Potenziali e circuiti - Consorzio Elettra 2000

Equazioni fondamentali (nel dominio dei tempi)Equazioni di Maxwell:⎧ ∂b⎪ ∇× e = -∂t⎪⎪ ∂d⎨ ∇× h = j + ⎪ ∂t⎪ ∇⋅ d = ρ⎪ ⎩∇ ⋅ b =0j = j + jcEq. di continuità: Legge del trasporto:∂ρ∇ ⋅ j+ = 0jc = σ e∂tiRelazioni i costitutive del mezzo:⎧ = ε⎨ d e⎩b = μ hEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso stazionario (9)Nel caso (b) si parla di modello della magnetostatica. In tale modello, leequazioni fondamentali si particolarizzano nelle equazioni seguenti:∇ ⋅∇ ×Β=B = 0Hμ=ΗJiIn questo modello, le sorgenti “fisiche” del campoE.M. sono le correnti impresse, costanti nel tempo(distribuzioneione statica di corrente J i )Si può dimostrare che dalle equazioni precedenti si ottiene la seguenteequazione di Poisson vettoriale, cheèl’equazione fondamentale dellamagnetostatica∇2A = −μ JiEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Circuiti - Caso stazionario (3)Calcolando l’integrale di circuitazione di ambo i membri dell’equazioneprecedente lungo tale linea, si ottiene, per le proprietà del potenzialescalare elettrico φ:∫E ⋅ ˆii dessendoVi= φAi−φBila tensione lungo l’i-esimoi ramo dll della maglia.=∑iVi=0La relazione trovata esprime la seconda legge di Kirchhoff ossia “lasomma algebrica delle cadute di tensione lungo una maglia è nulla”.‣ In regime stazionario la caduta di potenziale V può essere attribuitaesclusivamente alla presenza di un campo elettrico E non nullo. Inoltre,dalla prima equazione di Maxwell si evince che la variazione i temporale delflusso del vettore induzione magnetica B è nulla e quindi non può averluogo alcun fenomeno di immagazzinamento o dissipazione di energia.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso non stazionario (1)Anche nel caso non stazionario sarebbe utile continuare ad avere deipotenziali che, opportunamente t derivate, forniscano i campi. Per quantoriguarda il campo magnetico, continua a valere l’equazione:∇⋅ b =0Si può quindi scrivere ancora:b =∇× a apotenziale vettore magneticoIl campo elettrico, invece, non è più irrotazionale, essendo:∂b∇× e =− ∂tTuttavia si può sostituire la precedente equazione nella prima equazionedi Maxwell, e si ottiene:Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

e quindi:Essendo il vettoreCaso non stazionario (2)∂ae + ∂ t∂⎛∂a⎞∇× e=− ( ∇× a)=−∇× ⎜ ⎟∂t⎝∂t⎠⎛ ∂a⎞∇× ⎜e+ ⎟=0⎝∂t⎠irrotazionale, si può scrivere:∂ae + =−∇φ∂tφ è detto ancora potenziale scalare elettrico, ma è una quantità ingenerale diversa dal potenziale nel caso stazionario!Riassumendo, nel caso non stazionario valgono le seguenti equazioni:⎧ ∂a⎪e=−∇Φ− ⎨∂tt⎪⎩b=∇×a(*) ()Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso non stazionario (3)Dalle equazioni (*) si deduce quindi che, nel caso non stazionario, ilcampo E.M. è completamente determinato una volta che siano noti ipotenziali vettore e scalare a e φ.Si noti anche che nel caso stazionario non ha senso definire latensione fra 2 punti, infatti: ⎛ ∂a⎞ ∂ e⋅ d= ⎜-∇Φ- ⎟⋅ d =Φ(Q) − Φ(P) − a⋅d⎝∂t⎠∂tP P P∫ ∫ ∫Q Q QCompare cioè, oltre alla differenza di potenziale, un termine addizionaleche in generale dipended dal cammino scelto per effettuare l’integrale l traQ e P (infatti, il vettore a per definizione non è conservativo, essendo∇× a= b≠0).Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso non stazionario (4)Le equazioni fondamentali dell’elettrodinamica non stazionaria sono leseguenti:2⎧ 2 ∂ ∂∇ − aμε μσ μ2it − aa⎪ ∂ ∂ t=− j⎨(**)2⎪ 2 ∂ φ ∂φ ρ∇ φ − με μσ2 − =−⎪⎩∂ t ∂ t εTali equazioni si ottengono dalle equazioni di Maxwell, esprimendo icampi tramite i rispettivi potenziali, ed infine imponendo la condizione diLorentz nel dominio i dei tempi:∂ϕ∇ ⋅ a =−με−μσϕ∂ tSi osservi che nel caso di mezzo privo di perdite (σ =0) le equazioniscritte sopra diventano le ben note equazioni di D’Alembert (vettoriale escalare) non omogenee.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso non stazionario (5)• La risoluzione del sistema differenziale (**) è in generale molto difficoltosaper un regime temporale generico (si tratta infatti di un sistema diequazioni alle derivate parziali sia nelle variabili spaziali che nella variabiletemporale)• Se però si considerano campi in regime sinusoidale e si passa allarappresentazione mediante campi complessi rappresentativi (fasori), lasoluzione di tali equazioni i si semplifica notevolmente. t Si ottengono infatti2 equazioni disaccoppiate [eq. di Helmholtz non omogenee] nel potenzialevettore magnetico e nel potenziale scalare elettrico, rispettivamente:2 2⎧∇ + ωμεC=−A A μJ iDeve valere inoltre la condizione di⎪(***) Lorentz:⎨2 2 ρ⎪ ∇ φ + ω με Cφ=−∇ ⋅ A =−jωμε Cφ⎩εEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso non stazionario (6)• Ad esempio, per ricavare la seconda equazione delle (***), è sufficientesostituireH= 1/ μ∇×Anella seconda eq. di Maxwell e si ottiene:( )( j ) 0∇× E+ ωA = ⇒ E+ jωA=−∇φ• Ricordando poi l’equazione di divergenza del campo elettrico∇ ⋅ E =ecombinandola con l’equazione precedente si ha:ε2 2∇⋅ E=−∇⋅∇ φ − jω ∇⋅ A=−∇ φ − ω μεC=dove, ancora una volta, si è fatto uso della condizione di Lorentz. Per larisoluzioneione del sistema differenziale iale (***), la conoscenza del termine ρ/εnon è necessaria, in quanto esso può essere espresso a sua volta infunzione delle correnti impresse:ρε∇ ⋅ Ji=−jωεDi fatto, la scelta di Lorentz rende le 2 equazioni (***) (e quindi anche ipotenziali A e φ) fra loro dipendenti.CρερEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Caso non stazionario (7)• Infatti, una volta determinato A risolvendo la prima delle (***) con il metododella funzione di Green, il potenziale scalare si può ricavare dalla eq.:∇ ⋅ Aφ =−jωεjωε C• Una proprietà concettualmente rilevante dei potenziali scelte di Lorentz èche essi possono considerarsi come la naturale estensione al casodinamico dei corrispondenti potenziali statici. Si abbia infatti unadistribuzione di corrente stazionaria J i0 e una distribuzione statica di caricaρ 0 , e siano A 0 , φ 0il potenziale vettore magnetostatico t ti e il potenzialescalare elettrostatico che tali distribuzioni sostengono. Come noto, A 0 e φ 0soddisfano le equazioni di Poisson:2⎧∇0=−μi0A J E’ immediato riconoscere che le (****)⎪ (****)rappresentano il limite delle eq. di⎨2 ρ ∇0⎪ φ0=−Helmholtz (***) per ω → 0 !⎩ εEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Circuiti - Caso non stazionarioCircuiti in regime non stazionarioNel caso stazionario non è di norma lecito trascurare le derivatetemporali delle grandezze elettromagnetiche ti pertanto t risultano verificatele seguenti relazioni:∂ρ∂e∇ ⋅ j =− =−ε ≠0∂t∂t∂b∇× e =− ≠0∂tdalle quali si deduce che nel caso non stazionario non valgono le leggidi Kirchhoff.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

L’approssimazione quasi-stazionaria (1)• Si parla di campi quasi stazionari per indicare campi che non sonostrettamente stazionari, ma per i quali le variazioni nel tempo nongiocano un ruolo primario (campi lentamente variabili).• L’approssimazione quasi-stazionaria consiste nel trascurare, se sonoverificate alcune condizioni ben precise, alcune delle derivate temporaliche compaiono nelle equazioni fondamentali.Non si trascura la dipendenza dal tempo !!!La possibilità di trascurare le variazioni i i temporali di alcune grandezzedipende dal regime temporale che si instaura nel sistema in oggetto.‣ Il regime temporale del sistema dipende a sua volta dalle cause cheoriginano i campi, cioè dalle sorgenti fisiche (correnti e cariche)Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

L’approssimazione quasi-stazionaria (2)Che cosa significa trascurare le variazioni temporali delle grandezzeE.M. ?Significa trascurare gli effetti della propagazione dei campi E.M.all’interno del sistema, cioè trascurare il ritardo di propagazione.In altri termini, i ciò equivale a supporre che gli effetti delle variazionii itemporali delle forze impresse si manifestino istantaneamente in tutti ipunti del sistema (successione di stati quasi-stazionari).stazionari).‣ E’ ovvio che, per trascurare il tempo di ritardo, il sistema che si staconsiderando deve essere geometricamente limitato (diversamente nonsarebbe possibile individuare un valore massimo per il tempo di ritardo).Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

L’approssimazione quasi-stazionaria (3)Data una coppia di punti P e P 0appartenenti al sistema che si staconsiderando, si ponga= max P − P( )rmax0tmax =rmaxcdove c indica la velocità della luce nel vuoto.Se le relazioni di trascurabilità, che di seguito verranno esplicitate, sonoverificate per distanze pari a r max , a maggior ragione lo saranno per ognialtro valore della distanza r.Trascurare il tempo di ritardo significa, come detto, supporre che le causeche originano i il campo non varino nell’intervallo temporale in esame,cioè:( −max ) ≈ ( ) ⇒ ( −max ) − ( )

L’approssimazione quasi-stazionaria (4)Considerando ad esempio la distribuzione delle cariche ρ(P,t), mediantesviluppo inserieèpossibile riscrivere la relazione (a) nella forma:(a')∂ρ∂t( P, t)rmaxc

L’approssimazione quasi-stazionaria (5)E’ stata così individuata una condizione sufficiente perl’approssimazione di quasi stazionarietà che spesso vieneespressa anche nella forma:r max

L’approssimazione quasi-stazionaria (6)Come conseguenza dell’ipotesi di quasi stazionarietà si ha che per ogni coppia dipunti P e P 0 del sistema, risultano vere le relazioni:( ) 2 πa P − P0

Modelli quasi-stazionari (1)I sistemi quasi-stazionari sono caratterizzati dalla possibilità ditrascurare alcune delle variazioni temporali delle grandezze E.M. diinteresse. Nella pratica, in un sistema quasi-stazionario si possonodistinguere 3 diverse regioni di funzionamento: Regioni in cui si trascurano le variazioni del campo e, ma non quelledel campo b. In questo caso si parla di modello quasi-stazionariostazionariomagnetico. Regioni in cui si trascurano le variazioni del campo b, ma non quelledel campo e. In questo casosi parla di modello quasi-stazionarioi ielettrico. Regioni in cui si trascurano sia le variazioni sia del campo e che delcampo b. In questo caso, fissato un istante di tempo t 0 ,ilsistemasicomporta in modo analogo a un sistema stazionario, e perciò siapplica il modello del campo stazionario di corrente già visto inprecedenza.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Modelli quasi-stazionari (2)Modello quasi-stazionario magneticoIn tale modello, si assume di trascurare la derivata temporale del vettoreinduzione elettrica che compare nella seconda equazione di Maxwell:∂dd∇× h= + j∂tLa relazione di trascurabilità che deve essere soddisfatta perché talemodello sia valido è quindi:∂dd∂t

Modelli quasi-stazionari (3)In sintesi, le equazioni del modello quasi-stazionario magnetico sono leseguenti:∇×h h=j(P,t)In tale modello, la legge per la circuitazione di eè esatta, mentre le equazioni del campo di∇⋅ j = 0corrente e del campo magnetico h sono quelledel limite stazionario.∇⋅ b = 0Tale approssimazione è tanto migliore quanto piùb=μhlente sono le variazioni dei campi elettrici e delle∂bcariche.∇× e =− ∂ttLe regioni del sistema che sono rappresentate dal modelloquasi-stazionariostazionario magnetico sono, evidentemente, le regioni induttive.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Modelli quasi-stazionari (4)Modello quasi-stazionario elettricoIn tale modello, si assume di trascurare la derivata temporale del vettoreinduzione magnetica che compare nella prima equazione di Maxwell:∂b∇× e =− ∂ttPer ricavare la condizione di trascurabilità, il procedimento èleggermente più laborioso che nel caso precedente, poichénell’equazione precedente compare un solo termine a secondo membro.Conviene allora esprimere b tramite il potenziale vettore magnetico a adesso associato:b= ∇× aEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Modelli quasi-stazionari (5)E’ già stato ricavato che il vettore campo elettrico può essere scritto infunzione dei potenziali scalare e vettore come:∂e = −∇Φ − a ∂ tpertanto il campo elettrico non dipende dalle variazioni del campomagnetico quando risulta valida la relazione:∂ a∂t

Modelli quasi-stazionari (6)In sintesi, le equazioni del modello quasi-stazionario elettrico sono leseguenti:∇× e =0∇⋅ d = ρ(P,t)d=εe∇⋅ ∂ρj =− ∂t∂d∇× h= j+ ∂ttIn tale modello, l’unica legge approssimata èquella della circuitazione di e.Tale approssimazione è tanto migliorequanto più lente sono le variazioni dei campimagnetici.Le regioni del sistema che sono rappresentate dal modelloquasi-stazionariostazionario magnetico sono, evidentemente, le regioni capacitive.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Circuiti in regime quasi-stazionarioI modelli quasi-stazionari appena visti si possono così sintetizzare:∂ e1. In tutti i punti in cui j ≠ 0 ⇒ ε

Circuiti in regime quasi-stazionario (2)Consideriamo ora le regioni in cui il vettore e è non nullo. Inquasi stazionario si ha:regime∂aa∂t

Circuiti in regime quasi-stazionario (3)Conclusione: nel caso quasi stazionario valgono ancora,con ottima approssimazione, le leggi fisiche del casostrettamente stazionario: e è ancora conservativo e che ilvettore j è ancora solenoidale.Nel caso quasi stazionario ha ancora senso una descrizionecircuitale in termini di tensioni e di correnti, e inoltre si puòaffermare che in regime quasi stazionario valgono ancora(seppure non rigorosamente) le leggi di Kirchoff.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Approssimazione quasi-stazionaria: conseguenze• In circuiti in regime quasi-stazionario, è ancora possibile, come nel casostazionario, i dfii definire in modo univoco tensioni i e correnti. Si tratta però diuna descrizione approssimata, a rigore.• E’ possibile dare una caratterizzazione i “i “ai morsetti” di dei componenticircuitali, tramite una relazione costitutiva (funzione che lega tensione ecorrente). Non è quindi importante la struttura spaziale dei componenti,che possono essere pensati come concentrati in un punto!descrizione circuitale a parametri concentrati• Valgono (seppur in modo approssimato) le leggi di Kirchhoff.• I singoli componenti “rispondono” in modo istantaneo (tramite la propriarelazione costitutiva) a variazioni temporali del segnale che alimenta ilcircuito.Successione di stati stazionari!Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Circuiti a parametri concentratiUn circuito a parametri concentrati è un sistema elettromagneticocostituito da un insieme di elementi circuitali bipolari o multipolari(resistenze, condensatori, induttanze, generatori ecc.) connessi fra loromediante elementi di filo di materiale perfettamente conduttore. Diversielementi e diversi tratti di filo si congiungono nei nodi. Si individuanopercorsi chiusi costituiti da fili ed elementi circuitali detti maglie (vedifigura).Z1V1~ V0V2Z2 V3Z3V4Z4Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Circuiti a parametri concentrati (2)I componenti più semplici e largamente utilizzati per la realizzazione dicircuiti complessi sono i bipoli (o componenti bipolari), caratterizzati da 2soli punti di contatto (o morsetti) per il collegamento esterno con gli altricomponenti.IQCome noto, il comportamento individuale di ogni singolo bipoloè descritto formalmente da una relazione fra tensione aimorsetti V e corrente I (relazionel i costitutiva):)F ( V , I ) = 0 oppure V = f ( I ) oppure I = g ( V)V=φ Q -φ Pbipoli “stazionari”P ⎛ dVdI⎞F⎜V, I, , , ∫Vdt, ∫Idt⎟= 0⎝ dt dt ⎠∫ ∫ bipoli “dinamici”Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Componenti circuitali bipolari: esempi (1)1) ResistoreSi supponga di avere un resistore ideale, formato da un trattott dimateriale a conducibilità finita ed area trasversale A così piccola dapotere supporre j C costante su una sezione.VQPA îIRicordando che per definizione di potenzialeP PcV =Φ(Q) −Φ (P) = d ˆ∫e⋅ = ∫ j ⋅i d σQ Qe poiché evidentemente j I ˆc= ; I : corrente totaleAi PPIallora: 1V = ∫d= I ⋅∫ d= I ⋅ R 1a legge di OhmA ⋅ σ A ⋅ σQQi Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Componenti circuitali bipolari: esempi (2)doveP∫Q1R ≡∫d resistenza [Ω]A ⋅ σSe A è costante, t e il resistore è omogeneo (σ costante t lungo il resistore) it siottiene la cosiddetta 2a legge di Ohm:R=σ ⋅ Aσlunghezza del resistore, A area della sezione del resistore,-1 −1conducibilita' [ m ]Ω ⋅InduttoreSi consideri un induttore ideale realizzato tramite un pezzo di filo ideale(perfettamente conduttore, cioè σ = ∞, ed avente geometria qualsiasi.VQIPî Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Componenti circuitali bipolari: esempi (3)All’interno dell’induttore risulta e=0e dunque∂a∇Φ = − ∂ tQ P Pd dI- ˆ ∂ a ˆ ∂V = Φ(Q) Φ(P) = ⋅ = ⋅ = ⋅ ˆ∫∇Φi d ∫ i d d = ( LI ) =L∂t ∂t ∫a idt dta patto di porreP∫ ai ⋅ˆdQL ≡ induttanz a [H]IP Q QL'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che l’induttanza, per la suadefinizione, risulta indipendente dal tempo perché l'integrale alnumeratore risulta, istante per istante, proporzionale alla corrente chesta al denominatore.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Componenti circuitali bipolari: esempi (4)dI ≡ 00Si osservi che, qualora risulti , si ha V ≡dt. Ciò conferma il fattoche, come già detto in precedenza, nel caso strettamente tt t stazionarioil’induttore equivale ad un cortocircuito.Si consideri ora una linea che, rimanendo all’esterno dell’induttore,colleghiimorsettiPeQ formando con l’induttore stesso un percorsochiuso. Poiché esternamente all’induttore non c’e’ campo magnetico, e’possibile estendere l’integrale di linea a tutto il percorso chiuso cosi’formato, e dunqueˆ ( ) ˆ ˆ∫ ai ⋅ d∫ ∇× a ⋅in dS ∫b⋅indSV S S ΨL ≡ = = =QPI I I Idove Ψ rappresenta il flusso di induzione magnetica concatenato conl’induttore. L'induttanza è quindi il rapporto fra il flusso di induzionemagnetica e corrente.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico VitucciI

Componenti circuitali bipolari: esempi (5)CapacitàSi ha, ovviamente:QV = ∇Φ ⋅ ˆ d = − ∇Φ ⋅ ˆ∫ i ∫ iPPQd= − ( Φ(P)- Φ(Q))= Φ(Q)- Φ(P)E’ necessario però ricavare un legame funzionale fra la tensione ai capidel componente e la corrente elettrica che fluisce ai morsetti, come si èfatto per gli altri componenti circuitali.Al generico istante t, si avrà una carica Q su un’armatura e -Q sull'altra. Sipuò mostrare che Q è sempre proporzionale alla differenza di potenzialefra le armature. Sia 1/C la costante di proporzionalità. Si pone allora:Q∫ I(t) dtV =Φ(Q)- Φ(P) Δ = ; C capacità [Farad]C CC è una costante che dipende unicamente dalle caratteristichegeometriche della regione che è sede dell’accumulo di carica elettrica.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Componenti circuitali bipolari: esempi (6)Derivando ambo i membri della formula appena scritta, si ottieneun’espressione alternativa per il legame fra tensione e corrente:I = CSi osservi che, qualora risulti 0 , si ha I ≡ 0dt. Ciò conferma il fatto chenel caso strettamente stazionario il condensatore equivale ad un circuitoaperto.A titolo di esempio, ricaviamo ora l’espressione della capacità C in un casotipico. Si consideri un condensatore ideale formato da due armature pianee parallele, poste a distanza d ed aventi area A:SdVdtdV ≡ 0IVî xEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Componenti circuitali bipolari: esempi (7)Si consideri allora la superficie chiusa S rappresentata in figura. Risulta:⎛ ε ∂ ⎞ ⎛0 0 ε ∂ ⎞∇⋅ ˆ ˆ ˆ⎜j + e ⎟ = → = ⎜ + ⎟⋅ ndS = ⋅ndS + ε ∂ ⋅ndS∂t ∫ j e i∂t ∫ j i ∫e i⎝ ⎠ ∂tS ⎝ ⎠SSil primo integrale rappresenta ovviamente la corrente di conduzione I cheattraversa il bipolo; il secondo integrale, che rappresenta la corrente dispostamento, può essere calcolato osservando che all’interno delcondensatore e = -(V/d)i x e che sulla porzione di superficie in cui lacorrente di spostamento non e’ nulla vale, per costruzione, i n =i x ; pertanto:∫Sε∂E∂t⋅ ˆindS∂= -∂t∫SVεddS= −Aεd∂V∂te quindiAε∂VI =⇒C =d ∂tAεdEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

EsercizioEsercizio (dal compito intermedio 26/02/2004)Si consideri il sistema raffigurato in basso (schema di principio del motoredi un altoparlante), costituito da 2 magneti con polarità opposte, e da unaspira circolare percorsa da una corrente I variabile nel tempo.Si noti che l’asse z è diretto ortogonalmente al foglio verso chi legge.ySNRΦxIl gap fra i 2 magneti è supposto molto piccolo,in modo che il campo magnetico radiale(indicato dalle frecce in figura) si possasupporre uniforme in modulo. Si suppongainoltre di alimentare la spira con un generatoreideale di tensione, e una resistenza in seriecon tale generatore.ΙEsercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Esercizio (continua)a) Sapendo che la massima frequenza di eccitazione f 0 del circuito è paria10KHz, echelaspira ha raggio R = 0.05 m, dire se sono soddisfatte lecondizioni per l’applicazione dell’ipotesi di quasi stazionarietà (sisupponga trascurabile la lunghezza dei fili di interconnessione conl’alimentatore);b) Fissato un istante di tempo t=t 0 , ( la corrente lungo la spira ha perciòintensità costante I(t 0 )), si determini la forza complessiva che il campomagnetico radiale esercita sulla spira, in modulo, direzione e verso. Atalfine, si adotti un sistema di riferimentocilindrico ( ˆ i ˆ ˆρ, iΦ, iz, ) e si ricordi che perl’elemento infinitesimo di spira si ha d = d îi Φ, con d = RdΦΦ. Si assuma unacorrente I(t 0 ) pari a 1 A, e un campo magnetico di modulo H =106 A/m (siricordi che la permeabilità magnetica dell’aria è μ 0 =4π*10-7 H/m).Qualora al punto precedente si sia trovato che vale l’ipotesi di quasistazionarietà, evidenziarne le conseguenze nel caso si voglia ripetere ilcalcolo appena svolto per una corrente I(t) variabile nel tempo.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

Esercizio (continua)c) Si supponga di poter scegliere fra due diverse coppie generatore-resistenza per alimentare la spira. Il primo generatore impone all’istantet=0 una tensione V 1 = 5 V, il secondo una tensione V 2 =3V.Ilprimoresistore ha conducibilità σ 1=3.5 S/m, il secondo ha conducibilità σ 2=4.5S/m. Entrambi i resistori sono supposti di forma cilindrica e a sezionecostante S. Si determini il rapporto fra le lunghezze dei due resistoriaffinché la corrente I che circola nella spira sia la stessa nei due casi.Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci