Introduzione all'inferenza - Dipartimento di Economia e Statistica

Ancora sulla varianza di
Nel caso del valore atteso la combinazione lineare ha pesi con somma uno,
quindi
Ne consegue:
d = !" 2
N !1
! 2 ( x ) = 1 #
n 2 n! 2 " ! 2
N "1 2 n( n "1)
&
%
( = ! 2
$
2 ' n * ) + N " n ,.
* N "1-
x
Particolari combinazione di V.C.
Siamo interessati ad una particolare combinazione lineare: la somma ponderata
di variabili casuali
con
,
: la RIPRODUCIBILITA'
Dal confronto delle due formule si vede che la
media campionaria è meno variabile se il
campionamento avviene senza reimmissione
Questo non sorprende date le minori possibilità di
sviluppo dell’universo dei campioni
" $
N ! n%
' < 1
# N !1&
Cioè la somma ponderata di "n" variabili casuali gaussiane è pure gaussiana
Con valore atteso e varianza date dalle somme di quelle delle variabili.
Se poi si tratta di variabili casuali I.I.D si ha:
Gli stimatori che più ci interessano sono
delle funzioni delle osservazioni
campionarie {X 1
,X 2
,…,X n
} del tipo:
n
L n
= " w i
X i
i=1
Statistiche L
Applicazione: media campionaria
Supponiamo che le:
siano repliche indipendenti di un v.c.
Normale con media "µ" e varianza
Come si distribuisce la statistica media campionaria
( )
!
dove gli sono dei "pesi" che esprimono il contributo a ”L n
" delle
diverse osservazioni facenti parti dello stimatore.
Applicando il risultato precedente si ha:
La notazione X (i)
indica che i valori delle osservazioni campionarie sono state
ordinate in senso crescente.
Le statistiche L (cioè lineari) sono tali perché le osservazioni campionarie vi
compaiono con potenza uno
Quindi, per la media campionaria di un campione estratto da una v.c.
Normale si ripropone lo stesso modello.