Antenne a schiera (array) - Consorzio Elettra 2000

Antenne a schiera (array)

Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica• L’efficienza di un sistema di telecomunicazione dipende anche dalleantenne utilizzate che devono avere caratteristiche diverse a secondadel tipo di servizio e di applicazione.– ponte radio: collegamento tra punti fissi, antenne fortemente direttive al finedi irradiare la maggior parte della potenza disponibile nella direzione delricevitore che a sua volta deve essere in grado di raccogliere la maggiorparte della potenza.– sistemi d’area: collegamento tra corrispondenti in posizioni diverse, antennenon eccessivamente direttive, il trasmettitore dovrà essere in grado diraggiungere il ricevitore ovunque si trovi, ed il ricevitore dovrà essere ingrado di ricevere il segnale da qualsiasi direzione provenga.• È importante disporre di antenne dalle caratteristiche radiative anchemolto diverse sagomare opportunamente il diagramma diradiazione realizzare antenne complesse “assemblando” antennepiù semplici secondo determinate configurazioni geometriche edelettriche.

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaAntenne a schieraDefinizione generale: Date n sorgenti (antenne)disposte nello spazio, esse costituiscono una Schieradi Antenne se:1. Le n antenne sono uguali ed ugualmente orientate(ad es. se sono dipoli, devono essere tutti uguali eparalleli);2. Vale l’ipotesi di disaccoppiamento delle sorgenti:− jδIk= Λk⋅ek I0, Λk, δk∈R ; I0∈C

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaV 0V 1V n-1ρλ 1r 0 r 1r n−1ρλ n−1ρrkρr +ρλ= 0k2. Le densità di corrente impresse nelle sorgenti V i sono uguali fra loro a meno diuno sfasamento e una costante moltiplicativa, cioè:ρJ (rk k) =Λk−ejδkρJ (r )0 0dove Λ 0 = 1 e δ 0 = 0Tale relazione esprime l’ipotesi che i singoli elementi dell’array irradino comefossero isolati, senza nessun accoppiamento reciproco (si trascurano le correntidi mutua polarizzazione).A seconda della posizione reciproca degli elementi della schiera si distinguono,ad esempio, schiere lineari, schiere circolari e schiere planari.

Fattore complesso di schieraDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica• Ricordando che per l’antenna complessiva vale il principio di sovrapposizionedegli effetti, si avrà per il momento equivalente della schiera:∑ − ⎛⎞⎜⋅∑ − )ρ n 1 ρ n 1 ρ jβr iM = M = ⎜ ∫ J (r ) ⋅ek r dVk⎜k kk⎟ ⎟⎟ 0 0 V⎝ k⎠• e quindi sostituendo le proprietà della schiera:( )∑ − ⎛⎛ ρ ⎞ )⎜⎞⎜+⎟ρ n 1 ρ − jδjβ⎜r λ⎟⋅ i⎝⎠M = ⎜ ∫ Λ ⋅ J r ⋅ e k ⋅ e0 k rdV0== ⎜k 0 0⎟ ⎟⎟ k 0 V⎝ 0⎠⎡⎤( )⋅⎢∑ − ⎛ ρ ) ⎞)⎜⋅ −⎟n 1 j⎜β λ i δ⎟j r i⎝⎠= Λ ⋅ ek r kρ β⎥ ⋅ ∫ J r ⋅ e 0 r dV⎢ k⎥ 0 00⎢⎣k = 0⎥⎦V0ρF(θ,φ) M ( θ,φ)0

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaF( ) ∑ − ⎜n 1 j⎜β⋅ − δ⎝θ,φ = Λ ⋅ el kî r0k⎛ρk⎞⎟⎟⎠Fattore complesso di schieraρM 0( θ,φ)• momento equivalente del singolo elemento radiante• Il fattore complesso di schiera dipende dalla geometria, dal numero di elementie dalle alimentazioni, ma non dal tipo di antenne utilizzate.• |F(θ,φ)| prende il nome di fattore di schiera• Con queste definizioni il momento equivalente della schiera diventa:ρM( θ φ) = F( θ,φ) ⋅ M ( θ,φ),0• e ricordando l’espressione del campo elettrico e del potenziale vettoremagnetico in zona di campo lontano:E= − jϖiˆr× A × iˆreρA=µ4πMe− jβrr

Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica• si ottiene:ρE(r,θ , φ)⎛= − j⎜⎝µ⋅iˆε r= F(θ , φ)⋅ E ( r,θ , φ)0⎞× F(θ , φ)M ( θ , φ)× iˆ⎟⋅0 r⎠− jβre2λrcampo generato dalla sola sorgente elementare=• L’interferenza tra gli n elementi della schiera va a modificare il campoirradiato dal singolo elemento della schiera nella direzione (θ,φ) di un fattorepari a F(θ,φ); il campo complessivamente irradiato dalla schiera potràrisultare completamente diverso dal campo della singola antenna elementare.ρE rρ( , θ , φ) // E0 ( r,θ,φ)• (nel senso dei vettori complessi): il campo irradiatodalla schiera ha la stessa polarizzazione del campo irradiato dal singoloelemento.

Grandezze caratteristiche della radiazioneper le schiereDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica2IRR0( θ,φ) = F( θ,φ) ⋅ I ( θ,φ)fIR ( θ,φ)F(θ,φ)IR0(θ,φ)F(θ,φ)( θ,φ)=== f0(θ,φ)I ( θ , φ ) F(θ , φ ) I ( θ , φ ) F(θ , φ )RMMMMR0MMMM2 F(θ,φ)d( θ,φ)∝ f ( θ,φ)=f0(θ,φ)F(θ , φ )MM22• Scegliendo opportunamente i valori di n, λ k, δ k(che compaiononell’espressione di F) e’ possibile allora sagomare opportunamente ildiagramma di radiazione f(θ,f) della schiera.

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaIl rapporto:F( θ φ)( θ φ )F,M ,Mdescrive la “Superficie di Radiazione del Fattore di Schiera” erappresenta la superficie di radiazione che avrebbe la schierase fosse costituita da elementi isotropi

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere lineari uniformi (1)Una schiera si dice lineare uniforme se:1. Le n antenne sono allineate lungouna assegnata direzione (detta diallineamento) ed equidistanti:ρ ρ ρ ρ ρ= d + λ = d k λdk 0 k 0 +Il vettore è detto vettore diallineamentoρλed il suo modulorappresenta la distanza fra glielementi della schiera;ρλd ϖ0d ϖ 1Zd ϖkP(r,θ,φ)2. Le alimentazioni di elementiconsecutivi risultano sfasate di unaquantità δ costante, e cioè, Λ k =1e δ k = k⋅δXY

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere lineari uniformi (2)FFρ( r, θ , φ) = F( θ,φ) ⋅ E ( r, θ,φ)ρE 0F(θ,φ) : fattore complesso di schiera:∑( ) ( ) jk βλ⋅îθ,φ = e r −δkρj( )( n−1) u sin( nu)πλδθ,φ = e ⋅ con u = cos Ψ −sin( u) λ 2

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaψrPiSchiere lineari uniformi (3)rψ ∈ [0;π]012πλδOllu1= − −λ 2πλδu2= −λ 2• Si può dimostrare che, scegliendo l’origine del sistema di riferimento nelpunto medio della schiera, scompare l’esponenziale complesso ed il fattorecomplesso di schiera diviene una funzione reale: sin(nu)F (u) =sin(u)• fattore di schiera normalizzatoF 1 sin( nu)F = =normF n sin uDovendo essere 0≤ψ

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaFattore di schiera normalizzato|F(u)|norm e’ periodica di periodo π.1-π 0 π/5 2π/5 3π/5 4 π/5πu• Massimi assoluti :|F(u)|norm ha un massimo assoluto (di valore =1) per tutti gli u = kπ, k ∈ Z,appartenenti all’intervallo permesso [u1,u2].• Massimi relativi: |F(u)|norm presenta inoltre dei massimi relativi, approssimativamente incorrispondenza di quei valori di u ∈ [u1,u2] che massimizzano |sin(nu)|, cioè u = ± (2k+1) π/2n ⇒cosψ = δλ / 2πl ± (2k+1) λ / 2ln k= 1,2,3,..• Zeri: gli zeri di |F(u)|norm si hanno ovviamente per quegli u ∈ [u1,u2] che annullano |sin(nu)|, ecioèu= ± kπ/n k= 1,2,3,…., n-1,n+1,… cosψ = δλ / 2πl ± kλ / nl k= 1,2,3,…., n-1,n+1,• Gli zeri del fattore di schiera normalizzato corrispondono sempre a direzioni di zero della schieracomplessiva• la funzione di radiazione complessiva è data dal prodotto fra il fattore di schiera normalizzato e lafunzione di radiazione del singolo elemento radiante. Pertanto, in virtù di tale prodotto, le direzionidi massima radiazione della schiera complessiva possono non corrispondere né alle direzioni dimassimo del fattore di schiera normalizzato, né ai massimi di radiazione del singolo elemento.

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaProgetto ottimo Schiere lineari uniformi• Salvo rare eccezioni, una schiera lineare uniforme viene usualmente realizzata in modo che ilfattore di schiera normalizzato abbia:1. Un solo massimo assoluto nell’intervallo [u1,u2];2. Massimi relativi nell’intervallo [u1,u2].decrescenti;3. Massima ampiezza dell’intervallo [u1,u2] (nel rispetto delle condizioni 1 e 2)Le condizioni 1) – 3) definiscono il cosiddetto progetto ottimo di una schiera, e si traduconoquantitativamente nelle seguenti disuguaglianze1πλ≥λδ2[ u , u ]12⎡-π π⎤⊂⎢,⎣ 2 2⎥⎦⇒πλδ±λ 2≤π2-π -π/2 0 π/5 π/2 4 π/5π uψ=π ψ=0schiera generica ottimauu1 2Esempio: n=5Nel caso di progetto ottimo, il fattore dischiera normalizzato |F(u)| normpresenta unnumero di massimi nell’intervallo [-π/2,π/2]pari a n-1 (uno assoluto e n-2 relatividecrescenti).

Esempi di schiere: broadsideDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica• Schiera uniforme broadside di 5 dipoli a mezz’onda, aventi y come direzione diallineamentoλ/2 zxl = y• Applicazioni: radar di sorveglianza (lobo principale “a ventaglio”(fan-beam))

zzEsempi di schiere: broadsideyzxxyxDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemisticayf( θ,φ)=15⋅⎛ π ⎞cos⎜cosθ⎟⎝ 2 ⎠senθ⋅⎛ 5π⎞sin⎜sin θsinφ⎟⎝ 2 ⎠⎛ π ⎞sin⎜sin θsinφ⎟⎝ 2 ⎠

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiera a radiazione trasversale: Broad-SideSono schiere lineari e uniformi aventi la direzione di massimo di |F| normperpendicolare alla direzione di allineamento, cioè per Ψ=π/2∆piano di massimo per |F|: Ψ= π/2lobo principale della schiera broad-sidedirezione di allineamento0 1 2 n

Schiere Broadside (Ψ max = π/2)Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaProgetto ottimo• Lobo principale incluso:uuu21ψ=π / 2==uu=ψ= 0ψ=π0⇒π=2π= −2⎡⎢⎣πlλ• Lobi secondari decrescenti:δ⎤cos ψ −2⎥⎦πlλδ−2=ψ=π /π22⇒=δ2l==0λ2δ = 0 (elementi alimentati in fase) ; l = λ/2

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere Broadside• Direzione di massimo (u = 0): ψ = π/21-π -π/2 0 π/5 π/2 4 π/5 π uψ=π ψ=π/2 ψ=0 schiera BROADSIDEu1 u2 ottima

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere Broadside• Superficie di radiazione del fattore di schiera di antenna di una antennabroadside a 5 elementi allineati lungo l’asse z.zyx

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere Broadside• Diagramma (polare) di radiazione del fattore di schiera (normalizzato)Caso n = 5120906047° 9’1503010.80.60.40.2180 0ψ210330240300270

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere Broadside• Apertura lobo principale nel caso di progetto ottimo:∆ψOTTIMO= 2 arcsen2n• n = 2• n = 4∆ψ= 180°OTTIMO∆ψ= 60°OTTIMO• n = 5• n = 20∆ψOTTIMO= 47°∆ψOTTIMO= 11°9'30'• All’aumentare del numero degli elementi cresce la direttività

zEs. di schiere: broadside (n=5)xyzyyxxDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemisticay

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaEsempi di schiere: end-fire• Schiera uniforme end-fire di 5 dipoli a mezz’onda, aventi y come direzione diallineamentoλ/4 zxl = y• Applicazioni: ricezione televisiva (media direttività e basso costo)

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticazEsempi di schiere: end-firezyzyf( θ,φ)=15⎛ π ⎞cos⎜cosθ⎟⎝ 2 ⎠senθ⎛ 5π⎞sen ⎜ ⋅( 1−sin θsinφ)⎟⎝ 4⎠⎛ π⎞sen ⎜ ⋅( 1−sin θsinφ)⎟ ⎝ 4⎠

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiera End-FireSono schiere lineari e uniformi aventi la direzione di massimo di |F| normcoincidenti con la direzione di allineamento, cioè per Ψ=0direzione di allineamento∆direzione di massimo per |F|: Ψ= 00 1 2 nlobo principale della schiera end-fire

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere End-fire (Ψ max = 0)Progetto ottimo• Lobo principale incluso:uψ= 0uu21===⎡πlδ⎤⎢cos ψ −⎣ λ 2⎥⎦uuψ= 0ψ=π=0π= −2ψ= 0=0⇒• Lobi secondari decrescenti:δ =2πlλ= βl2 πlπ λ− = − ⇒ l = ⇒ δ =πλ 2 4 2δ = π/2 ; l = λ/4Lo sfasamento introdottosulle alimentazioni deveessere uguale in modulo aquello introdotto dallapropagazione sulla distanztra le antenne

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere End-fire• Direzione di massimo (u = 0): ψ = 01-π -π/2 0 π/5 2π/5 3π/5 4 π/5 πψ=πuψ=0u1 2schiera END-FIRE ottimau

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere End-firez• Superficie di radiazione delfattore di schiera di antennaend-fire a 5 elementi allineatilungo l’asse z.yx

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere End-fire• Diagramma (polare) di radiazione del fattore di schiera (normalizzato)Caso n = 51209060156° 55’1503010.80.60.40.2180 0ψ210330240300270

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere End-fire• Apertura lobo principale nel caso di progetto ottimo:• n = 2∆ψOTTIMO= 4 arcsen∆ψ= 360°OTTIMO2n• n = 4∆ψ= 180°OTTIMO• n = 5• n = 8∆ψOTTIMO= 156°∆ψ= 120°OTTIMO55'• n = 20∆ψOTTIMO= 72°30'• n = 40∆ψOTTIMO= 51°15'• All’aumentare del numero degli elementi cresce la direttività.

Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica• Piano H (x,y):Esempi di schiere: end-firefattore di schieraeSCHIERAdipolo• Piano E (y,z):1l = y1l = yx• Piano verticale (x,z): solo lobi secondarizfattoredi schierazdipoloxzSCHIERA1 11yyy

Es. di schiere: end-fire ottima (n=5)zyxyxzyDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica xyx

Schiere planariefinizione: un array planare è costituito da (m⋅n) antenne elementariisposte in un piano a formare una “matrice di m righe e n colonne”, inz P modo che gli elementi di ogni riga e diogni colonna rappresentino una schieralineare (con sfasamenti dx e dyθcaratteristici, rispettivamente, di ognirriga ed ogni colonna)123nym32φdistanza: λ xsfasamento: δ xdistanza: λ ysfasamento: δDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere planari• Offrono ulteriori gradi di libertà: premettono un maggior controllosulla forma del diagramma di radiazione.• Diagrammi di radiazione ad elevata simmetria e piccoli lobisecondari.• Adatte per la scansione elettronica (antenne adattative).• Applicazioni: radar e comunicazioni.

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere planari• Rispetto alla schiera monodimensionale le cose si complicano solo formalmente.• Due direzioni di allineamento: x e y (ad esempio):• Fattore complesso di schiera lungo x:M −1Fx=∑m=0Λmexp• Fattore complesso di schiera lungo y:N −1Fy=∑n = 0ΛnexpρM −1[ jm( β l ⋅ î − δ )] = Λ exp jm( β l sen θ cos φ − δ )ρx∑m=0• Fattore complesso di schiera planare: F = F x F yrxN −1m[ ][ jn( β l ⋅ î − δ )] = Λ exp[ jn( β l sen θsenφ − δ )]yry∑n = 0nyxyx

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSchiere circolariUna schiera si dice circolare se gli elementi radianti sono disposti nello spazio inmodo che ciascun elemento possa essere sovrapposto al successivo per mezzo diuna rotazione (di ampiezza costante) attorno ad un asse detto asse della schiera.In tal modo i centri di fase delle antenne che formano la schiera appartengono aduna circonferenza di raggio ρ.zR k(r, θ, φ)• Offrono ulteriori gradi di libertà• Diagrammi di radiazione ad elevatasimmetria e piccoli lobi secondari• Applicazioni: radar e direction-findingρrˆΨ kyˆρ kn-10 1 kφ−φ kφ kxφ k =2π·(k/n) k=0,1,2,…,n-1

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaRiepilogo Antenne a SchieraRelazione generale che descrive il comportamento di una schiera di antenneEssendo:E ρ ( r,θ,φ)( )EρF( θ,φ)0 r,θ,φEρ( r , θ , φ) = F ( θ,φ) ⋅ E ( r , θ,φ)0: campo complessivo irradiato nel punto (r,θ,φ): campo irradiato nel punto (r,θ,φ) dal singolo elemento: fattore complesso di schieraρdipende dal numero degli elementi, dalla loro disposizione geometricae dalle costanti (complesse) di proporzionalità fra le densità di correnteimpressa (cioè dai valori di Λ ke δ k).

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaValgono inoltre i seguenti risultati:2( θ,φ) = F( θ,φ) ⋅ I ( θ,φ)IRR0( θ,φ)R ( θ,φ)( θ , φ )IF( θ,φ)( θ , φ )⋅ff ==0IRM M F M Md( θ,φ) ∝ f ( θ,φ)Riepilogo Antenne a Schiera2=FF( θ,φ)( θ , φ )MM2⋅ f0Funzione di radiazione delFattore di schiera normalizzato= della schiera di elementiisotropi( θ,φ)( θ,φ)2Il campo irradiato complessivo ha la stessa polarizzazione del campo irradiatodal singolo elemento che compone la schiera

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaRiepilogo Antenne a SchieraLa direttività d della schiera aumenta al crescere del numero n dielementi.La disposizione geometrica degli elementi determina le (eventuali)proprietà di simmetria e di invarianza del fattore di schiera |F(θ,φ)|:- se gli elementi radianti appartengono ad un piano, |F(θ,φ)| èsimmetrica rispetto al piano;- se gli elementi radianti sono allineati, |F(θ,φ)| è invariante perrotazioni attorno alla direzione di allineamento.

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaRiepilogo Antenne a SchieraREGOLA di KRAUSS: il valore della funzione di radiazione di una schiera diantenne può essere determinato, per ogni direzione, moltiplicando il valoredella funzione di radiazione del singolo elemento radiante per il valore dellafunzione di radiazione di una schiera di elementi isotropici, posizionati edeccitati come gli elementi della schiera reale.diagramma di radiazionedel singolo elementodiagramma di radiazione dellaschiera di elementi isotropici=diagramma di radiazionecomplessivo

Antenne adattative (“smart”)Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaFasi delle sorgentiControllo fase dell’alimentazione deglielementi radianti di una schieraControllo direzione della maggior partedel campo irradiato dalla schiera

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaAntenne adattative• Condizione di sfasamento affinché ψ 0∈ [0,π] sia la direzione dimassimo della schierau=πlλcos ψ −δ2ψ=ψ0=0⇒δ =2πlλcos ψ0• Variando con continuità lo sfasamento tra gli elementi, si ottieneun’antenna a scansione continua• Questa operazione è realizzata elettronicamente mediante l’uso disfasatori a ferrite o a diodi

Schiere lineari a scansione elettronica• Superficie di radiazione di schiera con elementi allineati lungo l’asse ze direzione di massimo θ 0= 60°zθ 0= 60°yxDipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaAntanne adattative: beamforming networkApplicazioni: direction finding

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaEsercizio• Si consideri un’antenna trasmittente, costituita da una schiera uniformeformata da sorgenti isotrope allineate lungo l’asse y, distanti una distanza dtra loro e con ampiezze complesse alternativamente pari a 1 e –1,• Si calcoli:• Il fattore di schiera di questa schiera di antenne• Le direzioni di zero di radiazione della schiera nel caso sia d=λ/4yRxddd-1Ψ1-11x

Dipartimento di ElettronicaInformatica e SistemisticaSoluzione• Nel caso in esame la schiera è lineare e uniforme, costituita da 4 sorgenti, alimentatecon ampiezza unitaria e sfasamento relativo pari a δ=π. Il fattore di schiera è quindidato dalla:sin( )( nu)π δF θ, ϕ =u = d cosψ−sin uλ 2• dove Ψ è l’angolo tra l’asse della schiera e la generica direzione di osservazione.• Nel caso in cui sia d=l/4 il fattore di schiera diventa:F( θ,ϕ)( nu)sin=sin u( θ,ϕ)• poiché le sorgenti elementari sono sorgenti isotrope, le direzioni di zero dellaradiazione si hanno per quelle direzioni per cui l’argomento del numeratore delfattore si schiera si annulla−1≤ cosψ≤ 1⎧2± k ≥ -1⎨⎩ 2 ± k ≤ 1F( nu)sin=sin u⎛ ⎛ π λ π ⎞⎞⎛ π ⎛ cosψ⎞⎞⎛ ⎛ cosψ⎞⎞sin⎜4⎜cosψ− ⎟⎟sin⎜4⎜ −1⎟⎟sin⎜2π⎜ −1⎟⎟⎝ ⎝ λ 4 2 ⎠⎠⎝ 2 ⎝ 2 ⎠⎠⎝ ⎝ 2 ⎠===⎠⎛ π λ π ⎞ ⎛ π ⎛ cosψ⎞⎞⎛ π ⎛ cosψ⎞⎞sin⎜cosψ− ⎟ sin⎜⎜ −1⎟⎟sin⎜⎜ −1⎟⎟⎝ λ 4 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠⎠⎝ 2 ⎝ 2 ⎠⎠⎛ ⎛ cosψ⎞⎞⎛ cosψ⎞sin⎜2π⎜ −1⎟⎟= 0 ⇒ 2π⎜ −1⎟= ± kπ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠⎝ 2 ⎠ma il cosψè compreso tra -1e1quindi si può scrivere :⇒−1≤ 2 ± k ≤ 1⎧±k ≥ −3⎨⎩±k ≤ −1⇒− 3 ≤ ± k ≤ −1⇒cosψ− 2 = ± k⇒⎛ ⎛ πdπ ⎞⎞sin⎜4⎜cosψ− ⎟⎟⎝ ⎝ λ 2 ⎠=⎠⎛ πdπ ⎞sin⎜cosψ− ⎟⎝ λ 2 ⎠cosψ= 2 ± k