Martina Fedel - Formalizzazioni del ragionamento non ... - SELP

così l’assurdo. A questo punto abbiamo finito in quanto per ipotesi
mi ∩ Mθ ⊆ Mφ e mi ∩ Mθ ⊆ Mψ da cui si ottiene mi ∩ Mθ ∩ Mφ =
mi ∩ Mθ ⊆ Mψ ossia θ ∧ φ |∼ m ψ.
RMO Supponiamo che φ |∼ m ψ, φ |∼ ¬θ. Innanzitutto osserviamo che ∃i
tale che mi ∩ Mφ = ∅ altrimenti per definizione φ |∼ m ¬θ e facciamo
vedere che questo è il minimo indice per cui mi∩Mθ∩Mφ = ∅;infatti per
ipotesi mi ∩ Mφ M¬θ quindi ∃α ∈ mi ∩ Mφ tale che α ∈ Mθ. Inoltre
se per assurdo ∃j < i tale che mj ∩ Mθ∧φ = ∅ allora in particolare
mj ∩ Mφ = ∅,assurdo. A questo punto abbiamo finito perchè mi ∩
Mθ∧φ = mi ∩ Mθ ∩ Mφ ⊆ mi ∩ Mφ ⊆ Mψ e quini θφ |∼ m ψ.
Teorema 10 (Rappresentazione per relazioni di conseguenza razionali). Ogni
relazione di conseguenza razionale su EL, |∼, è della forma |∼ m per un
qualche m = m1, . . . , ms ⊆ At L e viceversa.
Dimostrazione. Per la dimostrazione di questo teorema rimandiamo a [9]
4.3 Le relazioni di conseguenza razionali sono
strettamente incluse nelle preferenziali
Concludiamo la nostra esposizione presentando una relazione di conseguenza
preferenziale che non soddisfa (RMO), e mettendoci così nella possibilità
di dimostrare seguendo lo schema presentato nell’osservazione 4.1.2 che le
relazioni razionali non sono chiuse per intersezione; una è la seguente.
Consideriamo F = (N, ≺) dove N = {n0, n1, n2} e n1 ≺ n2. Sia
n0 = θ ∧ ¬ψ ∧ ¬φ
n1 = ¬θ ∧ ψ ∧ ¬φ
n2 = ¬θ ∧ ¬ψ ∧ φ
Allora abbiamo che
1. θ ∨ ψ ∨ φ |∼F ¬φ, in quanto Minθ∨ψ∨φ = {n0, n1}, M¬φ = {n0, n1} e
quindi Minθ∨ψ∨φ ⊆ M¬φ
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