Un approccio probabilistico alla rappresentazione dell ... - SELP

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Capitolo 3 Probabilità imprecise ed insiemi chiusi e convessi di stati. 3.1 Stati per MV-algebre Richiamiamo brevemente il concetto di stato introdotto da Mundici in [13] e alcune sue importanti proprietà. Definizione 3.1.1. Data una MV-algebra A uno stato su A è una funzione P : A −→ [0, 1] che soddisfa le seguenti proprietà: 1. P (1) = 1 2. Se x ⊙ y = 0 allora P (x ⊕ y) = P (x) + P (y) Oss. Ricordiamo che per quanto visto nel Capitolo 1, ogni evento, ossia ogni elemento di una MV-algebra, può essere considerato una funzione continua da uno spazio compatto di Hausdorff X in R, dove X è l’insieme di tutte le valutazioni in [0, 1]MV dotato della hull-kernel topology. 49
In particolare poiché ad ogni elemento x ∈ X corrisponde un filtro massimale della MV-algebra A, associamo ad ogni elemento a ∈ A la funzione φa(x) def = x(a), x ∈ X. dove x(a) è la classe di equivalenza di a modulo x per ogni a ∈ A e per ogni x ∈ M(A). Quanto dimostrato da Panti in [14], ci permette di vedere gli stati come integrali delle funzioni di verità degli eventi rispetto ad una misura di probabilità µ su X, ossia uno stato P : A −→ [0, 1] è tale che P (a) = X φadµ. Osserviamo a questo punto che nel caso classico le funzioni di verità variano in {0, 1}, pertanto si ottengono integrali di funzioni caratteristiche, ossia misure di probabilità. E’ qundi pienamente giustificata l’idea di riferirsi agli stati come ad una generalizzazione del concetto di probabilità nel caso di eventi a più valori. Proposizione 3.1.1. Sia P uno stato su una MV-algebra A. Allora si ha: (i) P (x) + P (y) = P (x ⊕ y) + P (x ⊙ y) per ogni x, y ∈ A (ii) P è monotono ossia se x ≤ y allora P (x) ≤ P (y) (iii) P (¬x) = 1 − P (x) Dimostrazione. (i) Consideriamo le seguenti identità: x = ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) ⊕ (x ⊙ y); ((x ⊕ y) ⊙ ¬y) ⊕ (x ⊙ y) = 0 50
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2.1 MV-algebre di Riesz . . . . . .
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