Un approccio probabilistico alla rappresentazione dell ... - SELP

Tenendo presente il Teorema di rappresentazione per MV-algebre come
prodotto sottodiretto di MV-catene, si ottiene come conseguenza il seguente
enunciato:
Teorema 1.4.2. Per ogni Γ ∩ {φ} ⊆ F m ̷L si ha
Γ ⊢ ̷L φ sse Γ {MV −catene} φ
1.4.2 Teorema di Completezza finita standard per ̷L
rispetto all’MV-algebra standard [0, 1]MV
Sfruttando il Teorema 1.4.2 e ricordando che per la Proposizione 1.3.1 ogni
MV-catena si immerge nell’MV-algebra standard, è possibile dimostrare que-
sto importante teorema:
Teorema 1.4.3 (Completezza Standard). Sia φ una formula della logica di
̷Lukasiewicz. Allora si ha
⊢ ̷L φ sse [0,1] φ
Dimostrazione. Per quanto riguarda la correttezza è sufficiente verificare che
l’MV-algebra standard soddisfa gli assiomi del calcolo della logica proposi-
zionale ̷Le il modus ponens.
Per quanto riguarda invece la completezza, supponiamo che ̷L φ.
Allora dato che la logica di ̷Lukasiewicz è completa rispetto alle catene, esiste
una MV-catena A e una A-valutazione v tale che v(φ) < 1. Sia X l’insieme
di tutte le valutazioni, sotto v, delle sottoformule di φ più lo 0 e l’1, ossia
X = {v(ψ)|ψ sottoformula di φ} ∪ {0, 1}.
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