Teoria della misura e teoria degli insiemi - SELP

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Definizione 1.9. Sia X ⊆ R aperto tale che X = n∈H (xn, yn) dove gli intervalli (xn, yn) al variare di n ∈ H ⊆ N sono a due a due disgiunti. Si definisce P ′ (X) = (yn − xn). n∈H Definizione 1.10. Un sottoinsieme X di R é misurabile secondo Lebesgue se per ogni ɛ > 0 esiste un aperto H e un chiuso H ′ di R tali che 1. H ′ ⊆ X ⊆ H; 2. P ′ (H \ H ′ ) < ɛ. Definizione 1.11. Si denota con L(R) l’insieme dei sottoinsiemi di R misurabili secono Lebesgue. Teorema 1.12. L’insieme L(R) é una σ-algebra di sottoinsiemi di R. Teorema 1.13. Definita P(X): = inf P ′ (H)| X ⊆ H H aperto per ogni X misurabile secondo Lebesgue, si ha che 1. P é una misura su L(R), ogni aperto di R é misurabile secondo Lebesgue e P ≡ P ′ sugli aperti di R; 2. Per ogni X ∈ L(R) e per ogni ¯x ∈ R si ha che X + x = {x + ¯x| x ∈ X} ∈ L(R) e P(X + ¯x) = P(X) ( invarianza); 3. Per ogni x ∈ R si ha che P({x}) = 0 ( non banalitá). Una volta osservato che anche P(R) é banalmente una σ-algebra di sottoinsiemi di R, si ottiene, dato che tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, il seguente Teorema 1.14. B(R) ⊆ L(R) ⊆ P(R). I paragrafi 3 e 4 saranno dedicati al problema di capire se le due inclusioni possano e, se sí, sotto quali condizioni essere strette. 2 Alcuni assiomi della teoria degli insiemi Assioma 2.1 (DC). Se R é una relazione binaria su un insieme non vuoto X tale che per ogni x ∈ X esiste x ′ tale che x ′ Rx allora esiste una successione ξ: ω → X tale che per ogni n ∈ ω si ha ξ(n + 1)Rξ(n). Assioma 2.2 (ω-AC). Se X è un insieme numerabile tale che per ogni x ∈ X, x = ∅, allora esiste una funzione ψ: X → X tale che ψ(x) ∈ x per ogni x ∈ X. Proposizione 2.3. In ZF si ha [DC] → [ω − AC]. Assioma 2.4 (AC). Se X è un insieme tale che per ogni x ∈ X, x = ∅, allora esiste una funzione ψ: X → X tale che ψ(x) ∈ x per ogni x ∈ X. 2
Assioma 2.5 (ZL). Se (X, ≤) é un ordine parziale tale che ogni catena Y ⊆ X ha un maggiorante y ∈ X, allora X ha un elemento massimale. Assioma 2.6 (WO). Ogni insieme puó essere ben ordinato. Proposizione 2.7. In ZF si ha [AC]→[ω-AC] Proposizione 2.8. In ZF sono equivalenti [AC]≡[ZL]≡[WO] Supponiamo ora di lavorare in ZF C = ZF + [AC]. Dato che [AC]≡[WO] si ha che possiamo definire la cardinalitá di ogni insieme e formulare il seguente Assioma 2.9 (CH). ∀X((X ⊆ R ∧ X infinito) → (|X| = |N| ∨ |X| = |R|)). Infine terremo in considerazione il seguente Assioma 2.10 (WIC). Esiste un cardinale debolmente inacessibile RIcordiamo la seguente Definizione 2.11. Un cardinale debolmente inacessibile é un cardinale limite e regolare. 3 Insiemi non misurabili 3.1 La costruzione di Vitali Teorema 3.1 (Vitali). Se vale ZF C allora esiste un sottoinsieme di R non misurabile (cioé in ZF [AC]→ (L(R) = P(R))). Dimostrazione. Sia X = [0, 1] e sia ∼ la relazione definita su X da x ∼ x ′ se e solo se x − x ′ ∈ Q. Questa relazione é una relazione di equivalenza infatti 1. per ogni x ∈ R si ha x − x ∈ Q; 2. se x − y ∈ Q allora y − x = −(x − y) ∈ Q; 3. se x − y ∈ Q e y − z ∈ Q allora x − z = (x − y) + (y − z) ∈ Q. Sia X ′ : = X/ ∼ l’insieme delle classi di equivalenza rispetto alla relazione ∼ ovvero degli insiemi della forma [x]∼: = {x ′ ∈ X|x ′ ∼ x}. Per [AC] esiste H ⊆ R tale che |H ∩ Y | = 1 per ogni Y ∈ X ′ , ovvero H contiene uno e un solo elemento per ogni classe di equivalenza. Siano ora q, q ′ ∈ Q tali che q = q ′ . Abbiamo H + q ∩ H + q ′ = ∅ dato che se y ∈ H + q ∩ H + q ′ si ha che esistono h, h ′ ∈ H tali che y = h + q = h ′ + q ′ 3
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