Martina Fedel - Formalizzazioni del ragionamento non ... - SELP

Osservazione 3.5.3. In particolare decidiamo di arrestare lo sviluppo di ogni
ramo quando per la prima volta si ottiene come insieme dei figli del nodo
foglia considerato l’insieme vuoto.
Consideriamo adesso l’insieme di alberi F risultante dall’albero sopra senza
la radice e introduciamo un ordinamento parziale tra i nodi ≺ secondo cui
per ogni nodo l’insieme dei vari predecessori è linearmente ordinato.
Quello che adesso andremo a dimostrare è la seguente affermazione:
|∼F =|∼
|∼⊆|∼F . Supponiamo che θ |∼ φ; vogliamo dimostrare che θ |∼F φ. Se N ∩Mθ
abbiamo finito; altrimenti consideriamo nk ∈ Minθ.
∴ Mθ ∩ k−1
i=1 ni = ∅
⇒ Mθ ⊆ At L − k−1
i=1 ni = M ¬ k−1
i=1 ni
⇒ θ |= ¬ k−1
i=1 ni
⇒ θ |∼ ¬ k−1
i=1 ni
per SCL
∴ θ ∧ ¬ k−1
i=1 ni |∼ φ per CMO con θ |∼ φ
⇒ ¬ k−1
i=1 ni |∼ θ → φ per CON
⇒ ¬ k−1
i=1 ni |∼ Mθ→φ per RWE
⇒ Snk−1 ⊆ Mθ→φ
per definizione di Snk−1
⇒ Snk−1 ∩Mθ ⊆ Mθ ∩Mθ→φ = Mθ∧(θ→φ) ⊆ Mφ in quanto θ ∧(θ → φ) |= φ
Quindi in particolare otteniamo che nk ∈ Snk−1 ⊆ Mφ; la stessa cosa si
può fare per ogni elemento di Minθ quindi Minθ ⊆ Mφ ossia θ |∼F φ.
|∼F ⊆|∼. Supponiamo ora che θ |∼F φ.Vogliamo mostrare che θ |∼ φ. Consideriamo
dapprima il caso in cui Mθ∩N = ∅; avremo quindi Mθ ⊆ AtL− k i=1 ni
dove nk è una foglia. Per come abbiamo definito il grafo G, si ha che Snk = ∅,
perciò
¬ k
i=1 ni |∼ ∅
da cui si ottiene essendo ∅ una contraddizione
¬ k
i=1 ni |∼ θ ¬ k
i=1 ni |∼ φ
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