Un approccio probabilistico alla rappresentazione dell ... - SELP

-debolmente additivo se per ogni costante α ∈ R per ogni v ∈ V, si ha:
f(v + α) = f(v) + α.
Oss. Un funzionale lineare f è monotono se e solo se per ogni v ≥ 0, f(v) ≥ 0.
Lemma 2.2.3. Sia V uno spazio di Riesz con unità forte u e sia f un
funzionale sublineare, monotono e normalizzato su V.
Per ogni v, w ∈ V, se v − w ∈ Rad(V), allora f(v) = f(w). Quindi ponendo
per ogni v ∈ V,
f ′
(v/Rad(V)) def
= f(v)
si ha che f ′ è ben definito ed è un funzionale sublineare, monotono e norma-
lizzato sullo spazio di Riesz semisemplice V/Rad(V). Di più, f è debolmente
additivo se e solo se f ′ è debolmente additivo, e f è lineare se e solo se f ′ è
lineare.
Dimostrazione. Chiaramente si ha f(|v − w|) ≥ 0, perché f(0) = 0 e f è
monotono. Supponiamo che f(|v − w|) > 0. Allora per qualche numero
naturale n, f(n|v − w|) = nf(|v − w|) > 1 = f(u). Ma questo è impossibile
perché n|v − w| ≤ u e f è monotona. Quindi f(|v − w|) = 0.
Ora, poiché v−w ≤ |v−w|, si ha f(v−w) ≤ 0. Allora si ottiene f(v) = f(v−
w+w) ≤ f(v−w)+f(w) ≤ f(w) e in modo simmetrico f(w) ≤ f(v). Quindi,
f(v) = f(w). Le altre affermazioni sono immediate da dimostrare.
Corollario 2.2.2. Sia V uno spazio di Riesz con unità forte u, e sia g una
funzione da un sottoinsieme X di V in R. Le seguenti sono equivalenti:
1. Esiste un funzionale f sublineare (risp. lineare), monotono, norma-
lizzato e debolmente additivo su V tale che per ogni x ∈ X, f(x) =
g(x).
45