Un approccio probabilistico alla rappresentazione dell ... - SELP

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e l’unica regola di inferenza è il modus ponens. Sia F m ̷L l’insieme delle formule del linguaggio. Dati Γ∩{φ} ⊆ F m ̷L diremo che φ deriva da Γ, in simboli Γ ⊢ ̷L φ, se esiste una dimostrazione di φ a partire da Γ nel calcolo sopra proposto. Oss. E’ possibile definire dei connettivi derivati &, ∧, ∨ come segue: x&y def = ¬(x → ¬y) x ∨ y def = (x → y) → y x ∧ y def = ¬(¬x ∨ ¬y) 1.4.1 Algebrizzazione di ̷L e Teorema di completezza rispetto alla classe MV La cosa di maggiore importanza per poter andare verso l’algebrizzazione di una logica proposizionale è tenere in considerazione che le formule logiche di un linguaggio proposizionale possono essere viste come termini di un linguaggio algebrico. Cerchiamo adesso di illustrare il procedimento in modo generale rimandando per i dettagli a [1]. Ad ogni logica proposizionale L =< L, ⊢> si associa una varietà (o quasi- varietà) VL il cui linguaggio ha un simbolo di operazione n−ario per ogni connettivo n-ario di L e un simbolo di costante per ogni simbolo di costante proposizionale di L. Il connettivo e la corrispondente operazione sono deno- tati allo statto modo, quindi le L-formule sono identificate con i termini di VL. Ecco che si può parlare di un’ algebra delle formule Fm = 〈F mL, < f Fm |f ∈ L >〉. 31
Una valutazione di L in un’algebra A ∈ VL è un omomorfismo dall’algebra delle L-formule in A. Definizione 1.4.2. Sia Γ un insieme di formule e φ una formula di L. Di- ciamo che φ è una conseguenza semantica di Γ in VL (in simboli Γ |=VL φ) se per ogni valutazione v in un’algebra A ∈ VL, se v(ψ) = 1 per ogni ψ ∈ Γ, allora v(φ) = 1. Dato un insieme Σ di equazioni e un’equazione r = s nel linguaggio delle VL-algebre, diciamo che r = s è una conseguenza semantica di Σ in VL (in simboli Σ |=VL γ), se per ogni A ∈ VL e per ogni valutazione v in A se p A (v) = q A (v) per ogni p = q ∈ Σ allora r A (v) = s A (v). Ricordiamo che per ogni termine t si indica con t A (v) la sua interpretazione. Siamo ora giunti alla definizione principale: Definizione 1.4.3. L è algebrizzabile e VL è la sua semantica algebrica equi- valente se e solo se esistono delle mappe ◦ e ∗ dalle formule di L alle equazioni di VL e viceversa tali che ponendo per ogni insieme di formule Γ e per ogni insieme di equazioni Σ Γ ◦ = ψ ◦ : ψ ∈ Γ , Σ ∗ = {δ ∗ : ∆ ∈ Σ} per ogni L−formula φ e per ogni equazione γ nel linguaggio di VL valgono le seguenti condizioni: 1. {φ} ⊢L φ ◦ ∗ , φ ◦ ∗ ⊢L φ, {γ} |=VL γ∗◦ 2. Γ ⊢L φ sse Γ |=VL φ sse Γ◦ 3. Σ |=VL γ sse Σ∗ |=VL ψ∗ . |=VL φ◦. 32 e γ ∗◦ |=VL γ.
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Claim 2 Per ogni γ ∈ C(X), minx
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Prospettive di Ricerca Nella Tesi a
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[19] Walley P.: Statistical Reasoni
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2.1 MV-algebre di Riesz . . . . . .
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