Un approccio probabilistico alla rappresentazione dell ... - SELP

Osserviamo innanzitutto che i sottogruppi convessi di un ℓ-gruppo G
sono un reticolo rispetto l’inclusione isomorfo al reticolo delle congruenze
di G tramite la mappa Φ che associa ad ogni sottogruppo convesso H la
congruenza
θH
def
= {(x, y) : x − y ∈ H} .
La mappa inversa di Φ è Φ −1 che associa ad ogni congrunza θ di G il
sottogruppo convesso
H = {x ∈ G : (x, 0) ∈ θ} .
Dato un gruppo abeliano reticolare G, un elemento x ∈ G e un sottogrup-
po convesso H di G, indichiamo con G/H e x/H rispettivamente il quoziente
di G e la classe di equivalente di x modulo la conruenza determinata da H.
Anche in questo caso vale la seguente proposizione:
Proposizione 1.2.4. G/H è semplice se e solo se H è massimale.
Se G è un ℓ-gruppo con unità forte, allora G/Rad(G) è semisemplice; inoltre
G è semisemplice se e solo se Rad(G) = {0}.
Definizione 1.2.6. Sia G un ℓ-gruppo semisemplice con unità forte. La
hull-kernel topology su M(G), insieme dei sottogruppi convessi massimali di
G è la più piccola topologia per cui per ogni a ∈ G, l’insieme
è chiuso.
Ca = {H ∈ M(G) : a ∈ H}
Oss. Se G è un ℓ-gruppo semisemplice con untà forte u, allora gli spazi
topologici M(G) e M(Γ(G, u)), con la hull-kernel topology, sono omeomorfi
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