Teoria della misura e teoria degli insiemi - SELP

Dimostrazione. Ovviamente si ha che
q∈Q X + qp¯j = R e inoltre (X + qp¯j) ∩ X = ∅
perché altrimenti p¯j sarebbe esprimibile come combinazione lineare finita di elementi
di {pj} j∈J\{¯j} . Supponiamo che X sia misurabile, dalla prima delle due espressioni si
ottiene grazie all’invarianza che P(X) > 0. In particolare per il lemma di Bernstein
esiste ɛ tale che per ogni 0 < r < ɛ si ha X ∩ (X + r) = ∅. In particolare esiste ¯q ∈ Q
tale che 0 < p¯j ¯q < r, da cui X ∩ (X + ¯qp¯j) = ∅. Abbiamo dunque una contraddizione
con la seconda espressione.
Il seguente risultato é noto
Proposizione 3.16. In ZF si ha che [ZL]→[Ogni spazio vettoriale ha una base].
3.3 La necessitá dell’assioma di scelta
Abbiamo visto nelle sottosezioni precedenti come si possa costruire un nonmisurabile
disponendo dell’assioma della scelta o di un suo equivalente. Ma é veramente indispensabile
utilizzarlo? Se non fosse indispensabile si dovrebbe riuscire a costruire in ZF o
almeno in ZF +[ω−AC] un insieme non misurabile. Viceversa per provare la necessitá
dell’assioma di scelta, basterebbe costruire un modello di ZF o meglio ZF + [ω − AC]
(dato che per sviluppare buona parte dell’analisi matematica é sufficiente disporre della
scelta numerabile) in cui L()(R) = P(R) . In tal senso Solovay riuscí ad ottenere il
seguente risultato
Teorema 3.17 (Solovay). Se é consistente ZF +[WIC] allora si puó costruire un
modello di ZF +[DC]+[L(R) = P(R)].
Il problema di questo risultato é la presenza dell’ipotesi di esistenza di un cardinale
debolmente inaccessibile. Il fatto spiacevole é che questo fatto non puó essere eliminato
a causa del seguente risultato
Teorema 3.18 (Shelah). Se é consistente ZF +[DC]+[L(R) = P(R)] allora si puó
costruire un modello di ZF +[WIC] .
Infatti se avessimo che Cons(ZF ) → Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R))), dato che
come é noto
ZF + [WIC] ⊢ Cons(ZF )
si avrebbe
da cui
ZF + [WIC] ⊢ Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R)))
ZF + [WIC] ⊢ Cons(ZF + [WIC])
il che contraddice il secondo teorema di Godel.
4 Insiemi misurabili non boreliani
Innanzitutto si ha il seguente fatto
Proposizione 4.1.
|L(R)| = |P(R)| .
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