Martina Fedel - Formalizzazioni del ragionamento non ... - SELP

RAA
¬ D
Monotonia
Γ |∼ mon ¬¬θ
Γ |∼ mon θ
Γ, θ |∼ mon φ Γ, θ |∼ mon ¬φ
Γ |∼ mon ¬θ
Γ |∼ mon θ
Γ ∪ ∆ |∼ mon θ
Le proprietà sopra presentate, oltrechè come condizioni che catturano
aspetti della nozione di conseguenza che si vuole formalizzare, possono essere
viste come relazioni puramente sintattiche tra le premesse al di sopra della
barra e le conseguenza al di sotto della barra stessa ed essere considerate come
regole di inferenza. Possiamo a questo punto dare la seguente definizione:
Definizione 2.1.2. Una derivazione (o dimostrazione formale) per il calcolo
proposizionale è una sequenza finita di applicazioni delle regole di inferenza
sopra menzionate.
Definizione 2.1.3. Siano θ ∈ EL e Γ un sottoinsieme finito di EL. Diciamo
che ′′ Γ dimostra θ ′′ scritto Γ ⊢ θ se e solo se il sequente Γ |∼ mon θ è derivabile
a partire dalle regole.
Teorema 1. • ⊢ è una relazione di conseguenza monotona.
• se |∼ mon è una relazione di conseguenza monotona e Γ ⊢ θ
allora Γ |∼ mon θ.
• Γ ⊢ θ ⇐⇒ per tutte le relazioni di conseguenza monotone |∼ mon si ha
Γ |∼ mon θ.
ossia ⊢ è la più piccola relazione di conseguenza monotona.
Dimostrazione. Per la dimostrazione vedi [9].
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