Martina Fedel - Formalizzazioni del ragionamento non ... - SELP

Capitolo 1
Logiche non monotone e
ragionamento di senso comune
1.1 Introduzione
Se identifichiamo un agente con la relazione di conseguenza che caratterizza
il suo modo di fare inferenza, è facile rendersi conto di come la logica classica
sia inadeguata allo scopo di rappresentare un agente capace di agire in un
ambiente dinamico e realistico, come quello in cui ci troviamo a ragionare ad
agire quotidianamente. L’operatore classico di conseguenza soddisfa infatti
il principio della monotonia: se φ è conseguenza logica in senso classico di
θ allora per una qualunque formula ψ si ha che φ continua a seguire da θ e
ψ; tale operatore risulterà quindi adeguato a formalizzare il ragionamento di
chi in ogni momento può trarre conclusioni sulla base di certezze ritenendo
sufficienti le ragioni a sua disposizione.
Un agente capace di agire in un mondo reale avrà invece informazioni parziali
ed imperfette riguardo l’ambiente in cui opera, dalle quali basandosi sul
′′ buon senso ′′ potrà trarre conclusioni che dovranno pertanto essere rivedibili
con l’aggiunta di nuove informazioni. L’operatore di conseguenza adatto a
rappresentare un tale agente dovrà pertanto catturare una nozione di conseguenza
plausibile, in quanto il buon senso offre solo buone ragioni non necessariamente
sufficienti sulla base delle quali trarre conclusioni, e non potrà
quindi soddisfare il principio della monotonia: se ′′ θ è una buona ragione per
accettare φ ′′ significa che nelle situazioni più normali e plausibili se θ è vero
anche φ lo è, ma se aggiungiamo alle ipotesi un qualunque enunciato ψ non è
1

detto che sulla base del buon senso si possa continuare a dedurre φ in quanto
le situazioni più normali in cui sono verificate θ e ψ possono non coincidere
o non essere incluse in quelle in cui è verificato θ.
Nel tentativo di avvicinarci ad una più precisa rappresentazione della conoscenza
e del ragionamento di ′′ senso comune ′′ , in cui l’aggiunta di nuove informazioni
può portare alla revisione dell’insieme delle convinzioni precedentemente
acettate che può quindi diminuire, ci troviamo perciò nella nnecessità
di introdurre e studiare logiche diverse da quella classica e che siano
nonmonotone.
1.2 Piano dell’opera
In seguito presenteremo sia sintatticamente che semanticamente tre diverse
relazioni di conseguenza: una monotona, quella classica [Cap.2], e due nonmonotone,
estensioni della relazione di conseguenza classica e l’una strettamente
inclusa nell’altra che chiameremo rispettivamente relazione di conseguenza
razionale [Cap.4] e preferenziale [Cap.3].
Per quanto riguarda la presentazione semantica, cercheremo di dare per
tutte e tre le relazioni una caratterizzazione unitaria basata sull’idea intuitiva
che una asserzione φ segue da θ quando φ è vera nei mondi preferiti di
θ. In particolare faremo vedere che nel caso della relazione di conseguenza
monotona il concetto di preferibilità non si traduce in un ordinamento tra i
mondi possibili ma viene assimilato nell’idea di accettabilità o meno di un
mondo rispetto agli assiomi della relazione stessa [sez. 2.3].
Nel caso invece sia delle relazioni preferenziali che di quelle razionali l’idea
di preferibilità si traduce proprio in un ordinamento tra i mondi possibili. Per
le relazioni preferenziali questo ordinamento sarà parziale e affermeremo che
φ è conseguenza plausibile di θ se e solo se φ è vera in tutti i mondi minimali
rispetto a tale ordine in cui è vera θ [def. 3.5.1]; presenteremo quindi un
modello semantico corrispondente ad un insieme di alberi finito i cui nodi
saranno etichettati con i mondi possibili che potranno quindi essere anche
ripetuti.
Nel caso razionale invece l’ordine tra i mondi sarà lineare e affermeremo
che φ segue plausibilmente da θ se e solo se φ è vera nel mondo minimo
rispetto alla relazione d’ordine in cui è verificata θ [def. 4.2.1]; il modello
2

semantico corrisponderà questa volta ad un vettore formato da sottoinsiemi
di mondi possibili.
Per tutte e tre le relazioni introdotte faremo poi vedere come i due diversi
approcci delineati,semantico e sintattico, siano equivalenti. Nel caso delle
relazioni monotone mostreremo come intersecando tutte le relazioni accettabili
sintatticamente rispetto alle regole proposte [2.1] sia possibile definire
una minima relazione classica [Teorema 1] e proprio di questa daremo una
caratterizzazione semantica tramite un Teorema di Completezza [Teorema
2].
Lo stesso faremo per le relazioni di conseguenza preferenziali: dopo aver
presentato in 3.1 le condizioni che una relazione deve soddisfare per essere
considerata preferenziale mostreremo come anche per queste valga la chiusura
per intersezione [Teorema 5] ed enuncieremo poi un risultato di Completezza
[Teorema 8]
Nel caso delle relazioni razionali [4.1.1] osserveremo invece come venga
meno proprio la chiusura per intersezione [Oss.4.1.2]: per mostrare l’equivalenza
tra approccio semantico e sintattico non sarà quindi sufficiente
ricorrere ad un Teorema di Completezza, il quale fa riferimento ad una particolare
relazione, ma dovremo ricorrere piuttosto ad un Teorema di Rappresentaizone
[Teorema 4.2.1] il quale dimostra che ogni relazione sintatticamente
presentata di una determinata classe, nel nostro caso la classe delle
relazioni razionali, è uguale ad una relazione appartenente alla classe stessa
ma semanticamente introdotta.
Per dare un’unitarietà alla nostra presentazione enunceremo poi un analogo
Teorema di Rappresentazione per relazioni monotone [Teorema 3] e per
relazioni preferenziali [Teorema 7].
3

Capitolo 2
Richiami sulla Logica Classica
Prima di iniziare lo studio delle logiche non-monotone torniamo un attimo
alla logica classica con l’intento non di dare una trattazione approfondita di
tale argomento ma con quello di mettere in evidenza le forti analogie nelle
indagini semantiche e sintattiche delle relazioni di conseguenza monotone e
non-monotone e sottolineare quindi la naturalezza del passaggio dallo studio
delle prime allo studio delle seconde.
Definizione 2.0.1. Un linguaggio L è un insieme di lettere dette variabili
proposizionali p1, p2, p3, . . . .
In seguito assumeremo che il linguaggio sia finito, quindi L = {p1, . . . , pn}.
Definizione 2.0.2. L’insieme dei connettivi proposizionali presi in considerazione
è C = {∧, ∨, →, ¬} dove
• ∧ denota la congiunzione
• ∨ denota la disgiunzione
• → denota l’implicazione
• ¬ denota la negazione
4

Definizione 2.0.3. Fissato il linguaggio proposizionale L possiamo definire
ricorsivamente l’insieme EL degli enunciati del linguaggio L utilizzando i
connettivi in C come:
EL0 = L
ELn+1 = ELn ∪ {(θ ∧ φ), (θ ∨ φ), (θ → φ), ¬θ| θ, φ ∈ ELn}
EL =
n ELn
In seguito ulitizzeremo lettere greche minuscole θ, φ, ψ, . . . per gli elementi
di EL, mentre useremo le maiuscole Γ, ∆, . . . per i sottoinsiemi di EL.
2.1 Presentazione Sintattica
Definizione 2.1.1. Chiamiamo relazione di conseguenza monotona una relazione
|∼ mon⊆ 2EL × EL che soddisfa le condizioni seguenti:
REF
∧ D
∧ S
∨ D
∨ S
→ D
Modus Ponens
θ |∼ mon θ
Γ |∼ mon θ Γ |∼ mon φ
Γ |∼ mon θ ∧ φ
Γ |∼ mon θ
Γ |∼ mon θ ∨ φ
Γ, θ, φ |∼ mon ψ
Γ, θ ∧ φ |∼ mon ψ
Γ |∼ mon θ
Γ |∼ mon φ ∨ θ
Γ, θ |∼ mon ψ Γ, φ |∼ mon ψ
Γ, θ ∨ φ |∼ mon ψ
Γ, θ |∼ mon φ
Γ |∼ mon (θ → φ)
Γ |∼ mon θ Γ |∼ mon (θ → φ)
Γ |∼ mon φ
5

RAA
¬ D
Monotonia
Γ |∼ mon ¬¬θ
Γ |∼ mon θ
Γ, θ |∼ mon φ Γ, θ |∼ mon ¬φ
Γ |∼ mon ¬θ
Γ |∼ mon θ
Γ ∪ ∆ |∼ mon θ
Le proprietà sopra presentate, oltrechè come condizioni che catturano
aspetti della nozione di conseguenza che si vuole formalizzare, possono essere
viste come relazioni puramente sintattiche tra le premesse al di sopra della
barra e le conseguenza al di sotto della barra stessa ed essere considerate come
regole di inferenza. Possiamo a questo punto dare la seguente definizione:
Definizione 2.1.2. Una derivazione (o dimostrazione formale) per il calcolo
proposizionale è una sequenza finita di applicazioni delle regole di inferenza
sopra menzionate.
Definizione 2.1.3. Siano θ ∈ EL e Γ un sottoinsieme finito di EL. Diciamo
che ′′ Γ dimostra θ ′′ scritto Γ ⊢ θ se e solo se il sequente Γ |∼ mon θ è derivabile
a partire dalle regole.
Teorema 1. • ⊢ è una relazione di conseguenza monotona.
• se |∼ mon è una relazione di conseguenza monotona e Γ ⊢ θ
allora Γ |∼ mon θ.
• Γ ⊢ θ ⇐⇒ per tutte le relazioni di conseguenza monotone |∼ mon si ha
Γ |∼ mon θ.
ossia ⊢ è la più piccola relazione di conseguenza monotona.
Dimostrazione. Per la dimostrazione vedi [9].
6

2.2 Presentazione Semantica
Per formalizzare la nozione di conseguenza logica secondo un determinato
schema di ragionamento che vogliamo catturare si pu seguire anche un approccio
diverso da quello sintattico seguito sopra. presentato si può seguire
anche un diverso tipo di approccio che tiene in considerazione le relazioni che
intercorrono tra una qualsiasi formula ed oggetti esterni ad essa. Secondo
questo tipo di approccio che chiameremo semantico, si tiene in considerazione
le relazioni che intercorrono tra una qualsiasi formula ed oggetti esterni ad
essa; quello che si cerca di fare è quindi attribuire un significato agli elementi
del linguaggio, dare loro un’interpretazione (ad esempio, nel caso del calcolo
proposizionale, i valori di verità 0 e 1) verificando l’adeguatezza materiale
della formalizzazione proposta rispetto ai vincoli esterni individuati.
Tale approccio è quindi in linea con quanto afferma Tarski in un suo scritto
del 1936:
The concept of following logically belongs to the category of those concepts
whose introduction into the domain of exact formal investigations was
not only an act of arbitrary decision on the side of this or that researcher: in
making precise the content of this concept, efforts were made to conform to
the everyday pre-existing way it is used.
(Tarski A. On the concept of following logically, History and Philosophy
of Logic, Volume 23, Number 3, pp. 155-196, 2002) Diamo quindi le seguenti
definizioni.
Definizione 2.2.1. Una valutazione su un linguaggio L è una funzione
v : L −→ {0, 1}
Nonostante sia definita solo su L = EL0 possiamo estendere una valutazione
su tutte le espressioni del linguaggio sfruttando il principio di composizionalità
delle formule, ovvero il fatto che il valore di verità di un enunciato
composto dipende dal valore di verità dei suoi componenti. Quindi
se θ = ¬φ allora v(θ) = 1 se v(φ) = 0 e 0 altrimenti
se θ = (φ ∧ ψ) allora v(θ) = 1 se v(φ) = v(ψ) = 1 e 0 altrimenti
se θ = (φ ∨ ψ) allora v(θ) = 0 se v(φ) = v(ψ) = 0 e 1 altrimenti
se θ = (φ → ψ) allora v(θ) = 0 se v(φ) = 1 e v(ψ) = 0 e 1 altrimenti.
7

Definizione 2.2.2. Diciamo che due enunciati θ e φ sono logicamente equivalenti
e scriviamo θ ≡ φ se per ogni valutazione v si ha v(θ) = v(φ).
Definizione 2.2.3. Siano V linsieme delle valutazioni su L e Γ ⊆ EL.
Diciamo che v ∈ V è un modello di Γ se per ogni γ ∈ Γ si ha v(γ) = 1
Nel 1936 Tarski formulò le condizioni di accettabilità che stanno alla base
della definizione di conseguenza logica in forma semantica:
Let us consider an arbitrary class of sentences Γ and an arbitrary sentence
θ which follows from the sentences of this class. From the point of view of
everyday intuitions it is clear that it cannot happen that all the sentences of
the class Γ would be true but at the same time the sentence θ would be false.
(Tarski A. On the concept of following logically, History and Philosophy of
Logic, Volume 23, Number 3, pp. 155-196, 2002)
Formalizzando tale definizione intuitiva lo stesso Tarski diede nello stesso
scritto la seguente definizione:
We say that the sentence θ follows logically from the sentences of the
class Γ if and only if every model of the class Γ is at the same time a model
of the sentence θ.
Definizione 2.2.4. Sia Γ ⊆ EL, allora diremo che Γ implica classicamente
θ, scritto Γ |= θ, se ogni modello di Γ è modello di θ.
Questa definizione è la formalizzazione che si ottiene del concetto classico
di conseguenza seguendo quello che abbiamo chiamato approccio semantico.
Osservazione 2.2.1. Osserviamo inoltre che la definizione sopra esposta mette
bene in evidenza come la nozione classica di conseguenza non sia compatibile
con la volontà di rappresentare un agente capace di muoversi in un ambiente
dinamico solo parzialmente noto e che debba essere in grado di rivedere le
sue conclusioni; infatti si ha che θ segue in senso classico da Γ se ogni volta
che tutte le asserzioni di Γ sono vere allora anche θ è vera. In particolare
quindi è soddisfatto il principio della monotonia:
per ogni θ, φ, ψ ∈ EL si ha che θ |= φ ⇒ θ ∧ ψ |= φ.
8

Siamo a questo punto in grado di dimostrare l’equivalenza tra i due diversi
approcci enunciando il Teorema di Completezza per relazioni di conseguenza
Monotone:
Teorema 2 (Completezza). Sia Γ ⊆ EL, θ ∈ EL. Allora
Γ |= θ ⇐⇒ Γ ⊢ θ
Come anticipato nel Cap.1 enunciamo per le relazioni di conseguenza
monotone un Teorema di Rappresentazione:
Teorema 3 (Teorema di Rappresentazione per Relazioni di Conseguenza
Monotone). Sia ∆ ⊆ EL un sottoinsieme finito e definiamo una relazione
|∼∆ nel seguente modo:
Γ |∼∆ θ ⇐⇒ Γ, ∆ ⊢ θ (∗)
Allora |∼∆ è una relazione di conseguenza monotona. Viceversa data una
relazione di conseguenza monotona |∼∆ allora c’è un insieme finito ∆ ⊆ SL
tale che la relazione sopra vale.
Dimostrazione. Per la dimostrazione vedi [9].
Osserviamo che per il teorema di Completezza sopra enunciato possiamo
riscrivere l’equazione (*) nella forma:
Γ |∼∆ φ ⇐⇒ Γ, ∆ |= φ
2.3 Valutazioni e Atomi
Introduciamo adesso il concetto di atomo il quale permetterà di attuare un
cambio di notazione che metterà in evidenza la naturalezza del passaggio dalla
costruzione di un modello semantico per l’operatore classico di conseguenza
a quella di un modello semantico per relazioni di conseguenza nonmonotone.
Sia L = {p1, . . . , pn}; poniamo p 1 = p e p 0 = ¬p.
9

Definizione 2.3.1. Definiamo atomi di L i 2 n enunciati della forma
p ε1
1 ∧ . . . ∧ p εn
n
con εi ∈ {0, 1}
e indichiamo il loro insieme in questo modo At L = {αi|i = 1, . . . , 2 n }
Osserviamo ora che per ogni valutazione V sul linguaggio L si ha
V (pε
ε = 1, V(p)=1;
) = 1 ⇐⇒
ε = 0, V(¬ p)=1.
Quindi V (pε ) = 1 ⇐⇒ V (p) = ε
A questo punto siamo in grado di dimostrare il seguente teorema:
Proposizione 2.3.1. Dato un atomo α c’è un’unica valutazione V tale che
V (α)=1 e data una valutazione V c’è un unico atomo α ∈ At L tale che
V (α) = 1
Dimostrazione. Per quanto detto sopra abbiamo
v(α) = 1 ⇐⇒ ∀1 ≤ i ≤ n, v(p εi
i ) = 1 ⇐⇒ ∀1 ≤ i ≤ n, v(pi) = εi
Quindi dato un atomo α l’unica valutazione v per cui si ha v(α)=1 è la
valutazione Vα definita nel modo seguente:
Vα(pi) = εi ∀1 ≤ i ≤ n
Invece data una valutazione v l’atomo α per cui si ha v(α)=1 è
α = p
V (p1)
1
∧, . . . , ∧p
Introduciamo poi un’altra definizione:
V (pn)
n
Definizione 2.3.2. Mθ = {α ∈ At L |α |= θ} = {α ∈ At L |Vα(θ) = 1}
dove l’ultima ugualgianza è giustificata dal fatto che
α |= θ ⇐⇒ V (θ) = 1 per ogni valutazione V tale che V (α) = 1
⇐⇒ Vα(θ) = 1 poichè per quanto abbiamo detto c’è un’unica
valutazione tale che V (α) = 1 ossia Vα
Per Mθ così definito vale il seguente teorema per la cui dimostrazione
rimandiamo a [9]:
10

Teorema 4. Siano θ e φ ∈ EL allora:
1. θ ≡ Mθ
2. Mθ è l’unico sottoinsieme di At L tale che θ ≡ Mθ
3. Per R ⊆ AtL, M R = R
Osservazione 2.3.1. Valgono poi altre proprietà fra le quali citiamo le seguenti:
1. θ ≡ φ ⇐⇒ Mθ ≡ Mφ
2. Mθ∧φ = Mθ ∩ Mφ
3. Mθ∨φ = Mθ ∪ Mφ
4. M¬θ = At L − Mθ
5. |= θ ⇐⇒ Mθ = At L
6. θ |= φ ⇐⇒ Mθ ⊆ Mφ
Ricordiamoci adesso che secondo quanto afferma il Teorema di Rappresentazione
per Relazioni di Conseguenza Monotone, per ogni relazione monotona
|∼∆ è possibile trovare un insieme ∆ ⊆ EL tale che Γ |∼∆ φ ⇐⇒ Γ, ∆ |= φ.
Sia M∆ = {α ∈ At L |Vα(∆) = 1}, l’insieme delle valutazini che verificano
l’insieme di assiomi ∆ della relazione considerata, ossia l’unico mondo accettabile
per la relazione stessa; nel caso particolare in cui Γ = {θ} abbiamo
che
θ |∼∆ φ ⇐⇒ ∀α ∈ M∆(α ∈ Mθ =⇒ α ∈ Mφ)
⇐⇒ M∆ ∩ Mθ ⊆ Mφ
11

Capitolo 3
Relazioni di Conseguenza
Preferenziali
Gabbay è stato il primo a suggerire di indagare il ragionamento non-monotono
da un punto di vista sintattico ossia a suggerire di concentrare l’attenzione
sulle proprietà che vogliamo siano soddisfatte dalla relazione di conseguenza
che lo deve formalizzare. Seguendo anche noi questo suggerimento, inizieremo
la nostra indagine elencando quelle che possono essere considerate le
caratteristiche minime che una relazione di conseguenza |∼⊆ EL × EL deve
soddisfare per poter essere considerata un’adeguata formalizzazione di un sistema
di ragionamento non monotono, e cercheremo di dare una giustificazione
intuitiva di alcune di queste proprietà desiderabili.
3.1 Presentazione Sintattica
Definizione 3.1.1. Sia |∼⊆ EL × EL e siano θ, φ ∈ EL. L’oggetto metalinguistico
θ |∼ φ viene chiamato default.
Reflexivity (REF)
θ |∼ θ
Left Logical Equivalence(LLE)
θ ≡ φ, θ |∼ ψ
φ |∼ ψ
12

esprime la richiesta che formule logicamente equivalenti in senso classico
abbiano esattamente le stesse conseguenze, ossia che le conseguenze di una
formula dipendano solamente del suo significato e non dalla forma in cui
questa viene espressa.
Right Weakening(RWE)
θ |∼ φ, φ |= ψ
θ |∼ ψ
esprime il fatto che dobbiamo essere pronti ad accettare come conseguenza
plausibile tutto ciò che è classicamente implicato da quello che riteniamo
essere a sua volta una conseguenza plausibile rispetto alla nostra base di
conoscenza.
And on right (AND)
Disjunction on the left (OR)
θ |∼ φ, θ |∼ ψ
θ |∼ φ ∧ ψ
θ |∼ φ, φ |∼ ψ
θ ∨ ψ |∼ φ
Cautious Monotonicity(CMO)
θ |∼ φ, θ |∼ ψ
θ ∧ φ |∼ ψ
è una forma ristretta di monotonia e rappresenta una schema di ragionamento
spesso adottato nella vita di tutti i giorni.
In particolare la regola sopra menzionata esprime il fatto che aggiungere alle
nostre conoscenze un fatto la cui plausibilità poteva già essere provata non
invalida le conclusioni raggiunte. Facciamo un esempio:
supponiamo che il nostro interlocutore affermi
- mi aspetto che stasera piova
- è plausibile che domani il Torino vinca la partita
allora noi siamo convinti che il nostro interlocutore pensi che
13

- anche se la sera pioverà, è plausibile che il Torino il giorno seguente
vinca la partita.
La forza di questa regola si può osservare anche da un punto di vista pratico;
infatti non succede di rado di imparare nuovi fatti e quello che vorremo
fare è minimizzare il costo di aggiornamento della nostra base di conoscenza.
(CMO) serve proprio a questo in quanto afferma che se già a livello
di conoscenza incerta ci aspettavamo che ciò che abbiamo imparato doveva
essere vero, non dobbiamo modificare le nostre convinzioni.
Con la (CMO) abbiamo terminato l’esposizione delle regole che costituiscono
una relazione di conseguenza presentata e studiata per la prima volta
in [5] e possiamo quindi dare la seguente definizione:
Definizione 3.1.2 (Preferential Consequence Relation). Ogni Relazione di
Conseguenza |∼⊆ EL × EL che soddisfa le regole (REF)-(CMO) sopra elencate
è detta Relazione di Conseguenza Preferenziale.
Anche in questo caso, come per il caso monotono le condizioni desiderabili
sopraesposte possono essere considerate regole di inferenza ed è quindi
possibile introdurre una nozione di derivazione:
Definizione 3.1.3. Una derivazione (o dimostrazione) per il calcolo proposizionale
di base è una sequenza finita di applicazioni delle regole di inferenza
sopra menzionate.
Definizione 3.1.4. Siano θ ∈ EL e Γ un sottoinsieme finito di EL. Diciamo
che ′′ Γ dimostra tramite le regole del sistema preferenziale θ ′′ scritto Γ ⊢pref θ
se e solo se esiste una dimostrazione di θ a partire da Γ.
Concludiamo enunciando il teorema che caratterizza la minima relazione
preferenziale:
Teorema 5. • ⊢pref è una relazione di conseguenza preferenziale.
• se |∼ è una relazione di conseguenza preferenziale e Γ ⊢pref θ
allora Γ |∼ θ.
• Γ ⊢pref θ ⇐⇒ per tutte le relazioni di conseguenza preferenziali |∼ si
ha Γ |∼ θ.
ossia ⊢pref è la più piccola relazione di conseguenza preferenziale.
14

3.2 Alcune regole derivabili
Dopo aver presentato le regole base che compongono le relazioni di conseguenza
preferenziali enunciamo alcune importanti regole che possono essere da
esse derivate:
Supraclassicality (SCL)
θ |= φ
θ |∼ φ
Dimostrazione.
θ |∼ φ, θ |= φ
θ |∼ φ
Mette in evidenza come le relazioni di conseguenza non-monotone sopra
definite siano un’estensione inferenziale del concetto di conseguenza classica
|= in quanto se consideriamo le relazioni come sottoinsieme del prodotto
cartesiano delle formule la relazione di conseguenza classica risulta strettamente
inclusa in quelle non-monotone.
Conditionalisation (CON)
Dimostrazione.
θ ∧ φ |∼ ψ
θ |∼ φ → ψ
θ ∧ φ |∼ ψ, ψ |= φ → ψ
θ ∧ φ |∼ φ → ψ
Applicando (DIS)si ottiene poi
(theta ∧ φ) ∨ (θ ∧ ¬φ)
θ ∧ ¬φ |= φ → ψ
θ ∧ ¬φ |∼ φ → ψ
da cui in un passaggio utilizzando (LLE) si ottiene la tesi:
(θ ≡ θ ∧ φ) ∨ (θ ∧ ¬φ) (θ ∧ φ) ∨ (θ ∧ ¬φ) |∼ φ → ψ
θ |∼ φ → ψ
15

Cautious Cut(CCUT)
θ |∼ φ θ ∧ φ |∼ ψ
θ |∼ ψ
Dimostrazione. Tramite la regola (CON) sopra dimostrata si ottiene
θ ∧ φ |∼ ψ
θ |∼ φ → ψ
Utilizzando la prima ipotesi tramite la regola (AND) si ottiene θ |∼ (φ →
ψ) ∧ φ. Tramite (RWE) si arriva alla tesi:
θ |∼ (φ → ψ) ∧ φ φ ∧ (φ → ψ) |= ψ
θ |∼ ψ
Gabbay nel suo primo lavoro inserì (CCUT) fra le condizioni minimali
che una relazione di conseguenza deve soddisfare per essere considerata nonmonotona
affermando che questa è in grado di catturare uno schema di inferenza
ricorrente in molte formalizzazioni del ragionamento plausibile.
Chiarifichiamo questa affermazione con un esempio:
• Se piove molto normalmente il prato rimane bagnato per due giorni
(θ |∼ φ)
• Se piove molto e il prato rimane bagnato per due giorni normalmente
non c’è bisogno di annaffiarlo (θ ∧ φ |∼ ψ)
Sotto queste ipotesi è infatti comunemente inteso come razionale concludere
che:
∴ Se piove molto normalmente non c’è bisogno di annaffiare il prato
(θ |∼ ψ).
16

3.3 Alcune regole non desiderabili
Mostriamo adesso come alcune proprietà soddisfatte dalla relazione di conseguenza
classica che non possono invece essere ritenute proprietà desiderabili
da un sistema di ragionamento il cui scopo è formalizzare il ragionamento
nonmonotono in quanto equivalenti a (MON) oppure implicanti la
monotonia.
Cut o Transitivity(TRN)
θ |∼ φ φ |∼ ψ
θ |∼ ψ
TRN⇒MON. Tramite (SCL) si ottiene
θ ∧ φ |= θ
θ ∧ φ |∼ θ
e quindi sfruttando l’ipotesi e applicando (TRN) ho finito
θ ∧ φ |∼ θ θ |∼ ψ
θ ∧ φ |∼ ψ
MON⇒TRN. Applicando (MON) a φ |∼ ψ ottengo θ ∧ φ |∼ ψ Grazie a
(CCUT) e alla seconda ipotesi ottengo la tesi:
θ ∧ φ |∼ ψ θ |∼ φ
θ |∼ ψ
Easy Half Deduction Theorem (EHD)
θ |∼ φ → ψ
θ ∧ φ |∼ ψ
EHD⇒MON. Tramite (RWE) ottengo
θ |∼ ψ ψ |= φ → ψ
θ |∼ φ → ψ
da cui applicando (EHD) ottengo la tesi.
17

MON⇒EHD. Da una parte sapendo che θ ∧ φ |= φ tramite (SCL) si ottiene
θ ∧ φ |∼ φ e dall’altra applicando (MON) all’ipotesi θ |∼ φ → ψ si ottiene
θ ∧ φ |∼ φ → ψ. A questo punto applico (AND)
θ ∧ φ |∼ φ θφ |∼ φ → ψ
θφ |∼ (φ ∧ φ → ψ
e poi concludo osservando che φ ∧ φ → ψ |= ψ e applicando (RWE).
Contraposition(CNT)
θ |∼ φ
¬ψ |∼ ¬θ
CTR⇒MON. Tramite (CTR) applicato all’ipotesi ottengo
θ |∼ ψ
¬ψ |∼ ¬θ
Considerando che ¬θ |= ¬(θ∧φ) applicando (RWE) si ottiene ¬ψ |∼ ¬(θ∧φ).
Tramite (CTR) ottengo la tesi:
¬ψ |∼ ¬(θ ∧ φ)
θ ∧ φ |∼ ψ
18

3.4 Un Problema da risolvere
Usando il sistema fin qui delineato è possibile stabilire se una data asserzione
è derivabile a partire da una certa base di conoscenza. Ad esempio
Sia K = {θ |∼ φ, ψ |∼ ¬φ ψ |∼ θ} ci chiediamo se la formula
θ ∧ ψ |∼ ¬φ segue nonmonotonicamente da K. Tramite l’applicazione di
(CMO) abbiamo subito
ψ |∼ ¬φ ψ |∼ θ
ψ ∧ θ |∼ ¬φ
e quindi possiamo rispondere in modo affermativo.
Ma possiamo stabilire se una data formula non può essere derivata da una
base di conoscenza tramite le regole che compongono una relazione di conseguenza
preferenziale? Proprio come accade per la logica classica per rispondere
a tale domanda è necessario fare un passo in più; è necessario introdurre
una semantica, quindi dare un’interpretazione, un significato agli elementi del
linguaggio e dimostrare un appropriato teorema di Completezza (o Rappresentazione).
A questo punto, proprio come accade nel caso di una relazione
di conseguenza monotona possiamo dimostrare che una certa formula non è
derivabile da un insieme di defaults K semplicemente esibendo un modello
che soddisfa K ma non la formula data.
19

3.5 Semantica F per Relazioni di Conseguenza
Preferenziali
Richiamiamo brevemente ciò che è stato detto nel paragrafo 2.3 quando abbiamo
introdotto una semantica per le relazioni di conseguenza monotone;
in particolare ricordiamo che avevamo concluso affermando che:
θ |∼∆ φ ↔ M∆ ∩ Mθ ⊆ Mφ
dove avevamo interpretato l’insieme M∆ ⊆ At L come il mondo in cui ci
troviamo a ragionare.
Come già abbiamo affermato nell’introduzione la caratterizzazione semantica
delle relazioni preferenziali prima introdotte, così come quella delle
relazioni razionali di cui parleremo nel capitolo successivo, si basa sull’idea
intuitiva che i mondi possibili non hanno tutti lo stesso grado di normalità,
plausibilità, preferibilità, come nel caso delle relazioni monotone dove si distingueva
solo tra mondi accettabili e non rispetto ad un insieme di assiomi da
verificare, ma sono ordinati secondo la loro normalità; in particolare nel caso
delle relazioni preferenziali l’ordine tra i mondi sarà parziale e affermeremo
che φ è conseguenza plausibile di θ se e solo se φ è vera in tutti i mondi
minimali rispetto a tale ordine in cui è vera θ.
L’idea intuitiva sopra esposta formalmente si traduce nel modo seguente:
Definizione 3.5.1. Sia F = (N, ≺) una foresta (insieme di alberi) dove ogni
nodo ni ∈ N è etichettato con un atomo del linguaggio L considerato e dove
≺ è un ordine parziale stretto fra nodi secondo cui per ogni nodo l’insieme
dei suoi predecessori è linearmente ordinato.
Osservazione 3.5.1. Osserviamo che la funzione ′′ etichettatrice ′′ che manda
atomi in nodi non è iniettiva come si dimostra in [8]; per semplicità però
identifichiamo ogni nodo con l’atomo che lo etichetta.
Diciamo che
θ |∼F φ ⇐⇒ N ∩ Mθ = ∅ oppure definito Minθ come l’insieme dei minimali
di Mθ si ha Minθ ⊆ Mφ
20

3.5.1 Teorema di Rappresentazione per Relazioni di
Conseguenza Preferenziali
Possiamo a questo punto dare una precisa caratterizzazione semantica delle
relazioni di conseguenza preferenziali enunciando il Teorema di Rappresentazione,
non nella forma proposta da Kraus, Lehmann e Magidor in [5] ma
in una originale elaborata su suggerimento del professor D.Makinson.
Teorema 6 (Correttezza). Dato un insieme di alberi F allora |∼F definita
come sopra è una relazione di conseguenza preferenziale.
Dimostrazione. Per dimostrare il teorema dobbiamo provare che |∼F soddisfa
tutte le proprietà da (REF ) a (CMO).
REF Se N ∩ Mθ = ∅ per definizione θ |∼F θ. Altrimenti sia Minθ l’insieme
dei minimali di Mθ;allora Minθ ⊆ Mθ quindi θ |∼ m θ.
LLE Supponiamo che θ |∼F ψ, θ ≡ φ. Se N ∩ Mφ = ∅ ottengo φ |∼F ψ
per definizione. Altrimenti sia Minφ l’insieme dei minimali di Mφ.
Osserviamo che per il teorema 4 θ ≡ φ ⇐⇒ Mθ = Mφ quindi si ottiene
Minφ = Minθ ⊆ Mψ da cui per definizione φ |∼F ψ.
RWE Supponiamo θ |∼F φ, φ |= ψ. Se N ∩ Mθ = ∅ allora θ |∼F ψ
per definizione. Altrimenti sia Minθ l’insieme dei minimali di Mθ; per
ipotesi si ha Minθ ⊆ Mφ ed inoltre per il teorema 4 φ |= ψ ⇐⇒ Mφ ⊆
Mψ. Quindi si ottiene Minθ ⊆ Mφ ⊆ Mψ ossia per definizione θ |∼F ψ.
AND Supponiamo che θ |∼ m φ, θ |∼ m ψ. Se N ∩ Mθ = ∅ allora per
definizione θ |∼ m φ ∧ ψ. Altrimenti sia Minθ l’insieme dei minimali
di Mθ. Allora per ipotesi Minθ ⊆ Mφ e Minθ ⊆ Mψ da cui possiamo
concludere Minθ ⊆ Mφ ∩ Mψ e quindi θ |∼F φ ∧ ψ.
DIS Supponiamo che θ |∼F φ, ψ |∼F φ. Se N ∩ Mθ∨ψ = ∅ allora θ ∨ ψ |∼F
φ. Altrimenti sia Minθ∨ψ l’insieme degli elementi minimali di Mθ∨ψ;
quello che vorremmo dimostrare è che Minθ∨ψ ⊆ Mφ. Osserviamo
che Minθ∨ψ ⊆ Minθ ∪ Minψ; infatti sia n ∈ Minθ∨ψ, se per assurdo
n ∈ ′ Minθ ∪ Minψ allora in particolare ∃n ′ ≺ n ∈ Mθ. Ma allora
n ′ ∈ Mθ ⊆ Mθ∨ψ e quindi n non sarebbe minimale in Mθ∨ψ;assurdo.
A questo punto osserviamo che per ipotesi Minθ ⊆ Mφ e Minψ ⊆ Mφ
quindi si ottiene Minθ∨ψ ⊆ Mθ ∪ Mψ ⊆ Mφ ossia θ ∨ ψ |∼F φ.
21

CMO Supponiamo che θ |∼F φ, θ |∼F ψ. Se N ∩ Mθ = ∅ allora N ∩
Mθ∧φ = N ∩ Mθ ∩ Mφ = ∅ quindi si ottiene θ ∧ φ |∼F ψ. Altrimenti sia
Minθ∧φ l’insieme degli elementi minimali di Mθ∧φ; quello che vorremmo
dimostrare è che Minθ∧φ ⊆ Mψ. Osserviamo che Minθ∧φ ⊆ Minθ;
infatti sia n ∈ Minθ∧φ, se per assurdo n ∈ ′ Minθ allora ∃n ′ ≺ n ∈ Mθ,
e senza perdita di generalità possiamo supporre che n ′ sia minimale
in Mθ. Ma allora avendo per ipotesi θ |∼F φ si ottiene n ′ ∈ Mφ da
cui n ′ ∈ Mθ∧φ e quindi n non sarebbe minimale in Mθ∧φ;assurdo. A
questo punto osserviamo che per ipotesi Minθ ⊆ Mψ e quindi si ottiene
Minθ∧φ ⊆ Minθ ⊆ Mψ ossia θ ∧ φ |∼F ψ.
Teorema 7 (Rappresentazione per relazioni di conseguenza preferenziali).
Ogni relazione di conseguenza preferenziale su EL, |∼, è della forma |∼F per
un qualche insieme di alberi F = (N, ≺) definito come in 3.5.1 e viceversa
(per il teroema di Correttezza).
Dimostrazione.
Osservazione 3.5.2. Data una relazione di conseguenza preferenziale |∼ non
esiste un unico insieme di alberi F tale che |∼=|∼F . Notiamo infatti che
se eliminiamo o aggiungiamo un nodo nk che già compare sul cammino che
va dalla radice al nodo stesso, la relazione non cambia in quanto nk non è
minimale.
Supponiamo di sapere che |∼=|∼F (con i nodi lungo uno stesso cammino
tutti distinti) e ricorsivamente cerchiamo di capire da che atomi sono
etichettati i nodi dell’albero.
Base definiamo le radici dei vari alberi che compongono la foresta F N0
osservando che per R ⊆ At L
N0 ⊆ R ⇐⇒ N0 ∩ At L ⊆ R
⇐⇒ N0 ∩ Mη ⊆ R per ogni tautologia η
⇐⇒ η |∼ R poichè R = M R eMinη = N0
∴ N0 = il più piccolo insieme R ⊆ At L tale che |∼ R
= {R ⊆ At L | |∼ R}
22

Passo ricorsivo Unifichiamo tutti gli alberi in un unico albero aggiungendo
come radice il nodo n0 = ∅ e procediamo cercando dato un nodo nk
l’insieme dei suoi figli che indicheremo Snk . Indichiamo con ni i nodi sul
cammino dalla radice a nk. Osserviamo che i nodi minimali dell’insieme
(AtL − k i=1 ni) sono Snk e la radice dell’albero,ossia
e quindi
Min k ¬ = Snk ∪ ∅
i=1
ni
• Snk ∩ M ¬ k i=1 ni ⊆ R ⇒ Snk ⊆ M R ⇒ Snk ∪ ∅ ⊆ M R ⇒
Min k ¬ i=1 ni ⊆ M R ⇒ ¬ k i=1 ni |∼ R
• ¬ k
i=1 ni |∼ R ⇒ Min ¬ k
i=1 ni ⊆ M R ⇒ Snk ⊆ M R ⇒
Snk ∩ M ¬ k
i=1 ni ⊆ M R
Possiamo a questo punto affermare che per R ⊆ At L
Snk ⊆ R ⇐⇒ Snk ∩ (AtL − k
i=1 ni) ⊆ R
⇐⇒ Snk ∩ M ¬ k
i=1 ni ⊆ R = M R
⇐⇒ ¬ k
i=1 ni |∼ R
∴ Snk = il più piccolo insieme R ⊆ AtL tale che ¬ k
i=1 ni |∼ R
= {R ⊆ At L |¬ k
i=1 ni |∼ R}
Allo stato attuale delle cose abbiamo però un’infinità di nodi; per ottenerne
un numero finito osserviamo che i nodi lungo un cammino sono tutti
distinti, ossia nk+1 = nj per j < k + 1.
Osserviamo che ¬ k i=1 ni ≡ (AtL − k i=1 ni) o equivalentemente
M ¬ k
i=1 ni = (AtL − k
i=1 ni)
Quindi tramite SCL otteniamo ¬ k
i=1 ni |∼ (At L − k
i=1 ni); per la
definizione di Snk otteniamo invece Snk ⊆ (AtL − k
i=1 ni) e quindi
Snk ∩ nj ⊆ (At L − k
i=1 ni) ∩ nj ⊆ (At L − nj) ∩ nj = ∅
come richiesto.
Poichè il linguaggio considerato è finito, c’è un numero finito di atomi;
non potendo esserci atomi ripetuti sullo stesso cammino, ogni ramo avrà
lunghezza finita e quindi per il Lemma di Konig l’intero albero sarà finito.
23

Osservazione 3.5.3. In particolare decidiamo di arrestare lo sviluppo di ogni
ramo quando per la prima volta si ottiene come insieme dei figli del nodo
foglia considerato l’insieme vuoto.
Consideriamo adesso l’insieme di alberi F risultante dall’albero sopra senza
la radice e introduciamo un ordinamento parziale tra i nodi ≺ secondo cui
per ogni nodo l’insieme dei vari predecessori è linearmente ordinato.
Quello che adesso andremo a dimostrare è la seguente affermazione:
|∼F =|∼
|∼⊆|∼F . Supponiamo che θ |∼ φ; vogliamo dimostrare che θ |∼F φ. Se N ∩Mθ
abbiamo finito; altrimenti consideriamo nk ∈ Minθ.
∴ Mθ ∩ k−1
i=1 ni = ∅
⇒ Mθ ⊆ At L − k−1
i=1 ni = M ¬ k−1
i=1 ni
⇒ θ |= ¬ k−1
i=1 ni
⇒ θ |∼ ¬ k−1
i=1 ni
per SCL
∴ θ ∧ ¬ k−1
i=1 ni |∼ φ per CMO con θ |∼ φ
⇒ ¬ k−1
i=1 ni |∼ θ → φ per CON
⇒ ¬ k−1
i=1 ni |∼ Mθ→φ per RWE
⇒ Snk−1 ⊆ Mθ→φ
per definizione di Snk−1
⇒ Snk−1 ∩Mθ ⊆ Mθ ∩Mθ→φ = Mθ∧(θ→φ) ⊆ Mφ in quanto θ ∧(θ → φ) |= φ
Quindi in particolare otteniamo che nk ∈ Snk−1 ⊆ Mφ; la stessa cosa si
può fare per ogni elemento di Minθ quindi Minθ ⊆ Mφ ossia θ |∼F φ.
|∼F ⊆|∼. Supponiamo ora che θ |∼F φ.Vogliamo mostrare che θ |∼ φ. Consideriamo
dapprima il caso in cui Mθ∩N = ∅; avremo quindi Mθ ⊆ AtL− k i=1 ni
dove nk è una foglia. Per come abbiamo definito il grafo G, si ha che Snk = ∅,
perciò
¬ k
i=1 ni |∼ ∅
da cui si ottiene essendo ∅ una contraddizione
¬ k
i=1 ni |∼ θ ¬ k
i=1 ni |∼ φ
24

Tramite CMO si arriva a
Ma M θ∧¬ k
i=1 ni = Mθ ∩ M ¬ k
quanto detto sopra), quindi
θ ∧ ¬ k
i=1 ni |∼ φ
i=1 ni = Mθ ∩ (AtL − k i=1 ni) = Mθ(per
θ ≡ θ ∧ ¬ k
i=1 ni;
applicando LLE a θ ∧ ¬ k
i=1 ni |∼ φ otteniamo quello che cercavamo:
θ |∼ φ.
Consideriamo ora il caso in cui Minθ = ∅. Osserviamo che
Minθ ⊆ Mθ ⇐⇒ Minθ ∩ At L − |rami|
j=1
kj
i=1 nji ⊆ Mθ
dove njkj+1 ∈ Minθ∀j = 1, . . . , |rami|oppure njkj+1 = ∅.
Quindi si ottiene:
Minθ ⊆ Mθ ⇐⇒ Minθ ∩ M |rami| kj ¬ j=1 i=1 nji
⊆ Mθ = M Mθ
⇐⇒ ¬ |rami| kj j=1 i=1 nji |∼ Mθ
Ma Mθ ≡ θ quindi in particolare Mθ |= θ. Tramite RWE con
¬ |rami|
j=1
kj
i=1 nji |∼ Mθ si ottiene
¬ |rami|
j=1
kj
i=1 nji |∼ θ (∗)
Inoltre per ipotesi θ |∼F φ quindi per definizione Minθ ⊆ Mφ; seguendo
quanto fatto sopra si ottiene
¬ |rami|
j=1
e per CMO con (*) si arriva a
¬ |rami|
j=1
A questo punto osserviamo che
¬ |rami|
j=1
kj
i=1 nji |∼ φ
kj
i=1 nji ∧ θ |∼ φ
kj
i=1 nji ∧ θ ≡ θ
25

in quanto Mθ ⊆ At L − |rami|
quindi θ |= ¬ |rami|
j=1
j=1
kj
i=1 nji.
kj
i=1 nji per come sono stati scelti gli njkj+1 e
Da ¬ |rami| kj j=1 i=1 nji∧θ |∼ φ e da ¬ |rami| kj j=1 i=1 nji∧θ ≡ θ applicando
LLE si ottiene
θ |∼ φ.
Questo conclude la nostra dimostrazione.
Osserviamo adesso che il teorema di Completezza per relazioni di conseguenza
preferenziali segue dal Teorema di Rappresentazione sopra dimostrato:
Teorema 8 (Completezza). Sia K una qualunque base di conoscenza e siano
θ, φ ∈ EL. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1. Per ogni insieme di alberi F = (N, ≺) tale che |∼F verifica K si ha
θ |∼F φ.
2. θ |∼ φ ha una dimostrazione nel sistema preferenziale a partire da K.
Dimostrazione. Dal teorema di Correttezza si ha che (2) → (1). Per provare
il contrario supponiamo che (2) sia falso; allora esiste una relazione di conseguenza
preferenziale che contiene K ma non contiene θ |∼ φ. Per il Teorema
di Rappresentazione esiste un insieme di alberi F che definisce tale relazione
e questo modello mostra che anche (1) è falso; assurdo.
26

3.6 Il problema risolto
Siamo adesso nella possibilità di dare una risposta al quesito che ci eravamo
posti precedentemente: è possibile dimostrare che certe conclusioni non
sono derivabili applicando le regole che compongono il sistema preferenziale
a partire da una certa base di conoscenza? Adesso infatti, come nel caso
di una relazione di conseguenza monotona, possiamo sfruttare i modelli semantici
della relazione di conseguenza preferenziale proposta e ottenere una
dimostrazione fornendo un modello nel quale le premesse sono vere ma la
conclusione è falsa.
Mostriamolo con un utile esempio; in particolare facciamo vedere come le relazioni
di conseguenza preferenziale non soddisfino la monotonia presentando
un modello semantico in cui θ |∼ φ ma θ ∧ ψ |∼ φ.
Consideriamo F = (N, ≺) dove N = {n1, n2,n 3} e n1 ≺ n3; siano
n1 = θ¬ψφ
n2 = θψφ
n3 = θψ¬φ
Allora abbiamo che
1. θ |∼ φ in quanto Mθ = {n1, n2,n 3} quindi Minθ = {n1, n2} ⊆ Mφ.
2. θ∧ψ |∼ φ in quanto Mθ∧ψ = {n2,n 3} e quindi Minθ∧ψ = {n2,n 3} Mφ
27

Capitolo 4
Relazioni di Conseguenza
Razionali
4.1 Presentazione sintattica
Consideriamo adesso in aggiunta alle condizione del sistema preferenziale
sopra proposte la seguente:
Rational Monotonicity(RMO)
θ |∼ φ θ |∼ ¬ψ
θ ∧ ψ |∼ φ
come (CMO) è una forma ristretta di monotonia e sempre come (CMO) è
rilevante dal punto di vista dell’aggiornamento della base di conoscenza. Ci
dice infatti che la sola aggiunta di informazioni la negazione delle quali era
una conseguenza plausibile delle nostre credenze ci deve spingere a rivedere
le conseguenze tratte in precedenza: gli agenti razionali devono quindi procedere
ad un riaggiornamento delle loro convinzioni solo nel momento in cui
apprendono fatti che sono in contraddizione con i precedenti. Osserviamo che
grazie a questo schema un agente si avvicina ancora di più al nostro modo di
fare inferenze in quanto diventa in grado di supportare ragionamenti simili a
quello che segue:
- supponiamo di sapere che plausibilmente la festa sarà divertente
- supponiamo di non avere come informazione che plausibilmente Antonio
non verrà alla festa
28

Sembra naturale concludere che
- anche se Antonio verrà alla festa, questa sarà divertente.
Proprio (RMO) è l’unica regola che ha in più rispetto al sistema preferenziale
il sistema proposto e studiato da Lehmann e Magidor in [6] e possiamo
quindi dare la seguente definizione:
Definizione 4.1.1 (Rational Consequence Relation). Ogni Relazione di Conseguenza
|∼⊆ EL × EL che soddisfa le regole (REF)-(RMO) sopra elencate
è detta Relazione di Conseguenza Razionale.
4.1.1 Rational Monotonicity
Facciamo ancora alcune ulteriori osservazioni sulla regola appena introdotta:
Osservazione 4.1.1. come si può facilmente notare la forma di (RMO) è
sostanzialmente differente da quella delle altre regole; non deduce infatti la
presenza di alcune asserzioni dalla presenza di altre, ma piuttosto l’assenza di
certe asserzioni dall’assenza di altre, come si può meglio osservare riscrivendo
Rational Monotonicity come proposto dal Lehmann e Magidor:
θ ∧ φ |∼ ψ θ |∼ ¬φ
θ |∼ ψ
Osservazione 4.1.2. causa di RMO, la quale non è una regola induttiva, le
relazioni di conseguenza razionali non sono chiuse per intersezione e quindi
che non è possibile parlare, come per il caso monotono e quello preferenziale,
di una minima relazione razionale definita come intersezione di tutte le relazioni
razionali. Un’idea della dimostrazione è la seguente:
In [6] si dimostra che intersezione di relazioni di conseguenza razionali è
preferenziale; per ottenere la tesi è quindi sufficiente trovare una relazione
preferenziale che non soddisfi RMO. Una tale relazione è ad esempio quella
fornita da David Makinson nel Lemma 13 di [6] che presenteremo nel
paragrafo 4.3.1.
Osservazione 4.1.3. RMO ha reso più difficile la creazione di un algoritmo che
riesca a stabilire se una asserzione è conseguenza logica o meno di una data
base di conoscenza;infatti nel caso di una base di conoscenza formata solo
29

da clausole induttive già Lehmann e Magidor nel 1992 avevano proposto un
algoritmo con tempo di esecuzione polinomiale rispetto alla dimensione della
base di conoscenza, invece nel caso dell’inserimento di clausole non induttive
un tale algoritmo è stato proposto da Paris e Booth nel 1998.
4.2 Semantica m per Relazioni di Conseguenza
Razionali
Come già affermato nella sezione 3.5, la caratterizzazione semantica delle
relazioni razionali si basa sull’idea intuitiva che i mondi possibili non hanno
tutti lo stesso grado di normalità ma sono ordinati linearmente e affermeremo
che φ segue plausibilmente da θ se e solo se φ è vera nel mondo minimo
rispetto alla relazione d’ordine in cui è verificata θ.
L’idea intuitiva sopra esposta si traduce formalmente nel modo seguente:
Definizione 4.2.1. Sia m = m1 . . . ms ⊆ At L con mi ≺ mj ⇐⇒ i < j e dove
interpretiamo ≺ come essere più normale o tipico o preferibile di. Diciamo
che
θ |∼ m φ ⇐⇒ ∀i mi ∩ Mθ = ∅ oppure ∃i mi ∩ Mθ = ∅ e per il minimo
i tale che mi ∩ Mθ = ∅ si ha mi ∩ Mθ ⊆ Mφ.
4.2.1 Teorema di Rappresentazione per Relazioni di
Conseguenza Razionali
Possiamo a questo punto enunciare il Teorema di Rappresentazione che ci
consente di dare una precisa caratterizzazione semantica delle relazioni di
conseguenza razionali e ci indica a quale relazione fare riferimento nel momento
in cui vogliamo dimostrare risultati che siano validi per ogni relazione
di conseguenza razionale.
Osservazione 4.2.1. Ricordiamo che le relazioni di conseguenza razionali non
sono chiuse per intersezione e non è quindi possibile far riferimento come
nel caso monotono ad una minima relazione razionale definita come intersezione
di tutte le relazioni della classe nel momento in cui si vuole dimostrare
proprietà valide per tutta la classe considerata.
30

Teorema 9 (Correttezza). Dato m = m1, . . . , ms ⊆ At L allora |∼ m è una
relazione di conseguenza razionale.
Dimostrazione. Per dimostrare il teorema dobbiamo provare che |∼s soddisfa
tutte le proprietà da (REF) a (RMO).
REF Se ∀i mi ∩ Mθ = ∅ per definizione θ |∼ m θ. Altrimenti sia i il minimo
tale che mi ∩ Mθ = ∅ Allora mi ∩ Mθ ⊆ Mθ quindi θ |∼ m θ.
LLE Supponiamo che θ |∼ m ψ, θ ≡ φ. Se ∀i mi ∩ Mφ = ∅ ottengo
φ |∼ m ψ Altrimenti sia i il minimo tale che mi ∩ Mφ = ∅. Osserviamo
che per il teorema 4, θ ≡ φ ⇐⇒ Mθ = Mφ quindi si ottiene mi ∩ Mφ =
mi ∩ Mθ ⊆ Mψ da cui per definizione φ |∼ m ψ.
RWE Supponiamo θ |∼ m φ, φ |= ψ. Se ∀i mi ∩ Mθ = ∅ allora θ |∼ m ψ.
Altrimenti per il teorema 4 φ |= ψ ⇐⇒ Mφ ⊆ Mψ quindi sia i il
minimo indice tale che mi ∩ Mθ = ∅ allora mi ∩ Mθ ⊆ Mφ ⊆ Mψ ossia
per definizione θ |∼ m ψ.
AND Supponiamo che θ |∼ m φ, θ |∼ m ψ. Se ∀imi ∩ Mθ = ∅ allora θ |∼ m
φ ∧ ψ. Altrimenti sia i il minimo indice tale che mi ∩ Mθ = ∅ Allora
per ipotesi mi ∩ Mθ ⊆ Mφ e mi ∩ Mθ ⊆ Mψ da cui possiamo concludere
mi ∩ Mθ ⊆ Mφ ∩ Mψ e quindi θ |∼ m φ ∧ ψ.
DIS Supponiamo che θ |∼ m ψ, φ |∼ m ψ. Se ∀imi ∩ Mθ∨φ = ∅ allora
θ∨ |∼ m ψ. Altrimenti sia i il minimo indice tale che mi ∩ Mθ∨φ = ∅.
Osserviamo che per il teorema 4 si ha mi ∩ Mθ∨φ = mi ∩ (Mθ ∪ Mφ) =
(mi ∩ Mθ) ∪ (mi ∩ Mφ) e che tale i è il minimo per cui mi ∩ Mθ = ∅ e
mi ∩ Mφ = ∅; infatti se per assurdo ∃j < i tale che mj ∩ Mθ = ∅ allora
mj ∩ Mθ∨φ ⊇ mj ∩ Mθ = ∅ e questo è assurdo. Ma allora abbiamo
finito perchè per ipotesi mi ∩ Mθ ⊆ Mψ e mi ∩ Mθ ⊆ Mψ e quindi
mi ∩ Mθ∨φ = mi ∩ (Mθ ∪ Mφ) = (mi ∩ Mθ) ∪ (mi ∩ Mφ) ⊆ Mψ, ossia
θ ∨ φ |∼ m ψ.
CMO Supponiamo che θ |∼ m φ, θ |∼ m ψ. Se ∀i mi ∩ Mθ = ∅ allora
∀i mi ∩ Mθ∧φ = mi ∩ Mθ ∩ Mφ = ∅ quindi si ottiene θ ∧ φ |∼ m ψ.
Altrimenti sia i il minimo indice tale che mi ∩ Mθ = ∅.Osserviamo
che questo è anche il minimo indice per cui mi ∩ Mθ∧φ = ∅; infatti
per il teorema 4 Mθ∧φ = Mθ ∩ Mφ e se per assurdo ∃j < i tale che
mj ∩ Mθ ∩ Mφ = ∅ allora in particolare mj ∩ Mθ = ∅ e abbiamo
31

così l’assurdo. A questo punto abbiamo finito in quanto per ipotesi
mi ∩ Mθ ⊆ Mφ e mi ∩ Mθ ⊆ Mψ da cui si ottiene mi ∩ Mθ ∩ Mφ =
mi ∩ Mθ ⊆ Mψ ossia θ ∧ φ |∼ m ψ.
RMO Supponiamo che φ |∼ m ψ, φ |∼ ¬θ. Innanzitutto osserviamo che ∃i
tale che mi ∩ Mφ = ∅ altrimenti per definizione φ |∼ m ¬θ e facciamo
vedere che questo è il minimo indice per cui mi∩Mθ∩Mφ = ∅;infatti per
ipotesi mi ∩ Mφ M¬θ quindi ∃α ∈ mi ∩ Mφ tale che α ∈ Mθ. Inoltre
se per assurdo ∃j < i tale che mj ∩ Mθ∧φ = ∅ allora in particolare
mj ∩ Mφ = ∅,assurdo. A questo punto abbiamo finito perchè mi ∩
Mθ∧φ = mi ∩ Mθ ∩ Mφ ⊆ mi ∩ Mφ ⊆ Mψ e quini θφ |∼ m ψ.
Teorema 10 (Rappresentazione per relazioni di conseguenza razionali). Ogni
relazione di conseguenza razionale su EL, |∼, è della forma |∼ m per un
qualche m = m1, . . . , ms ⊆ At L e viceversa.
Dimostrazione. Per la dimostrazione di questo teorema rimandiamo a [9]
4.3 Le relazioni di conseguenza razionali sono
strettamente incluse nelle preferenziali
Concludiamo la nostra esposizione presentando una relazione di conseguenza
preferenziale che non soddisfa (RMO), e mettendoci così nella possibilità
di dimostrare seguendo lo schema presentato nell’osservazione 4.1.2 che le
relazioni razionali non sono chiuse per intersezione; una è la seguente.
Consideriamo F = (N, ≺) dove N = {n0, n1, n2} e n1 ≺ n2. Sia
n0 = θ ∧ ¬ψ ∧ ¬φ
n1 = ¬θ ∧ ψ ∧ ¬φ
n2 = ¬θ ∧ ¬ψ ∧ φ
Allora abbiamo che
1. θ ∨ ψ ∨ φ |∼F ¬φ, in quanto Minθ∨ψ∨φ = {n0, n1}, M¬φ = {n0, n1} e
quindi Minθ∨ψ∨φ ⊆ M¬φ
32

2. θ ∨ ψ ∨ φ |∼F ψ in quanto Minθ∨ψ∨φ = {n0, n1} Mψ = {n1}
3. (θ ∨ ψ ∨ φ) ∧ ¬ψ |∼ ¬φ in quanto Min(θ∨ψ∨φ)∧¬ψ = {n0, n2} M¬φ =
{n0, n1}
La Rational Monotonicity non è pertanto soddisfatta in quanto dovremmo
avere:
θ ∨ ψ ∨ φ |∼F ¬φ θ ∨ ψ ∨ φ |∼F ψ
(θ ∨ ψ ∨ φ) ∧ ¬ψ |∼ ¬φ
33

Bibliografia
[1] D.M.Gabbay:Theoretical foundations for non-monotonic reasoning in
expert system.In Kryzysztof R.Apt, editor, Proc. of the NATO Advanced
Study Institute on Logics and Models of Concurrent Systems, pages
439-457, La Colle-sur-Loup, France, October 1985. Springer-Verlag
[2] D.M.Gabbay, C.Hogger, J.Robinson: Handbook of Logic in Artificial
Intelligence and Logic Programming, volume 3, Oxford University Press,
G.B, 1994
[3] M.L.Ginsgberg: AI and Nonmonotonic reasoning in Gabbay et al. [2]
[4] H.Hosni: Nonmonotonic Logic, Manuscript, March 2007
[5] S.Kraus, D.Lehmann, M.Magidor: Nonmonotonic Reasoning, Preferential
Models and Cumulative Logics, Artificial Intelligence, 44(1):167-207
1990
[6] D.Lehmann, M.Magidor: What does a conditional knowledge base
entail?, Artificial Intelligence, 55:1-60 1992
[7] D.Makinson: Completeness Theorems, Representation Theorems:
What?s the Difference?, Hommage a Wlodek:Philosophical Papers
dedicated to Wlodek Rabinowicz, ed. Rosmussen et al.
[8] D.Makinson: Bridges from Classical to Nonmonotonic Logic, Texts in
Computing volume 5, Texts in computing Series Editor Ian Mackie,
King’s College London, 2005 :73-83
[9] J.B.Paris: Nomonotonic Logic,Manuscript December 2003
34

[10] J.B.Paris, R.Booth: A note on the rational closure of knowledge bases
with both positive and negative knowledge Journal of Logic Language
and Information, 7(2):165-190, 1998
[11] A.Tarski: On the concept of following logically, History and Philosophy
of Logic, 23(3): 155-196, 2002
35