Operatori differenziali: - Consorzio Elettra 2000

A6 – Operatori differenziali
Operatori differenziali in coordinate cartesiane:
• Gradiente (opera su uno scalare; ha come risultato un vettore)
∂Φ ˆ ∂Φ ˆ ∂Φ
grad ( Φ)
= ∇Φ = i
ˆ
x
+ i
y
+ i
∂x
∂y
∂z
z
• Divergenza (opera su un vettore; ha come risultato uno scalare)
∂A
div A)
= ∇ ⋅ A =
∂x
∂A
y
+
∂y
∂A
+
∂z
x
z
(
• Rotazionale o rotore (opera su un vettore; ha come risultato un vettore)
rot
ˆi
x
∂
∂x
z y
x z
y x
( A)
= ∇ × A =
= − i
x
+ ⎜ − ⎟ i
y
+ − i
z
A
x
ˆi
A
y
y
ˆi
z
∂ ∂
∂y
∂z
A
z
⎛ ∂A
⎜
⎝ ∂y
∂A
∂z
⎞
ˆ
⎟
⎠
⎛ ∂A
⎝ ∂z
∂A
∂x
⎞ ˆ
⎠
⎛ ∂A
⎜
⎝ ∂x
∂A
∂y
ˆ
⎟ ⎞
⎠
• Laplaciano scalare (opera su uno scalare; ha come risultato uno scalare)
2 2 2
2 ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ
∇ Φ = ΔΦ = + +
2 2 2
∂x
∂y
∂z
Il laplaciano scalare gode della seguente proprietà:
2
∇ Φ = ∇ ⋅ ( ∇Φ)
• Laplaciano vettoriale (opera su un vettore; ha come risultato un vettore)
2 2 2
2 ∂ A ∂ A ∂ A
∇ A = Δ A = + +
2 2 2
∂x
∂y
∂z
Si osservi che, solo nel caso del riferimento cartesiano, i laplaciani vettoriali e scalari sono
legati fra loro dalla seguente proprietà:
∇ A =
2
2
2
( ∇ A ) ˆ
x
i
x
+ ( ∇ A
y
) ˆi
y
+ ( ∇ A z
) i z
2 ˆ
quindi il laplaciano di un vettore è ancora un vettore che ha come componenti cartesiane i
laplaciani scalari delle componenti cartesiane del vettore su cui opera.

Operatori differenziali in coordinate curvilinee:
Si consideri un generico sistema di coordinate curvilinee (u 1 ,u 2 ,u 3 ), e siano
versori fondamentali e (h1,h 2 ,h 3 ) i coefficienti metrici.
Si definiscono gli operatori differenziali nel modo seguente:
( ˆ
1,
uˆ
ˆ
2
, u
3
u )
i rispettivi
• Gradiente
• Divergenza
∇ Φ =
1
h
1
∂Φ
uˆ
∂u
1
1
+
1
h
2
∂Φ
uˆ
∂u
2
2
+
1
h
3
∂Φ
uˆ
∂u
3
3
1 ⎡ ∂
∂
∂ ⎤
∇ ⋅ A = ⎢ (h
2h
3A1)
+ (h
3h1A
2
) + (h1h
2A3
) ⎥
h1h
2h
3 ⎣∂u1
∂u
2
∂u
3 ⎦
• Rotazionale
uˆ
ˆ ˆ
1
u
2
u
3
h ˆ ˆ ˆ
1u1
h
2u
2
h
3u
3
h
2h
3
h
3h1
h1h
1
∇ × A = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂
h h h ∂u1
∂u
2
∂u
3
∂u1
∂u
2
∂u
1 2 3
3
h A h A h A h A h A h A
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
=
uˆ
1
h h
2
uˆ
2
+
h h
1
3
⎡ ∂
⎢
⎣∂u
2
2
⎡ ∂
⎢
⎣∂u
• Laplaciano
2 1 ⎡ ∂
∇ = ⎢
h1h
2h
3 ⎣∂
u
∂
(h
3A
3
) −
∂u
1
3
∂
(h
2A
2
) −
∂u
⎤ uˆ
2
(h
2A
2
) ⎥ +
⎦ h
3h1
2
⎤
(h1A1)
⎥
⎦
⎡ ∂
⎢
⎣∂u
3
∂
(h1A1)
−
∂u
1
⎤
(h
3A
3
) ⎥ +
⎦
h1h
2h
3
1
h1h
2h
3
1
h1h
2h
3
[] ⎜ [] ⎟ +
⎜ [] ⎟ +
⎜ []
1
=
h h h
1
2
3
⎡ ∂
⎢
⎣∂
u
1
⎛
⎜
⎝
h
2
h
h
1
∇ 2 []
1
3
⎛
⎜
⎝
∂
∂
u
1
h
2
1
∂
⎞⎤
1 ⎡ ∂ ⎛ h ⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤
3h1
∂ ⎞ 1 ∂ h1h
2 ∂
[] ⎟ +
⎜ [] ⎟ +
⎜ [] ⎟ ⎥⎦
⎟⎥
⎠⎦
∂
u
1
h
1
h
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
2
h
3
h
⎢
⎣∂
1
h
2
u
2
h
3
⎜
⎝
⎡ ∂
⎢
⎣∂
u
h
L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A
espresso in coordinate curvilinee, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano
vettoriale in coordinate curvilinee. Nel caso vettoriale, occorre però tenere presente che in
generale i versori non sono delle costanti, e quindi vanno anch’essi derivati.
2
2
∂
⎛
⎜
⎝
u
2
h
2
2
⎟⎥
⎠⎦
∂
∂
h
u
1
2
h
2
h
3
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
⎢
⎣∂
u
h
3
1
h
⎜
⎝
2
h
h
3
3
⎡ ∂
⎢
⎣∂
u
∂
u
3
3
⎛
⎜
⎝
h
⎟
⎠
2
3
∂
∂
u
3
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
=

Come casi tipici di sistemi di coordinate curvilinee, si possono considerare ad esempio il
riferimento cilindrico e quello sferico. In tal caso, le espressioni degli operatori differenziali scritte
sopra si particolarizzano nel modo seguente:
a) Coordinate cilindriche
Si ricordi che in un riferimento cilindrico si ha u 1 = ρ, u 2 = φ, u 3 = z e quindi risulta:
h 1 = 1, h 2 = ρ, h 3 = 1
• Gradiente
• Divergenza
∇Φ =
∂Φ
∂
ˆi
ρ
∂
∇ ⋅ A =
ρ ∂ρ
ρ
1 ∂Φ
+ ˆi
ρ ∂ϕ
( ρ A )
φ
∂Φ
+ ˆ i
∂z
1 ∂Aφ
∂A
+ +
ρ ∂ϕ
∂z
1 z
ρ
z
• Rotazionale
∇ × A =
1 ˆi
ρ
∂
∂ρ
A
ρ
ρ
ˆi
φ
∂
∂ϕ
ρA
φ
1 ˆi
ρ
∂
∂z
A
z
z
1 ⎡∂A
z
= ⎢ −
ρ ⎣ ∂ϕ
∂
∂
z
( ρ A )
φ
⎤ ˆ
⎥ i
⎦
ρ
⎡∂A
+ ⎢
⎣ ∂ z
ρ
∂A
⎤
z
− ˆ
⎥ i
∂ρ
⎦
φ
1 ⎡∂(
ρ A
+ ⎢
ρ ⎣ ∂ρ
φ
) ∂A
ρ ⎤
− ˆ
⎥ i
∂ϕ
⎦
z
=
⎡ 1 ∂A
∂A
z φ ⎤
=
ˆ
⎢ − ⎥ i
⎣ ρ ∂ϕ
∂ z ⎦
ρ
⎡∂A
+ ⎢
⎣ ∂ z
ρ
∂A
⎤
z
− ˆ
⎥ i
∂ρ
⎦
φ
⎡ 1 ∂(
ρ A
+ ⎢
⎣ ρ ∂ρ
φ
) 1 ∂A
ρ ⎤
− ˆ
⎥ i
ρ ∂ϕ
⎦
z
• Laplaciano
∇
2
1 ∂ ⎛
ρ ∂ρ
⎝
∂
∂ρ
⎞
2
1 ∂
2 2
ρ ∂ϕ
2
∂
∂z
[] = ⎜ ρ [] ⎟ + [] + [] = [] + [] + [] + []
∇ 2 []
⎠
2
2
∂
2
∂ρ
1 ∂
ρ ∂ρ
2
1 ∂
2 2
ρ ∂ϕ
L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A espresso
in coordinate cilindriche, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano vettoriale in
coordinate cilindriche. Per il laplaciano di un vettore, con alcune manipolazioni si può ottenere la
seguente espressione alternativa:
∇
⎡
A
2
ρ
∂ A
⎤
⎡
∂ A
2
( ∇ A z
) i z
2 2
ρ
φ
ˆ 2
φ
ρ
A = A
i A
ˆ
⎢∇
i + ˆ
ρ
− −
+
2 2 ⎥ ρ ⎢∇
φ
− +
2 2
φ
⎣
ρ
∂ϕ
⎦
⎣
A
ρ
2
ρ
∂ϕ
⎤
⎥
⎦
2
∂
∂z
2

Si osservi che, come già detto in precedenza, le componenti del laplaciano vettoriale non sono i
laplaciani scalari delle componenti del vettore A, come avviene invece in coordinate cartesiane.
b) Coordinate sferiche
Si ricordi che in un riferimento cilindrico si ha u 1 = r, u 2 = θ, u 3 = φ e quindi risulta:
h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = r sinθ
• Gradiente
∇ Φ =
∂Φ ˆi
∂ r
r
+
1
r
∂Φ
∂
ˆi
ϑ
θ
1 ∂Φ
+ ˆi
r sinϑ
∂ϕ
φ
• Divergenza
∇ ⋅ A =
1
2
r
∂
∂ r
2 1 ∂
( r A ) + ( sinϑ
A )
r
r sinϑ
∂ϑ
θ
1 ∂Aφ
+
r sinϑ
∂ϕ
• Rotazionale
∇ × A =
r
2
ˆi
r
sinϑ
∂
∂ r
A
r
ˆi
θ
r sinϑ
∂
∂ϑ
r A
θ
ˆi
ϕ
r
∂
∂ϕ
r sinϑ
A
φ
=
r
2
1 ⎡ ∂
sinϑ
⎢
⎣∂ϑ
∂
( r sinϑ
A ) − ( r A )
φ
∂ ϕ
θ
⎤ ˆ
⎥ i
⎦
r
+
+
+
1
r
⎡∂A
r ∂
ϑ
⎢ −
⎣ ∂ ϕ ∂ r
⎡ 1 ∂A
r ∂
⎢ −
⎣sinϑ
∂ ϕ ∂ r
1
r sin
⎤
θ
( ϑ ) ˆ 1 ⎡∂(r A ) ∂A
r ⎤ 1
r sin A i
ˆ ⎡ ∂
+ − i = ( sinϑ
A )
φ
θ
⎤
θ
( ) ˆ 1 ⎡∂(r A ) ∂A
r ⎤
r Aφ
i
ˆ
θ
+ − iφ
⎥
⎦
⎥
⎦
r
⎢
⎣
r
⎢
⎣
∂ r
∂ r
∂θ
⎥
⎦
∂θ
⎥
⎦
ϕ
r sinϑ
⎢
⎣∂ϑ
φ
∂Aθ
⎤
− ˆi
∂ ϕ
⎥
⎦
r
+
• Laplaciano
∇
2
2
[] = r [] sinϑ
[] []
2
∂
=
∂ r
2
1
2
r
∂ ⎛
⎜
∂ r ⎝
2 ∂
r ∂ r
∂
∂ r
1
2
r
⎞
⎟ +
⎠ r
2
2
∂
2
∂ϑ
1 ∂ ⎛
⎜
sinϑ
∂ϑ
⎝
[] + [] + [] + [] +
[]
r
2
1 ∂
tanϑ
∂ϑ
∂
∂ϑ
⎞
⎟ +
⎠ r
r
2
2
2
1 ∂
2 2
sin ϑ ∂ϕ
2
1 ∂
2 2
sin ϑ ∂ϕ
=
∇ 2 []
L’operatore si può applicare sia a un campo scalare φ che a un campo vettoriale A espresso
in coordinate sferiche, e si ottengono così il laplaciano scalare e il laplaciano vettoriale in
coordinate sferiche.

Per il laplaciano di un vettore, con alcune manipolazioni si può ottenere la seguente espressione
alternativa:
A
2
⎡
2 2A
r
2Aθ
2 ∂Aθ
2 ∂
φ ⎤
∇ A =
ˆ
⎢∇
A
r
− − − −
i
2 2
2
2 ⎥
⎣ r r tanϑ
r ∂ϑ
r sinϑ
∂ϕ
⎦
⎡
A
2 Aθ
2 ∂A
2 ∂
φ ⎤
r
+ A
ˆ
⎢∇
θ
− + −
i
2
2
2
⎥ θ
+
⎣ r sinϑ
r ∂ϑ
r sinϑ
tanϑ
∂ϕ
⎦
⎡ 2 A A
2
∂
r
φ 2 ∂A
⎤
θ
+ A
ˆ
⎢∇
φ
+
− +
i
2
2 2 2
⎥
⎣ r sinϑ
∂ϕ
r sin ϑ r sinϑ
tanϑ
∂ϕ
⎦
φ
r
+
Si osservi che, come già detto in precedenza, le componenti del laplaciano vettoriale non sono i
laplaciani scalari delle componenti del vettore A, come avviene invece in coordinate cartesiane.

Principali relazioni differenziali:
1) ∇( Φ + ψ) = ∇Φ + ∇ψ
2) ∇ ⋅(
A + B)
= ∇ ⋅ A + ∇ ⋅B
3) ∇ × ( A + B)
= ∇× A + ∇×
B
4) ∇
5) ∇
2
( Φ + ψ) = ∇ Φ + ∇
2
2
2
( A + B)
= ∇ A + ∇
2
6) ∇ ⋅ ( ∇Φ)
= ∇ Φ
7) ∇(
Φ ψ) = Φ∇ψ
+ ψ∇Φ
2
2
ψ
B
8) ∇ ⋅(
ΦA)
= Φ∇ ⋅ A + ∇Φ ⋅ A
9) ∇ × ( ΦA ) = Φ∇× A + ∇Φ × A
10) ∇ ⋅(
A × B)
= B ⋅∇× A − A ⋅∇×
B
11) ∇×∇Φ = 0
12) ∇ ⋅∇× A = 0
2
13) ∇ × ( ∇ × A)
= ∇(
∇ ⋅ A)
− ∇ A
2
14) ∇ ⋅(
Φ∇ψ)
= ∇Φ ⋅∇ψ
+ Φ∇ ψ
15) ∇ ( A ⋅B)
= A×
( ∇× B)
+ B×
( ∇× A)
+ ( A ⋅∇)
B + ( B ⋅∇)
A
16) ∇ × ( A × B)
= ( ∇ ⋅B)
A − ( ∇ ⋅ A)
B + ( B ⋅∇)
A − ( A ⋅∇)
B
17) ∇
2
18) ∇
2
( Φψ)
= Φ∇ ψ + ∇Φ ⋅∇ψ
+ ψ ∇
2
2
2
( ΦA ) = Φ∇ A + A∇
Φ + 2( ∇Φ ⋅ ∇)
A
19) ∇∇ ⋅( ΦA ) = ( ∇Φ)
∇ ⋅ A + Φ∇∇⋅ A + ∇Φ ×∇× A + ( A ⋅∇)
∇Φ + ( ∇Φ ⋅∇)
A
20) ∇ × ∇ × ( ΦA
) = ∇Φ × ∇ × A − A∇
2
2
Φ
Φ + ( A ⋅∇)
∇Φ + Φ∇ × ∇ × A + ∇Φ ∇ ⋅ A − ( ∇Φ ⋅∇)
A
Le relazioni 11, 12 e 13 sono particolarmente importanti.