LA MODULAZIONE PSK DIFFERENZIALE

LA MODULAZIONE PSK DIFFERENZIALE
1. Generalità.
Se le variazioni della fase
ϕ 0
della portante sono molto rapide, come nel caso di collegamenti
wireless, può non essere economicamente conveniente l’impiego di dispositivi di ricostruzione
della portante. Tuttavia se le variazioni della fase possono ritenersi trascurabili almeno
in un intervallo di tempo di durata non inferiore al doppio del periodo di segnalazione,
come nel caso della telefonia cellulare, si può pensare di utilizzare un tipo modulazione differenziale
in cui cioè l’informazione è associata alla variazione della fase del segnale modulato.
Un tale tipo di segnalazione è denotato con la sigla DPSK (Differential Phase Shift Keying).
2. Struttura del trasmettitore.
Facendo riferimento ad una modulazione PSK M -aria sia
t−T
−nT
2
(2.1) vt ( ) = V0cos(2 π ft 0 +ϑ n ) rect ( T )
il segnale trasmesso nel generico intervallo di simbolo [ nT,( n 1) T )
+ cui corrisponde il seguente
inviluppo complesso:
T
(2.2) 0 ( ) ( )
2
T
jϑ
t− −nT t− n
( ) rect 0 rect
2 −nT
vt = Ve = Vc
T
n T
dove la fase
ϑ n
è scelta nell’insieme
M
⎧2πn
⎫
⎨ ⎬
⎩ M ⎭n
= 1
in dipendenza del valore
an
del simbolo
M -ario
proveniente dalla sorgente di informazione.
Nella modulazione PSK differenziale la fase
il valore della fase
ϑ n−1
ϑ n del segnale modulato si ottiene aggiornando
nell’intervallo di simbolo precedente secondo la seguente regola
(2.3) ϑ =ϑ 1 +Δϑ (mod 2 π)
dove la quantità
n n−
m
Δϑ m , è scelta sempre nell’insieme
dato generato dalla sorgente presente al tempo
M
⎧2πm
⎫
⎨ ⎬
⎩ M ⎭m=
1
in dipendenza del valore
del
n . È evidente che questo è un esempio di codifica
con memoria, poiché per codificare il dato da trasmettere occorre conoscere il valore
del dato precedente.
Facendo riferimento alla (2.3) il simbolo complesso
c n
jϑ j( ϑ +Δϑ ) jϑ jΔϑ
diventa:
n n 1 m n 1 m
(2.4) c = e = −
e = −
e e = c c
jΔϑ
con c′ m
= e .
n
n
Dalla precedente si può dedurre uno schema equivalente del trasmettitore per segnalazione
DPSK M -arie.
n−1
n ′
a n
Ve π ()
0
j2
f0t
an
a
n
Δϑ
m
Δϑ m
j m
e Δϑ
c′
n
cn
Re[ ⋅]
vt
cn
− 1
z −1
Fig. 1 – Schema equivalente del trasmettitore per segnalazione PSK M -arie.

- 2 - La modulazione PSK differenziale
Dallo schema di Fig. 1, detto cn
= An
+ jBn, si deduce:
j2πf0t j2πf0t
vt ( ) = V0Re ⎡ce ⎤
n = V0Re ⎡( An + jBn)
e ⎤
(2.5)
⎣ ⎦ ⎣
⎦
=
= V0[ Ancos(2 πf0t) −Bnsin(2 πf0t)
]
dove, per la (2.4) si deduce la seguente legge di aggiornamento dei coefficienti:
jΔϑm
jΔϑm
An = Re[ cn]
= Re ⎡c n 1e ⎤ Re ⎡( An 1 jBn 1) e ⎤
⎣ − ⎦
=
⎣ − + − ⎦
= An−1cos( Δϑm) −Bn−1sin( Δϑm)
(2.6)
jΔϑm
jΔϑm
Bn = Im[ cn]
= Im ⎡c n 1e ⎤ Im ⎡
− ( An−1 jBn−1) e ⎤
⎣ ⎦
=
⎣
+
⎦
= Bn−1cos( Δϑ m) + An−1sin( Δϑm)
Si ottiene così lo schema del trasmettitore riportato in Fig. 2
a n
cos( Δϑ m
)
sin( Δϑ m
)
A n − 1
+
−
Bn
− 1
n
+
1
+
A −
n 1
cos(2 πf t)
0
An
1
z − z − 1
B −
B n
vt ()
Fig. 2 – Schema del trasmettitore per segnalazioni DPSK.
sin(2 πf0t)
Esempio E.1
Sia { a
n} = 1001110001 una sequenza binaria da trasmettere. I valori della fase ϑn
sono dati dalla Tabella
I avendo supposto nulla la condizione iniziale e cioè ϑ
0
= 0 .
Tabella I
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
n
1 0 0 1 1 1 0 0 0 1
Δϑ
m
0 π π 0 0 0 π π π 0
ϑ
n
0 π 0 0 0 0 π 0 π π
Esempio E.2
Un esempio di codifica differenziale per una modulazione PSK quaternaria è riportato nella Tabella III
dove si è posta eguale a 0 la condizione iniziale.
Tabella III
a
n
00 01 11 10 00 11 10 01 01 00 10
π
Δϑ
m
0 2
π
ϑ
n
= ϑ
n−1
+Δϑ m 0 2
π
3 2
π
3 2
π
0 π
3 2
π
π π 0
3 2
π
π
2
π
2
π
0 2
π
0
3 2
π
2 0
Un alto tipo di codifica differenziale per una modulazione PSK quaternaria, indicata con la sigla
π /4DPSK quaternaria (o π /4DQPSK) è riportato nella Tabella IV con riferimento alla stessa sequenza di
simboli presi in considerazione nella Tabella precedente.
Tabella IV
a
n
00 01 11 10 00 11 10 01 01 00 10
π
Δϑ
m
0 2
π
n n−1 m 4
ϑ = ϑ +Δϑ +
π
4
π
π
π 4
3 2
π
π
0 4
0 π
3 2
π
7 4
π
6 4
π
π
2
π
4
π
2
π
0
3 2
π
5 4
π
π

G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche -3-
π
DQPSK DQPSK
4
Fig. E.1 – Costellazione per modulazioni DPSK e π /4
DPSK.
In questo tipo di modulazione la codifica
differenziale è fatta secondo la legge
π
ϑ
n
=ϑ
n−1 +Δϑ
m
+
4
Le due segnalazioni prese in esame
nell’Esempio E.2 definiscono le costellazioni
riportate in Fig.E.1. È evidente che nel caso
della segnalazione π /4DQPSK, la
costellazione dei segnali assume la forma di
una modulazione PSK a 8 livelli.
Da quanto esposto è evidente che perché un tale tipo di segnalazione funzioni correttamente
è necessario che al ricevitore la condizione iniziale sia la stessa di quella adoperata dal
trasmettitore; ciò comporta che, ad esempio, entrambi gli apparati devono funzionare a partire
dalla condizione iniziale nulla.
Nel caso di segnalazione DPSK binaria è
an
= 0 ⇒Δϑ m =π
(2.7)
a = 1⇒Δϑ = 0
n
per cui risulta cos( Δϑ m ) = ± 1 e sin( Δϑ m ) = 0 . Tenendo conto della legge di aggiornamento della
fase, espressa dalla (2.3), si verifica facilmente che se si parte dalla condizione iniziale
ϑ 0 = 0 , la fase ϑn
assume i valori 0 o π per cui è sin ϑ n = 0 . Le (2.6) forniscono:
(2.8) A = 1 cos( Δϑ )
m
n An − m
Lo schema del trasmettitore si presenta come è mostrato in Fig. 3.
an
a
n
Δϑ
m
Δϑ m
cos( Δϑ m
)
V cos(2 πf t)
A
n vt ()
0 0
A n − 1
z −1
Fig. 3 – Schema I di modulatore per segnalazioni DPSK binarie.
Con un tale tipo di struttura la codifica differenziale è ottenuta operando direttamente sulle
cifre A n . È facile rendersi conto che tale operazione può essere effettuata direttamente o-
perando sui dati in ingresso.
Infatti se la sequenza delle cifre
una sequenza di dati binari { D n } secondo la regola:
(2.9)
A n si pensa ottenuta con una codifica bipolare a partire da
D
D
n
n
= 0⇒ An
= −1
= 1⇒ A = 1
si ha:
a) Se an = 0 Δϑ m = π cos Δϑ m = − 1 An
= −An
− 1 per cui
se Dn−1 = 0 si ha An−1
= − 1 An
= 1 Dn
= 1
se Dn−1 = 1 si ha An−1
= 1 An
= −1 Dn
= 0
b) Se an = 1 Δϑ m = 0 cos Δϑ m = 1 An
= A n −1
per cui
se Dn−1 = 0 si ha An−1
= − 1 An
= −1 D n = 0
se D = 1 si ha A = 1 A = 1 D = 1
n−1 n−1
n n
La sequenza dati { a n } è così convertita in una nuova sequenza di dati differenziali { n }
D come
è mostrato nella seguente Tabella II. In altre parole se il dato a da trasmettere è
n
n 0
si

- 4 - La modulazione PSK differenziale
cambia il dato
D − ; esso si lascia inalterato se è a 1. Da tale tabella è facile dedurre che la
n 1
relazione che sussiste tra le variabili binarie in gioco è la seguente:
(2.10) Dn = an ⊕ Dn
− 1
Il trasmettitore assume una struttura come quella riportata in Fig. 4.
n =
Tabella II
a n Dn
− 1
D n
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a n
n−1
1
z −
D n
Codifica
bipolare
D D = 0⇒ A =−1
n
n
n
D = 1⇒ A = 1
n
A n
V cos(2 πf t)
0 0
vt ()
Fig.4 – Schema II di modulatore per segnalazioni DPSK binarie
3. Struttura del ricevitore.
L’inviluppo complesso del segnale ricevuto all’ingresso del ricevitore, nel generico intervallo
nT,( n + 1) T è:
di simbolo [ )
n 0
(3.1) rt () = Ve e + nt ()
in cui
ϕ 0
0
j ϑ
jϕ
nT ≤ t ≤ ( n + 1) T
denota la fase introdotta dal mezzo di trasmissione che, in quel che segue, si suppone
subisca variazioni trascurabili in un intervallo di tempo pari almeno al doppio del periodo
di simbolo.
Come nel caso di rivelazione non coerente, il segnale
è proiettato ortogonalmente lungo
la direzione individuata dal segnale
ut () = rect
⎛t−T
−nT
⎞
2
⎜ ⎟
⎝ T ⎠
rt ()
( n+ 1) T jϑ
jϕ
( n+
1) T
0
nT
∫nT
n 0
(3.2) r = rtdt () = VTe e + ntdt ()
n
∫
. Nel generico intervallo di simbolo è:
Data la struttura della segnalazione DPSK il ricevitore utilizza come variabili di decisione le
quantità r
n e r
n − 1 . per cui, supponendo che i simboli generati dalla sorgente di informazione
siano equiprobabili ed indipendenti, la decisione sul simbolo trasmesso, in accordo con il criterio
di massima verosimiglianza, è data dalla:
(3.3) aˆ n = arg max { pr , r , ( rn, r
n 1, ϕ0)
}
Supponendo anche qui che
an
n n−1 ϕ 0 −
ϕ è uniformemente distribuita in [ −π,
π ) , si può scrivere:
0
1 π
(3.4)
pr ( , , )
1 0 ,
( , )
n r r
n nrn pr n r
r
n 1 0
nrn
d
− ϕ
− ϕ = − ϕ −
2π ∫
ϕ
−π
ϕ
, , 1 0 1 0 0
Inoltre poiché, per un assegnato valore di ϕ 0 , le variabili aleatorie r
n e r
n − 1 sono statisticamente
indipendenti, si ha:
pr , r ( rn, r ϕ n−
1 ϕ 0 ) = pr
( r ϕ n ϕ 0 ) pr
ϕ
( rn−
1 ϕ 0 )
(3.5) n n−1 0 n 0 n−1 0
dove, sulla base della (3.2), è:
p r
p r
jϑ
V Te e
(3.6)
n 0
r
(
0
0) ( 0 )
n ϕ n ϕ = n
n n −
n−1 0
jϕ
jϑ
n−1 0
n−1 ϕ 0 = n
n−1
n−1−
0 )
p ( r ) p ( r V Te e
r
ϕ
jϕ
avendo posto:
(3.7)
( n+
1)
T nT
n = n () t dt n = n () t dt
n
∫
n−1
nT ( n−1)
T
∫

G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche -5-
È immediato rendersi conto che le quantità
n n
e
nn
− 1
sono variabili aleatorie gaussiane proprie,
a media nulla, incorrelate e aventi la stessa varianza
(3.8)
p
p
r
ϕ
n
r
0
ϕ
n−1 0
⎧
jϑn
1 ⎪ r
n −V0Te e
( r
n ϕ 0) = exp⎨−
2 NT
2NT
⎩
NT 0
jϕ
π 0 ⎪ 0 ⎪
⎧
jϑ
1 ⎪ r
n−1−V0Te e
( r
n−1 ϕ 0) = exp⎨−
2
2NT
⎩
0
. Si ha perciò:
2
⎫
⎪
⎬
jϕ
n−1 0
πNT
0 ⎪ 0 ⎪
La (3.5) così diviene:
1 ⎧ 1
j
2 2
n j 0 j n 1 j
(3.9) pr ,
( ,
1 0 1 0) exp
n r
r
n n r
⎛
ϑ ϕ ϑ − ϕ
n rn V0Te e rn
1 V0Te e
⎞⎫
− ϕ − ϕ = ⎨− ⎜ − +
0
− −
⎟⎬
2πNT
0 ⎩ 2NT
0 ⎝ ⎠⎭
Poiché è
(3.10)
n
jϑ 2 2
n jϕ0 jϑn−1 jϕ0
0
n−
1 0
r
− V Te e + r − V Te e =
2 2 2 2
− jϑn
−jϕ0 − jϑn−1
−jϕ
rn rn 1 2V0T 2V0T Re⎡
−
rne e r
0
n−1e e
= + + −
⎣
+
la (3.3), eliminando i termini inessenziali, si riduce alla:
0 0 1 0
(3.11) a ⎧ 1 π V j
ˆ
n j j n j
n arg max exp Re n n 1 0
an
2
r e − ϑ e − ϕ r e − ϑ − − ϕ ⎫
= ⎨
⎡ ⎡
+
⎤⎤
N
−
⎬
π ∫
−π ⎢⎣
0
⎩
⎣
e
⎦⎥
dϕ
⎦ ⎭
che tenendo conto della legge di aggiornamento (2.3), vale:
(3.12) a ⎧ 1 π V0 j
ˆ
m
j n 1 j 0
n arg max exp Re ( n n 1)
0
an
2
r e − Δϑ r e − ϑ − − ϕ ⎫
= ⎨
⎡ ⎡ +
⎤⎤
N
−
⎬
π ∫
−π ⎢
e
⎣ 0
⎩
⎣
⎦⎥
dϕ
⎦ ⎭
j n
Ponendo adesso ( −1)
− Δϑ − j Δϑ j α
n n n n 1
− si ottiene:
n
re + r = re + r e
⎧ 1 π
⎤⎤
⎫
2 −π N
⎬
π ∫
⎢
+ϕ
⎣ 0
⎩
⎣
⎦⎥
dϕ
0
⎦ ⎭
(3.13) a V0
j
ˆ
n
n arg max exp r n e − Δϑ
= ⎨
⎡ ⎡ + r n−1 cos( α+ϑn−1 0)
e cioè
an
0
(3.14) { ( )}
a V j
ˆ
m
n = arg max I 0 r
N n e − Δϑ + r n −1
0
a
n
dove I 0 () ⋅ rappresenta la funzione di Bessel modificata di prima specie e di ordine 0 . Poiché
I 0 () ⋅ è una funzione crescente del suo argomento, la precedente può riscriversi come segue:
− jΔϑ
(3.15) ˆ arg max{ } { }
2
m
− jΔϑm
an = rne + rn−1 = arg max rne + r n −1
a
a
dal momento che arg max{ x} arg max{ x
2
}
(3.16)
Si ha:
per cui è
n
= .
− jΔϑ
2 2 2
m
* jΔϑ
re n + rn−1 = rn + rn−1 + 2Re⎡rr n
n−1e
* jΔϑ
(3.17) ˆ
m
an
= arg max{ Re ⎡r
nrn−
1e
⎤}
Δϑm
che dà luogo alla struttura riportata in Fig. 5.
⎣
n
⎣
⎦
⎭
m
⎤
⎦
2
⎫
⎪
⎬
⎭
⎤
⎦

- 6 - La modulazione PSK differenziale
e Δϑ M
2cos(2 πf t
0
)
j
1
rt ()
∫
∫
( n+
1) T
nT
( n+
1) T
nT
() ⋅ dt
() ⋅ dt
r fn ,
r
qn ,
n
Re[ ⋅]
rr
nn −
r
j
1
z − n − 1
e Δϑ
r 1
Re[ ⋅]
Scegli il
massimo
aˆm
−2sin(2 πft
0
)
Fig. 5 – Schema del ricevitore per segnalazione DPSK binaria
Con riferimento alla Fig. 5, si deduce che se il segnale in ingresso è del tipo
(3.18) rt () = rf
()cos(2 t πft 0 ) −rq()sin(2 t π ft 0 )
le grandezze in uscita dagli integratori valgono
(3.19)
( n+ 1) T
2
( n+
1) T
0 ∫
f
0 q
0
nT
∫
nT
2 rt ( )cos(2 π ft) = 2 r( t)cos (2 πftdt ) −2 r( t)cos(2 πft)sin(2 πftdt
) =
( n+
1) T
= r
() t dt ≡ r
nT
f
f.
n
( n+ 1) T ( n+
1) T
0 ∫
f
0 0
q
nT
∫nT
−2 rt ( )sin(2 π ft) =−2 r( t)sin(2 πft)cos(2 π ftdt ) + 2 r
( t)sin (2 πftdt
) =
=
∫
∫
( n+
1) T
nT
r
() tdt≡
r
q
qn .
dove si è supposto che sia
1
f 0 >> . Esse si identificano quindi con la parte reale e la parte
T
immaginaria delle quantità r n .
2
0
0
4. Probabilità di errore.
Non è possibile determinare in forma chiusa la probabilità di errore in una segnalazione
PSK M -aria differenziale tranne che nel caso di M = 2 .
In questo caso, facendo riferimento alla (3.17), e ricordando la codifica (2.7), il ricevitore
effettua la decisione sul simbolo trasmesso come appresso indicato:
*
Re ⎡rr
⎤
1 0 ˆ
⎣ n n−
⎦
> ⇒ an=
1
(4.1)
*
Re ⎡rr
⎤
n n−1
< 0 ⇒ aˆ
⎣ ⎦ n=
0
per cui si commette errore se:
(4.2)
Se
*
an
= 1⇒ Re ⎡r
nr
⎤
⎣ n−1
⎦
< 0
Se
*
an
= 0⇒ Re ⎡r
nr
⎤
⎣ n−1
⎦
> 0
Poiché tali probabilità di errore sono manifestamente eguali e i simboli della sorgente si
suppongono equiprobabili, la probabilità di errore diventa:
*
(4.3) Pe = Pr{ Re ⎡r
nr ⎤
⎣ n−1
⎦
> 0 an
= 0}
Per calcolare la probabilità di errore basta introdurre le seguenti posizioni:
1
z1 = ( r
2 n + rn−
1)
(4.4)
1
z = r
−r
( )
2 2 n n−1

G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche -7-
Si ha perciò
(4.5)
r
= z + z
n
1 2
r
= z − z
n−1 1
2
e quindi
(4.6)
* * 2 2 2
n n−1 = 1+ 2 1 − 2 = 1 −
Re ⎡rr ⎤ Re ⎡( z z )( z z ) ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
z z2
La probabilità di errore è pertanto:
P = Pr z 2 − z 2 > 0 a = 0 = Pr z 2 > z 2
a = 0 = Pr z > z a = 0
(4.7) e { 1 2 n } { 1 2 n } { 1 2 n }
D’altra parte, tenendo conto che è:
jϑn−1 jϕ0
jΔϑm jα
jΔϑm
rn = V0Te e e + nn = V0Te e + nn
= V Te n
(4.8)
jϑn−1 jϕ0
jα
r = V Te e + n = V Te + n
si ha:
(4.9)
n−1 0 n−1 0 n−1
jα
1
(
2 n
n−
)
( )
z = V Te + n + n
z n n
1 0 1
1
2 =
2 n − n−1
jα
0 + n
Si deduce infine dalle (4.4) che la variabile aleatoria z 1 obbedisce alla distribuzione di Rice
con parametri
m
2 NT 0
= V0T
e
2
σ = :
⎧
x
⎪
pz
( x) =
e
⎨
1 NT 0 /2 ⎪⎪
⎩0
2 2 2
x + V0
T
−
0 0
(4.10)
I0
( NT/2
)
NT VT x x ≥ 0
0
0
e la variabile aleatoria z 2 obbedisce alla distribuzione di Rayleigh con parametro σ = :
⎧ x
2
x
⎪ exp{ −
}
(4.11) p ( x)
NT/2
NT 0
z2
= ⎨
⎪⎩ 0
0
La probabilità di errore si calcola facilmente marginalizzando la (4.7) rispetto a z 2
x ≥ 0
x ≤ 0
x < 0
∞
∞
P Pr z z z z a 0 p ( z) dz p ( x) ⎡
∞
p ( y)
dy
⎤
∫ dx
−∞
∫−∞
⎢⎣
∫ x ⎥⎦
(4.12) e = { 1 > 2 2 = n = } z
=
2 z1 z2
od anche:
(4.13)
( /2 )
∞
2 2 2 x ⎡
2
x + V0T ⎤ V0T ∞ y
y
Pe = exp I0
x
⎡
exp ⎡ ⎤ ⎤
−
−
∫0 NT 0 /2 ⎢
=
NT NT
0 0 /2
⎣
⎥
0 ⎦
NT ⎢⎣∫
dy
x ⎢⎣
NT 0 ⎥⎦
⎥
dx
⎦
2
V0 T
− 2 2
2 V
0
T
VT 0
1 4N
∞
0 x
x + 2 2
exp −
2 ∫
0 /4
NT 0 0 NT
0 NT
0
2 4
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= e ⎢ ⎥I ⎜ x⎟dx
⎣ ⎦ ⎝ ⎠
2
NT
2
. Si ha:
Poiché l’integrando che compare nella precedente corrisponde ad una distribuzione di Rice
2
NT
4
VT
2
0
0
con parametri σ = e m = si ha:
(4.14)
Pe
1
= e
2
2
0
V T
−
4N
0