Teoria della misura e teoria degli insiemi - SELP

Dato l’insieme di Cantor H, si vede facilmente che ψ ′ (H) = 1. In particolare, generalizzando
la costruzione di Vitali, si puó construire un sottoinsieme non misurabile di
H (questo perché H ha misura positiva). Si chiami questo insieme X. In particolare
X non é boreliano. Consideriamo ora X ′ : = ψ ′−1 (X). Innanzitutto X ′ ⊆ H e dunque,
essendo sottoinsieme di un insieme di misura nulla, X ′ é misurabile. Tuttavia X ′ non
puó essere boreliano. Infatti dato che ogni funzione continua é anche misurabile rispetto
ai boreliani, si dovrebbe avere che X é boreliano. Dunque X ′ é l’insieme misurabile
non boreliano.
Esempio 4.9 (ω−AC). Gli insiemi analitici sono le immagini tramite funzioni continue
di boreliani in spazi polacchi. Gli insiemi coanalitici sono i complementari di insiemi
analitici. Si ha che gli insiemi boreliani sono esattamente tutti gli insiemi allo stesso
tempo analitici e coanalitici. Inoltre ogni insieme analitico (e quindi anche coanalitico)
é misurabile secondo Lebesgue. Un esempio di misurabile non boreliano si puó quindi
ottenere costruendo un insieme coanalitico che non sia analitico. Un esempio di insieme
coanalitico non analitico é W O, l’insieme delle codifiche dei buoni ordinamenti su N.
La codifica di una relazione R sui numeri naturali é il numero reale [R] ottenuto in
questo modo:
L’insieme W O é definito da
[R]: =
n,m∈N| nRm
10 −2n 3 m
.
W O: = {x ∈ R| esiste R buon ordine in N(x = [R])} .
Nei prossimi paragrafi assumiamo sempre di trovarci in ZF C.
5 Estensioni invarianti della misura di Lebesgue
La prossima domanda é la seguente: ’La misura di Lebesgue ammette estensioni invarianti
su σ-algebre che estendono L(R)?’. Ovvero esiste una σ-algebra H di sottoinsiemi
di R e una misura P su H tale che:
1. L(R) ⊂ H;
2. P|H ≡ P;
3. X ∈ H ∧ x ∈ R → (X + x) ∈ H;
4. X ∈ H ∧ x ∈ R → P(X + x) = P(X).
Inoltre esiste un’estensione massimale?
Ovvero esiste (H, P) estensione invariante che non ammette estensioni invarianti?
I seguenti teoremi di Kharazishvili e Ciesielski danno una risposta al problema
Teorema 5.1. La misura di Lebesgue ammette estensioni invarianti, ma non esiste
alcuna estensione massimale.
Il teorema é una conseguenza immediata del seguente
Lemma 5.2. Esiste una famiglia numerabile {Xn} n∈N di sottoinsiemi di R tali che
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