Introduzione all'inferenza - Dipartimento di Economia e Statistica

Sia
Esempio
un campione casuale dalla Poisson:
Errore quadratico medio/3
L'EQM non dà sempre indicazioni univoche. Per certi valori è preferibile uno
stimatore, in altre regioni l'altro.
In tale modello si ha
per cui sia la media che la varianza
campionaria possono servire a stimare $.
Nella Poisson abbiamo inoltre:
Ad esempio T=5 è uno stimatore migliore o non peggiore di nessun altro se $=5
L’EQM dipende da $. E poiché $ è incognito non si
potrà mai decidere con certezza.
Nei rari casi in cui si riesce a dire che uno stimatore è
preferibile a tutti gli altri su tutto lo spazio parametrico
è detto OTTIMALE.
Uno di questi è il raggiungimento del limite di Cramér-Rao nel qual caso
l’efficienza è massima.
Ne consegue che la media campionaria, nell'ambito del modello di Poisson, è
uno stimatore più efficiente della varianza campionaria.
Si parla talvolta di efficienza relativa di uno stimatore come rapporto tra il suo
errore standard e il limite Cramér-Rao.
La consistenza
Consistenza in probabilità
Limitarsi agli stimatori non distorti non basta: per un dato modello potrebbe
non esistere lo stimatore non distorto dei parametri.
Se ne esiste più di uno si sceglie quello a varianza minima. Ciò suggerisce
una nuova proprietà
Uno stimatore valido dovrebbe avere una funzione di distribuzione che se
"n" aumenta si riduce ad un solo punto: il parametro da stimare.
Questo perchè, maggiori sono le informazioni, più precisa risulta la nostra
stima e ciò deve essere recepito dallo stimatore
1) La probabilità di scarti dalla media molto
elevati deve tendere a zero
2) La varianza dello stimatore deve tendere
a zero
che appunto tende ad uno all'aumentare di "n"
Se ciò si verifica lo stimatore è detto
CONSISTENTE o COERENTE
il centramento o on distorsione non è direttamente presente