Introduzione all'inferenza - Dipartimento di Economia e Statistica

Esercizio
Nello studio sull'affidabilità di una componente elettronica si ipotizza che la sua
durata sia una variabile casuale "Y" con funzione di densità esponenziale
Combinazione lineare di variabili casuali
Le statistiche che più ci interessano sono delle funzioni del campione casuale
{X 1
,X 2
,…,X n
} del tipo:
Si sottopone a controllo un campione casuale di n=5 componenti ovvero si
replica 5 volte l’esperimento “durata della componente elettronica”.
Quale sarà la loro densità congiunta
dove gli sono dei "pesi" che esprimono il contributo a "C n
" delle diverse
v.c. facenti parti della combinazione
Ad esempio, la probabilità che tutte le 5 componenti siano ancora in funzione
dopo y=10 minuti è data da
In particolare
unitaria in
misura la variazione che interviene in "C n
" per una variazione
Se ! fosse noto, la valutazione di questa probabilità non sarebbe un
problema
La "C n
" è detta combinazione lineare perché le v.c. vi entrano con potenza uno.
Valore atteso di
Si era già dimostrato che E(X+Y)=E(X)+E(Y). Lo stesso risultato può essere esteso
alla combinazione lineare di v.c.
Esempio
Se le v.c. hanno lo stesso valore atteso "µ" (non necessariamente la stessa "F")
allora il valore atteso della combinazione è proporzionale al comune valore atteso
[ ] = E ! w i
X i
E C n
"
# $
n
i =1
%
&' =
n
E w n
! [ i
X i ] = ! w i
E X i
i=1
i=1
[ ]
ESEMPIO:
una libreria vende tre diversi dizionari in brossura al prezzo di 45, 55, 70 mila lire.
Siano
il numero di volumi venduti per ciascuno tipo in un dato periodo.
La variabile casuale incasso per i dizionari sarà:
L'incasso atteso è quindi:
In particolare, se i pesi hanno somma unitaria, allora
( ) = ! w i E( X i ) = ! w i µ = µ ! w i = µ
E C n
n
i=1
Nel lancio di 6 dadi il valore atteso di ciascun esito è µ=3.5. Il valore atteso della
somma sarà:
" 6
E$
!
#
X i
i=1
% 6
' = ! E X
&
i
i=1
n
i=1
6
n
i=1
( ) = ! 3.5 = 3.5*6 = 21
i=1