Eulero e il problema dei 36 ufficiali (Maurizio Garrione)

= t · (j 2 − j 1 ) = s, per cui Q r = Q s . Ne deduciamo allora che se r ≠ s i
quadrati corrispondenti sono ortogonali, perciò, poiché |K ∗ | = m−1, esistono
m − 1 elementi diversi (ovviamente non nulli) in K ∗ , quindi m − 1 quadrati
latini mutuamente ortogonali di ordine m.
Corollario 3.1. Dato p primo e n ∈ N, esistono p n − 1 quadrati latini
mutamente ortogonali di ordine p n .
Dimostrazione. Segue dall’esistenza di un campo con p n elementi.
Osserviamo però che il teorema non esaurisce tutta la casistica possibile:
resta infatti aperto il problema di determinare quanti quadrati latini n × n
mutuamente ortogonali possono esistere nel caso in cui n non sia la potenza
di un primo. Come detto, per n = 6, il minimo n non potenza di un primo,
Tarry provò l’impossibilità di trovare due quadrati mutuamente ortogonali.
Tuttavia, quanto detto nell’introduzione circa gli altri n = 4k + 2 ci fa capire
che possono essere possibili comportamenti diversi per numeri che non sono
potenze di primi. Nell’ultimo paragrafo esamineremo un’applicazione dei
quadrati latini a problemi pratici di importanza non secondaria.
4 Applicazioni e considerazioni finali
Sir Ronald Fisher, uno dei maggiori statistici del mondo, fu il primo a
mostrare (verso i primi del 1920) come i quadrati latini potessero essere usati
nella ricerca agricola. Supponiamo di avere a disposizione un appezzamento
di terreno coltivabile di forma rettangolare e che si voglia provare la resa
della coltura di cinque varietà di grano su di esso. I fattori che entrano in
gioco nel determinare la varietà di grano più produttiva sono molteplici: per
esempio, la fertilità del suolo, che può variare da zona a zona dell’appezzamento,
oppure la maggiore o minore esposizione ai raggi solari, o molti altri.
Supponiamo che il lato nord del campo sia casualmente più fertile del lato
sud. Se si sceglie di piantare le cinque varietà di grano (numerate da 1 a 5)
come segue
varietà 1
varietà 2
varietà 3
varietà 4
varietà 5
e la resa della varietà 1 risulta superiore rispetto alle altre, resta da
chiedersi se il risultato sia dovuto effettivamente alla miglior qualità del grano
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