Eulero e il problema dei 36 ufficiali (Maurizio Garrione)

É lecito chiedersi se, dato un qualunque primo p e un qualunque numero
naturale n, esista un campo finito con p n elementi. La risposta (affermativa)
viene data dal seguente teorema.
Teorema 2.1. Dati comunque un numero primo p e un intero positivo n,
esiste un campo con p n elementi.
Dimostrazione. Consideriamo il polinomio p(x) = x pn −x ∈ Z p [x]. Tale polinomio
ha al più p n radici distinte, anzi ne ha esattamente p n : ciò deriva dal
fatto che è coprimo con la sua derivata. Sia allora L il suo campo di spezzamento
(ovvero il minimo campo che ne contiene i coefficienti e le radici), e
sia
K = {a ∈ L | a pn = a}
Ovviamente 0 Zp ∈ K, 1 Zp ∈ K, e K contiene i coefficienti di p(x). Gli elementi
di K sono le radici di p(x), perciò la cardinalità di K eguaglia il numero di
radici distinte di x pn − x: |K| = p n . Se riusciamo a dimostrare che K è un
campo, allora seguirà la tesi, poiché K coinciderà con L. Per quanto accennato
sopra, valgono però le seguenti relazioni modulo p, ∀a, b ∈K:
(a ± b) pn = a pn ± b pn = a ± b
(a · b) pn = a pn · b pn = a · b
(a · b −1 ) pn = a pn · (b pn ) −1 = a · b −1
Ciò è sufficiente per concludere che K è un campo. Infatti le proprietà universali
di associatività, di commutatività e di distributività vengono ereditate
da K in quanto sottoinsieme del campo L; in più, le operazioni sono interne
per quanto appena visto, e l’elemento neutro di ciascuna di esse appartiene
a K per le considerazioni fatte; infine con la prima e con l’ultima verifica
si prova facilmente anche l’esistenza dell’inverso rispetto alle due operazioni
per ogni elemento di K. Dunque K è un campo con p n elementi.
Si può inoltre dimostrare che esiste sostanzialmente un unico campo finito
con p n elementi, a meno di equivalenza isomorfica. Concludiamo questo
paragrafo con il seguente risultato:
Proprietà 2.2. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico.
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