Teoria della misura e teoria degli insiemi - SELP

Definizione 1.9. Sia X ⊆ R aperto tale che X =
n∈H (xn, yn) dove gli intervalli
(xn, yn) al variare di n ∈ H ⊆ N sono a due a due disgiunti. Si definisce
P ′ (X) =
(yn − xn).
n∈H
Definizione 1.10. Un sottoinsieme X di R é misurabile secondo Lebesgue se per ogni
ɛ > 0 esiste un aperto H e un chiuso H ′ di R tali che
1. H ′ ⊆ X ⊆ H;
2. P ′ (H \ H ′ ) < ɛ.
Definizione 1.11. Si denota con L(R) l’insieme dei sottoinsiemi di R misurabili secono
Lebesgue.
Teorema 1.12. L’insieme L(R) é una σ-algebra di sottoinsiemi di R.
Teorema 1.13. Definita P(X): = inf P ′ (H)| X ⊆ H H aperto per ogni X misurabile
secondo Lebesgue, si ha che
1. P é una misura su L(R), ogni aperto di R é misurabile secondo Lebesgue e P ≡ P ′
sugli aperti di R;
2. Per ogni X ∈ L(R) e per ogni ¯x ∈ R si ha che X + x = {x + ¯x| x ∈ X} ∈ L(R)
e P(X + ¯x) = P(X) ( invarianza);
3. Per ogni x ∈ R si ha che P({x}) = 0 ( non banalitá).
Una volta osservato che anche P(R) é banalmente una σ-algebra di sottoinsiemi di
R, si ottiene, dato che tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, il seguente
Teorema 1.14.
B(R) ⊆ L(R) ⊆ P(R).
I paragrafi 3 e 4 saranno dedicati al problema di capire se le due inclusioni possano
e, se sí, sotto quali condizioni essere strette.
2 Alcuni assiomi della teoria degli insiemi
Assioma 2.1 (DC). Se R é una relazione binaria su un insieme non vuoto X tale che
per ogni x ∈ X esiste x ′ tale che x ′ Rx allora esiste una successione ξ: ω → X tale che
per ogni n ∈ ω si ha ξ(n + 1)Rξ(n).
Assioma 2.2 (ω-AC). Se X è un insieme numerabile tale che per ogni x ∈ X, x = ∅,
allora esiste una funzione ψ: X → X tale che ψ(x) ∈ x per ogni x ∈ X.
Proposizione 2.3. In ZF si ha [DC] → [ω − AC].
Assioma 2.4 (AC). Se X è un insieme tale che per ogni x ∈ X, x = ∅, allora esiste
una funzione ψ: X → X tale che ψ(x) ∈ x per ogni x ∈ X.
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