Introduzione all'inferenza - Dipartimento di Economia e Statistica

Verifichiamo che la varianza campionaria:
n
( X i
! µ ˆ ) 2
n
# & #
"
"
% i=1 ( % i=1
E( V) = E
% n
= E
( % n
$ ' $
Poiché ! 2 2
= E( X i ) " µ 2 2
# E X i
Si ha
E( V) =
n
"(! 2 + µ 2
)
i=1
# ! 2
n
Esempio
Esempio
n
"( X i
! µ ˆ ) 2
i=1
V =
sia uno stimatore distorto
n
n
n
In questo caso:
2
X
& # 2
i
X
&
2
"
! µ ˆ
2 (
i " E( X
% i=1 (
i )
= E
( % n
! E( µ ˆ
2 i=1
) = ! !E( µ ˆ
2
)
(
n
' $ '
In generale
( ) = ! 2 + µ 2 ; E( µ ˆ
2
) " µ 2 = ! 2
n # E ( µ ˆ 2
) = ! 2
stimatore corretto
n + µ 2
$
&
n + µ '
2
) = ! 2 + µ 2 # ! 2
% (
n # µ 2 *
= ,
n #1 -
/! 2
+ n .
In questo caso si ha
n
"( X i ! x )
i=1 # n &
= % ( * V e quindi
Che è solo asintoticamente non distorto.
Ecco perchè per stimare si usa che è centrato
! 2 s 2 =
n !1
$ n !1'
a) Supponiamo che il campione casuale provenga dalla v.c. geometrica.
La media campionaria è uno stimatore corretto
Quindi
per cui la media campionaria non è sempre uno
b) Supponiamo che il campione casuale provenga dalla v.c. uniforme ($-1,$+1).
La media campionaria è uno stimatore corretto
In questo caso è corretto
Variabilità dello stimatore
Ogni somma ponderata delle v.c. del campione è uno stimatore centrato. Quale
scegliere
Esempio
Ragioniamo ancora nell'ambito della uniforme U(0,$) e definiamo vari stimatori non
distorti per $ a partire da un campione casuale di ampiezza "n":
Dobbiamo fare entrare in gioco la variabilità (errore standard o scarto tipo) dello
stimatore: "(T)
Poiché e quindi è uno stimatore corretto
PRINCIPIO PRINCIPIO DELLA DELLA VARIANZA VARIANZA MINIMA: MINIMA:
Minore Minore è è la la variabilità variabilità intorno intorno a a "$", "$", più più attendibili attendibili è è lo lo
stimatore stimatore
T2 T2 è preferito preferito a T1 T1 e T3 T3 è preferito preferito a T2 T2
La varianza di T1 è
Un altro stimatore corretto è
con errore standard
!( T 1 ) = " 3n
!( T 2 ) =
"
n( n + 2)
Secondo il teorema di Cramér -Rao esiste un limite inferiore alla varianza di uno
stimatore corretto. Se qualcuno la raggiunge allora ci sarà unico stimatore che
ha la varianza pari al limite minimo.
Se si ha una sola osservazione campionaria si usa T1 e se ne hanno due o più si usa T2