è lineare.
(iii) Φ e Ψ sono biiezioni mutualmente inverse.
Dimostrazione. (i). Se v, w ∈ Γ(V, u) e v ⊙ w = 0, allora v ⊕ w = v + w.
Questo ci permette di ottenere (Ax4) e (Ax5) della probabilità superiore. Le
altre proprietà si verificano facilmente tramite conti.
Da ultimo se f è lineare e v⊙w = 0, allora f(v⊕w) = f(v+w) = f(v)+f(w).
Quindi la restrizione di f a [0, u] è uno stato su Γ(V, u). (ii). Come prima
cosa dimostriamo che Ψ è ben definita, ossia se |v| ≤ nu e |v| ≤ mu, allora
2n P +
v u 1
+ + − = 2m P 2n 2 2
v u 1 + − . Senza perdita di generalità
2m 2 2
54

possiamo supperre che n ≤ m. Essendo n
m
2n P +
v
2n
≤ 1 si ha
u
+ −
2
1
= 2m P
2
+
v
2m
nu
+ −
2m
n
2m
⊙ u
2
nu − = 2m
Ora poiché nu v u nu v u
+ + − = + 2m 2m 2 2m 2m 2 ≤ u si ottiene nu v + 2m 2m
0, da cui
nu v u nu v u
+ ⊕ − = + . Quindi si ha
2m 2m 2 2m 2m 2
P +
v u
+ = P
2m 2
+
nu v
u nu
+ ⊕ − = P
2m 2m 2 2m
+
nu v
+ +
2m 2m
1 n
−
2 2m .
Ma se P +
v u 1 + − 2n 2 2 = P +
v nu n + − allora Ψ è ben definita.
2m 2m 2m
Chiaramente si ha Ψ(P + )(u) = 1, e quindi Ψ(P + ) è normalizata.
Dimostriamo adesso che Ψ(P ∗ ) è monotona. Supponiamo v ≤ w e sia n tale
che |v| ≤ nu e |w| ≤ nu.
Allora v
2n
+ u
2
Ψ(P + )(v) = 2n
≤ w
2n
+ u
2
P +
v
2n
e per la monotonicità di P + ,
u
+ −
2
1
2
≤ 2n P +
w
2n
u
+ −
2
1
= Ψ(P
2
+ (w)).
Facciamo vedere che Ψ(P + ) è omogenea. Sia α > 0, e sia n tale che |v| ≤
nu e α ≤ n. Allora, α|v| ≤ n2 , Ψ(P ∗ )(αv) = 2n2 P ∗ αv
2n2 + u
1 − e
2 2
αΨ(P ∗ )(v) = α · 2n P ∗
v u 1
α
+ − . Poiché ≤ 1, si dimostra che
2n 2 2
n
nP ∗
αv u
+ −
2n2 2
n
∗ v u
= αP + −
2 2n 2
α
2 ,
o, equivalentemente che P ∗ αv
2n2 + u
1 α − = 2 2 nP ∗
v u α + − da cui segue
2n 2 2n
l’omogeneità di Ψ(P + ).
Dimostriamo adesso che Ψ(P + ) è subadditiva. Siano v, w ∈ V, e sia n tale
che |v| ≤ nu e |w| ≤ nu. Allora, |v + w| ≤ 2nu. Si ha quindi
Ψ(P + )(v + w) =
4n P +
v + w u
+ −
4n 2
1
2
55

= 4n P +
v u
w u
+ + + −
4n 4 4n 4
1
2
≤ 4n P +
v u
+ + P
4n 4
+
w u
+ −
4n 4
1
2
= 2n P +
v u
+ + P
2n 2
+
w u
+ − 1
2n 2
= Ψ(P + )(v) + Ψ(P ∗ )(w).
Di più, se w = αu è una costante allora
Ψ(P + )(v + w) =
4n P +
v u
αu u
+ + + −
4n 4 4n 4
1
=
2
4n P +
v u
1 α
+ + + −
4n 4 4 4n
1
2
= Ψ(P + )(v) + Ψ(P + )(w).
Per concludere la dimostrazione del punto (ii), rimane da dimostrare che se
P + è uno stato, allora Ψ(P + ) è lineare. Assumiamo che |v| ≤ nu e |w| ≤ nu,
si ottiene:
Ψ(P + )(v + w) =
4n P ∗
v u
w u
+ + + −
4n 4 4n 4
1
=
2
4n P +
v u
+ + P
4n 4
+
w u
+ −
4n 4
1
=
2
2n P +
v u
+ + P
2n 2
+
w u
+ − 1
2n 2
= Ψ(P + )(v) + Ψ(P + )(w).
(iii). Per dimostrare il punto (iii), dobbiamo solo far vedere che ogni
probabilità superiore P ammette una sola estensione ad un funzionale subli-
neare, monotono,normalizzato e debolmente additivo. Sia f tale estensione,
sia v ∈ V, ed n tale che |v| ≤ nu. Allora, v = 2n
v u u + − , da cui
2n 2 2
f(v) = 2n f
v u u
+ + − f = 2n P 2n 2 2
v u 1 + − .
2n 2 2
56

3.3 Un Teorema di Rappresentazione per le
Probabilità superiori
Il Teorema3.2.1 ci permette di fare ricorso a risultati di analisi funzionale per
dimostrare che è possibile rappresentare una probabilità superiore come mas-
simo di un insieme di stati convesso e chiuso rispetto alla topologia debole*
che in seguito definiremo.
Introduciamo adesso brevemente i concetti fondamentali a cui faremo
ricorso.
3.3.1 Il Teorema di Hahn-Banach
Definizione 3.3.1. Ricordiamo che uno spazio normato (su R) è una coppia
(X, · ) dove X è uno spazio vettoriale su R e · : X −→ [0, +∞) è una
funzione detta norma che gode delle seguenti proprietà:
1. x = 0 ⇐⇒ x = 0
2. λx = |λ|x, ∀λ ∈ R, x ∈ X
3. x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ X.
Una norma su X induce sempre una metrica
e pertanto definisce una topologia.
d(x, y) = x − y
Esempio. (R n , x), dove x = ( n
i=1 x2 i ) 1
2 è uno spazio normato. Osser-
viamo che tale norma induce la metrica euclidea ed è pertanto detta norma
euclidea.
57

Esempio. Sia Ω ⊆ R n . La funzione
f∞ = sup |f(x)|
x∈Ω
è un norma nello spazio delle funzioni limitate su Ω e nello spazio delle
funzioni continue a supporto compatto Cc(Ω).
Definizione 3.3.2. Sia (X, · ) uno spazio vettoriale normato. Definiamo
X ∗ , spazio duale di X, come l’insieme di tutti i funzionali lineari f : X −→ R
continui quando su X si considera la topologia indotta dalla norma. X ∗ è
munito della norma duale così definita:
fX ∗ = sup{|f(x)|
x
: x ∈ X, x = 0}.
Se f < ∞, f viene detta trasformazione lineare limitata.
Oss. In realtà possiamo limitarci a considerare i vettori x tali che x ≤ 1 e
dire che
fX ∗ = sup{|f(x)| : x ∈ X, x ≤ 1}
perché essendo f lineare, ed in particolare omogenea, si ha
|f(αx)| = |αf(x)| = |α||f(x)|.
Teorema 3.3.1 (Hahn-Banach, forma analitica). Sia X uno spazio vettoriale
normato ed M un sottospazio di X (cioè un sottoinsieme di X chiuso rispetto
alla somma e al prodotto per uno scalare). Sia p : X −→ R un funzionale
sublineare e sia g : M −→ R un’applicazione lineare tale che g(x) ≤ p(x) per
ogni x ∈ M.
Allora esiste un funzionale lineare f definitp su X tale che:
58

1. g(x) = f(x) per ogni x ∈ M, ossia f prolunga g.
2. f(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ X.
Dimostrazione. Per la dimostrazione si rimanda a [2].
In seguito ci tornerà utile anche una forma geometrica del teorema di
Hahn-Banach equivalente a quella analitica appena enunciata.
Cominciamo con alcune definizioni preliminari:
Definizione 3.3.3. Sia X uno spazio vettoriale normato. Un iperpiano è un
insieme della forma
H = {x ∈ X : f(x) = α},
dove f è una forma lineare su X non identicamente nulla e α ∈ R. Si dice
che H è l’iperpiano di equazione f = α.
Siano A, B ⊆ X. Diciamo che l’iperpiano H di equazione f = α separa in
senso largo A e B se risulta
f(x) ≤ α ∀x ∈ A e f(x) ≥ α ∀x ∈ b.
Diciamo che H separa in senso stretto A e B in senso largo se esiste ɛ > 0
tale che:
f(x) ≤ α − ɛ ∀x ∈ A e f(x) ≥ α + ɛ ∀x ∈ b.
Definizione 3.3.4. Sia X spazio vettorale normato. Un insieme A ⊆ X è
convesso se
tx + (1 − t)y ∈ A, ∀x, y ∈ A ∀t ∈ [0, 1]
Teorema 3.3.2 (Hahn-Banach, forma geometrica). Siano X spazio normato
e A, B ⊆ X due insiemi convessi, non vuoti e disgiunti. Supponiamo che A
59

sia chiuso e B sia compatto. Allora esiste un iperpiano chiuso che separa A
e B in senso stretto
Dimostrazione. Per la dimostrazione si rimanda a [2].
Oss. Ricordiamo che l’iperpiano di equazione f = α è chiuso se e solo se f è
continua.
3.3.2 Spazi di Banach
Definizione 3.3.5. Sia (X, d) uno spazio metrico. Una successione (xn) di
elementi di X si dice di Cauchy se per ogni ɛ > 0 esiste nɛ ∈ N tale che
d(xn, xm) < ɛ, ∀n, m > nɛ.
Si dimostra facilmente che ogni successione convergente è anche di Cau-
chy. Il viceversa non è vero, in generale. Per esempio è falso in Q come
sottospazio topologico di R con la metrica euclidea. Quello che comunque si
riesce a dimostrare in generale è che ogni successione di Cauchy è limitata.
Definizione 3.3.6. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni succes-
sione di Cauchy è convergente ad un punto di X.
Gli spazi normati completi rispetto alla metrica indotta dalla norma si dicono
spazi di Banach.
Esempio. R con la metrica euclidea è completo.
(L 1 (Ω), · 1) è uno spazio di Banach.
Se Ω è compatto (C(Ω), · ∞) è uno spazio di Banach.
Proposizione 3.3.1. Sia X uno spazio vettoriale normato. Allora X ∗ con
la norma duale è uno spazio di Banach.
60

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che X ∗ è completo. Sia dunque (Tn)
una successione di Cauchy in X ∗ , cioè per ogni ɛ > 0 esiste nɛ ∈ N tale che
Tn − Tm < ɛ per ogni n, m > nɛ. Per definizione di norma duale, allora per
ogni x ∈ X con x ≤ 1 si ha |Tnx − Tmx| < ɛ. Ne consegue che per tali x
la successione (Tnx)n è di Cauchy in R e quindi convergente in R poiché R
è completo. Osserviamo adesso che lim Tn(x) esiste non solo per x ∈ X tali
che x ≤ 1 ma per ogni x; infatti sia x ∈ X e sia α tale che x ≤ α. Allora
Tn(x) = α x
α
con x
α e quindi limn Tn(x) = α limn Tn( x
α ).
Detto T x il limite di (Tn), è facile verificare che T è lineare.
Ricordiamo adesso che se X è uno spazio normato e f : X −→ R una funzione
lineare si ha che f è continua se e solo se esiste una costante L > 0 tale che
|f(x)| < Lx per ogni x ∈ X, quindi è sufficiente mostrare che
Tn − T → 0,
perché da ciò segue che T < ∞. Infatti essendo |T x| ≤ |T x − Tnx| + |Tnx|
si ha
T ≤ T − Tn + Tn
e poiché Tn è limitato dato che la successione (Tn) è di Cauchy si ha
T < ∞ ossia T continua.
Proviamo dunque che Tn − T → 0. Si ha
|T x − Tnx| ≤ |T x − Tmx| + |Tmx − Tnx| ≤ |T x − Tmx| + Tm − Tnx,
e poiché il primo membro è indipendente da m, passando al limite per m → ∞
si ottiene
T − Tn < ɛ, ∀n > nɛ
61

3.3.3 Topologia forte, debole e debole*
Definizione 3.3.7. Sia X uno spazio di Banach. La topologia indotta dalla
norma prende il nome di topologia forte.
Sia X uno spazio di Banach. La continuità delle applicazioni lineari
f : X −→ R dipende, per definizione, dalla topologia che si considera su X.
In precedenza abbiamo definito lo spazio duale X ∗ come l’insieme di tutte
le funzioni lineari f : X −→ R che sono continue quando su X si considera
la topologia della norma. Se indeboliamo la topologia su X, la continuità
di una funzione può essere conservata oppure no. Diamo quindi la seguente
definizione:
Definizione 3.3.8. Sia X uno spazio di Banach e sia X ∗ il suo duale. La
più debole tra le topologie su X che rendono continui tutti gli elementi di
X ∗ prende il nome di topologia debole su X e si indica con σ(X, X ∗ ).
Oss. In generale dato un sottoinsieme Y ⊆ X ∗ possiamo definire la topologia
σ(X, Y ) come la più debole tra le topologie su X che rendono continui tutti
gli elementi di Y .
Oss. Ogni insieme aperto (risp. chiuso) per la topologia debole è aperto
(risp. chiuso) per la topologia forte, ma esistono degli aperti (risp.chiusi) per
la topologia forte che non sono aperti (risp. chiusi) per la topologia debole.
Consideriamo infatti i seguente esempi:
Esempio. Se X ha dimensione infinita l’insieme S = {x ∈ X : x = 1}
non è mai chiuso per la topologia debole σ(X, X ∗ ), in particolare si ha
S σ(X,X∗ ) = {x ∈ X : x ≤ 1},
62

dove S σ(X,X∗ ) indica la chiusura di S rispetto la topologia σ(X, X ∗ ).
Nella sezione successiva saremo in grado di dare una dimostrazione di questa
affermazione.
Esempio. L’insieme U = {x ∈ X : x < 1} non è mai aperto per la
topologia debole σ(X, X ∗ ).
Per maggiore chiarezza da ora in avanti se f ∈ X ∗ e x ∈ X scriveremo
〈φ, x〉 in luogo di φ(x).
Mettiamo adesso in evidenza un’importante proprietà, ossia che restrin-
gendoci ad insiemi convessi, le nozioni di topologia debole e forte coincidono.
Vale infatti il seguente enunciato:
Teorema 3.3.3. Sia C ⊆ X convesso. Allora C è debolmente chiuso per
σ(X, X ∗ ) se e solo se è fortemente chiuso.
Dimostrazione. Osserviamo che per definizione di topologia debole, ogni in-
sieme debolmente chiuso è anche fortemente chiuso,quindi la parte non banale
del teorema è la ⇐. Supponiamo che C sia fortemente chiuso e mostriamo
che esso è anche debolmente chiuso. Verifichiamo che C c è aperto per la
topologia σ(X, X ∗ ). Sia dunque x0 ∈ C c . Per il Teorema di Hahn-Banach
esiste un iperpiano chiuso che separa strettamente {x0} e C, cioè esistono
f ∈ X ∗ ed α ∈ R tali che
Posto
〈f, x0〉 < α < 〈f, y〉 ∀y ∈ C.
V = {x ∈ X : 〈f, x〉 < α}
63

allora si ha x0 ∈ V, V C = ∅ (ossia V ⊂ C c ) e V è aperto per σ(X, X ∗ ),
ossia C c è aperto.
Sia X uno spazio di Banach e sia X ∗ il suo duale. Poiché anche X ∗
è uno spazio vettoriale normato, si può considerare il suo spazio duale che
indicheremo con X ∗∗ .
Osserviamo che esiste una iniezione canonica J : X −→ X ∗∗ che permette
di dire che X ⊆ X ∗∗ . Ad ogni elemento x ∈ X si può associare l’elemento
Jx ∈ X ∗∗ definito come segue:
ed inoltre si ha
Jx : X ∗ −→ R
φ ↦→ 〈Jx, φ〉 = 〈φ, x〉
JxX ∗∗ = sup{|〈Jx, φ〉| : φ ≤ 1} = sup{|〈φ, x〉| : φ ≤ 1} = xX
Quindi è definita un’isometria lineare
J : X −→ X ∗∗
x ↦→ Jx
che permette di identificare X con un sottospazio di X ∗∗ .
Definizione 3.3.9. Sia X uno spazio di Banach e sia J l’immersione cano-
nica di X in X ∗∗ . Diciamo che X è riflessivo se J(X) = X ∗∗ ossia se J è
suriettiva.
Ricordiamo che per quanto afferma la Proposizione 3.3.1 se X è uno
spazio normato (ed in particolare uno spazio di Banach è normato), X ∗ è
64

uno spazio di Banach.
Sia X uno spazio normato e X ∗ il suo duale. Su X ∗ sono quindi ben definite
le due seguenti topologie:
• La topologia forte, ossia quella indotta dalla norma duale · X ∗.
• La topologia debole σ(X ∗ , X ∗∗ ) che è la più piccola delle topologie che
rendono continui gli elementi di X ∗∗ .
Ricordiamo ora che per ogni il funzionale J sopra introdotto ci permette
di considerare X ⊆ X ∗∗ . Su X ∗ possiamo pertanto definire come segue una
terza topologia:
Definizione 3.3.10. Indichiamo con σ(X ∗ , X) la più piccola topologia che
rende continui gli elementi di X. Tale topologia prende il nome di topologia
debole*.
Facciamo adesso una importante osservazione:
Oss. In generale poiché X ⊆ X ∗∗ , la topologia debole* su X ∗ possiede meno
aperti (risp. chiusi) della topologia debole su X ∗ che a sua volta ne possiede
meno della topologia forte su X ∗ .
Osserviamo però che se X è uno spazio di Banach riflessivo, la topologia
debole e debole* su X ∗ coincidono.
3.3.4 Alcuni risultati interessanti
Enunciamo adesso alcuni importanti risultati che ci torneranno utili nel
seguito. Per le dimostrazioni si rimanda a [2].
65

Lemma 3.3.1. Sia X uno spazio vettoriale.
1. Si ottiene una base di intorni di un punto x0 ∈ X per la topologia
σ(X, X ∗ ) considerando tutti gli insiemi della forma:
V = {x ∈ X : |fi, x − x0| < ɛ ∀i ∈ I}
dove I è un insieme finito, fi ∈ X ∗ ed ɛ > 0.
2. Si ottiene una base di intorni di un punto f0 ∈ X ∗ per la topologia
σ(X ∗ , X) considerando tutti gli insiemi della forma:
V = {f ∈ X ∗ : |f − f0, xi| < ɛ ∀i ∈ I}
dove I è un insieme finito, xi ∈ X ed ɛ > 0.
Proposizione 3.3.2. Sia φ : X ∗ −→ R un’applicazione lineare e continua
per la topologia σ(X ∗ , X). Allora esiste x ∈ X tale che
φ(f) = 〈f, x〉 ∀f ∈ X ∗ .
La dimostrazione di questa proposizione si basa sul seguente lemma:
Lemma 3.3.2. Sia E uno spazio vettoriale e siano φ, φ1, . . . , φn delle forme
lineari su E tali che
[φi(v) = 0, ∀i = 1, . . . , n] ⇒ [φ(v) = 0]
Allora esistono λ1, . . . , λn ∈ R tali che φ = n
i=1 λiφi
Dimostrazione. Prop.3.3.2. Poiché φ è continua per σ(X ∗ , X), esiste un
intorno V di 0 per σ(X ∗ , X) tale che
|φ(f)| < 1 ∀f ∈ V.
66

Per il Lemma 3.3.1 possiamo supporre che V sia della forma
V = {f ∈ X ∗ : |〈f, xi〉| < ɛ ∀i = 1, 2, . . . , n}
con xi ∈ X ed ɛ > 0. Osserviamo che 〈f, xi〉 e φ(f) sono forme lineari su
X tali che se 〈f, xi〉 = 0 ∀i = 1, 2, . . . , n allora φ(f) = 0. Quindi possiamo
applicare il Lemma sopra enunciato ottenendo
con n
i=1 λixi ∈ X.
φ(f) =
n
λi〈f, xi〉 = 〈f,
i=1
n
λixi〉 ∀f ∈ X ∗
Proposizione 3.3.3. Sia X uno spazio normato a dimensione infinita. Al-
lora l’insieme S = {x ∈ X : x = 1} non è mai chiuso per la topologia
debole σ(X, X ∗ ).
Dimostrazione. Dimostrioamo che
i=1
S σ(X,X∗ ) = {x ∈ X : x ≤ 1},
dove S σ(X,X∗ ) indica la chiusura di S rispetto la topologia σ(X, X ∗ ).
Sia x0 ∈ X con x0 < 1 e verifichiamo che x0 ∈ S σ(X,X∗ ) . Sia dunque V un
intorno di x0 per σ(X, X ∗ ) e facciamo vedere che V ∩ S = ∅.
Per il Lemma 3.3.1 si può sempre supporre che V abbia la forma
V = {x ∈ X : |fi, x − x0| < ɛ ∀i = 1, . . . , n}
con ɛ > 0 e fi ∈ X ∗ . Fissiamo adesso y0 ∈ X, y0 = 0 tale che 〈fi, y0〉 = 0 per
ogni i = 1, . . . , n.
Osserviamo che un tale y0 esiste, altrimenti l’applicazione φ : E −→ R n
67

definita da φ(z) = (〈fi, z〉)1≤i≤n sarebbe iniettiva e φ sarebbe un isomorfismo
di X su φ(X) da cui dim X ≤ n.
Consideriamo la funzione g(t) = x0+ty0. Allora g è continua su [0, +∞[ ed
inotre g(0) < 1 e limt→∞ = +∞; dunque esiste t0 > 0 tale che x0 +ty0 = 1
e, di conseguenza, x0 + ty0 ∈ V ∩ S.
Abbiamo così verificato che S ⊂ {x ∈ X : x ≤ 1} ⊂ S σ(X,X∗ ) .
Adesso osserviamo che {x ∈ X : x ≤ 1} è un insieme convesso e chiuso
per la topologia forte e quindi è anche chiuso per σ(X, X ∗ ).
Da S ⊂ {x ∈ X : x ≤ 1} ⊂ S σ(X,X∗ ) si ottiene pertanto
S σ(X,X∗ ) = {x ∈ X : x ≤ 1}.
Teorema 3.3.4 (Banach-Alaoglu-Bourbaki). La palla chiusa BX∗ = {f ∈
X ∗ : f ≤ 1} è compatta per la topologia debole ∗ σ(X ∗ , X).
Oss. E’ interessante osservare che la sfera unitaria chiusa di uno spazio nor-
mato di dimensione infinita non è mai compatta per la topologia forte. Si
comprende così l’importanza fondamentale della topologia debole* σ(X ∗ , X)
e del teorema appena enunciato.
Teorema 3.3.5. Sia X uno spazio di Banach separabile (ossia uno spazio
che ammette un sottoinsieme numerabile denso). Allora BX ∗ = {f ∈ X∗ :
f ≤ 1} è metrizzabile per la topologia debole* σ(X ∗ , X).
Viceversa se BX ∗ è metrizzabile per σ(X∗ , X), allora X è separabile.
Oss. Quando X ∗ ha dimensione infinita lo spazio intero non è mai metriz-
zabile per la topologia σ(X ∗ , X), cioè non esiste alcuna metrica (e quindi
68

nessuna norma) definita su X che induca su X la topologia debole*. Lo
stesso vale per la topologia debole.
3.3.5 Probabilità superiori e insiemi chiusi e convessi
di stati
Cerchiamo adesso di mettere in evidenza come sia possibile sfruttare i risul-
tati generali sopra esposti nel caso specifico di funzionali su spazi vettoriali
di Riesz con unità forte.
Sia V uno spazio di Riesz semisemplice con unità forte u e sia X = M(V )
l’insieme dei suoi sottogruppi convessi massimali dotato della hull kernel to-
pology. Come abbiamo già notato in precedenza X è uno spazio di Hausdorff
compatto e V può essere identificato con un insieme di funzioni continue da
X in R e in cui l’unità forte u può essere identificata con la funzione costante
1. Poiché X è compatto, la sua immagine tramite ogni v ∈ V è compatta,
e quindi ogni v considerata come funzione è limitata. Su V possiamo quindi
considerare la norma v∞ = sup{|v(x)| : x ∈ X}.
Ricordiamo adesso la versione reticolare del Teorema di Stone-Weierstrass:
Teorema 3.3.6. Sia K uno spazio compatto di Hausdorff costituito da al-
meno due punti e sia R un reticolo contenuto in C(K) che separa i punti di
K. Allora R è denso in C(K).
Di fondamentale importanza adesso è osservare che V considerato come
spazio delle funzioni continue da X in R è un sottoreticolo di C(X) che separa
i punti di X e quindi per il Teorema di Stone-Weierstrass versione reticolare,
69

si ha che V è denso in C(X). A questo punto parlare di funzionali sullo
spazio di Riesz V (e quindi di probabilità superiori su MV-algebre di Riesz
per quanto affermato dal Teorema 3.2.1) equivale a parlare di funzionali su
C(X). Andiamo quindi andare a considerare il duale di C(X), C(X) ∗ con la
topologia debole*.
Definizione 3.3.11. Indichiamo con P (X) l’insieme di tutti i funzionali li-
neari normalizzati e monotoni su C(X).
Per ogni funzionale p sublineare, normalizzato, monotono e debolmente ad-
ditivo su C(X) indichiamo con Kp l’insieme di tutti i funzionali lineari,
monotoni e normalizzati su C(X) tali che f(γ) ≤ p(γ), per ogni γ ∈ C(X).
Su P (X) ⊆ C(X) ∗ consideriamo la topologia indotta.
Lemma 3.3.3. P(X) è chiuso per la topologia debole*.
Dimostrazione. Consideriamo l’insieme
{f ∈ C(X) ∗ : f(1) = 1}.
Per definizione di topologia debole* il funzionale v 1 ∈ C(X) ∗∗ : C(X) ∗ −→ R
tale che v 1 (f) = f(1) è continuo, quindi l’insieme {f ∈ C(X)∗ : f(1) = 1} è
chiuso per la topologia debole* perché controimmagine del chiuso {1} tramite
il funzionale continuo v 1 .
Procedendo allo stesso modo si dimostra che sono chiusi anche gli insiemi
{f ∈ C(X) ∗ : f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ C(X)} e {f ∈ C(X) ∗ : f(x) ≤
f(y) ∀x, y ∈ C(X), x ≤ y}. Quindi P (X) è chiuso per la topologia debole*
perché intersezione di chiusi.
70

Oss. Poiché P (X) è chiuso, i sottoinsiemi di P (X) chiusi nella topologia
indotta, sono chiusi anche in C(X) ∗ .
Lemma 3.3.4. Kp è un sottoinsieme di P (X) chiuso e convesso rispetto la
topologia debole*.
Dimostrazione. Kp è convesso. Siano f, g ∈ Kp vogliamo dimostrare che
h = tf + (1 − t)g ∈ Kp, ∀t ∈ [0, 1]. Banalmente h è lineare e positivo,
inoltre h(1) = tf(1) + (1 − t)g(1) = t · 1 + (1 − t) · 1 = 1 ed essendo
f ≤ p e g ≤ p si ha h = tf + (1 − t)g ≤ tp + (1 − t)p = p.
Kp è chiuso. Sia γ ∈ C(X) e consideriamo
Cγ = {f ∈ P (X) : f(γ) ≤ p(γ)}.
Allora Cγ è chiuso per definizione di topologia debole*. Inoltre l’insieme
di tutte le f ∈ P (X) tali che f ≤ p è intersezione di tutti i Cγ al variare
di γ in C(X) e quindi è chiuso.
Lemma 3.3.5. Supponiamo che p sia sublineare, monotono, normalizzato
e debolmente additivo. Allora per ogni γ ∈ C(X), esiste f ∈ Kp tale che
f(γ) = p(γ).
Dimostrazione. Consideriamo il sottospazio vettoriale U di C(X) generato
da 1 e da γ. Sia g il funzionale su U definito per ogni α, β ∈ R come
g(αγ + β) def
= αp(γ) + β.
Osserviamo che per la condizione della additività debole, per ogni α ≥ 0 e
per ogni β si ha g(αγ + β) = p(αγ + β).
71

Si vede facilmente che g è lineare e normalizzata. Dimostriamo adesso che g
è monotona. E’ sufficiente provare che per ogni δ ≥ 0 si ha g(δ) ≥ 0.
(i) Se α ≥ 0 e αγ + β ≥ 0 allora g(αγ + β) = p(αγ + β) ≥ 0.
(ii) Se α < 0 e αγ + β ≥ 0 allora β > 0 e −αγ ≤ β con −α > 0. Quindi per
la monotonia di p si ha −αp(γ) ≤ β e g(αγ + β) = αp(γ) + β ≥ 0.
Dimostriamo adesso che in U si ha g ≤ p.
(i) Se α ≥ 0 vale g(αγ + β) = p(αγ + β) ≥ 0.
(ii) Se α < 0 allora si ha
g(αγ + β) = αp(γ) + β = −p(−αγ) + β ≤ p(αγ) + β
dove l’ultima disuguaglianza segue dal fatto che per la subadditività di
p si ha −p(δ) ≤ p(−δ).
Riassumendo g è lineare, normalizzata, monotona e tale che g ≤ p in U e per
il Teorema di Hahn-Banach g si estende quindi ad un funzionale lineare f su
C(X) tale che f ≤ p in C(X). Quindi f ∈ Kp e f(γ) = p(γ).
Teorema 3.3.7 (Teorema di Rappresentazione per la Probabilità Supe-
riori). Supponiamo che p sia un funzionale sublineare, monotono, norma-
lizzato e debolmente additivo su C(X). Allora per ogni γ ∈ C(X) si ha
p(γ) = max{f(γ) : f ∈ Kp}
Facciamo adesso vedere che vale anche il viceversa, ossia che ogni insieme
chiuso e convesso K di P (X) determina una probabilità superiore definita
da pK = max{f(γ) : f ∈ K} e che le biiezioni p ↦→ Kp e K ↦→ pK sono l’una
inversa dell’altra.
72

Come prima cosa dimostriamo che se K è un sottoinsieme chiuso e convesso
di P (X) allora l’insieme {f(γ) : f ∈ K} ammette massimo.
Lemma 3.3.6. P (X) è compatto.
Dimostrazione. Osserviamo che P (X) ⊆ BC(X) ∗ = {f ∈ C(X)∗ : f ≤
1} e tale insieme è compatto rispetto la topologia debole* per il Teorema
3.3.4. Poiché per il Lemma3.3.3 P (X) è chiuso, si ottiene subito che P (X) è
compatto.
Lemma 3.3.7. Per ogni γ ∈ C(X), l’insieme {f(γ) : f ∈ K} ha un
massimo.
Dimostrazione. Sia α = sup{f(γ) : f ∈ K}. Poiché K è un sottoinsieme
chiuso del compatto P (X), è anch’esso compatto. Ora, per ogni γ ∈ C(X),
γ ∗∗ è continua e quindi γ ∗∗ (K) è un sottoinsieme compatto di R e perciò
ammette massimo.
Teorema 3.3.8. Sia K un sottoinsieme chiuso e convesso di P (X) e sia per
ogni γ ∈ C(X), pK(γ) = max{f(γ) : f ∈ K}. Allora pK è un funzionale
sublineare, monotono, normalizzato e debolmente additivo.
Dimostrazione. Il Lemma precedente ci assicura che pK è ben definito. Con
facili conti si verificano le proprietà richieste.
Sublinearità
pK(γ + δ) = max
f∈K
f(γ + δ) = max(f(γ)
+ f(δ))
f∈K
≤ max f(γ) + max
f∈K f∈K f(δ) = pK(γ) + pK(δ)
73

Normalità pK(1) = maxf∈K f(1) = maxf∈K{1} = 1
Monotonia Supponiamo γ ≤ δ, allora si ha
pK(γ) = max
f∈K
debolmente additivo Sia r ∈ R. Allora si ha
pK(γ + r · 1) = max
f∈K
f(γ) ≤ max f(δ) = pK()δ
f∈K
f(γ + r · 1) = max(f(γ)
+ f(r · 1))
f∈K
= max(f(γ)
+ r · 1) = max f(γ) + r · 1
f∈K f∈K
= pK(f) + r · pK(1) = pK(f) + pK(r · 1)
Teorema 3.3.9. Le biiezioni p ↦→ Kp e K ↦→ pK tra insiemi convessi e chiusi
per la topologia debole* di misure di probabilità su X e funzionali sublineari,
normalizzati, monotoni e debolmente additivo su uno spazio di Riesz con
unità forte V sono una l’inversa dell’altra.
Dimostrazione. Si ottiene facilmente che p = pKp. Per dimostrare invece
che K = KpK
osserviamo che si ottiene immediatamente che K ⊆ KpK ; per
l’inclusione non banale supponiamo per assurdo che esista f ∈ KpK , ossia
f ≤ pK e f /∈ K. Ricordiamo che stiamo lavorando in C(X) ∗ con la tpologia
debole*. Poiché K è convesso e chiuso per ipotesi, {f} è compatto e convesso
e {f} e K sono disgiunti, per il Teorema di Hahn-Banach in forma geometrica
esiste un funzionale continuo Φ : C(X) ∗ −→ R tale che Φ(f) > Φ(g), per
ogni g ∈ K. Ricordiamo adesso che per la Proposizione 3.3.2 esiste γ ∈ C(X)
tale che Φ(g) = g(γ) per ogni g ∈ C(X) ∗ si ha Φ(g) = g(γ). Si arriva così ad
74

un assurdo perché si ottiene:
e quindi f pK.
pK(γ) = max
g∈K
g(γ) = max φ(g) < φ(f) = f(γ)
g∈K
3.4 Probabilità inferiori per MV-algebre di
Riesz
Introduciamo adesso la probabilità inferiore, un concetto duale rispetto a
quello di probabilità superiore e cerchiamo di darne una caratterizzazione
come minimo di un insieme di stati (o meglio di funzionali lineari, norma-
lizzati, monotonie debolmente additivo) convesso e chiuso per la topologia
debole*.
Definizione 3.4.1. Una probabilità inferiore su una MV-algebra di Riesz A
è una funzione P − : A −→ [0, 1] per cui esiste una probabilità superiore P +
tale che P − (x) = 1 − P + (¬x) per ogni x ∈ A.
Sia V uno spazio di Riesz semisemplice con unità forte u e sia X =
M(V ) l’insieme dei suoi sottogruppi convessi massimali dotato della hull
kernel topology. Per il Teorema 3.3.7, se p è un funzionale normalizzato,
monotono, sublineare e debolmente additivo su V (e quindi su C(X) di cui
V è sottoinsieme) allora p(γ) = max{f(γ) : f ∈ Kp}. Ricordando che per il
Teorema 3.2.1 Φ(p) e Φf, restrizioni di p e f a Γ(V, u), sono rispettivamente
una probabilità superiore e uno stato sull’ MV-algebra di Riesz A = Γ(V, u),
possiamo affermare che per ogni evento E ∈ A si ha
P + (E) = max{P (E) : P ∈ S}
75

dove P + = Φ(p) e S = {Φ(f) : f ∈ Kp}.
Cerchiamo adesso di arrivare ad un Teorema di Rappresentazione anche nel
caso delle probabilità inferiori, mostrando che per ogni evento E ∈ A si ha
P − (E) = min{P (E) : P ∈ S}.
Ricordiamo prima alcune proprietà sul comportamento di massimo e
minimo che ci torneranno utili in seguito.
Lemma 3.4.1. Siano A e B due sottoinsiemi di R; allora valgono le seguenti
affermazioni
(i) 1 − max A = min{1 − a|a ∈ A}
(ii) Sia k ∈ [0, 1] allora k min A = min{ka|a ∈ A}
(iii) min{k + a| a ∈ A} = k + min A.
Dimostrazione. (i) Sia α = max A; allora 1 − α ∈ {1 − a|a ∈ A} ed inoltre
(1 − α) ≤ (1 − a) ∀a ∈ A poiché si ha
(1 − α) ≤ (1 − a) ∀a ∈ A sse a ≤ α ∀a ∈ A.
(ii) Siano α = min A, k ∈ [0, 1] e dimostriamo che kα = min{ka|a ∈ A}.
Se k = 0 il risultato è ovvio.
Supponiamo quindi k = 0 e osserviamo che kα ∈ {ka|a ∈ A} ed inoltre
kα ≤ ka ∀a ∈ A poiché
kα ≤ ka ∀a ∈ A sse α ≤ a ∀a ∈ A.
76

(iii) Sia α = min A; allora k + α ∈ {k + a|a ∈ A} ed inoltre (k + α) ≤
(k + a) ∀a ∈ A.
Possiamo adesso enunciare e dimostrare il seguente risultato che ci per-
mette di caratterizzare le probabilità inferiori come minimo di un insieme di
stati:
Teorema 3.4.1 (Teorema di Rappresentazione per probabilità inferiori). Sia
P − un funzionale definito sulla MV-algebra di Riesz A. Allora le seguenti
sono equivalenti:
(i) P − è una probabilità inferiore
(ii) Esiste una collezione S di stati di A tale che per ogni evento E ∈ A si
ha P − (E) = min{P (E)| P ∈ S}.
Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) Sia S come nel Teorema 3.3.7; si ha allora
P − (E) = 1 − P + (¬E)
T eo3.3.7
= 1 − max{P (¬E)| P ∈ S}
= min{1 − P (¬E)|P ∈ S}
lemma3.1.1
= min{P (E)|P ∈ S}
(ii) ⇒ (i) Si vede facilmente che definendo P − (E) = min{P (E)| P ∈ S} si
ottiene P − (E) = 1 − max{P (¬E)| P ∈ S} = 1 − P + (¬E) ossia P − (E)
è una probabilità inferiore.
77

Oss. Si vede facilmente che per ogni evento x ∈ A algebra di Riesz si ha
P − (x) ≤ P + (x). Infatti:
P − (x) = 1 − P + (¬x) lemma3.2.1
≤ 1 − (1 − P + (x)) = P + (x)
Di seguito dimostriamo alcune interessanti proprietà della probabilità
inferiore che ricalcano gli assiomi che definiscono le probabilità superiori:
Proposizione 3.4.1. Sia P − una probabilità inferiore su una [0,1]-algebra
di Riesz A. Allora valgono le seguenti affermazioni:
(i) P − è monotona, ossia se x ≤ y allora P − (x) ≤ P − (y)
(ii) P − (1) = 1
(iii) Per ogni α ∈ [0, 1] si ha P − (αx) = αP − (x)
(iv) Se x ⊙ y = 0 allora P − (x ⊕ y) ≤ P − (x) + P − (y)
(v) Per ogni α ∈ [0, 1] se α ⊙ x = 0 allora P − (α ⊕ x) = α + P − (x)
Dimostrazione. (i) Ricordando che x ≤ y sse ¬y ≤ ¬x si ha
(ii) P − (1) = 1 − P + (¬1) = 1
(iii) Sia α ∈ [0, 1]
P − (x) = 1 − P + (¬x) ≤ 1 − P + (¬y) = P − (y)
P − (αx) = inf{P (αx)| P ∈ S} = min{αP (x)|P ∈ S}
lemma3.4.1
= α min{P (x)|P ∈ S} = αP − (x)
78

(iv) Supponiamo che x ⊙ y = 0. Allora
P − (x ⊕ y) = min{P (x ⊕ y)| P ∈ S} = min{P (x) + P (y)| P ∈ S}
≥ min{P (x)| P ∈ S} + min{+P (y)| P ∈ S} = P − (x) + P − (y)
(v) Supponiamo che α ∈ [0, 1] e α ⊙ x = 0; allora si ha
P − (α ⊕ x) = min{P (α ⊕ x)| P ∈ S} = min{α + P (x)| P ∈ S}
= α + min{P (x)| P ∈ S} = α + P − (x)
79

Capitolo 4
Probabilità e scommesse
4.1 Coerenza nel senso di de Finetti
Ricordiamo brevemente che, secondo l’interpretazione soggettivistica della
probabilità proposta da de Finetti e Ramsey, la probabilità di un evento E è
l’estremo superiore degli α per cui uno scommettitore sceglie di scommettere
a favore di E quando α è la quota proposta da un bookmaker per la seguente
scommessa: sia dato un numero α ∈ [0, 1]; lo scommettitore può scegliere di
pagare α al banco, ricevendo 1 se l’evento E si verifica (guadagnando quindi
1 − α), e nulla se E non si verifica (perdendo α). Lo scommettitore però,
qualora rietenga la quota α sia troppo alta, può anche chiedere, di invertire i
termini della scommessa, cioè di scambiare il suo ruolo con quello del banco,
e quindi di scommettere contro E.
Da ora in avanti adottiamo però il punto di vista non di uno scommettitore
ma di un bookmaker (che supponiamo onesto e razionale) che deve proporre
quote di scommessa per una serie di eventi.
Il gioco si svolge nel modo seguente: sia (φi, αi) una scommessa proposta dal
bookmaker (Ada), dove φi è un evento ed αi la quota di scommessa stabilita
80

da Ada. Uno scommettitore (Blaise) scommette un numero reale k e paga ad
Ada kαi. Se φi risulterà vero, Blaise riceverà da Ada k, mentre se φi sarà falso
non riceverà indietro alcunché. Per quanto abbiamo detto prima, se Blaise
ritiene che αi sia troppo elevato può rovesciare i termini della scommessa
puntando una quantità negativa −k sull’evento φi. Osserviamo che pagare
k < 0 è lo stesso che ricevere −k, quindi scommettere un numero negativo
porta in realtà ad uno scambio dei ruoli tra bookmaker e scommettitore: da
qui il nome di gioco reversibile.
Definizione 4.1.1. Chiamiamo book di scommesse per un gioco reversibile
un insieme finito Γ = {(φ1, α1) . . . (φn, αn)} dove per i = 1, . . . , n
φi è un evento e αi è la quota stabilita dal bookmaker Ada per una scommessa
sull’evento φi della forma sopra esposta.
Supponiamo adesso che per i = 1, . . . , n Blaise scommetta ki sull’evento
φi e che il valore di verità di φi sia v(φi). Allora si vede facilmente che il
guadagno di Blaise sarà
ΠBlaise =
n
ki(v(φi) − αi)
i=1
mentre quello di Ada sarà ovviamente l’opposto
ΠAda =
n
ki(αi − v(φi)).
i=1
Definizione 4.1.2. Sia ∆ un book in un gioco reversibile. Una strategia
vincente (rispettivamente strategia perdente) per Blaise basata su ∆ consiste
in un sottoinsieme finito Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} di ∆ e in un sistema
di scommesse λ1, . . . , λn su φ1, . . . , φn tali che il corrispondente guadagno di
81

Balise n
i=1 λi(v(φi) − αi) sia strettamente positivo (rispettivamente stretta-
mente negativo). Una strategia perdente per Blaise viene spesso detta Dutch
Book.
Una scommessa stupida per Blaise è formata da un elemento (φ, α) di ∆
e da una quota di scommessa δ su φ per cui esiste un sottoinsieme finito
Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} di ∆ e un sistema di scommesse λ1, . . . , λn su
φ1, . . . , φn che assicura a Blaise un guadagno maggiore indipendentemente
dalla valutazione, ossia per cui si ha n
i=1 λi(v(φi) − αi) > δ(v(φ) − α) per
ogni valutazione v.
Siamo ora in grado di dare una presentazione formale del criterio di razio-
nalità proposto da de Finetti al quale avevamo accennato nell’introduzione.
Definizione 4.1.3 (Criterio di razionalità per gioco reversibili ed eventi a
due valori). Un book ∆ si dice razionale (o coerente) se non esiste una stra-
tegia vincente (o Dutch book) per Blaise, ossia se non esiste un sottoinsieme
finito Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} di ∆ e un sistema di scommesse λ1, . . . , λn
per cui il guadagno di Blaise n
i=1 λi(v(φi) − αi) sia strettamente positivo
indipendentemente dai valori di verità v(φ1), . . . , v(φn).
Enunciamo adesso un teorema che presenta, almeno nel caso di giochi
reversibili, alcune forme equivalenti del criterio di razionalità.
Teorema 4.1.1. Sia ∆ un gioco reversibile. Le seguenti affermazioni sono
equivalenti:
(i) Non esiste una strategia vincente per Blaise.
(ii) Non esiste una strategia perdente per Blaise.
82

(iii) Non esiste una scommessa stupida per Blaise.
Dimostrazione. (i) ⇔ (ii) Se Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} e λ1, . . . , λn sono
una strategia vincente per Blaise allora Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} e
−λ1, . . . , −λn sono una strategia perdente, e viceversa.
(2) ⇔ (3) . Se Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} e λ1, . . . , λn sono una strategia
perdente per Blaise, allora per ogni valutazione v si ha
λ1(v(φ1−α1)) < n
i=2 λi(v(φi)−αi) ossia (φ1, α1) e λ1 sono una cattiva
scommessa. Viceversa se scommettere λ su φ è una scommessa stupida
e scommettere per i = 1, . . . , n λi su φi è una alternativa migliore,
allora scommettere λ su φ e −λi su φi per i = 1, . . . , n è una strategia
perdente.
Il seguente Teorema risulta essere di fondamentale importanza nella teoria
della probabilità soggettiva perché ci dice che andando ad identificare l’opi-
nione soggettiva che un evento accada con la propensione a scommettere su
un tale evento, imporre il soddisfacimento del criterio di razionalità equivale
a chiedere che l’opinione soggettiva rispetti le leggi della probabilità. L’ap-
proccio soggettivistico risulta quindi essere equivalente a quello assiomatico
di Kolmogoroff, ma presenta il grande vantaggio di permettere l’attribuzione
di una probablità ad un insieme qualunque di eventi e non necessariamente
ad una σ−algebra. Infatti è naturale ritenere che un individuo razionale non
debba necessariamente avere un’idea sulla probabilità di tutti gli eventi; in
particolare, è possibile che un individuo abbia delle idee chiare sulla proba-
83

ilità di A e di B senza avere un’idea precisa sulla probabilità dell’evento
composto A&B.
Teorema 4.1.2 (de Finetti). Un book Γ è razionale se e solo se esiste una
probabilità P tale che se (φ, α) ∈ Γ allora P (φ) = α.
Dimostrazione. Vedere [7]
4.2 Book razionali di eventi many valued
Cerchiamo adesso di generalizzare quanto fatto da de Finetti andando a con-
siderare giochi reversibili che prevedono scommesse su eventi many-valued,
ed in particolare su eventi che possono prendere valori nell’intervallo reale
unitario [0, 1].
In questo caso φ1, . . . φn sono quindi classi equivalenza di formule modulo
la loro dimostrabile equivalenza nella logica di Lukasiewicz o in una teoria
consistente T sulla logica di Lukasiewicz; in altre parole gli eventi φ1, . . . φn
sono i termini dell’algebra di Lindenbaum dalla logica di Lukasiewicz, ossia
per quanto abbiamo visto nel Capitolo 1, gli elementi di una MV-algebra A.
In questo contesto una valutazione in [0, 1]MV sarà un omomorfismo da A
nell’MV-algebra [0, 1]MV .
Dato un book finito Γ = {(φ1, α1), ..., (φn, αn)}, le regole del gioco riman-
gono invariate. In particolare le definizioni di book, di strategia vincente e
perdente e di scommessa stupida sono ancora quelle rispettivamente della
Definizione 4.1.1 e 4.1.2, ed ancora una volta quindi, se per i = 1, . . . , n
Blaise scommette λi su φi e v è una qualunque valutazione che assegna
84

ad ogni evento un valore di verità in [0, 1], il suo guadagno è ΠBlaise =
n
i=1 λi(v(φi) − αi).
Rimane a questo punto da chiedersi quale possa essere un ragionevole
criterio di razionalità, e se anche in questo caso possa fornire una giustifi-
cazione necessaria e sufficiente al richiedere che un’assegnamento numerico
che rappresenta l’opinione soggettiva che un evento a più valori si verifichi,
rispetti gli assiomi di stato.
Con l’intento di dimostrare un analogo del Teorema di de Finetti, Mun-
dici fa ricorso all’analogo many-valued delle misure di probabilità, ossia al
concetto di stato definito su una MV-algebra
Ancora una volta il criterio di razionalità sarà l’assenza di un Dutch Book.
Definizione 4.2.1 (Criterio di razionalità per giochi reversibili ed eventi a
più valori). Un book ∆ si dice razionale (o coerente) se non esiste una stra-
tegia vincente (o Dutch book) per Blaise, ossia se non esiste un sottoinsieme
finito
Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} di ∆ e un sistema di scommesse λ1, . . . , λn
per cui il guadagno di Blaise n
i=1 λi(v(φi) − αi) sia strettamente positivo
indipendentemente dai valori di verità v(φ1), . . . , v(φn).
Oss. Anche nel caso di eventi più valori vale il Teorema 4.1.1 la cui dimo-
strazione rimane invariata.
Il Teorema dimostrato da Mundici è il seguente:
Teorema 4.2.1 (Mundici). Sia Γ = {(φ1, α1), . . . , (φn, αn)} un book finito
su eventi rappresentati da formule della logica di Lukasiewicz. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
85

(i) C’è uno stato s sull’algebra di Lindenbaum della logica di Lukasiewicz
tale che per i = 1, . . . , n si ha s(φi) = αi.
(ii) Γ è un book razionale, ossia non esiste un Dutch-book per Blaise.
4.3 Coerenza e probabilità imprecise.
4.3.1 Giochi non reversibili.
Rivolgiamo adesso la nostra attenzione alle probabilità imprecise per eventi
a più valori. Osserviamo innanzitutto che utilizzando gli intervalli di proba-
bilità si riesce a modellare in modo più realistico i veri bookmakers perché si
introducono giochi non reversibili, dove per una scommessa non è possibile
invertire i ruoli alle stesse condizioni.
Con due esempi cerchiamo di capire quali possono essere le situazioni in
cui il ricorso alle probabilità imprecise è indispensabile per un bookmaker
che mira a proteggere i suoi guadagni.
Esempio. Supponiamo di lanciare una volta una moneta. Gli eventi che
si possono verificare sono due, testa e croce. Se sappiamo che la moneta è
onesta, sembra corretto assegnare la probabilità 1/2 ad entrambi gli eventi.
Supponiamo adesso di sapere che la moneta è truccata ma di non sapere in
che modo. Che probabilità potremmo adesso assegnare ai due eventi? Un
approccio potrebbe essere quello di continuare ad applicare il noto principio
dell’indifferenza ed assegnare ancora 1/2 ad entrambi gli eventi, ma in questo
modo si andrebbe a perdere l’indubbia differenza tra il lancio di una moneta
onesta e quello di una moneta truccata in modo non noto. Un altro approccio
86

è invece quello di assegnare ad entrambi gli eventi un intervallo di probabilità
che in questo caso sarà [0,1].
Esempio. Supponiamo che un sacchetto contenga 100 biglie delle quali 30
sono rosse e le altre sono o blu o gialle in una proporzione sconosciuta. Tutti ci
troveremmo d’accordo sull’assegnare 0.3 all’evento biglia rossa e 0.7 all’evento
biglia gialla o blu ma non è chiaro come dare un valore numerico all’opinione
soggettiva che accadano gli eventi gialla e blu.
Osserviamo adesso in modo empirico e rifacendoci all’interpretazione della
probabilità soggettiva tramite scommesse, come difficilmente il principio di
indifferenza possa essere accettato in casi di incertezza; consideriamo le tre
seguenti scommesse
• Br puntare 1 su rosso
• Bb puntare 1 su blu
• Bg puntare 1 su giallo
La maggior parte delle persone, dovendo scegliere preferiranno scommettere
sull’evento rosso la cui probabilità è 0.3, ma per il principio dell’indifferenza
ad entrambi gli altri eventi andrebbe assegnata la probabilità 0.35 e quindi
in linea di principio sarebbero entrambi preferibili.
Anche in questo caso sembra preferibile un approccio basato sulle probabilità
imprecise che assegni agli eventi blu e giallo l’intervallo di probabilità [0, 0.7]
Se un bookmaker reale non ha la minima idea della probabilità di un
evento E, come nel caso del primo esempio, invece di assegnargli in modo
semplicistico probabilità 1,
con esito potenzialmente pericoloso per le sue
2
87

finanze, preferirà assegnare ad E probabilità inferiore 0 e probabilità supe-
riore 1, proponendo quindi delle condizioni così svantaggiose per lo scom-
mettitore da indurlo a rinunciare a scommettere. Ma anche avendo idee solo
parzialmente incerte, come nel secondo esempio, è plausibile ritenere che il
bookmaker tenti di proteggersi il più possibile accettando una scommessa su
un evento E con quota β per chi scommette a favore e con quota α < β per
chi scommette contro.
In altre parole, lo scommettitore si troverà a dover scegliere se pagare βλ
(con λ > 0) e ricevere in cambio λv(E), dove v(E) è il valore di verità di E,
oppure se ricevere αλ subito e pagare in cambio λv(E). In questo caso, β
rappresenterà la probabilità superiore che il bookmaker assegna ad E, mentre
α rappresenterà la probabilità inferiore.
Definizione 4.3.1. Chiamiamo book di scommesse per un gioco non-reversibile
un insieme di coppie
Γ = {(A1, [α1, β1]), . . . , (An, [αn, βn])},
dove A1, . . . , An sono eventi e α1, . . . , αn, β1, . . . , βn sono numeri tali che per
ogni i = 1, . . . , n sia 0 ≤ αi ≤ βi ≤ 1.
La scommessa si svolge nel modo seguente: lo scommettitore sceglie per ogni
eventi Ai se scommettere contro o a favore; se scommette a favore paga βiλi,
con λi > 0 ricevendo λiv(Ai) mentre se scommette contro riceve αiλi, con λi
e paga λiv(Ai).
Il guadagno dello scommettitore sarà
Π =
n
λi(v(Ai) − βi) +
i=1
88
n
µi(αi − v(Ai)),
i=1

dove v è una valutazione che assegna a ogni evento un valore di verità in
[0, 1].
4.3.2 Un adeguato criterio di razionalità.
Definizione 4.3.2. Dato un book Γ = {(A1, [α1, β1]), . . . , (An, [αn, βn])} si
dice scommessa stupida a favore o contro un evento Ai una scommessa per
la quale esiste un sistema di scommesse che garantisce allo scommettito-
re un guadagno strettamente migliore qualunque siano i valori di verità di
A1, . . . , An.
Si dice strategia vincente (risp. perdente)un insieme di scommesse che ga-
rantisce una vincita (risp. perdita) allo scommettitore.
Osserviamo subito che nel caso delle probabilità imprecise, il criterio di
razionalità non potrà più essere il Dutch Book in quanto la non esistenza
di una strategia vincente per Blaise è una condizione necessaria ma non
suffciente per la razionalità del book.
Esempio. Consideriamo il book
Γ = (φ, 1
1
), (¬φ, 1), (ψ, ), (¬ψ, 1)(φ ∨ ψ, 1), (¬(φ ∨ ψ), 1).
3 3
Se per esempio φ e ψ risultano falsi sotto la stessa valutazione, lo scommet-
titore non ha una strategia vincente per il book Γ perché non può vincere
nulla. Ma questo book non può essere ritenuto razionale: infatti una buona
strategia per lo scommettitore è fare due scommesse su φ, ψ o entrambe poi-
chè questo risulta più conveniente di fare una singola scommessa su φ ∨ ψ; in
questo caso però il bookmaker potrebbe rendere più appetibile il suo book
riducendo la quota di scommessa su φ∨ψ, ad esempio a 2,
senza che ci sia per
3
89

lui possibilità di perdita nonostante lo scommettitore giochi la sua migliore
strategia.
Ma se il criterio della non esistenza di un Dutch book risulta essere troppo
debole per rispecchiare la razioanlità di giochi non-reversibili, la non esistenza
di una strategia perdente per lo scommettitore risulta essere una richiesta
troppo forte, nel senso che non è ragionevole aspettarsi che valga nel caso
di un book che si può ritenere razionale. Consideriamo infatti il seguente
esempio:
Esempio. Se il book ∆ contiene (φ, α), (¬φ, β) con α + β > 1, allora Blaise
ha una strategia perdente che consiste nel puntare 1 su entrambi gli eventi.
In questo caso il suo guadagno è infatti
(v(φ) − α) + (v(¬φ) − β) = 1 − (α + β) < 0.
Un criterio di razionalità che ci sembra ragionevole nel caso di giochi non
reversibili che coinvolgono eventi fuzzy altamente incerti è il seguente:
Definizione 4.3.3. Un book Γ = {(A1, [α1, β1]), . . . , (An, [αn, βn])} si dirà
razionale (o coerente) se non esiste alcuna scommessa stupida per lo scom-
mettitore basata su di esso.
Oss. Si noti che nel caso della probabilità semplice, l’esistenza di una scom-
messa stupida per Blaise e l’esistenza di un Dutch Book per Ada erano
equivalenti, mentre non è così nel caso di probabilità imprecise.
90

4.3.3 Caratterizzazione della coerenza in termini di
scommesse.
Facciamo adesso un’importante osservazione: non porre vincoli sugli eventi
presenti in un book e permettere ad uno scommettitore di scommettere a
favore o contro un evento A equivale ad inserire nel book per ogni evento A
il suo complementare A c e imporre allo scommettitore di puntare sempre a
favore dell’ evento scelto.
Questa osservazione ci permette di semplificare la forma del book lascian-
do implicito il riferimento agli intervalli di probabilità.
Infatti se un book coerente contiene due scommesse del tipo (A, [α, β]), (A c , [γ, δ])
si vede subito che deve essere α = 1 − δ e β = 1 − γ. Pertanto se in un book
compare insieme ad ogni evento A anche il suo complementare A c , non c’è
bisogno di assegnare ad A e ad A c sia la probabilità superiore che quella
inferiore: basta assegnare la probabilità inferiore (o equivalentemente quella
superiore): se β è la probabilità superiore di A e δ è la probabilità superiore
di A c , le loro probabilità inferiori sono rispettivamente 1 − δ e 1 − β.
Inoltre per lo scommettitore non c’è più bisogno di specificare se punta a
favore di un evento A. Possiamo infatti assumere che punti sempre a favore
di A, in quanto puntare λ contro A ha lo stesso effetto che puntare λ a favore
di A c .
Da ora in avanti possiamo supporre che il book sia della forma:
B = {(A1, α1), (A c 1, β1), . . . , (A1, α1), (A c n, βn)}
Ricordiamo adesso che ogni evento A può essere visto come una funzione
continua da uno spazio compatto e di Hausdorff X in R, dove X è l’insieme
91

di tutte le valutazioni in [0, 1]MV dotate della hull-kernel topology.
Inoltre per quanto detto prima se B è un book coerente, è un insieme di
coppie del tipo (φ, α), quindi può essere visto come una funzione
PB : D ⊆ C(X) −→ [0, 1]
dove D è un sottoinsieme degli eventi. Quindi se indichiamo con C(X)
l’insieme di tutte le funzioni continue da X in R, possiamo supporre che
D ⊆ C(X) e PB ∈ C(X) ∗ .
Sfruttando il Teorema di Rappresentazione per Probabilità Superiori pos-
siamo dimostrare un risultato analogo a quello di De Finetti ma nel caso di
eventi many-valued e probabilità imprecise. Nonostante gli intervalli di pro-
babilità rappresentaino l’opinione soggettiva che la probabilità di un evento
sia compresa in tali valori, è quindi pienamente legittimo chiedere che gli
estremi superiori ed inferiori proposti dal bookmaker rispettino gli uni le
leggi della probabilità superiore e gli altri quelle della probabilità inferiore.
In altre parole anche nel caso delle probabilità imprecise, si ha che l’ap-
proccio soggettivo è equivalente a quello assiomatico.
Oss. Osserviamo che anche il Teorema di Rappresentazione ha una chiara
interpretazione nell’approccio soggettivo. Supponiamo di dover valutare le
probabilità di certi eventi A1, . . . , An ma di non avere le idee molto chiare
in proposito. Una scelta saggia può essere quella di consultare degli esperti,
ma non è del tutto improbabile che tali esperti esprimano pareri leggermen-
te discordi su tali probabilità. Un atteggiamento prudente sembra essere
quello di adottare come probabilità superiore (risp. inferiore) dell’evento Ai
92

la probabilità massima (risp. minima) fra quelle attribuite ad Ai dai vari
esperti.
Teorema 4.3.1. Sia B un book in un gioco non reversibile. Allora le seguenti
sono equivalenti:
(i) C’è una probabilità superiore P + definita sull’algebra degli eventi tale che
se (φ, α) ∈ B allora P + (φ) = α.
(ii) Non ci sono scommesse stupide per lo scommettitore basate su B
Dimostrazione.
(i) ⇒ (ii) Per quanto affermato nel Teorema 3.2.1 possiamo considerare al
posto di P + il funzionale normalizzato, sublineare, monotono e debol-
mente additivo p = Ψ(P + ). Adesso (i) ⇒ (ii) diventa: non esiste un
book finito della forma Σ = {(φn, p(φn)), . . . , (φn, p(φn))}, λi ≥ 0 per
i = 1, . . . , n, un evento ψ e δ > 0 tali che
n
λi(v(φi) − p(φi)) > δ(v(ψ) − p(ψ))
i=1
per ogni valutazione v.
Supponiamo per assurdo che valga l’ultima disuguaglianza. Sfruttando
la sublinearità di p si ottiene
n
n
v( λiφi) − p( λiφi) > v(δψ) − p(δψ))
i=1
i=1
Ricordiamo che per il Teorema di Rappresentazione per le probabilità
superiori esiste uno stato P tale che P (ψ) = p(ψ) e P ≤ p, quindi si
ottiene
n
n
v( λiφi) − P ( λiφi) > v(δψ) − P (δψ)).
i=1
i=1
93

Poniamo adesso Φ = n
i=1 λiφi. Si ha
v(Φ − δψ) > P (Φ − δψ)
Ricordando che per ogni valutazione v e ogni evento x si ha x(v) = v(x)
e che gli stati sono integrali rispetto ad una misura di probabilità, la
disuguaglianza sopra diventa
(Φ − δψ)(x) > (Φ − δψ)dP
per ogni x. Ma questo è assurdo perché un integrale di una fun-
zione continua rispetto ad una misura di probabilità non può essere
strettamente minore di tutti i valori assunti dalla funzione stessa.
(ii) ⇒ (i) Ricordiamo che un book B può essere visto come una funzione PB
da un sottoinsieme D degli eventi in [0, 1].
Per dimostrare la tesi è pertanto sufficiente definire una mappa Φ ∗ da
C(X) in R sublineare, monotona, normalizzata e debolmente additivo
che estende PB; la sua restrizione all’insieme degli eventi ci darà una
probabilità superiore che estende PB, e quindi il book B.
Cominciamo dimostrando il seguente Lemma:
Lemma 4.3.1. Siano φ1, ..., φn, ψ ∈ D, e sia B un book su questi eventi per
cui non esiste una scommessa stupida. Siano poi ρ1, ..., ρn, σ ≥ 0. Allora
1. minx∈X ( n
i=1 ρiφi − σψ) ≤ n
i=1 ρiP (φi) − σP (ψ).
2. Per ogni α ∈ R, se ψ ≤ n
i=1 ρiφi+α, allora P (ψ) ≤ n
i=1 ρiP (φi)+α.
94

Dimostrazione. 1. Se per assurdo minx∈X ( n
i=1 ρiφi − σψ) > n
i=1 ρiP (φi)−
σP (ψ), allora per ogni valutazione x si avrebbe
n
n
ρix(φi) − ρiP (φi) > σx(ψ) − σP (ψ)
i=1
i=1
ossia scomettere σ su ψ sarebbe una scommessa stupida.
2. Supponiamo ψ ≤ n
i=1 ρiφi + α. Allora minx∈X ( n
i=1 ρiφi − ψ) ≥ −α.
Per la (1) (con σ = 1), si ha
n
ρiP (φi) − P (ψ) ≥ −α,
e quindi la (2).
i=1
Dimostrazione. Torniamo adesso alla dimostrazione del Teorema 4.3.1. De-
finiamo una mappa Φ ∗ da C(X) in R come segue:
Φ ∗ (γ) def
= inf { n
i=1 ρiPB(φi) + α : φi ∈ D, ρi ≥ 0, α ∈ R, γ ≤ n
i=1 ρiφi + α}
e dimostriamo che è un funzionale sublineare, monotono e normalizzato su
C(X) che estende PB.
Claim 1 Siano α, σ, ρ1, ..., ρn ∈ R con ρi ≥ 0 (i = 1, ..., n), e siano φ1, ..., φn ∈
D e γ ∈ C(X) tali che σ ≤ γ ≤ n i=1 ρiφi + α. Allora,
n
ρiPB(φi) + α ≥ σ.
i=1
Dimostrazione del Claim (1). Poiché σ ≤ n
i=1 ρiφi + α, si ottiene
0 ≤ n
i=1 ρiφi + α − σ. Quindi per ogni ψ ∈ D, abbiamo
ψ ≤ n
i=1 ρiφi + ψ + α − σ, e per la (2) del Lemma 4.3.1, si ottiene
PB(ψ) ≤ n
i=1 ρiPB(φi)+PB(ψ)+α−σ, e da ultimo σ ≤ n
i=1 ρiφi+α.
95

Claim 2 Per ogni γ ∈ C(X), minx∈X γ(x) ≤ Φ ∗ (γ) ≤ maxx∈X γ(x). In par-
ticolare, se γ è costante, allora Φ ∗ (γ) = γ, e quindi, Φ ∗ è normalizzata.
Dimostrazione del Claim (2). Sia σ = minx∈X γ(x) e α = maxx∈X γ(x).
Allora σ ≤ γ ≤ α, e per il Claim (1), con ρi = 0, i = 1, ..., n, si ottiene
σ ≤ Φ ∗ (γ) ≤ α.
Claim 3 Φ ∗ è sublineare e monotona.
Dimostrazione del Claim (3). Come prima cosa dimostriamo che
Φ ∗ (γ1 + γ2) ≤ Φ ∗ (γ1) + Φ ∗ (γ2).
Se γ1 ≤ n
i=1 ρi,1φi,1 + α1 e γ2 ≤ n
i=1 ρi,2φi,2 + α2, allora si ha
γ1 + γ2 ≤ n
i=1 (ρi+1φi,1 + ρi,2φi,2) + α1 + α2, e quindi
Φ ∗ (γ1 + γ2) ≤ n
i=1 (ρi,1PB(φi,1) + ρi,2PB(φi,2)) + α1 + α2.
Ne segue che Φ ∗ (γ1 + γ2) è limitata superiormente dalla somma dell’inf
di n
i=1 ρi,1PB(φi,1)+α1 con γ1 ≤ n
i=1 ρi,1φi,1 e dell’ inf di n
i=1 ρi,1PB(φi,1)+
α2 con γ2 ≤ n
i=1 ρi,2φi,2 + α2. Quindi si ottiene Φ ∗ (γ1 + γ2) ≤
Φ ∗ (γ1) + Φ ∗ (γ2). Dimostriamo adesso che per ogni numero reale σ ≥ 0
e per ogni γ ∈ C(X) si ha Φ ∗ (σγ) = σΦ ∗ (γ).
Questo segue direttamente dalla definizione di Φ ∗ e dal fatto che
γ ≤ n
i=1 ρiφi + α se e solo se σγ ≤ n
i=1 σρiφi + σα.
Il fatto che Φ ∗ sia monotona segue direttamente dalla sua definizione.
Claim 4 Per ogni γ ∈ C(X) e per ogni β ∈ R, abbiamo
Φ ∗ (γ + β) = Φ ∗ (γ) + β.
Dimostrazione del Claim (5). Se γ + β ≤ n
i=1 ρiφi + α, allora
γ ≤ n
i=1 ρiφi + α − β, e Φ ∗ (γ) ≤ n
i=1 ρiPB(φi) + α − β.
96

Quindi Φ ∗ (γ) + β ≤ Φ ∗ (γ + β). La disuguaglianza opposta segue dalla
sublinearità di Φ ∗ and dal Claim (2).
Claim 5 Per ogni φ ∈ D, Φ ∗ (φ) = P (Bφ).
Dimostrazione del Claim (4). Dal fatto che φ ≤ φ e dalla definizione di
Φ ∗ otteniamo che Φ ∗ (φ) ≤ PB(φ). D’altra parte per la (2) del Lemma
4.3.1, se φ ≤ n
i=1 ρiφi +α, allora PB(φ) ≤ n
i=1 ρiPB(φi)+α, e quindi
PB(φ) è limitata superiormente dall’ inf di tutti i numeri della forma
PB(φ) ≤ n
i=1 ρiPB(φi) + α tali che φ ≤ n
i=1 ρiφi + α, ossia da Φ ∗ (φ).
97

Prospettive di Ricerca
Nella Tesi abbiamo sviluppato e analizzato un approccio probabilistico alla
rappresentazione dell’incertezza basato sull’utilizzo degli intervalli di proba-
bilità e dei concetti di probabilità superiore e inferiore.
Una prima prospettiva di indagine, è andare a cercare una logica per
ragionare sulle probabilità superiori e inferiori, che permetta quindi di rap-
presentare il ragionamento in condzioni di incertezza.
Una seconda interessante prospettiva di ricerca, è quella di andare a con-
siderare non solo eventi semplici ma eventi condizionati. In particolare è
interessante chiedersi Esiste un criterio di coerenza alla de Finetti per la
probabilità condizionata su eventi many-valued? Per rispondere alla doman-
da bisogna innanzitutto capire come sia possibile interpretare in termini di
scommesse la probabilità condizionata. Ci sono infatti due distinte soluzioni:
(i) Dati due eventi a più valori A e B, la scommessa sull’evento condizionato
A|B è valida solo se B ha valore di verità 1. Se la quota proposta dal
bookmaker su A|B è α|β e lo scommettitore decide di scommettere λ,
paga λ(α|β) al bookmaker; se B non ha vaolre di verità 1 la scommessa
è annullata e lo scommettitore riceve dal bookmaker quanto versato,
invece se B ha vaolre 1 riceve λv(A).
(ii) La scommessa viene annullata solo se B è completamente falso,ossia
ha valore di verità 0, altrimenti si ritiene valida solo una parte della
scommessa proporzionale a v(B). Lo scommettitore paga al bookmaker
98

λ(α|β) e gli viene restituito (1−v(B))(λ(α|β))per la parte di scommessa
da annullare e λv(A)v(B) per la parte di scommessa valida da lui vinta.
Nonostante la prima soluzione sembri più ragionevole, nella seconda il gua-
dagno del bookmaker è dato dalla stessa formula del caso classico, ossia
λv(B)(α|β − v(A)), quindi la scelta tra la prima o la seconda non è bana-
le. Risolto poi questo problema, ci si dovrebbe domandare come definire
assiomaticamente una misura di probabilità su eventi condizionati (inizial-
mente precisa e poi come ulteriore sviluppo imprecisa), quale possa essere
un adeguato criterio di razionalità per un book e da ultimo cercare una
generalizzazione del risultato ottenuto da de Finetti.
Una terza prospettiva parte dall’osservazione che per motivi tecnici ab-
biamo nella Tesi abbiamo fatto ricorso alle MV-algebre di Riesz, ma dal
punto di vista intuitivo non è chiaro come si possa interpretare l’evento αφ
con α ∈ [0, 1]. Sarebbe quindi interessante capire cosa succederebbe se ci
limitiassimo alle MV-algebre; in particolare ci chiediamo quali possano es-
sere gli assiomi adatti a caratterizzare il concetto di probabilità imprecise
sulle MV-algebre e quale un adeguato criterio di razionalità per un book di
scommesse, con l’intento di arrivare ad un risultato sullo stile di quello di de
Finetti.
99

Bibliografia
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Mathematical Society 396, vol 77, 1989.
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100

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[18] Walley P.: Measures of uncertainty in expert systems, Artificial
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101

[19] Walley P.: Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities Volume 42
of Monographs on Statistics and Applied Probability, Chapman and
Hall, London 1991.
102

Indice
Ringraziamenti 2
Introduzione 3
Abstract 9
1 MV-algebre e Gruppi abeliani reticolari. 12
1.1 La classe MV delle MV-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 La hull kernel topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Gruppi abeliani parzialmente ordinati . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 L’equivalenza categoriale tra MV-algebre con unità for-
te e ℓ-gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Un Teorema di Rappresentazione per le MV-algebre . . . . . . 28
1.4 Il calcolo proposizionale infinito-valente di ̷Lukasiewicz . . . . 29
1.4.1 Algebrizzazione di ̷L e Teorema di completezza rispetto
alla classe MV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2 Teorema di Completezza finita standard per ̷L rispetto
all’MV-algebra standard [0, 1]MV . . . . . . . . . . . . 35
2 MV-algebre di Riesz e Spazi vettoriali di Riesz. 37
103

2.1 MV-algebre di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Spazi vettoriali di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Il Teorema di Hahn-Banach per spazi di Riesz . . . . . 44
3 Probabilità imprecise ed insiemi chiusi e convessi di stati. 49
3.1 Stati per MV-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Probabilità superiori per MV-algebre di Riesz . . . . . . . . . 52
3.3 Un Teorema di Rappresentazione per le Probabilità superiori . 57
3.3.1 Il Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 Spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Topologia forte, debole e debole* . . . . . . . . . . . . 62
3.3.4 Alcuni risultati interessanti . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.5 Probabilità superiori e insiemi chiusi e convessi di stati 69
3.4 Probabilità inferiori per MV-algebre di Riesz . . . . . . . . . . 75
4 Probabilità e scommesse 80
4.1 Coerenza nel senso di de Finetti . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Book razionali di eventi many valued . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Coerenza e probabilità imprecise. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Giochi non reversibili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.2 Un adeguato criterio di razionalità. . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Caratterizzazione della coerenza in termini di
scommesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Prospettive di Ricerca 98
Bibliografia 100
104