■ ы ч - 

т н 

F.M. Мукднов 

Пакты айнымалы 

функциялар 

теориясынын, 

непздер! 

Павлодар 

2002

УДК 517.51 

ЦБК 22.1 я 73 

Ml 1 

F .Y 1 .M y k # h o b 

Ml I Пакты айнымалы функциялар тсориясыиын негшерг - 

С.Торайгырон агындагы Павлодар мемлекстпк университету 

2002. - 358 б. 

I S B N 9 0 6 5 - 5 6 8 - 6 9 - 4 

Окулык. курал унивсрситеттер мен педагоги калык 

институттардьщ физика-математика факультсттш студентгер! мен 

окытушыларына арналган. 

УДК 517.51 

_____ _______ г, ББК 22.1 я 73 

., 4310020000 

М --------------- 

00 (05)-02 

ISBN 9965-568-69-4 

© Р.М.Муканов, 2002

Kipicne 

Слздердщ назарларьщызга усынылып отырган оку 

куралы — накты айнымалы функциялар теориясына Kipicne. 

Оку куралынын непзп макраты - осы теориянын 

кдгидаларын казак тЬвд окушыларга жуиел1 турде жетк1зу 

жене осы теорияда колданылатын гылыми тepминдepдiн 

казакща баламаларын турактандыру. Гылыми терМиндердщ 

казакща баламалары [1J - [3] орысша-кдзакща математикалык 

сездактерден алынды. Математикалык аталымдарды тандау 

барысында А. Байтурсыновтын Щщ тазалыгын сактау ушш 

баска тищердеп 'пэн сездершщ даярлыгына кызыкпай, ана 

тшм1зден карастырып сез табуымыз керек” деген nitcipi 

ескершп, мумган болган жагдайда, гылыми терминдердщ 

казакша баламалары ецпзшдо. 

Оку куралынын мазмуны осы пэннщ "математика" 

мамандыгы ушш окылатын оку жоспарына сойкестещпрщген 

жэне накты айнымалы функциялар ш м ш терен зерттеуге 

талабы бар окушылардьщ осы теория йейзйщ е жазылган 

И.П.Натансон, А. Н. Колмогоров, С.В.Фомин, Б.З.Вулих, 

И.В.Соболев, жэне т.б. авторлардьщ гылыми енбектерш 

ерын ry c iH in , игере алуына кажегп гылыми деректермен 

толыктандырылган. 

Оку куралына енген гылыми деректер алты тарауга топтастырылган. 

BipiHmi тарауда жиын куаты туралы тусшж

бершп, кдсиеттер! зсрттелгсн жоне шпнара реттелгсн, 

рсттелгсн жоне ебден реттелген жиындар аныкталып, 

осындай жиындардьщ изоморфтылыгы аркылы ретпк сан 

жоне трансфиниттер туралы угьш бершген. Осы тарауда 

ретпк сандардын салыстырымдылыгы керсетшш, 

трансфинитпк индукция долелденген. Тарау сонында "тандау 

аксиомасы" келтаршп, онымен байланысты "континуум 

гипотезасынын" шешшу жолдары айтылып, керект! одебиеткс 

сштемелер жасалган. Екшпл тарауда влшеушт1 кещстйсгер 

аныкталып, осы кецютжтердеп жиындар сараланып 

касиеттер1 зерттелген. YniiHini тарау олшеушт кещстжтердел 

жиындар елшемше арналган. Тортшпй тарауда Лебег 

интегралы аныкталып, Риман интегралымен салыстырылган. 

Осы тарауда Риман магынасында интегралданатын 

функциялар жиыны аныкталады. Becmuii тарауда Лебег 

KeHicriKTepi зерттелш, олардьщ геометр иялык белгтлер1 

' -з 

корсетшген. Соцгы тарау Стилтьес интегралына арналган. 

Ютап соцында пайдаланылган одебиет Ti3iMi бершген. 

Кдзак тицц окушылардыц, орыс тшшдеп эдебиетп игеру 

барысын жецшдету ушш И.П.Натансон мен А.М.Колмогоров 

жоне С.В.Фомин кггаптарындагы символикалар пайдала- 

нылды жоне непзге алынды. Осы пэн бойынша есептер 

жинагынын жоктыгы ескершш, ор тарау жаттыгу есептер1мен 

толыктырылды.

IТАРАУ 

ЖИЫН К.УАТЫ 

§1. Жиын туралы тусЫк 

Жиын-математиканын непзш куратын алгашкы 

угымдардын 6ipi. Сондыктан жиыцньщ накты аныкгамасын 

беру мумкш емес. Щз жиын туралы тусшж берумен 

шекгелешз. Математикада жиын деп ездершщ белгш 6ip 

кдсиеттер1мен топтастырылган объектшердд атайды. Мысапы, 

натурал сандар жиыны, кесшдщеп нуктелер жиыны, 

коэф ф ициента^ накты сандар болатын квпмушелпстер; 1945 

жылы туып, Алматы кдласында туратын азаматтар; Павлодар 

Мемлексттж университетшщ 6ipikiiii курсында окитын 

студенттер, т.с.с. 

Жиын туралы сёз бол ганда, Шз кез келген объектшщ 

беритген жиынга элемент ретшде енетип немесе енбейтша 

белгш деп есептейм1з. Егер а жиыны бершп х осы жиынга 

элемент! ретгаде енетш болса, онда %ел деп жазамыз. 

KepiciHiue жагдайда х

Кслешекте, куаттар теориясынъщ iiUKi логикасын сактау 

макратында, 6i3 6ip де 6ip элемент! болмайтын “жиынды” 

кдрастыруга можбур боламыз. Мундай жиын бос жиын деп 

аталады жонс 0 деп белгшенедг 

Егер бершген л жиыныньщ кез келген % элемент! в 

жиынына енетш болса, онда л жиыны в жиынынын i n i K i 

жиыны деп аталады жене А с в (в =>а) деп белгшенедг 

Бос жиын кез келген жиынныч iuud жиыны, op6ip а 

жиыны езшщ iuud жиыны (л с л), натурал сандар рационал 

сандардын шла жиыны. Мундай мысалдарды кептеп 

келтпруге болады. 

Б1з жиындар жуйесшде крлданылатын амалдар, олардьщ 

KacHerrepi жогаргы алгебра пешнен белгип деп есептейм1з. 

Бул арада тек крсарлану принципше токталмакдыз. 

Айталык, {Л-}геу жиындар жуйесшщ барлык, мушелер1 

М жиынында жатсын (г-бершген Г жиынынын барлык, 

элементтерш кдбылдап шыгатын айнымалы индекс). м \Д . 

жиынын Aj -дын м-ге дейшп толыктауышы деп атаймыз да, 

СМД. деп белгшейжз. м накты сандар epiciHe тец болган 

жагдайда бул жиын А,- -дыц толыктауышы деп аталады да, 

CAj. деп белгшенедь Осы жиындар ушш: 

(1) 

жоне 

(2) 

б

Демек, А,, те г, жиындарыныи м -ге дейштт 

толыктауыштарынын 6ipiKTipmyi осы жиындар киылысуынын 

М -ге деюнп толыктауышына тен жене М-тс дешнп 

толыктауыштарынын киылысуы олардгёщ бфш пртуш щ 

толыктауышына тец. 

BipiHUii теццисп дэлёлдеййс Шынында, кез келген 

и е U CMAj. уилн о элемент! болатын См А,, жиыны 

ге Г 

табылады. Я гни, ае М жоне а «г Ат . Сондыктан, a i f ] Л,. 

fc Г 

Олай болса, а еС м гл Ат. Демек, 

геГ 

г * Г \тшТ ) 

(3) 

Енд1, кершшше, кез келген freCw^p/4rJ элементш 

алайык, Аныктама бойынша, ЬеМ жэне be f]Ar. Олай болса, 

геГ 

Ь элемент! снбейтш Д- жиыны табылады. Демек, b g С м Ат. 

Сондыктан, b € IJ С,,д.. Ягни, 

геГ 

у с дл ^ С л /П л ) (4) 

(3) жоне (4) катынастары (1) тёндтяе эквивалент. 

Bipimui тещцк долелдендг Екшнц тендис осыган уксас 

делелденедь 

Жиындар жуйесшде колданылатын амаддарды еске Tycipy 

ушш томенде келт!ршген жатгыгуларды орынданыздар. 

1. (А\ д)П С = (/4Г) С)\ (ВО С). Дэледцещздер. 

7

2. + жене жиындарынын 

мэндерщ табьщыздар. 

3. Егер AUB=A жоне АПв=л болса, онда а = в 

болатынын дэлелдещздер. 

4. ^|J^rj^ U 5rj = U U Дэлелдешздер. 

5. Айталык, М = {2,4....2/7,...} жене Р= {з,б,...,3и,...} болсын. 

М\Р, m\Jp, мар, жэне МГ\Р жиындарын табыныздар. 

§2. Озара 6ip мэнЫ сэйкестт. Эквивалентт1 жиындар 

Щзгё А жэне в жиындары бершсш. Егер л-ньщ кез 

келген а элементш В жиынынын 6ipijeH-6ip Ь элементше 

жэне Л-ньщ езИра тен емес элементтерш В-ныц озара тен 

болмайтын элементтершё сэйкестещйретш ереже табылса, 

онда бул ереже а мен в арасындагы эзара 6ip мвнд1 

сэйкестт деп аталады. 

Егер л мен в арасында езара 6ip мэнд1 сэйкесйк бар 

болса, онда бул жиындар эквивалент деп аталады да, а~ в 

деп белпленед!. 

Эквивалентпк кдтынас мына зандарга багынады: 

1. А~А (рефлексивтйс заны); 

2. Егер А~в болса, онда В~ А (симметрия заны); 

3. Егер А~В жэне в~С болса, онда а ~ С болады 

(транзитивтж заны).

Осы зандарга багынатын кдтынас бойынша, барлык 

жиындар тобын эквивалента кластарга, ягни, 6ip класка тек 

капа озара эквивалента жиындар енет1ндей eTin жлктеуге 

болатыны жогаргы алгебра пэнтен белгш. Мундай класты 

эквивалента жиындар класы деп атаймыз, ал осы аталган 

жхктеу эквивалента кластарга жжтеу делшедг 

Мысалдар: 1. Бершген А

кажета жэне жеткшкт1 скешн коремгз. Сонымен, барлык 

шект1 жиындарды эквивалента кластарга ж1ктеуге болады 

жэне бул жжтеу 6ip класка тек кана элементтер саны езара 

тен, жиындарды топтау аркылы орындалады. 

3. jv-натурал, ал /'-он жуп сандар жиыны болсын. Бул 

жиындардьщ элементтерш темендеп таблицага 

орналастырып, 

N I 2 3 п 

Р 2 4 | — 

1п ... 

олардьщ эквивалента жиындар екеиш корем1з. 

4. Айталык, А мен В концентрл1 шецберлердщ нуктслер 

жиыны болсын (1-mi сурет). Осы шецберлердщ ортак 

центршен шыгатын сэуле олардыц эркайсысын тек кана 6ip- 

6ip нуктеде киып етед1. Осы нуктелерд1 озара сэйкестецгцрш, 

А мен в жиьщдарыныц озара эквивалента екенш корем1з. 

Демек, А~В 

5. Бершген тнс бурышты ушбурыш гипотенузасынын 

нуктелер жиыны а болсын да 6ip катетшщ нуктелер жиыны 

ю

в болсын (2-сурет). Осы ушбурыштыц екшип катерне 

параллель тузу а гипотенузасы мен я катстш киып ететш 

нуктелерд1 езара сэйкестещдрда, А мен В жиындарынын 

арасында езара 6ip мэвдд сэйкестпсгщ бар екенш керем1з. 

M fhh, а~В. 

3-5 мысалдардан шешз жиындар езщ р менийки iuiKi 

жиынына эквивалента болатынын керем1з. Келешекге бул 

касиет барлык, шеказ жиындарга ортак белп екенш 

дэлелдейтз. Эрине, шею! жиындар езщщ мещщки iiiiKi 

жиынына эквивалентп бола алмайды. 

§3. Жиынныц куаты 

Егер бершген ей жиын езара эквивалента болса, онда 

олар тец куатты жиындар дсп аталады. Сонымен, жиынныц 

куаты дегешм1з езара эквивалента жиындарга ортак белп. 

Мысалы, щекп жиындар элементгер саны тен 

болганда гана эквивалента болады. Сондыктан, шекп 

жиындардын куаты олардын элементгер санына тен- 

Г.Кантор бершген жиын мушелершщ барлык кдсиеттер1 

мен олардын жиын шиндс орналасу ретшен дереказ болган 

жагдайда осы жиын тур алы курылатын жалпы идеяны онын 

куаты деп атап, егер бершген жиын А болса, онын куатын А 

деп белгшеуда усынган болатын ( л-ныц уетшдеп ею 

сызыкша-кос Дерексйджтщ белгкп). Кейш Г.Кантордын бул 

аныктамасы кднагаттанарлык деп есептелмедк Дегенмен, А 

деп белгшенген А жиынынын куаты, езшщ колайлылыгына

байланысты, окулык куралдарда жоне гылыми ецбектсрдс 

сакталып кдлды. 

Егер барлык жиындар тобын эквивалентп кластарга 

жпстесск, онда 6ip класкд енетш жиындар куаты озара тен 

бол ад ы. Сондыктан, озара эквивалентп жиындар класына р 

символын сейкестеширт осы символды аталгаи кластын кез 

келген жиынынын куаты деп атаймыз. Мысалы, п 

элементтен туратын жиындар езара эквивалент. Сондыктан, 

жиындарды кластарга жжтеу Tocini бойынша, бул жиындар 

6ip класкд енедг Демек, бул класкд гойкестсншршетш символ 

п болмак, ягни, осы класкд енетш жиыннын элементтер 

саны. Мундай куатты шекп куат деп атаймыз. 

Екшип параграфтага 6ipiHnri мысадда келпршген л жэне 

в жиындарыньщ куаты беске тен, ал З-5-uii мысалдар шекп 

куаттармен кдтар шеказ куатты жиындардьщ бар болатынын 

керсетедг 

Аныюпама. Натурал сандар жиынына эквивалентп жиын 

санапымды деп аталады. Саналымды жиыннын куаты а деп 

белгшенед1 де, саналымды куат делгнедд. 

N ~ N болуы себенп N = a . Екшпп параграфта келпршген 

3-nii мысалдагы р жуп сандар жиыны да саналымды. Ягни, 

Р = а. 

Саналымды жиындардьщ касиетгерше токталайык. 

Алдымен жиынньщ саналымды болу белпсш аныктаймыз. 

12

ТеоремаI. Бершген а ж и ы н ы 

саналымды болуы уппн 

оньщ элементтерш нвм1рлеу мумганпплтнщ бар болуы 

кажетп жэне жеткгакп. 

Дэлелдеу. Кджеттшк. А жиыны саналымды болсын. 

Аныктама бойынша, a ~ n . Я гни. л-ньщ кез келген 1 

элементше сэйкес келетш б1рден 6ip натурал п саны 

табылады жэне kepiciraoae. Осы х-ке п натурал нёщрщ 6epin 

х„ деп белгшесек, А жиыныныц кез келген элемента езше 

тэн HOMip кабылдайды. Демек, А - ньщ элементтер1 

нвмарлеыедо. 

Жетюлжтшк. 

а жиынынын элементтер1 ном1рленсш. 

Ягни,а = болсын. л-ныц элементше оныц 

HOMipi п натурал санын сейкестещцрт, A~N eKeHiH корем1з. 

Олай болса -A $ N -a : Теорема дэлелденд!. 

Осы теореманы пайдаланып, рационал сандардьщ 

саналымды жиын болатынын корсетейж. Шынында, 

аныктама бойынша, рационал сандар жиынын 

туршде 1I------------J---------------- жазуга болады. h=\p\ |Г[ + *1q санын 

- рационал санынын бш кт ш деп атап, Q -ды осы жиынга 

я 

енетш сандардын бшкпктер1 бойынша ж1ктеп жазайык: 

рационал сандар жиыны т.с.с. Элбетте, Q осы жиындардыц 

13

6ipiKTipmyiHe тец. Демек, £=0

оларды кездеспру ретш сактап нем1рлетк. Теореманын 

шарты бойынша, в шеказ жиын. Сондыктан, онын 

элсментгсрш нем1рлеуге натурал сандар жиыны толык 

пайдаланылады. Дсмск, В саналымды жиын. 

Теорема дэлелденш. 

Ёйнпи жэне yuiimui теоремалардан саналымды куаттан 

томен шеказ куаттын болмайтынын керем!з. 

Жогарыда 6i3 рационал сандар жиынынын саналымды 

болатынын дэлелдедйс. Ал кез келген узындыгы нолге тен 

емес кесшдшщ рационал нуктелер жиыны сандар вещдеп 

барлык рационал нуктелер жиынынын ш еказ iiiiKi жиыны. 

Сондыктан, ушшил теорема бойынша, бул жиын саналымды. 

Теорема 4. Ортак мушелер1 жок шекп жиын мен 

саналымды жиыннын 6ipiicruiyi саналымды жиын болады. 

Дэлелдеу. Bisre ортак элементтср1 жок А=\а,.а,....а,} шекп 

жиыны жэне B=\b,,b2,...,b„..... } саналымды жиыны бершеш. 

Осы жиындардьщ 6ipiKTipmyi болатын 

AUB = {ai,a2,...,a,l;bl,bl,...,bm,...} 

жиынынын элементтерш кдйта нем1рлеп 

A\J В - агЧ.... 

жиынын курамыз. (Бул жиында b, =aail,...bm=ан+т,... деп 

белпленген). Ягни, 6ipiH m i теорема бойынша A\J в 

саналымды жиын. 

Теорема долелдендь 

Дэлелденген теорема шекп куат пен саналымды куаттын 

косындысы саналымды куат болатынын керсетеда (п+а = а). 

is

Саналымды жиын мен онын шеют iuiKi жиынынын 

айырымы саналымды жиын болатыны осыган уксас 

долелденедь Демек, а -п = а . Дэлелдещздер. 

Теорема 5. Саны meicri, ортак элементтер1 жок. 

саналымды жиындардыц 6ipiKripuiyi саналымды жиын 

болады. 

Двлелдеу. Б1зге ортак, элементтер1 жок, 

4.1 = Kl.«l2.............} 

Л, = к '|.а;г.....*«••••} 

жиындары бершеш. Осы жиындардын 6ipiirripuiyiH темендеп 

турде жазайык: 

.Т=У 

U 4 1 

j:, 

("н.................... 

К,урылтан жиын бершген жиындардын элементгершен 

туратьш йзбек. Сондыктан, онын элементтерш солдан онга 

карай нем1рлеуге болады. Демек, А жиыны саналымды. 

Теорема делелдендь 

Бесшип теорема саналымды кУаттьщ шекп рет 

кайталануы саналымды куат болатыньш керсетед1 (ап = и). 

Шекта куаттардыц саналымды рет кайталануы саналымды 

куат болатыны осыган уксас дэлелденед1 (л •« = «). 

Дэлелдещздер. 

Теорема 6. Саны саналымды, езара ортак элементтер1 жок 

саналымды жиындардыц 6ipiicripuiyi саналымды жиын 

болады. 

Дэлелдеу. Шынында, 6i3re саны саналымды болатын, 

ортак элементтер1 жок саналымды жиындар бершеш: 

1б

Д ={"|| .«I2.....

Егер А - ны ц элементтер1 саналымды жиыннын мэндерш 

кабылдайтын 6ip индекстен тоуелд! болса, онда а ж и ы н ы н ы н 

саналымды болатыны тусшЫть Айталык,, А жиыны 

саналымды жиындардьщ мэндерш кдбылдайтын 

»-1 индекстерден тэуелд1 болган жагдайда, саналымды 

болсын. Сонгы /„ индексп белгшеп алып, 

А = К , , • h 6 h = а' к = 1>2,...,и —1 

жиынын курайык. Бул жиын, жорамал бойынша, саналымды. 

Олай болса, А = N А ,,/„ = а жиыны саны саналымды болатын 

саналымды жиындардьщ 6ipiKTipuiyi рет1нде саналымды 

(алтыншы теорема). 

Теорема дэлелдецщ. 

Мысалдар: I. р коэфициенттер1 бутш сан болатын 

кепмушелпсгер жиыны болсыН: 

р = ш(х| = аи + а,х + • • • + а„х“ : а„,а , ,...м„ е Z,n е Л/; 

Бул жиын мэндер1 бутш сан болатын ............ жэне мэндер1 

натурал сан болатын /-нен тэуедвд. Бутш жэне натурал 

сандар жиындары саналымды. Сондыктан, 7-iiri теорема 

бойынша, р саналымды жиын. 

2. Алгебралык, сандар жиыны саналымды. Шынында 

коэффициенттер1 бутш сан болатын р(х) = иа+а,.\+-+а 1\" 

кэпмушелтнщ туб1рлер саны п - нен артык емес. Ал, мундай 

копмушелйстер жиыны саналымды (6ipiHiui мысал). 

Сондыктан, алгебралык сандар жиыны, саны саналымды 

болатын шекгй жиындардьщ 6ipiicripuiyi ретшде, саналымды. 

18

Жаттыгулар: 1. Сощы тсореманы пайдаланып, рационал 

сандар жиыныньщ саналымды болатынын дэлелдещздер. 

2 . п елшемд1 Евклид кешетагшщ координаттары 

рационал сан болатын нуктелер жиыныньщ саналымды 


3. Коэффициенттер1 алгебралык сан болатын кепмушелжтер 

жиыныньщ саналымды болатынын дэлелдещздер. 

6. Ш екп ондык. болшектер жиыныньщ куатын 

аныктацыздар. 

7 . [ а ,б ] сегментшде аныкталган монотонны функциянын 

узМсн нуктелер жиыны шекп немесе саналымды болатынын 

дэлелдещздер. 

8. [и,ь] сегментшде аныкталган шектелген вариациялы 

функциянын узщеп нуктелер жиыны шекп немесе 

саналымды болатынын дэлелдещздер. 

9 . Элементгер1 Tepic сан болмайтын шекс13 Е жиыны 

бершеш. 5 осы жиынныц саны шекп iund жиындарынын 

элементтер косындысыныц дэл жогаргы жаты болсын. Егер 

s

Осы мен байланысты, куаты саналымды болмайтын 

жиындардын бар болуы туралы занды сурак туады. Темснде 

кслпршген теорема саналымды болмайтын жиындардын бар 

болатынын дэлелдешц. 

Теорема 1. [о, /] кесшдюшщ барлык нуктелер жиыны 

саналымды болмайды. 

Дэлелдеу. Бершген жиынды Ш={.v:r

нолйрленген). Ал, и„ кесшдшерш куру тэсш бойынша 

3 - \„ е U,,'. Бул кайшылык б1здщ жорамалымыздын дурыс 

еместтн дэлелдейдк Демек, t/ = {v: ve[oj]} саналымды жиын 

бола алмайды. 

Теорема дэлёлдеьщ. 

Аныкщама. i/ = {.v:.\e[o, |]} жиьгнына эквивалента жиын 

континуум куатты жиын деп аталады. Бул куат континуум 

деп аталады да, ]} жиыны бершсж < {о, л] ксейшсшщ 

нуктелер жиыны). а мен V арасындагы озара 6ip мэтад 

сэйкестжи, мысалы, у = {ь-а\у+а сызыкгы функция аркылы 

аныкгауга болады. Демек, А - U . Сондыктан, А = с. Яши, кез 

келген [o.b], а

тсц, ал сонгы А жоне ли Р мушелср1 эквивалента (олар 

саналымды жиындар). Сондыктан, М \Р~М . 

Лемма долелденд1. 

Жаттыгу. Кез келген ш еказ м жиыны мен саналымды 

А жиынынын 6ipiKTipwyi М- ге эквивалента жиын 

болатынын долелдещздер. Мысалы, егер м континуум куатты 

жиын болса, онда л/ L\А жиыны да континуум куатты жиын 

болды (с+и = с!) жэне, дэлелденген лемма бойынша, 

континуум куатты жиын мен оньщ шегач немесе саналымды 

iniKi жиынынын айырымы континуум куатты жиын болады 

((•-» =

Теорема дэлелдешц. 

Саны шекп, езара ортак элементтер1 жок континуум 

куатты жиындардын 6ipiKTipLrcyi континуум куатты жиын 

болатыны осыган уксас долелденед1 (пс-с). Долелдещздер. 

Жогарыда (из кез келген кесшдшщ, аралыктын жэне 

жартылай аралыктын континуум куатты жиындар екенш 

корсегпк. Ещц континуум куатты жиындардын баска 

мысалдарын келпрем1з. 

Мысалдар: 11 0спел1 натурал сандар Ti36eKTepi континуум 

куатты жиын. Шынында, /* = { ( * ,. п . ..... я , и , < п < < « , < -} 

еепеш натурал сандардан курылган габектер жиыны болсын. 

[0. l] cerMeHTi нуктелерш екш к болшек аркылы орнектен 

жазайык; \ = 0, р1р2 ...рк ...; рк = 0, 1. Егер 1 саны екш к 

болшек аркылы ею турш орнектелсе, онда периодында 6ip 

болмайтын турш сактаймыз. Мысалы, - = | ' санын 

^ = 0.01100... деп аламыз. Осы кел!сщ орындалган жагдайда. 

U -ды н op6ip нуктесше б1рден 6ip екшйс болшек сойкес 

келедь Осымен кдтар, нелмен бдрдщ арасында жатый екш к 

болшек аркылы орнектелген кез келген л санын, осы 

орнекгеп нолдердщ орналасу орын нем1рлерш корсету 

аркылы аныктауга болады. Мысалы, - = O.OUOO... санын 

я 

(1, 4, 5, 6,...) Ti36eri толык аныктайды. 

Ецщ, Р жиыныньщ кез келген (и,,элементше 

(/-д ы н п, 

нвмipлi орнында нвл болатын екш к болшек 

аркылы ернектелген х элементш сэйкестецщрш U мен Р

арасындагы озара 6ip мощи сэйкестжке кслемп. Демек, 

Р - U . Олай болса, P = U = с. 

2. Натурал сандардан туратын тгзбектер жиыны 

континуум куатты болады. 

Бершген жиынды .....е N] деп белгшеп 

алып, Р жиынынын (л,,л,,..•,пк л,

болсын. EKimiii мысалда келт1ршген L жиыны да континуум 

куатты. Олай болса, X~L. Демек, X - T in ap6ip хэлементше 

L-дщ 6ip гана(р,,р,.....р„,■■■) тдзбеп сэйкес келеда. Дэл 

осылай Г-тщ у элементше L-дщ (qnq2,...), ал Z -тщ г 

элементше (/,,/2,...) Ti36ejcrepi сойкес келедо. Сондыктан, 

Л-нын аху, элементше L- дщ 6ipfleH-6ip 

тобеп сэйкес келеда; Демек, А-L . Ягни, 

A - L = c. Теорема дэлелденш. 

Ж а т т ы гул а р : 1. (\оу) 

жазыктыгынын нуктелер жиыны 

континуум куатты болатынын дэлелдещздер. 

2. п елшемда Евклид кещстйтнщ нуктелер жиыны 

континуум куатты болатынын дэлелдендздер. 

3. 7 жэне 9 сандары енбейтш натурал сандар 

лзбектершщ куатын табыцыздар. 

4. 7 мен 9 сандарынан гана курылган пзбектер 

жиынынын куатын табыныздар. 

5. Жазыктыктагы барлык денгелектср жиынынын 

куатын табыныздар. 

6. Жазыктыкта озара киылыспайтын шенберлер 

жиыны бершген, Осы жиынынын саналымды болмауы 

мумюн бе 

7. Жазыктыкта озара киылыспайтын Т epinrepi 

салынган.Осы жиыннын саналымды болмауы мумкш бе 

Озара киылыспайтын Г epiirrepi салынса ше 

8. Bipimui мысалды непзге алып с с = с болатынын 


25

§5. Куаттарды салыстыру 

Жогарыда 6i3 саналымды жэне континуум куаттарын 

карастырдык- Осымен байланысты, куаттарды салыстыру 

жэне осы куаттардан баска шекс1з куаттардьщ бар болу 

проблемалары туындайды. 

Аныктама. Егер А жиыны В жиынына эквивалента 

болмаса жэне А - ныц В -га эквивалента Д iunci жиыны бар 

болса, онда А - ныц куаты В жиыныньщ куатынан улкен деп 

аталады {а > д), немесе В - ныц куаты А жиыныньщ куатынан 

Kimi делшеда [в < л). 

Осы аныктаманы непзге алып, саналымды куаттыц 

континуум куаттан : Kiuii екенш дэлелдейж. Шыньшда, 

и = {х:хе [о,]}} кесшдкп мен N натурал сандар жиындары 

бершеш. Аныктама бойынша, U = c,N =a. Кдрастырылып 

отырган U cerMewriHiH нуктелер жиыны N - tc эквивалента 

eM ecTiri жогарыда дэлелденд1 (§3,Теорема 1). Ещц £/-дыц 

iiind жиынын алайьщ. Бул жиын N -те 

эквивалента (и -ге —-д1 сэйкестещцрсек жеткшкп). Олай 

п 

болса, аныктама бойынша, U > N , ягни, а < с . 

Куаты континуумнан улкен болатын жиынньщ бар 

болатьгаын темендеп теорема дэлелдейдь 

26

Теорема 1. и = {t i e [о,/]} кесшдгсщде аныкталган накты 

фунциялар жиынынын куаты континуум куатынан улкён 

болады. 

Далелдеу. F = {/(х): хеи] теоремада аталган нак,ты 

функциялар жиыны болсын. Алдымен F-тщ (/-га 

эквивалентп болмайтынын дэлелдей1к. Шынында, KepiciHnie 

жорып, F-Ti (/-га эквивалент деп ал сак;, онда F - Tin кез 

келген /(.y) элементше U -дын бгрден 6ip / нуктеа сэйкес 

келед! жоне керкшше. Ендг t нуктесше сэйкес келетщ / ( л ) 

фушашясын /р(х)=Ф{1,х) деп белгшеп, 

V сегменпнле 

аныкталган и. Теорема дэлелденда. 

Аныщпама. [о. у] кесшдасшде аныкталган накты 

функциялар жиынына эквивалентп жиын гиперконтинуум 

куатты жиын деп аталады да, онын куаты / деп белгшенедк

Сонымен, f = [f(x): x e [ft /]} осы аныктамада аталган 

функциялар жиыны болсын. F~F болуы себсп'п F = f . 

Жогарыда дэлелденген теорема бойынша, с < / болады жэне 

с к с CKeHi белгш. Бул катынастардан томенде келпршген 

занды сурактар туады: 

1. а мен с куаттарынын арасында жаткдн куаттар бар ма 

2. / -тен улкен куат бар ма Жалпы, куаттар жиыны 

уетшен шектелген бе Демек, куаты барлык куаттардан улкен 

болатын универсал жиын табыла ма 

3. А мен В кез келген жиындар болып, А - а , В= р болса, 

онда бул куаттар салыстырымды бола ма 

BipiHiui суракта койылган мэселе математика гылымында 

континуум-ж орамал деген атпен белгш!. Осы жэне упйний 

суракгагы мэселемен байланысты гылыми ецбектерге 

шолуды кешнге калдырып, бул арада, еюнпй сураккз 

токталайык. Оган толык жауапты томендеп теорема бередг 

Теорема 2. Элементтер1 М жиынынын барлык innci 

жиындары болатын Т жиынынын куаты М -н щ куатынан 

улкен болады (Т> М). 

Дэлелдеу. Ейзге кез келген М жиыны бершеш. 

Элементтер1 осы жиьшныц iimd жиындары болатын 

т = {т: та. м} жиынын курайык- Г -н ы н куаты М -н щ 

куатынан п болмайтыны туешжп. Шынында, 

Т, = { { х } .х € м ) жиыны М - нщ 6ip элeмeнттi iuiiti 

жиындарынан турсын. Элбетте, жэне ТХ~М (7^-дщ {а} 

28

элементше А/-нщ х элементан сэйкестещйрсек жеткшкта). 

Сондыктан, М

элемент бола алмайды. Сондыктан, х„ екшпп категориялы 

элемент болуы керек: хпе т„. Екшхш категориялы 

элементтердщ аныктамасы бойынша, х„ езше сойкес т„ 

жиынына енбейд1 (.v„ г «/„). Бул кдйшылыктан х„ -дын екшнп 

категориялы элемент бола алмайтынын кврем!з. Ал мундай 

элемент м жиынында жок. Олай болса, м жиынында т„-ге 

сойкес келетш элемент табылмайды. Сондыктан, 

м жиыныны г-га эквиалентп емес. Ягни, м-нщ куаты т- 

ныц куатынан idrni (м

2. Шзг§ N = [i.2,....n,...} натурал сандар жиыны бершсш. 

Жогарыда 6i3 мушелер1 натурал сандар болатын пзбектер 

жиынынын континуум куатты жиын екенш керсетак (§4, 2- 

uii мысалдагы L жиыны). Ал натурал сандар Ti36eri w-нщ 

iund жиыны. Сондыктан, GipiHmi мысалдаш келк1м 

бойынша, L = 2", ягни, с = 2а. 

Еадй куаттардын езара тен болу белпсше токталайык,. 

Теорема (Кантор-Бернштейн). Егер л жиынынын В-та 

эквивалента a, iund жиыны жене в-ньщ а -га эквивалента 

л, ш щ жиыны бар болса, онда а мен в жиындары езара 

эквивалента болады. 

Далелдеу. Теореманын шарты бойынша, л з л, - В жене 

в z> в, ~ а кзтынастарын канагаттандыратын а, жене в, inm 

жиындары бар. Айталык, жене А = у (й ; ). Егер а, =«р'(д,) деп 

алсак, онда а, жиыны л,-дщ ш ш жиыны болады да, 

л = ч/(ф(л,)) бейнелеу1 а мен а, арасындагы езара 6ip мэндл 

сейкеспк болады. В} =у '(л,) деп алып л ,-> (в 7) жиьнын 

курайык,. влбетте, А, о а, з А, болады да, А, =^( А; жене А ~ А}, 

А, =>A, d Aj жене А, ~ А, , 

31

4, AjZ> Aj ЖЭНС А, ~ А4 

, г ' 1 ' • J> ........................................... 

Енд1, п = [)А„ деп алсак, 

*' Л = \a \ A2)u (а, I Лг)Ц{Л2 1 ^ )Ц -]и д 

/I/ = [(/], I л ) и (A; I /fj) U U j I л4)и (a,\A s)и ...Ju D 

болады жэне л мен а, жиындарынын 6ip калыпы сызылган 

мушелер! озара эквивалента, ал калган мушелер! озара тен. 

Сондыктан, а жиыны А,- ге эквивалента болады. 

Теореманын шарты бойынша, А, эквивалента в жиынына. 

Олай болса, а мен в озара эквивалента жиындар. Теорема 

дэлелдещц. 

Дэлелделген теореманын шарты бойынша, а жиынында 

в -га эквивалента а, жиыны бар (демек, а, ~ в) жэне в 

жиынында А-га эквивалента в, жиыны бар (ягни, в, ~ а), ал 

тужырымы бойынша, а ж и ы н ы в-та эквивалента, демек, 

а = д. Сонымен, егер а

в) туйык квадраттын жазыкгыкка эквивалентп болатынын 

дэлелдендздер. 

§6. Jiuinapa реттелген жиындар 

Алгашкы параграфтарда б1з озара эквивалент 

жиындарга ортак белгии куат деп атадык. Бул аныктама 

бойынша куат жиын элементтершщ мэн-магынасымен 

олардыц жиын пшнде орналасу ретшен тауелсп екзшн 

айгкан болатынбыз. Ендо 6i3 жиын элементтершщ рслнен 

байланысты туйшктерге токталмакпыз. 

Айталык, Е-кез келген жиын болсын. Осы жиыннын 

езше езшщ тура кебейтждю деп £-нщ реттелген кос 

элементтер жиыны аталады, жоне Ex Е немесе Е1 деп 

белпленед1. Демек, Е2={(а1Л).о€ Е,Ье £}. Е2 жиынынан, кез 

келген

шлнара реттелу кдтынасы аныкталган жиын ш шара 

реттелген жиын деп аталады. 

Егер Е шлнара реттелген жиын болса, онда Ей - ге енетш 

{п.Ь) кос элемента а-дан улкен емес, немеее Ь-га багынышты деятель Егер 

а деп те жазылады жэне Ь элемент 

и - дан к 'шй емес, немеее а - дан Keuimi элемент деп айтылады. 

Егер шлнара реттелген Е жиынынын « жэне Ъ 

элементгер! < катынасында болса (ягни, а /»), 

онда а мен Ь элементтер1 озара салыстырымды дел шел i. 

KepiciHme жагдайда, бул элементгер салыстырымеыз деп 

аталады. 

Аныктама 2, Кез келген элементгер! озара 

салыстырымды болатын жиын реттелген (сызыкты 

реттелген, кемел реттелген) жиын деп аталады. 

Айталык, Е imiHapa реттелген жиын болсын. Егер осы 

жиында а

2. Натурал сандар жиынын то 

болганда орындалады деп алып, iniiHapa реттеуге болады. Бул 

натурал сандардьщ табиги реттелуг Осы кдтынас бойынша, 

кез келген натурал сандар озара салыстырымды. Сондыктан, 

бул катынас JV-да реттелген жиынга айн ал ды рады. Демек, 

£ s = {(т.л): Vm е У,л е Мп - т >0} реттелген ЖИЫН. 

Бул мысалдар бершген жиын элементтерш эртурлз 

тэеймён кошара реттеуге болатынын керсетеда. 

4. [a.h] кесшдкпнде аныкталган уздшехз функциялар 

жиынында f< g катынасын [в,*]-ныц барлык х нуктелершдс 

/(л)*(*,) жэне /(x2y

6ipi 6ipiHin iimd жиьгаы болмайтын £-нщ элементтер! 

салыстырымсыз. Ягни, £ s = ^а,В) : А с в с м) -imiHapa реттелген 

жиын. Демек, (А,В) кос элемент! £s жиынына тек кана а 

жиыны В-ныц шла жиыны болганда гана снеди 

§7. Рет сакгпайтын бейнелеу 

Айталык, £ жэне Е цшнара реттелген жиындары 

бершсш жэне £ жиынынын £’-ка бейнелену1 / болсын 

(/:£-»£'). Егер и

2. £-табиги реттелген так натурал сандар жиыны болсьгн 

(2 л -1 < 2 л » -1 , егер ( 2 т - 1 ) - ( 2 л - 1 ) >0 болса): £={1,3,5......2 л - 1, -}, 

£'-табиги реттелген жуп сандар жиыны болсын (2п 0 болса): Е '= {2,4.6..... 2л,...}. / 0p6ip 2 л - 1 С Э Н Ы Н 2л 

санына бейнелесш (/(2 л -1 ) = 2л, л е N). Бул зандылык бойынша, 

£ мен £' жиындары езара 6ip мендо бейнеленед! жене 

/< 2 л - 1 ) < /( 2 ш - 1 ) тене1здт тек кана (2 л » -1 )-(2 л -1 )£ Э болганда 

орындалады. Сондыктан, / бейнелёну! £ мен Е'-тщ 

изоморфизм! жене бершген жиындар езара изоморфты 

болады (£ = £■) 

1шшара реттелген жиындар арасындагы изоморфтык 

катынас, олбетте, эквивалент катынас болады (изоморфты 

жиындар арасында 6ip мецщ сейкеспк бар!). Сондыктан, 

изоморфизм рефлексивта, симметриялы жене транзитивп. 

Олай болса, щвнара реттелген жиындар корын езара 

изоморфты жиындар 6ip класкд енетшдей етш жйсгеуге 

болады. Озара изоморфты жиындар класын келешекте 

изоморфты класс деп айтамыз. Егер б!з бершген жиындар 

элементтершщ мэн-магынасына бейтарап кдрасак, онда 

изоморфты жиындар 6ip б!ршен ажыратымсыз болады. 

Аныктама 3. Озара изоморфты жиындарга ортак белп 

осы жиындардьщ pemmiic muni деп аталады. 

Бул аныктама жиын куатынын аныктамасыт уксас. 

(Естерйцзге туартаздер, жиын куаты деп езара эквивалента 

жиындарга ортак бёлйш айткдн болатынбыз). Жиын 

куатынын аныктамасында, 6i3 жиын элементтершщ менмагынасымен 

катар элементтердщ жиын шшде орналасу 

37

ретше де бейтарап кдраган едпс, ал реттк тцп, аныктама 

бойынша, жиын элсмснттершщ осы жиын шйнде орналасу 

ретшен тоуелдк 

Элбетте, ретелген жиын iinimpa реттелген жиындар 

тобына жатады (салыстырымсыз болатын элементтер1 жок!). 

j 

Сондыктан, реттелген жиыныньщ ретпк тиш болады. 

•' Г 

Мысалдар: 3. п элементтен туратын сызыкты реттелген 

жиындар озара изоморфты. 

Бул жиындарга ортак белп 

олардыц элементгер саны. Сондыктан, бул жиындардын 

ретпк тиш л болады. Ягни, сызыкты реттелген meicri 

жиындардын куаты мен ретпк тига озара тец. Олар бершген 

жиынньщ элементгер санына тец болады. 

4. Табиги реттелген натурал сандар жиынын 

изоморфты жиындардыц ретпк тишн а деп белгшейм1з. Бул 

ретпк типке саналымды куат сэйкес келеда. BipaKja, 

саналымды куатка озара тец болмайтын ретпк типтер сэйкес 

келу1 мумюн. Мысалы Kepi багытта реттелген натурал сандар 

жиынын алайык: 

‘ " N' ={...,«,...,3,2,1}. 

Элбетте, N" = а жэне N"£ N . Сондыктан, N' -нщ ретпк тиш 

w-ra тец бола алмайды. N" жиыныньщ ретпк типш а деп 

белгщейм1з (а/ * т). Келешекте саналымды куатка сэйкес 

келетш ретпк типтер жиыныньщ шекс1з (Timi саналымсыз) 

болатынын долелдейм1з. 

38

§S. Реттелген жиындардьщ реттелген крсындысы 

Айталык, рет тищерд 0, жэне Ог болатын, озара 

киылыспайтын £ мен Щ жиындары бершсш. Осы 

жиындардьщ 6ipiKTipinyiH томендеп тэсшмен реттешк: 

1. £, жэне Е1 жиындарынын шпнде аныкталган рет 

олардьщ 6ipiKTipmyiHae де сакталады. 

2. £, жиынынын кез келген элемент Ег жиынынын кез 

келген элементше катан багынышты. 

Осы тэсшшсн реттелген £ жэне £, жиындарынын 

6ipiKTipuiyi олардьщ реттелген косындысы деп аталады жэне 

Е, I £ , деп белгшенещ. £, + £ , жиынынын реттйс т и т а н в, жэне 

0, ретпк й пйёрш н косындысы деп атаймыз жэне 6», + о1 деп 

белталёишз. 

Кез келген озара киылыспайтын £,,£,.... Ет 

жиындарынын реттелген косындысы жэне косындысыньщ 

perriK тип1 осыган уксас аныкталады. 

Мысалы, п жэне a perriK типтерш карастырайык. 

п+т-й) болатыны тусйпкп. Ал, табиги реттелген N натурал 

сандар жиынымен сызыкты реттелген А = 

жиынынын реттелген косындысы 

А+ N={l,2,--,n,...,a,,a2..... я,,} 

реттелген жиын болады. Бул жиыннын ретпк т и т а + п. 

Элбетте, N+A2N, сондыктан а> + п*о>. Ягни, л+а>*

§9. Эбдеп реттелген жиын 

Жогарыда 6i3 iiuiHapa реттелген жоне реттелген жиындар 

туралы айттык,. Ецщ реттелген жиындардьщ дербес Typiэбден 

реттелген жиын туралы тусйпк бермекшз. 

Келешекте, реттелген жиыннын кез келген iund 

жиынында бершген жиындагы рет сакталады деп есептейшз. 

Сондыктан, реттелген жиынньщ innd жиьщы да реттелген 

жиын болады. 

Аныктама 4. Егер реттелген Е жиынынын кез келген 

iund жиынында 6ipiHini элемент (ягни, осы inud жиынньщ 

барлык, элементтерше багынышты элемент) бар болса, онда 

Е эбден реттелген жиын деп аталады. 

Мысалы, табиги реттелген натурал сандар жиыны эбден 

реттелген жиын, ce6e6i, натурал сандар жиынынын кез 

келген iund жиынында 6ipim m элемент бар. Ал, [0,1] 

кесщщсшщ нуктелер жиыны реттелген жэне бул жиында 

6ipiHuii элемент бар, 6ipaKja, осы жиынньщ iuiKi жиыны 

болатын (0,1) аралыгында 6ipiHmi элемент жок. Сондыктан, 

[о, l] кесщЦ1сг реттелген, б!рак|га эбден реттелмеген жиын. 

Эбден реттелген жиынньщ кез келген inud жиынында 

эбден реттелген жиын болатыны TyciHiicri. 

Аныктама 5. Эбден реттелген жиыннын ретпк типш 

реток сан деп атаймыз. Эбден реттелген жиын шекс1з 

болгавда, оньщ ретпк санын трансфтиттт pemmijc сан 

немеее, кыскаша, трансфинит деп атаймыз. 

40

Табиги реттелген натурал сандар жиыныньщ эбден 

реттелген жиын екенш жогарыда айттык. Сондыктан, онын 

ретпк тип! ретпк сан, ягни, трансфинит болады. Кез келген 

шект1 жиын да эбден реттелген жиын. Демек, мундай 

жиыннын да ретгйс тиш п (элементгер саны) ретпк сан 

болады (трансфинит емес). 

Е = {/. 2.... к....: а,.а...... а и} 

эбден реттелген жиын. Ягни, бул жиыннын ретпк тиш w + n 

ретпк сан болады (трансфинит). Ал, .... -2.-1} 

реттелген, 6ipaK эбден реттелмеген жиын. Бул жиыннын 

6ipiHnii элеменп жок iiiiKi жиыны бар, мысалы, бершген 

жиыннын езшде 6ipiHuii элемент жок. Сондыктан, £* - нщ 

ретпк тиш со' ретпк сан бола алмайды. 

Теорема 1. Эбден реттелген жуйеге ёнетш эбден реттелген 

жиындардын реттелген косындысы эбден реттелген жиын 

болады. 

Дэлелдеу. Б1зге {£,}„, эбден реттелген жиындар жуйеа 

бершеш, / —индекстер жиыны. Теореманын шарты бойынша 

/-эбден реттелген жиын. Осы жуйедеп жиындардын 

реттелген косындысы E=YJEi эбден реттелген жиын екенш 

долелдеу1М13 керек. Шынында, а жиыны £-н щ кез келген 

kind жиыны жоне {£,Д . бершген жиындар жуйесщщ а мен 

ортак элсменттср1 бар жиындарьшан курылган жуйе болсын. 

Элбетте, ;0с / жоне /-эбден реттелген жиын болгандыктан, 

/„ innd. жиынында i0 6ipimni элемент! бар. Ал, С = л П £, I 

эбден реттелген 

жиыньгнын innd жиьгаы. Сондыктан С 

41

жиынында 6ipimiii элемент бар. Бул элемент а жиынында да 

6ipiHini элемент болады. Яш и, а - обден реттелген жиын. 

Теорема делелдендг 

Дэлелденген теорема ретпк сандардын реттелген 

косындысы ретпк сан болатынын керсетедь Демек, колда 

бар реттж сандар корынан жана ретпк сандар куруга болады. 

Мысалы, а жене п ретпк сандарынан темендеп ретпк 

сандар куруга болады: 

(О + П. СО+ СО, (О + СО+ П, (О+ 00 + со, T.C.C. 

Жаттыгу. Осы ретпк сандарга сейкес ебден реттелген 

жиындар курыныздар жене бул жиындардын саналымды 

болатынын делелдещздер. 

§10. Реттелген жиындардьщ реттелген 

квбейттдт 

Б1зге а жене р ретпк типтер! бойынша реттелген а 

жене В жиындары бершсш. В жиыныньщ ep6ip элементше 

6ip данадан сейкес келет1ндей епп а жиындарынан туратын 

жуйе курайык. в жиынынын ep6ip элементш осы 

элементпен оган сейкес келепн а жиыны эламентертен 

курылган к.осак,тармен алмастырудан шыккан жиын, А жене 

В жиындарынын реттелген кебейтшдоа деп аталады да, Ах в 

деп белгшенедь Кебейтшдщщ элементтер1 (а,Ь) реттелген 

косак тур1нде жазылады. Демек, 

Ах В= {(а,Ь): а е А,Ь е Д}. 

42

ЛхВ жиынынын, элементтерш мына тэсшмен реттеуге 

болады: 

1. егер 6,

жиыныньщ innd жиынын курады. Сондыктан, бул iuud 

жиыннын да 6ipiimii элемент! бар, ол а„ болсын. Олай болса, 

(л„Д)элемента Е жиынынын барлык элементтер!нен Kimi 

болады, ягни, Е - нщ 6ipiHmi элемент! бар. Теорема 

дэлeлдeндi. 

Бул теоремадан реттж сандардьщ кебейтшдкл ретпк сан 

болатынын K0peMi3. Демек, колда бар реттж сандар корын 

пайдаланып баска ретпк сандар курута болады. Мысалы, 

со • 2, а ■з.....ш л, о) ■ео = а 1 реттж сандар болады. 

Осыган уксас со"’,-ф‘°шт.с.с. реттж сандар курута болады. 

Жаттыгу. Реттж сандары со и, со3, со1 болатын жиындар 

курьщыздар жене курган, • жиындардьщ саналымды 


§11. РеттЫ сандарды салыстыру 

Шекп реттж сандар эркдшан салыстьфымды, демек, егер 

н, жене п2 -игекл реттж сандар болса, онда бул сандар езара 

тен немесе 6ipi 6ipiHeH улкен болады. Енда 6i3 осы 

кдтьшасТардьщ трансфиниттер (ебден реттелген ш еказ 

жиыннын реттж сандары) арасында да орындалатынын 

керсетпекгпз. 

Келешекте 6i3 сызыкты реттелген Е жиыннын кез келген 

о элемента осы жиынньщ алгашкы кеещЩш Р ( Е -н 'щ а-дан 

Kimi элементтерО мен Q калдыгын (Е -н щ а-дан Kimi емес 

элементтерш аныктайды деп алып E-Hi ею класска бёйёшз. 

44

Айталык а мен р perriK сандар. Осы сандарга сэйкес а 

жоне р типтес А жене В жиындарын курайык,. Аныктама 

бойынша, егер a s в болса, онда а ~ р болады. Егер А £ В 

болып, в жиынынын А -га изоморфты алгашкы Kecireiici 

табылса, онда а < р деп, ал А жиынынын В -га изоморфты 

алгашкы кеандкл табылса а > р деп айтамыз. 

Теорема 3. Егер эбден реттелген а жиынынын кдндайда 

болмасын 6ip imid жиынына изоморфты бейнелеу! / болса, 

онда А жиынынын барлык а элементтер1 р ш /И > « 

болады. 

Дэлелдеу. Kepicimue жорып, А жиынында /(«)«/ 

тенс1здшн канагатгандыратын элементгер бар дешк. Мундай 

элементгер л-н ы ц а„= {ee a . f(a)„) < /(«„> = />„. 

Демек, б0

онда f(a) е р болуы себеггп /(« )< « болар едг Бул тецсхзджтщ 

орындалуы, 3- iui теорема бойынша, мумкш емес. 

Теорема 4. Егер а жэне Д perriK сандары салыстырымды 

болса, онд^ й = д « < д а> р катынастарыньщ тек кдна 6ipeyi 

орындалады. 

Дэлелдеу. Шынында, мысалы, я = д жэне а < р 

катынастары катар орындалады деп алсак, онда As В жэне в 

жиынынын /l-га изоморфты В, алгашкы кесщ щ а табылады. 

Ягни, в, = л = в. Изоморфты катынастьщ транзитивтш 

бойынша в= Д . Мундай изоморфизмнщ мумкш емесппн 

i) 0 

жогарыда керсетйк. а = Д а> р немесе а < Д а > р 

катынастарыньщ кдтар орындалмайтыны осыган уксас 

долелденед!. Теорема дэлелдендг 

Сонымен, а жэне Д ретпк сандары салыстырымды 

болса, онда а = р , а < р , а > р катынастарыньщ 6ipeyimn 

орындалуы калган екеушщ орындалуына жол бермейтшш 

дэделдедпс. Ещц, салыстырымсыз perriK сандардьщ 

болмайтынын дэлелдешк. 

Теорема 5. Кез келген perriK сандар эзара салыстырымды. 

Демек, кез келген а жэне д perriK сандары ушш 

а = р,ар катынастарыньщ 6ipeyi гана орындалады. 

Дэлелдеу. Кез келген a perriK санын алып, осы саннан 

Kimi болатын perriK сандар жиынын w(a) деп алайык.. 

Элбетте, н>(а) жиыньша енетш perriK сандар салыстырымды 

жэне бул жиын реттйс сандардьщ мондер1 бойынша табиги 

46

реттелген. Сонымен кдтар, w(a) жиыныныц ретпк тиш а. 

Шынында, егер ретпк тиш а болатын кез келген А жиынын 

алсак, онда w(a)-n енетш ep6ip ц реттж саны, л-нын 

perriK саны ц болатын алгашкы кесщщан аныктайды жэне 

KepiciHiiie. Осы Kecimum аныктайтын А жиыныньщ а 

элементше ц индексш берш /f-ньщ элементтерш и (а) 

жиынындагы реттж сандармен нвм%лейтз- А=\аи} t,. 

Демек, /I sir(a). Ягни, w(a) жиыны а типтес жиындардын 

стандартты екш. 

ЕщЦ, кез келген а жоне р реттж сандары на сэйкес 

1 = Щ£г), В--щ0) жиындарын алып С= ЛС\-В жиынын курайык. 

Элбетте, С бос емес (бул жиынга а мен р -а с н kimi perriK 

сандар енедО жэне эбден реттелген жиьш. С-нын реттж 

санын у деп алып /< а болатынын далелдейж. Шынында, 

С' = А болса, онда у = а. С* а болтан жагдайда с жиынындагы 

кез келген § ретпк саны л\С жиынындагы кез келген q 

peiriK санымен салыстырымды жэне £

Y-a,Y~P болса, a = /; 

у = a,y < (i болса, a < P\ 

Y p болады. 

Демек, а мен p салыстырымды. Теорема толы к дэлелдсшп. 

Реттелген сандар озара салыстырымды болуы себеггп, 

осы сандарга сэйкес- келетш куаттар да салыстырымды. 

Демек, егер Л мен В эбден реттелген жиындар болса, онда 

В болган жагдайда л=я, ал л 

я болса, Л> в немеее л < В 

болады. Олай болса, эбден реттелген жиындардьщ куаттары 

салыстырымсыз бола алмайды. Оеымен байланысты, 

"салыстырымсыз куаттар бола ма" деген сауал "Кез келген 

жиынды эбден реттеуге бола ма" деген сауалга саяды. Бул 

мэселеге 6i3 "тандау аксиомасы" аркылы ораламыз. 

Шект1 жэне саналымды куаттарга сэйкес келетш реттщ 

сандар (трансфиниттер) жиынын карастырайык- Бул жиын 

обден реттелген, сондыктан оньщ ретпк саны бар. Ол сан ш, 

болсын. Элбетте,

Саналымды а куаттьщ А куатынан Kiuii eKeni тусшйеп. 

Ещц а мен Л арасында баска куаттардьщ жоктыгын 

дэлелдеййс. KcpiciHme жорып, а < т < я тедс1зд1пн 

канагатгандыратын т куаты бар деп алсак (то - саналымсыз 

куат), онда куаты т болатьш эбден реттелген жиыннын 

трансфинит ш, -ден Kiuii болады. BipajK* о>, -деп Kiuii 

трансфинитгер тек кана саналымды куатгарга сойкес келедг 

Ягни, ш-саналымды куат. Бул кдйшылык, жорамалымыздын 

кателтн керсетедь Сонымен, саналымды а куатымен я 

куатыньщ арасында баска куаттар жок, Демек,

2. /с < л тецс1зд ш н кзнагаттандыратын барлы к к натур 

сандары у111^ Л * )-н ы ц растыгынан Лн + 1)-ДЩ де рас 

болатыны б е л г т болса, онда Р(п) тужырымы барлы к натурал 

п сандары унйн орындалады. Ш ынында, Kepicimire жорып, 

а»(/7) тужырымы орындалмайтын ен Kimi п, натурал саны 

табылады делж. Элбетте, «, > 1 ж эне «, - 1(/7|-1) тужырымы орындалады. Олай болса, 2-mi шарт 

бойынша Л п,)-де орындалуы керек. Бул кайш ылы к 

жорамалымыздьщ кателигш кврсетедь 

Ешй, осы тэсщ цеп натурал сандар жиьшын кез келген 

эбден реттелген А жиынымен алмастыруга болатынын 

дэлелдейпс. А -к ез келген эбден реттелген жиын болсын. Бул 

жиынды бершген а трансфинитшен Kimi реттж 

трансфиниттер деп те кдрастыруга болады. Айтаяык, л 

жиынынын кез келген « элементтер1 уицй айтылган Л«) 

тужырымы туралы: 

1. />(«)-ньщ А жиынынын 6ipimiii элементшде орындалатыны; 

2. Р(«)-нын А жиынындагы « -га багынышты барлык 

элементтершде орындалуынан а элеменпнде де 

орындалатыны белгш} болса, онда бул тужырым л -н ы н 

барлык элементтершде орындалады. Шынында, Р{а) 

тужырымы орьшдалмайтын л жиыныньщ элементгер! бар 

дсшк, Мундай элементгер жиыны д, болсын. Элбетте, д, с А. 

Сондыктан, Д-дщ 6 ip i m u i элемент! бар. Ол элемент а0 

болсын.Л-нын «0-ге багынышты 6 ip де 6 ip элеменп Д,-ге 

50

енбейдь Олай болса, а ж и ы н ы н ь щ а0-ге багынышты барлык 

элементтершде />

жиынынын т„ элементш сэйкестеншретш А жиынында 

аныкталган q> фунюциясы табылады (ср(а) = т„,а е А,ти еМ„) . 

Баскдша айтсак, 

жиындарынан 6ip-6ip элементген Taiwan 

алып жана жиын куруга болады (тандау аксиомасы!). 

Тандау аксиомасын непзге алып кез келген жиынды 

эбден реттеуге болатынын Цермело дэледцеда дедж (Цермело 

теоремасы). Kepicimne, Цермело теоремасына суйенш тандау 

аксиомасын теорема ретшде дэлелдеуге болатьшын 

корсетейж. Шынында, А = {а} индекстер жиынынын а 

элемента ушш аныкталган ма жиынын эбден реттеуге 

болатын болса, онда

элементше осы жиынга енетш Е' йшй жиынынын барлык я' 

Иэлементтер1 багынышты болса (« ча), онда а элемент! Е'-тщ 

жогаргы жаты деп аталады. 

Хаусдорф теоремасы. 1шшара реттелген жиыннын op6ip 

тёбеп кдндайда болмасын 6ip максималды "пзбекке енедг 

Цорн леммасы. Егер йпшара реттелген Е жиынына 

енетш кез келген тсзбектщ жогаргы жагы болса, онда Е 

жиынынын кез келген элемент] 6ip максималды элементке 

багынышты болады. 

Осы келтпршген Цермело жэне Хаусдорф теоремалары 

мен Цорн леммасыньщ тандау аксиомасына эквиваленттшш 

[6]-да долелденген. 

Сонымен, тавдау аксиомасын кзбылдамау жиындар 

теориясынын epiciH тарылткан болар едг Дегенмен, тандау 

аксиомасын кабылдамай журпзшген зерттеулер, 

математиканьщ тамаша табыстарыньщ 6ipi деп есептслетш, 

рекурсивт1 функциялар теориясын куруга жэне есептслетш 

сандар Topi3fli туанйстер ецпзуге мэжбур eni. Бул моселелер 

жеке оку куралынын такырыбы. 

S3

I 

TAPAYFA ЖАТТЫРУ. 

1. N натурал сандар жиынымен барлык жуп сандар 

жиыныньщ арасындагы б1рмэнд1 сейкеспкп табыцыздар. 

2. Барлык рационал сандар жиыныныц куаты 

саналымды болатынын дэлелдещздер. 

- 5Г-М'1.; 

3. Саналымды болмайтын шеказ жиынньщ бар 

болатьшьщ дэлелдещздер. 

4. Накты сандар жиыныньщ континуум куатты 


5. а

II ТАРАУ 

влшеушт кендстжтер. 

Математикалык талдау пэнщдеп непзп амалдарцыц 6ipi 

шекке кешу. Сандар epiciiqjeri жиыннын iucri осы жиыннын, 

нуктелер1 арасындагы кашыктык аркылы аныкуалоды. 

Шекпк нукгенщ аныктамаеын терешрек талдасак, нуктелер 

арасындагы кдшыктык тек аймак, туралы тусггак беру упин 

пайдаланылатынын кврешз. Сонымен, твмендеп логикалыгч 

тсзбекке келешз; 

Жиын—кашыктык.—аймак—жиыннын lueei. 

Uleicri аныктауга бул "пзбектщ екшхш буынынын икелей 

кдтынасы жок. Оган кашыктык аймакгы аныкгаудын дербес 

куралы ретщде енген. 

Бул тарауда 6i3 нуктелершщ аймагы кашыктык аркылы 

аныкталатын жиындарды талдап, олардьщ курылымын 

зерттейм1з. Нуктелершщ аймагы кдшыктыксыз аныкталатын 

жиындар математиканьщ дсрбес тарауы - тополэгиялык 

кещстпсгерде зерттеледа. 

55

§1. O.iiueyiuimi кещстт 

Бершген X жиыныньщ элементтерш х, у, z, ... деп белгшеп 

алайык. 

Аныктама 1. Егер X жиыныньщ кез келген х, у элементгер 

косагына Tepic емес р(х. у) саны сэйкестешпршп, осы сан 

темендеп аксиомаларды канагаттандырса: 

- - 

1. р(х, у}=0 тендт тек кана х=у болганда орындалады 

( тецбе тещцк аксиомасы ); 

JL р(х, у)= р(ул) .(симметрия аксиомасы ); 

3. р(х, у)

деп аныкталса, онда бершген жиын елшеушгп кещстйже 

айналады. Бул кещстж окшауланган нуктелер кещ ёт т деп 


2. X — накты сандар всшщ нуктелер жиыны болсын. 

Егер р(х,у)=\х-у\ деп алсак., онда бул жиын накты сандар 

KeHiCTiriH курады. Бул кещстйсп R1деп белгшейшз. 

3. Х-{(х,у)} реттелген накты сандар косактары болсын. Осы 

жиыннын A(xi,yi) жэне В(х2,у2) нуктелер1 арасындагы 

кдшыктьпсты аныктау тэсшдершщ дербес турлерш келйрешк: 

а) p jA .B ) =max{\xr xj\, \угУ2\} 

деп алсак,, онда (X, p j атшеушт кещстж болады. Бул 

кещстж деп белгшенедк 

б) Р1(А.В)=\хгх2\+\угУ2\ 

деп алып Л,'=(Х, р,) влш еуш т кещстггш курамыз. 

в ) р(А,В)=yj{x, - х: У + (у , - у, У 

деп алып, олшеушта кещстж болатын R2=(X,p) Евклид 

жазыктыгына келешз. 

Жаттмгу. 1-3 мысалдарындагы кашыктыктардын 

кдшыктык аксиомаларын канагаттандыратынын 


Сонгы мысал X жиынында курылган олшеуапт кендстж 

кашыктыкты аныктау тэсшшен теуедщ екенш корсетедд. 

Енш, олшеуш т кещстжп куру барысында колданылатын 

кейб^р тецсоджтЬрге токталайык, 

^ • ь е - р ( - £ % 

< /ф 1- ь г Х 

57

тецбе-тендиш ен 

&Ahp!.-& 

тецаздш не келешз. Бул тецйздпс Коши-Буняковский 

тецаздш деп аталады. 

II 

Егер 1а; жэне 

катарлары жинакталса, онда 

катары абсолют жинакталады. Шынында, 

£ Щ -Ък щ 

ш 

тецйздшнен, 

Х1ЯА |- - |Х а*+ £6* I екешн керешз. Демек, 

*=1 ^biSl *=| J 

£ |акЬк | катары жинакталады. 

к-1 

Ха.’ , 

А -/ 

tb ; катарлары жинакталады деп есептеп, Коши- 

Ы 

Буняковский тецйздшндей п-ц\ шек

I. Кез келген (at, а2, жене (bf, bj, сандар жуйем 

ушш 

тецазддп орындалады. 

Пу , га г г» 

J £ Га* + Ьк У < J £ a ; + Д > ; (4) 

Vk=l U = / \k = l 

Шынында, (1) тецоздщн пайдаланып 

Z(a, +b. )' = 1д;’ +2f.a.b, + f.b: < ■ 

*-/ kmt kmi к А»/ 

+2W‘W*{Wi • Ш^Ч¥‘ 

тедгаздагш табамыз. Осы теназдисгщ ею жагынан квадрат 

Ty6ip алып (4) тецаздтне кеяемйз. 

2. Егер жэне £6* катарлары жинакталса, 

тец сй д т орындалады. 

lt(at + b j < + J tfi (5) 

V 

Бул тецсйдисп дэлелдеу ушш (4) тёцы здтндеп п-ш 

шеказд1кке умтылдырсак ж еткткп . 

Ь ft - 

3 . Егер f f (x)dxжэне J g'(x)dx интегралдары бар болса, 

\[f(x)+g(xf( dx < /•’ fx )dx + Jjg'(x )dx (6) 

тецсгздш орындалады. 

Бул тенс1зд1кт4н дэлелдеу! (4) тецсщщгшщ далелденуше 

уксас (Долелдешздер!). 

Ендо, влшеушш кенд^стцсгщ мысалдарына оралайык. 

59

4. X реттелген п накты сандар жуйесшсн туратын жиын 

болсын: Х~{х=(хI, х2, :.,хШ Осы жиынньщ кез келген 

х=(х/, X}, ...,x,J жене у=(у!,у2, ...,Уп) элементтер1 арасындагы 

кашыкгык 

РЛх y)=max{\xr yi\. |х2-у2\, .... \х^у„\} 

деп алып, К' =(Х, p d елшеушт кещстщн курамыз. 

Егер 

десек, 

п 

Pi(x,y)=Ta \хгУк\ 

ы 

R]=(X.fii) кещсппне келем1з. Ал, 

Р(х. у )=j l U - A Y 

болса, онда R"=(X, р) олшеушгп кещстт курылады. 

R" мен R" -дщ елшеушт кещстж болатынын дэлелдеущ 

окушыга кдлдырып, R" -нщ елшеушт кещстж болатынын 

дэлелдейж. 

Сонгы формула бойынша аныкталган р(х, у) саны тецбе- 

тецдхк жэне симметрия аксиомаларын кднагаттандыратыны 

кудж тудырмайды. Сондыктан, осы сан ушбурыш аксиомасын 

канагаттандыратынын дэлелдесек жеткшжп. Осы 

максатпен, X жиыныньщ кез келген z=(z,t z2, .... zj 

нуктесш алып, р(х, у)-Ti 

р(х,у)= y f t( ^ ~ - y J = ^l[(^ 1 1 •)+(z* | yk)]' 

туршде жазайык. Щ , (4) тенс1зд1гшдеп ak=xk-zk , 

деп алйп, 

hk=zk-yk 

Р(х. У)^ + J t f a - y j рР(х, z)+ p(z, у) 

60

тёнсЦгцгше келёмзз Демек, уш^¥Рыш аксиомасы орындалады. 

R'-нщ елшёушги кещстйс екеш дэледдендг. 

5. t Kenicmiei. МушелерйиН квадраттарынан курылган кдтар 

жинакталатын накты сандардан туратын тазбектер жиыны X 

болсын: 

Х= {х= (х,,х2, . . . . * * ...): t i q < + « / . 

кш! 

Осы жиыннын кез келген х=(х,, х2, ...,х„, ...) жэне 

У=(У1.)’2, --.уп. ■■■) элементтерше сэйкестеншршген 

р(* у)= J z U - y J 

саны кашыктык аксиомаларын толык, канагаттандырады. 

Шынында, 6ipimni жэне екштш аксиомалардын 

орындалатыны такелей тексёршедц. “ Ушбурыш” 

аксиомасынын орындалатынына коз жетизу ушш, (5) 

тецсйдогш непзге алып, 4-uii мысалдагы тещлзджта дэлелдеу 

жолын еозбе-свз кайталасак жеткшкта. Бул кёнстак (' деп 

белпленедь 

6. т кещ ст ш . Шектелген накты сандар тазбектершен 

туратын жиын X болсын: 

Х={х=(х}, х2...... хт ...): |дгм|

деп алайык. Элбетте, барлык к уипн \х^Ук\ £ Мх+Му 

Содыктан, шектелген 

жогаргы жагы бар. Ягни, р(х, у) 

сандар тобегшщ накты 

6ip мэщц аныкталады жэне 

кашыктык аксиомаларын толык канагаттандырады 

(дэлелдсвдздер). Бул кещстж т деп белгшенеда. 

6.С[а,Ь] кещстт. [а,Ь] 

функциялар жиыны X болсын: 

кесшдющце аныкталган узджаз 

X={f(x):f(x) - [а, Ь] кесшдкщде узджсЬ }. 

Осы жиынныц f(x) жэне g(x) элементгер! арасьщдагы 

кашыктык 

p(f.g)=nuv\f(x)-g(x\ 

a&xSh1 

деп алайык. Бул сан бершген f(x) 

жоне g(x) функциялары 

ушш, Вейерштрасс теоремасы бойьпппа, 6ip мэнда 

аныкталады. p(f,g) саныньщ кашыктык аксиомаларын 

канагаттандыратыны тжелей тексершед1 (тексерйцздер!). p(f,g) 

кашыктыгы Чебышев тшем! деп аталады да, кещстж С[а,Ъ] 

деп белгшенедь 

Осы жиынныц f(x) жэне g(x) элементтер1 арасындагы 

кашыкгыкты 

L 

Pi(f. g)={\[f(x)-g(x)]W ) 2 

деп аныктап, (X,pt) олшеу1ит кещсткш курамыз. Pi(f,g) 

саныныц 6 ipiHuii жэне еканпп аксиомаларды 

канагаттандыратыны тжелей тексершед1 де, ушб¥Рыш 

аксиомасыныц орындалатьшы (6) тецйздщн пайдаланып 

62

дэлелденещ (дэлелдещздер!). Бул кещетщ С1а,Ь] деп 

белгшенещ. 

R=(X,p) елшеушт кещстж болсын. X жиыныныц кез 

келген М iuiKi жиынын алып, осы жиыннын х ж эне у 

элементгер! арасындагы кдшыктыкгы 

R кещетшндеп р(х,у) 

саны аркылы аныктасак, онда (М,р) е л ш еу ш т кещ стж 

курады. Ш ынында, р(х,у) кдшыктык аксиомаларьш X 

жиыныныц барлык элементтер1нде кднагаттандыратындыктан 

бул аксиомалар М жиыныньщ элементтершде де 

орындалады. KeHicTiri Л-дщ шил к е щ е т ш деп 

аталады. Егер M*R болса, онда М меншшт iiwci кещстж деп 


Соз сонында, влшеушгп кещстйсгерш салыстыру тесш не 

жэне олардын езара тен болу шартына токталайык. 

х = [х ,р х) жоне Y = {Y,pt ) елшеушт кещстжтер1 бершеш. 

Егер X -тщ ep6ip х нуктесше К-тщ б1рден-б1р у элемент! 

сэйкестендаршсе, онда X KeHicTiri Y KeHicTiriHe нитей 

бейнеленедi деп аталады да, f : X-+Y немесе > = / (л) дсп 

жазылады. Y кещетшндеп X -тщ бейнесш да> деп 

белплейм^з. Егер / (X )= Y болса, онда X KeHicTiri Y-ке 

6ейнеленед1 дейаш. 

X кещеппнщ кез келген \ HyicrcciH белгшеп алайык. Егер 

кез келген е>0 саны ушш он s=s{c,x„) санын, 

pt(/(x ).f(\ )}се тенйздш pJx,x„)

нуктесшде узд/'/ст деп аталады. X кещ сттнщ барлык 

нуктелершде узджйз бейнелеу осы кещстйсте узШказ 

делшеда. 

Егер X жене Y KenicTiicrepi арасындагы озара 6ip манд! 

бейнелеу у = /(*) болса, онда осы бейнелеуге Kepi х = / '( > ) 

6ip менш бейнелеу1 бар болады жоне f ' (У ) - X тейщш 


X жоне У кещстистершщ озара 6ip мэцщ жэне озара 

узджйз бейнелеу! (f(x) жэне Г '(у) 

уздйсиз бейнелеулер!) 

гомеоморфты бейнелеу -немесе гомеоморфизм деп аталады да, 

кещспктер озара гомеоморфты делшедь 

X жэне Y кещстйссер! арасында озара 6ip мэнд1 / 

бейнелеу! бар болып, 

рх (х,, X, ) = ру (/(х ,), / (х: )) 

тещйп X -тщ барлык щ жэне х,. нуктелершде орьщцалса, 

онда бул KeHicTiKTep йзометрлг деп аталады. Келешекте 6i3 

изометрл1 кещстпсгерщ ажыратпай, оларды 6ip елшеушгп 

кещстпспн жекелеген даналары ретшде карастырамыз. 

Ж а тты гу. р = |р(х) = р0+ р{х+... + рпАх"~'} копмушелйсгер 

жиынынын p(x)=p0+ppc+...+pn_jxr-‘жэне q(x)=q0+qpc+... + q „^'~ ‘ 

элементтер1 арасындагы кашыктыкты 

p (p-q)= jz(pr-pj Vьо 

деп алып, (Р,р) олшеушт KeHicTiriH курамыз (дэлел- 

Дешздер!). Осы кещстпсгщ R ' кещстшмен изометрл1 

болатьгаын корсетниздер. 

64

§2. Qjiiueyiiumi кещстштег1 нуктелер жиыны 

Бул параграфта wiuieyiuiTi кешстжтеп жиындарды талдап, 

кдсиетгерщ зертгейшз. 

Аныктама 1. R-{X,p) кедютщщ х0 нуктесш белгшеп 

алайык. Осы кецютЬсгщ р(х,л;,)

1-uti cypem 

2-iui сурет 

4. C[a,b] кещст1гтде 0 / f0(x)) орта сызыгы y = f0(x)~тщ 

графин болатын, еш 2г - ге тен жолактын imid жагы. Ягни, 

графиктер1 у = / и(х) - г жэне y = f 0( x ) + r функцияларыныц 

графиктер1 арасында жататын, уЗД*1^ 3 функциялар 

жиыны (3-сурет). 

66

Аныктама 2. Егер R = (Х.р) кещстнтндеп х нуктесшщ кез 

келген с -аймагында осы кещспктеп £ жиыныньщ ен 

кемшде 6ip нуктеа бар болса, онда бул нукте £-нщ жанасу 

Hyicreci деп аталады. Осы жиыннын барлык. жанасу нуктелер 

жиыны £ - нщ туйы кталуы деп аталады да, Е деп 

белгшенедЬ 

Бершген Е жиынынын Е туиыкталуын куру туйьщтау 

амалы деп аталады. 

Теорема 1. Туйыктау амалына темендеп касиеттер тон: 

1. Е аЖ : 

2. (1)= Е; 

3. Егер Е, с £, болса, онда £, с £.; 

Л. = ~Ё, и Ж . 

Дзлелдеу. £-нщ кез келген х Hyicreci озшщ жанасу нуктеа 

болады (x e O J x )!). Сондыктан ЕсЕ. EipiHuri касиет 

дэлелденцп. 

Eramiri касиетп дэлелдешк. Аныктама бойынша (1) 

жиынынын кез келген х, Hyicreci Е-нщ жанасу Hyicreci 

болады. Сондыктан кез келген о.(х,) аймагында £-нщ ен 

кемшде 6ip Ц нуктеа табылады. Ещц, е ,= е -р (х ,.х 2) деп 

алсак, онда ос *,) < р(у, * ,)+ р(х, х,)< £, + ( £ - Е, )= е 

67

болатынын керешз. Ягни, уеО^х,). Демек, o^x^tzojx^. 

Ал, х2 алгашкы Е жиыныньщ жанасу нуктесь Олай болса, 

()Li(x2) 

шарында £-нщ ец кем1ндс 6ip х, нуктеа бар. Бул 

нукте о (х ) шарына да t h i c t i . Сондыктан, х, Е-нщ жанасу 

Демек, бул жиындар озара тец. 

Ymimui касиеттщ орындалуы айкын. 

Егер хеЕ,иЕ: болса, онда х нуктеа Еп Ег жиындарынын 

ен кемшде 6ipeyine енед1, ягни 

Е, u Е, с Ei u Ei. (1) 

£, с E,kj Е, жоне Е: с Е, и Е, болгандыктан, yuiimiii касиет 

бойынша, 

EiU Ei

Аныктама 4. Е жиынынын л;, нуктей бершсш. Егер осы 

нуктеден баска £-нщ 6ip де 6ip нуктей енбейтш л^-дщ 

аймагы табьшса, онда бул нукте £-нщ окщаулантн нуктей 

деп аталады. 

Сонымен, аныктама бойынша, £-нщ шектйс жэне 

окшауланган нуктелер1 осы жиыннын жанасу нуктес1 болады 

жэне kepiciHnie, кез келген жанасу нуктей шектпс немесе 

окшауланган нукте болады. 

Бул корытындыдан £ жиыны тек кдна теменде аталган уш 

турл1 нутетеяерден туратыньтн керем1з: 

1) £ жиынынын окшауланган нуктелер1, 

2) £-нщ осы жиынга енбейтш шектпс нуктелер!, 

3) £-нщ езше енетш шектпс нуктелер!. 

Аныктама 5. 

Е жиынынын барлык шектпс нуктелер 

жиыны туынды жиын деп аталады да £' деп белгшенедь 

Элбетте, жиыннын туйыкталуы осы жиынмен онын 

туынды жиынын 6ipiFcripyfleH турады: 

£ = £ 'и £ . 

Аныктама 6. R кещстшнщ {*„}”, нуктелер Ti36eri бершсш. 

Егер кез келген е> 0 саны ушш п(е) 

санын, р{х1,\) п(£) тенйздиш канагаттандыратын барлык 

натурал п уппн орындалатындай етш табуга болса, онда \ 

Hyicreci бершген тзбектщ шег1 деп аталады жэне 

деп белгшенеда. 

Нт хп = л;, 

69

Егер л;, нуктеа бершген твбектщ шел болса, онда бул 

пзбек ^,-ге жинащпалады деп аталады. дг„ нуктесше 

жинакталатын тобектщ нем1рлер1 п(е) -нен улкен болатын 

элементтер1 о.(х„) шарынын шшаде жатады. Сондыктан бул 

шардын сыртында жататын элементгер саны п(е) -нен 

аспайды. 

Ешй жинакталатын лзбектщ кейб1р касиеттерше 

токталайык. 

Теорема 2. Жинакталатын тобектщ тек кана 6 ip шекпк 

HyKTeci 

болады жоне осы нуктеге пзбектщ барлык innd 

т1збектер1 жинакталады. 

Дэлелдеу. KepiciHuie жорып, езара ,тен емес xJ жоне л' 

нуктелерше жинакталатын {л; т1збеп бар дел есептешк. 

л' * х" болгандыктан, р[х', л ") >0. е < -р(х\ х") тецаздптн 

канагатгандыратьш он е санын тавдап альш, пх(е) жэне 

п2(е) сандарын и >«,(£) тецс1зд1пн канагатгандыратьш 

барлык п ушш x„eOJx'), ал п>п2(е) тецаздшн 

канагаттандыратын п ушгн хпе OJx") болатындай етга 

табайык. Аныктама бойынша, мундай сандар бар. Едщ 

п>тах{п,(е),п,(е)} деп алсак» x„eOJx')nOc(x'). Бул катынас 

мумкш емес, ce6 e6i, е -д1 тандап алу то ст бойынша, 

Ендг теореманыц eidmiii бвштй дэлелдейж. {хя 

бершген 

т1збект1н кез келген iiiiKi Т1збеп болсын. Алгашкы тЙбек 

нуктееше жинакталатындыктан, и.(г)-нен улкен кез келген 

натурал п ушш х „ е 0 , ( х ) . Сондыктан, пк> п(е) болса, 

-v„ е О1(х0). Демек, Итх^ = V Теорема дэлелдендь 

Теорема 3. R кещстшнщ х„ Hyicreci осы кещспктеп Е 

жиынынын жанасу Hyicreci болуы ymiH, Е жиынында х„ 

нуктееше жинакталатын 

Ti36eriHiH бар болуы кажегп 

жэне жеткзлжп. 

Дэлелдеу. Теорема шартыныц жетигакгШтй кумэн 

тудырмайды. Кджеттшгш долелдейж. Егер х„ Е-нщ 

окшауланган HyKreci болса, онда осы жиыннын белгш 6ip 

нвшрден бастап, барлык элементтер1 д^-ге тен болатын кез 

келген нуктелер тпбеп осы нуктеге жинакталады. 

Ёнда х„ шектж нукте болсын. е, > е: > >£„ >.... Итеп =0, 

шарттарьш канагаттандыратын накты сандар избейн алайык. 

Аныктама бойынша, ep6ip ен саны ушш 0,_(aJ шарына тшеп 

Е жиынынын кемшде 6ip Hyicreci бар. Осы шардагы Ег-нщ 

6ip нуктесш хп деп белгшеп алайык Элбетте, 

болады. Сондыктан, Цщх» = д„. Демек, осы тоешмен курьшган 

Е жиынынын 


тйбеп \-ге жинакталады. Теорема 

71

Жаттыгу 1. Шектк нуктенщ кез келген аймагында 

бершген жиынныц шексяз коп нуктелер1 болатынын 

долелдещздер. 

2. \ meicriK нукте болган жагдайда, сонгы теоремада 

керсетшген габек нуктелерш озара тен болмайтындай CTin 

куруга болатынын корсетдшдер. 

Аныктама 7. R елшеушт кещетшнщ А жоне В жиындары 

бершещ. Егер В жиыны А жиынынын туйыкталуына енсе 

(В с А), онда А жиыны В жиынында тыгыз деп аталады. 

Егер Л-нын туйыкталуы R-гс тен болса (A=R), онда А 

жиыны R KenicTiriHiH барлык жершде тыгыз деп аталады. 

Егер А жиыны Я кещетшнщ 6ip де 6ip шарында тыгыз 

болмаса, демек, Я кещетшнщ кез келген S шарыньщ шпнде 

А жиынынын 6ip де 6ip Hyicreci болмайтын S, шары табылса, 

онда А жиыны Я кещеттнщ еш жершде тыгыз емес делшеда. 

Мысалы, рационал сандар жиыны Q накты сандар 

кещетшнщ барлык жершде тыгыз ( Q=R') , ал натурал сандар 

жиыны N, осы кещетштщ еш жер1нде тыгыз емес. 

Аныктама 8. R—(X,p) влшеущт кещетшнщ барлык 

жершде тыгыз саналымды жиын бар болса, онда бул кещеик 

cenapa6endi деп аталады. 

Сепарабелда кещстисгщ мысалдарын келт1рейж. 

1. Рационал сандар жиыныньщ накты сандар ейнде тыгыз 

екенш жогарыда атап етпк. Ал, рационал сандар жиыны 

саналымды (Q=a). Сондыктан, R1 сепарабелд! кещетж. 

72

2. н-олшемд1 Евклид кещспп Д"-сепарабелщ. Осы кещетштщ 

координаторы рационал сандар болатын нуктелер жиыны 

R'-нщ барлык. жершде тыгыз саналымды жиын. 

3. C[u,b] кенкгппнщ барлык жершде тыгыз саналымды 

жиын- коэфициенттер! рапионал сандар болатын 

копмушелЬсгер. (Вейерштрасс теоремасы!) Демек, С [а,/] 

сепарабелд1 кещспк. 

4. г кещстггщщ сепарабелда болатьшын дэлелдейж. Белгий 

6ip ношрден бастап. барлык элемснттер1 нолге тен. ал калган 

элементтер1 рационал сан болатын А твбектер жиынын 

алайык: 

А—{г = (г,.г,.... гп,0,0....): VA = (1,и) гпе Q 

Элбетте, А - саналымды жиын. Осы жиын f: кещетшнщ 

барлык жершде Тыгыз болатынын дэлелдейж. Шынында, 

...х,,....) е £2 болса Ха; катары жинакталады. 

Сондыктан, кез келген е>() саны ушш, £ х:

куратын X жиыны онын барлык. жсршде тыгыз. Х-кс тен 

болмайтын 6ip дс 6ip жиынга бул кдеиет тон емес. 

Сондыктан X саналымды болса кещеттк сепарабелд1, ал X 

саналымсыз болса ксщстж сепарабелд! емес. 

6 . т K en icT iri сепарабелд1 емес. Шынында, элементтер1 ноль 

мен б1рден туратын т0"лэбектер жимнын алайык: 

т0Ч р = (Р и Р ь -,Р ,Р п = 0 .1} 

Бул жиыннын куаты континуум болатыны тусш1кт1. Элбетте, 

m„czm. Ешй, KepiciHme жорып, т сепарабелд1 десек, онда 

туиыкталуы /я-ге тен саналымды А жиыны табылады. Ягни, 

бул жиыннын элементгер! немерленедк 

О, (а,) 

А = {а„а2,аь ...,ап,...} 

шарлар жуйесш алайык, А жиыны /я-нщ барлык 

«-/ .. • Д, 

жершде тыгыз болгандыктан, т с Qo, (

Келешектс туйык жиындар F ор1б1мен белгшенедк Керек 

жагдайда, бул оршке индекс бершсдг 

Я кендсттнщ кез келген £ жиыны бершеш. Егер осы 

жиынньщ туынды жиыны озше енсе ( £ 'с Е), онда Е туйык 

жиын болады. Шынында, жиынньщ туйыкталуы осы жиынга 

езшщ барлык шектж нуктслерш бфГкпруден турады 

( Е— Ей Е'), демек, £' с Е болуы себепп Е- Ё. 

Егер £ озшщ туынды жиынына енсе ( £ с £ ) , онда Е вз 

кшнде тыгыз жиын деп аталады, ал £ = £ ' болса, £ кемел 

жиын делшедк Элбетте, кемел жиын ез imii-ще тыгыз туйык 

жиьш. (Долелдещздер!). 

Мысалдар: 1. R' кещетшндеп кез келген [а,/>] кёсшщс! - 

кемел жиын. 

2. Кез келген елшеушт! кещетжтеп туйык шар - туйык 

жиын. Мысалы, C[a.b] кещетшндеп 5 , ( 0 ) = {/(х):|/(д-)|

керек. Аныктама бойынша, F '- t i h кез келген л;, нуктесшш 

(I (ха) аймагында F -тш, шекс1з коп нукте л е pi жатады. Бул 

нуктелер Fa жиындарынын киылысуында жаткандыктан, 

а -ныц J жиынына енетш барлык мвндершдё, Fn-ге тшстг. 

Олай болса, а -ньщ барлык мэндершде, \ е Fa . Бершген 

жуйедеп жиындар туйык болгандыктан, J жиынындагы а - 

нын барлык MOHflepi ym iH, \ e F a. Демек, \ e f] F a =F. 

Теореманын 6 ipimiii бёмм! дэлелдендь 

Ещц F = (jFk болсын. F -тщ туйык жиьш болатынын 

дэлелдеу ушш, осы жиынга енбейтш нукте онын шектж 

нуктес1 бола алмайтынын дэлелдесек жеткшкп. Сонымен, х 

Hyrcreci F-ке енбесш. Ягни, бул нукте Fk жиындарьша тшей 

емес. Fk жиындары туйык болгандыктан, х бул жиындарга 

шектж нукте бола алмайды. Сондыктан, л- нуктесшщ 

F„ (к = 1,2. п) жиынынын нуктелер1 енбейтш Ос (л) аймагы 

табылады. Егер £ = min{ff,, деп алсак, онда Ос(х) 

аймагында Fk жиындарынын нуктелер1 болмайды, ягни 

F г\Ос(х) = 0. Теорема дэлелдендг. 

Ескерту. Саны саналымды туйык жиындардын 6 ipiKTipuiyi 

туйык жиын болмауы да мумкш. Мысалы, R1 кещетшнщ 

жиындар жуйесш алайык. Бул жуйедеп туйык 

76

Аныктама 10. Саны саналымды туйык жиындардын 

Gipiicripmyi релнде орнектелетш жиын Fa типтес жиын деп 


Элбетте, кез келген туйык жиын F„ типтес болады, ал F 

типтес жиыннын туйык болуы мщдетп емес (сскертудеп 

мыс ал га кара!). 

Аныктама! 1. R=(X.p) кещстшнщ Е жиьшы бершеш. Егер 

осы жиыннын кез келген х нукгесшщ Е жиынына езййей 

6 ipre енетш ог(х) аймагы табылса, онда Е ашык жиын деп 


Келешекте ашык жиындар G, D эрштер1мен белгшенедг 

Керек жагдайда, бул орштерге индекстер бершеш. 

Мысалдар: 1. R' кещетшнщ (а,Ь) аралыгы ашык жиын. 

Шынында, егер х е (ci,b) , онда а

i- - т 

бойынша, т - inf ev(x), aх(х)-£ + с = g(x) . Олай болеа, OJf(x))czG. 

Теорема 5. R = {X,p) 

кещстшнщ Е жиыны ашык болуы 

ушш, онын С Е - R\ Е толыктауышыньщ туйык болуы кджетп 

жэне жетюлжп. 

Дэлелдеу. Егер Е ашык жиын болса, онда онын кез келген 

д- ^нуктесшщ Е жиьтнына енетш Ок\х ) аймагы табылады. 

Бул аймакта CR жиыныньщ нуктелер1 болмайды. Демек, CR 

жиынына енбейтш нукте онын шектж Hyicreci бола алмайды. 

Олай болса, CR - туйык жиын. Ецщ CR туйык жиын болсын. 

Бул жагдайда CR жиынына енбейтш нукте онын шектж 

Hyicreci болмайды. Сондыктан, ол нуктенщ CR жиынына 

енбейтш аймагы болады. Ягни, бул нукте Е жиынына езшщ 

белгш 6ip аймагымен енедг Демек, Е ашык жиын. Теорема 

дэлелдендь 

TepTiHini жэне 6eciHini теоремалар, косарлану принциш 

аркылы, 6i3fli ашык жиындардьщ непзп касиеттерш 

аныктайтын темендеп теоремага экеледь 

Теорема 6. Саны шекп немеее шеказ ашык жиындардьщ 

6ipiicripwyi жэне саны шекп ашык жиындардьщ киылысуы 

ашык жиын. 

Дэлелдеу. {ба}я&/ ашык жиындар жуйесй бершеш (./-куаты 

uieicri немеее шекей болатын индестер жиыны). Бесшгш 

78

теорема бойынша, {CGa \atJ -туйык. жиындар жуйей. Крсарлану 

принцип! бойынша, 

С и G 

atJ 

= n CG.. 

aeJ 

Тертшпп теорема бойынша, бул туйык жиын. 

Бесшип 

теореманы екшцц рет пайдаланып, u Ga жиынынын ашык 

ас/ 

болатынына кез жетк!зем!з. Теореманын екшпп белш1 

осыган уксас дэлелденед!. 

Ескерту. Саны саналымды ашык жиындардьщ киылысуы 

ашык жиын болмауы да мумкш. Мысалы. —л jj ашык 

жиындар жуйес! бершсш. £ = П

жэне у айнымалы шамалардан тэуелда функция деп 

кдрастырып, кдшыктыктын непзп касиетше токгала кетейж. 

Теорема 7. р(х,у) кашыктыгы Х: жиынында аныкталган 

узджсЬ функция. 

Дэлелдеу. X жиынынын * нуктееше жинакталатын (х . 

жэне у нуктееше жинакталатын 

избектерш алайык- 

Аныктама бойынша, 

жэне нуктелер! ушш ушбурыш аксиомасы 


р{х,у) < р(х,х„) + р(х„,у„)+ Р(у„,у) 

тецшздт орындалады. Бул тецс1зджтен, 

осыган уксас, 

соцгы тецйздшгерден, 

р (х ,у )- р(х„ ,у„) s р( х, х„ )+р(у„,у) 

р(х„,у„) - р{ХуХ„) < р(х,х„) + р(у„,у), 

|р(х„у„) - р{х.у)\ < р(х,хп) + р{у,у„). 

Бул тецазджтен, 

lim р(х„,уп) = р(х,у). 


Бершген X жиынында Rt(X,р^) жэне л3(А\рг) кещспктер1 

курылсын жэне осы жиынныц кез келген Hyicreci болсын. 

Егер X жиыныньщ {л;,}"., пзбегшде р,(х„,х0) нелге 

умтылганда, р 

де нолге умтылса жене керюшзие, онда 

80

р,(х,у) жэне р:(х,у) кдшыктыктары взара эщивалёптт деп 


Жаттыгу. 1-mi параграфтын ушшии мысалындагы pjA.B) , 

р,(а.В ) жэне р(А,В) кашыктыктарынын езара эквивалентп 

екенш дэлелдешздер. 

§3. Толык emiueyiiumi кещстЫтер 

Математикалык талдау пэншен накты сандар узджйз жиын 

куратыны белгш. Бул кзсиет, зерттслетпн объектшердщ 

ерекшелжтерше байланысты, твмендеп турлерде кездееед1: 

1.Erep накты сандар жиыны взара киылыспайтын А жэне 

В кластарына кез келген накты сан А немесе В-га енш жэне 

Л-дагы кез келген сан В класындагы сандардан кппл 

келетшдей болып жйстелсе, онда А жиынында ец улкен сан 

бар болса, Д-да ен Kiuii сан болмайды, ал В жиьшында ен 

Kimi сан бар болса, А-да ен улкен сан болмайды. А -да ен 

улкен сан жэне В-да ен кшп сан болмауы мумкш емес 

(Дедекинд теоремасы). 

2 . Устшен шектелген жиыннын накты жогаргы жагы 

болады. 

3. Устанен шектелген монотонды ecneni шаманын шей 

болады. 

4. Бщшщ 11шнде 6ipi орналаскан, узындыктары нвлге 

умтылатын кес1ндшердщ 6opiH e ортак 6 ip нукте болады 

(6ipiHiH шинде 6 ip i орналаскан кесшдшер туралы лемма). 

81

5. Фундаменталды накты сандар тазбегшщ шекп шеп 

болады (Больцано-Коши белгкя). 

Накты санньщ осы кдсиеттерь онын толыктыгы деп те 

аталады. Бйздщ максатымыз, накты сандардын толыктык 

касиетше украс кдсиеп болатын auiueyiiiiTi кещстжтер тобын 

болш алып, зерттеу. Аталган касиеттщ алгашкы торт Typi 

накты сандардьщ реттелген жиын болатындыгына 

непзделген. Тек кана сонгы Typi жиын элементтершщ ретине 

бейтарап. Сондыктан, аталган касиеттщ осы бесший TypiH 

толык елшеушт кещетжй аныктау ушш пайдаланамыз. 

Аныктама 1. R = (X,p) олшеушгг! кенесйпнщ {*„}*„., тазбей 

бершеш. Егер кез келген е >0 саны ушш п0=пп(е) натурал 

санын, p{x„>x„+r) п„ тециздшн 

канагаттандыратын барлык п саны мен кез келген р натурал 

сандары ушш орындалатындай етш табуга болса, онда 

бершген нзбек фундаменталады деп аталады. 

Теорема 1. Егер R = (X, р) кещетшнщ { * , пзбеп осы 

кещетжтщ \ нуктесше жинакталса, онда бул пзбек 

фундаменталды болады. 

Дэлелдеу. Айталык, limxn = x,t, x„zR, болсын. Шектщ 

аныктамасы бойынша, кез келген s >0 саны ушш па=па{е) 

санын, тецаздт п > п„' тецйздтн 

канагаттандыратын барлык натурал п сандары ушш 

орындалатындай етш табуга болады. Енд1 кез келген р 

82

натурал саны ушш п + р>п„ болатынын ескерш, р{х^п,х,,)

3. YiuiHiiii мысалдагы /£, tf. жэне R2-толык ©.mieyiiim 

кещстжтер (накты сандар кещетшнщ толыкхыгына суйешп 

дэлелдещздер). 

4. R" - толык, елшеушт кещстж. Шынында, осы 

кещстцсгщ {ха) =(*{*',*‘*>...х'4>)}”, Ti36eri фундаменталды болса, 

онда кез келген е > 0 саны ушш ка=кп(е) санын, 

(1) 

тецйздш, к > к„ тещлздшн канагаттандыратын барлык 

натурал к мен кез келген натурал р сандары уинн 

орындалатындай етш табуга болады. Олай болса, осы 

шарттарды канагаттандыратын барлык к мен р жэне i -дщ 

б1рден л-ге дейшп мэндер1 ушш, yf*p'\= .\f:1, 

/=■(!,и), шектер1 бар болады жэне ЕндД (1) 

тецаздшндеп р-ны вдеказджке умытылдырып, 

тещлздшне келемаз: Ягни, limxfk> = xf0>. R” кещетшнщ 

толыктыгы дэлелдещц. 

Осы мысалдагы жэне R" кещсйктершщ толыктыгы 

осыган уксас дэлелденедг 

5. f жэне т толык елшеушт кещстж болатынын 

дэлелдеущ окушыга калдырамыз. (R" кещетшнщ толыктыгын 

84

дэлелдеу жолын сезбе сез кдйталаса жеткшкп. Шекпк 

х1"1=(х|,в,,*^в,,„.,х^,...) 

нуктесшщ 6 ipimni жащайда £г-ге, ал 

екшгш жагдайда т-ге тшсп болатынын дэлелдеуд1 

умытпаныздар). 

6 . Жепнип мысалдагы с[а, ь] кещспгшщ толыктыгы бул 

кещспктеп фундаменталды пзбектщ б1ркдлыпты 

жинакталуыныц салдары. Б1ркзлыпты жинакталатын уздшпз 

функциялар пзбегшщ шел уздшйз функция болатыны 

математикалык талдау пэшнен белгш. 

Осы мысалдагы с 2\а. ь] толык «лшеушт кещспк 

болмайтынын долелдещк. Ол ушш C2\a,b\ кещсттнде 

жинакгалмайтын осы кещстйсгщ фундаменталды пзбегш 

курсак жетюлисп. Осы максатпен, 

1 

- 1, егер - 1 < х < 

п 

I 1 

,I.

{

кендстш толык болгандыктан, бул Т1збекпц х„ шей осы 

кещсшсте жатады жэне кез келген п ушш, р{х, х t )< г 

тецаздш орындалады. Осы 

умтылдырып, р(л;, х„)л, тещлздшн канагаттандыратын 

барлык п ушш р(х„,д:л)< - 

болатындай етш табуга болады. 

5,-центр1 хП: нуктес1нде жаткан радиусы 1-ге тен туйык шар 

болсын. Элбетте, с S,. Енда, саны ушш п2 санын, 

(п}>п,) п>п2 тещлздшн канагаттандыратын n-дер ушш 

р(л,л;)< — болатындай етш табайык Uempi л; йуктесщце 

жаткдн радиусы - -ге тен шар 5; болсын. {*„ с S 

болатыны TyciHiicri. Егер осы тэешмей хП/ х„‘...\„к 

(п,

туйык, шарды 

Si,.i деп белгшеймгз. Шарларды куру тэсш 

бойынша, {4р„„ Осы амалды шекс1з кайталап, [s* 

■Гр* * 

туйык шарлар тазбепн курамыз. Элбетте, Л э 5 .о ..,э 5 » з .. 

жоне радиустары нолге умтылады. Теореманьщ шарты 

бойынша, f)SV*0. Демек, бул шарларга ортак. R кещстшнщ 

тщ 

х„ Hyicreci болады жоне шарлардын центрлер1 {хЯ | бершген 

фундаменталды Tj36er

Теорема 3. (Р.Бэр). Толык елшеушт кещ стат саны 

саналымды жэне осы кещстжтщ еш жершде тыгыз 

болмайтын жиындардьщ 6 ipiKripmyi ретшде ернектеуге 

болмайды. 

Дэлелдеу. 

жерде тыгыз болмайтын 

Kepicimne жорып, саны саналымды жоне еш 

жиындардьщ 6 ipiKripuiyi 

туршде ернектелетш толык R = (X, р) елшеушт кещстж бар 

дешк: R={jM:i. 5»-осы кещстйсгщ радиусы 6 ipre тен, кез 

*-/ 

келген туйык шары болсын. М, жиыны Щ шарыньщ еш 

жершде тыгыз емес. Сондыктан, осы шардын шпнде радиусы 

- -ден улкен болмайтын жэне М, жиынынын 6 ip де 6 ip 

HyKTeci жок. Si шары табылады (MnS,=0). М; жиыны Si - 

дщ еш жершде тыгыз емес. Олай болса, бул шардын шшде 

радиусы --ден улкен емес жэне М, -нщ бipдe 6ip HyKTeci 

жок 5 шары табылады 

(М. n S, = 0), т. с. с. Осы амалды 

шекйз кайталап, 6 ipiHiH плшде 6 ipi жаткдн радиустары нелге 

умтылытын жэне Щ шарыньщ М„-мен киылысуы бос жиын 

болатын, 

туйык шарлар -лзбепн курамыз. R кещспп 

толык Сондыктан, 

n S „ * 0 (теорема 2!). Осы киылысуда 

п~1 

жаткдн R кещетшнщ нуктей х0 болсын. S„ шарларын куру 

TocLni бойынша, барлык натурал п сандары ушш \&М п. 

89

Демек, л'„g и Мп. Ягни, R*

Дэлелдеу. ШрдтЩрлШ. Аддымен, теоремада аталган 

R'=(X',p') толыктауышы бар дешк. Енд1, Я ^ = (Х ‘,р") к е ^ е тщ 

R-дщ кез келген баска толыктауышы болса, онда осы 

кещстжтердщ арасында, R ксщстшнщ нуктелерш орнында 

калдыратын, (р изометриялык бейнелеудщ бар болатынын 

долелдешк. Демек, R' жэне R" кещстжтершщ арасында, 

1.erep x e R болса, ср(х)=х, 

2. сгср х %'—(р(х') жэне у " —(р(у*) болса, р (х ',у') —р"(х*\ у *') 

шарттарын кднагаттандыратын, (р беЩелеушщ бар 

болатынын керсетешк. 

Шынында, толыктауыштьщ аныктамасы бойынша, К 

KenicTiriHiH кез келген х' нуктееше жинакталатын R 

KeHicTiriHin {х}*, фундаменталды тазбёп болады: Итхи- х '. 

R кещстш де R-дщ толыктауышы, сондыктан, бул ттзбек 

R KeHicTiriHin х нуктееше жинакталады: limx„=x". 

Элбетте, бул шек х’-ке жинакталатын фундаменталды 

тпбектен тэуеяшз. Гзделппп отырган у" 

жинакталса, елшеушт кещетйегсп кдшыктыктьщ узд1казд!к 

касиет1 бойынша, 

р' (х * , / ) = lim р' (х , .> ’„) = Ит р{.\ ,>>„), 

91

р " \х ”. у" )= liraр "(х „ ,у „) = limр(х„, у „ ) 

П-* * 

Демек, p ’(.v\ / ) = р''(х", у”). Мрден —б1ржк дёледценедг 

Енщ R кещетшнщ толыктауышы бар болатынын 

дэлелдешк. Алдымен, курылгалы отырган толыкгауыштын 

нуктелерш аныктайык. Осы максатпен, R KeHicTiriHiH 

фундаменталды тпзбектер жиынын темендеп тэсшмен озара 

киылыспайтын кластарга жжтейм1з. R = (Х,р) KeHicTiriHiH 

[л„}’ ; жэне Щ Я фундаменталды Ti36eKTepi ушш 

Пт р{\„, д-;,) = о болса, онда бул тобекгерщ эквивалента дсп 

щШ 

атаймыз да {л;Х, деп белгшейм13. Элбетте, бул 

катынас рефлексивта симметриялы 

( k М 1 Ы, }“=, => Щ Щ ) жэне транзитив-п 

(Ы* = / -{• {■*„}*=/ ~кЛ)- Сондыктан, R 

KeHicTiriHiH фундаменталды пзбекгер жиыны озара 

киылыспайтын эквивалента тазбектер кластарына ж1ктследг 

Эквивалента тазбектер класын х ’ деп белгшеп, осы кластар 

жиынын X' деп алайык. Енда, X ’ 

жиынынын х* жэне у ' 

элементтер1 арасындагы кдшыктыкты х ’ класынан 

Ti36eriH, ал у *класынан {уп}“ тазбегш алып, 

{л;}"( 

р{х, у) - lim р(д;. у„) (2 ) 

формуласы бойынша аныктауга болатынын долелдеШк. 

Шынында, {р{х„,у„)}‘ю1 накты сандар пзбеп ушш 

\ р ( \ .Р

тецаздт орындалады. IpfBf I фундаменталды 

пзбектер, сондыктан кез келген е> 0 уш!н п„ = п„(е) санын, 

/£7(-v„>v.f*P)< ^* р{Уп,У^г)пи тецшдшн 

канагаттандыратын барлык и ушш орындалатындай етш 

табуга болады. Осы «-дер ушш, (3) теназдшнен, 

\р{хп+р • Ун+р) ~ р ('п > )j < р{*п ■ + р ) "*"р{ун • Ун+р ) < ^ "> ~ £ 

тецс1здшне келемдз, Демек, {р(л,,^„)}”ж, накты сандар 

жиынындагы фундаменталды тазбек. Олай болса, бул тщбек 

жинакталады жэне онын шеп р(х ,у) Tepic болмайтын накты 

сан. Ешц осы шектщ х 

жэне у' кластарынан алынган 

■пзбектсрден тэуелаз болатынын керсетейнс. 

Шынында, 

Ь,Л*=/. &.}“=/ е Л* жэне Ы " = у Ы,}*=/ е у ' Ti36eKTepi ушш, 

\pixn ’ УII ) —р(-'п-У'Л й р(хп • лн ) + р (Уп - У'п ) 

ТеЦЫЗДШ орындалады жэне lim р{х1,,\'„) = lim МУп-Уя) = 

г П-+СО П-+СО 

Сондыктан, lim p (x n.y n )= lim р(у!„,у'„) = р (х . у ). 

/I—* 00 

/J—ЮО 

Енд1 (2) формуласы бойынша аныкталган сан кашыктык 

аксиомаларьш канагаттандыратынын дэлелдешк. Тецбе- 

тегщж аксиомасы эквивалента пзбектер аныкгамасынан 

туындайды. Симметрия аксиомасы айкын. Ушбурыш 

аксиомасын тексереййс. R елшеу1шт1 кещстж болгандыктан, 

n-т шекс1зд!кке умтылдырып, 

р(хп • zn ) ^ р {х„• Уп) + р{уп■h i)■ 

lim p{xn,z n) $ lim p{xn,>>„) + lim (уn.zn) 

93

теназдйгше келе\пз. Ягни, 

Демек, R' = {Х \р ') 

р(х’, г ) < р(х ,у ‘) + р(у , Z ). 

елшеушщ кещстпс. Ецщ осы кещспктщ 

R -rt толыктама болатьшьш дэлелдеу керек. 

х бершген R кещ сттнщ кез келген Hyicreci болсын. Осы 

нуктеге жинакталатын Я-дщ фундаменталды тсзбектер 

класын х* деп белгшейж. Бул класс бос емес. Мысалы, бул 

класкд х нуктесщен туратьга х, х,...,х,... тобеп енед1. Егер R 

кещспгшщ %Гу элементер1 аныктайтын кластар х \ у' болса, 

онда {.V}“уg .V*, '{>*„', е у Ti36eKTepi ушш, 

Л I 

р{х,у)= 11тр(*»,л)= Р(.х ', у ) 

болады. R кещстшнщ х элементше R' кещстшнщ х' 

элементш (х-ке жинакталатын фундаменталды пзбектер 

класын) сэйкестещцрт, R-ni Л'-дщ iuiiti кещстшне 

изометрл1 бейнелейм1з. Осы insd KeHicriicri К'-ге тецесйрш, 

Rc. R' болатынын керем13. 

Енд1, R- дщ R' KeHicTiriHiH барлык жершде тыгыз 

болатынын делелдешк. R’ -дщ кез келген х ‘ нуктесш алайык. 

{*„}", осы класка енетш Я-дщ фундаменталды тазбей болсын. 

Элбетте, кез келген е > 0 саны ушш и0 = п0(е) натурал санын, 

р{хп, х >;i) < е тещлздш п > пп шартын канагаттандыратын 

барлык п мен р натурал сандары уипн орындалатындай eTin 

табуга болады. Бул жагдайда, 

Р(х„.х* )= 1т р(хп.хп+р )

Демек, х‘-тщ кез келген с - аймагында /-дщ х„ нуктей 

табылады. Олай болса, х' Л-дщ жанасу нуктей. Ягни, 

R= R‘. 

Дэлелдеущ аяктау ушш R' -дщ толыктыгын керсетсек 

жеткшкп. Айталык, {*■*}”_, осы кещспктщ фундаменталды 

•пзбеп болсын. Осы тазбекке эквивалещн R кещетшнщ 

{л-,}' 

пзбепн кез келген натурал п саны ушш р(х„.х„* ) < - п 

тецйздш орындалатындай епп куруга болады. Элбетте, бул 

пзбек фундаменталды жэне онын шей х' бершген Vе',}"., 

пзбепнщ uieri жэне / е й ’. Демек, R' толык элшеушт 

кещспк. 

Теорема дэлелдещп. 

Теореманы, рационал сандарды непзге алып, накты сандар 

жиынын куру тэсшн пайдаланып дэлёвдегёшшзда окушы 

ацгарган болар. 

§4. Олшеушпи кещстЫтегi жинакы жиындар 

Математикалык талдауда накты сандар epici taeri Гейне- 

Борель леммасы мен Больцано-Коши теоремасы накты 

сандар эйндеп нуктелер жиынынын 6 ip тобы - жчнакы 

жиындарды аныктайды. Бул жиын Гейне-Борель леммасында: 

“Шектеуш F туйык жиынынын кез келген жабуынан осы 

жиыннын шекп цша жабуын белш алуга болады” деп 

аныкталады. Естерццзге саламыз: F жиынынын жабуы деп 

95

F с U[ai ,Д) шартын канагаттандыратын {(а,,Д)} аралыктар 

жуйесш атайды. Б1здщ максатымыз - елшеу1л т кещспктщ 

осыган уксас касиетд бар жиындарын болш алып зертеу жоне 

функциянын жинакы жиындагы кёйбар касиеттер! елшеу1и т 

кецютпстщ осындай жиындарында аныкталган бейнелеулер1 

ушш де орындалатынын корсету. 

Айталык, R = (А', р \ . елш еуш т кещстш бершеш жоне М 

осы кендстпсгщ нуктелер жиыны болсын. 

Аныктама 1. Егер М жиыныныц кез келген {л;}*, 

пзбегшен жинакталатын }" iuiici тазбеюй болш алуга 

болса, онда М жинакы деп аталады. Егер М жиыныныц 

жинакталатын избектершщ шектер1 осы жиында жатса, онда 

М взт е жинак,ы делшедь 

Сонымен, озше жинакы жиын, жинакы жоне туйык.болуы 

керек. 

Бершген R кещстш жинакы болуы мумкш (олбетте, озше). 

Бул жагдайда, R кещстш жинакы деп аталады. 

Мысалдар. 1 . [о, /] кесщцкл взте жинакы, ал (0. 1) аралыгы 

жинакы, б1ракта озше емес. Больцано-Вейерштрасс бёягкл 

бойынша, л-елшемд1 Евклид кещетшнщ op6ip шектелген 

жиыны жинакы. 

2.С[0, /] кещетшндеп М = {

Сондыктан, бул пзбектщ жинакталатын Ьп } й т т Ti3 

V"к ’п=1 

6eri 

бар жэне lim ап = а0 болса, онда о

Бул мысалдан 6L3 С[0, l) кещетшндеп жиынньщ шекгеуш 

жоне туйык болуы оньщ жинакы болуына жеткшкс13 екенш 

корещз. 

4. I2 кещетшнщ Е = \х = [хп < /1 жиынын 

алайык Элбетте, 

Е iieHTipi координат басында жаткдн 

радиусы 6ipre тец туйык шар. Осы шарга енетш 

I 1 1§ I о....111 

|Щ [о. 1. о....о,.. 

избегшщ кез келген е„ жоне 

е п = (0, 0, 0 ,.... 1, . . 

ет (пФ т), нуктелершщ ара 

кашыктыгы л/2-ге тец. Демек, бул избектщ жинакталатын 

1шы пзбеп жок. Ягни Е жинакы емес. Бул мысалдан да 

шектеуш туйык жиынньщ жинакы болуы мшдетп емес 

екенш керешз. 

Сонымен, математикалык талдаудан белгш шектеул1 

жиыннын жинакы, ал шекгеуш туйык жиыннын озше 

жинакы болатыны туралы Болыдано-Вейерштрасс белпа тек 

кана я-олшемш кещстйстердеп жиындарга колданылатынын, 

ал баска кещетжтердеп жинакы жиынды аныктау косымша 

зерттеущ талап ететшш ангарамыз. 

0лшеу1ш'п кещеттердеп 

жиындардын; жинакы болу 

белпеш аныктау ушн, бершген жиынньщ жинакы болуыныц 

I ' • 

жалггы принципше токталайык- 

Аныкгпама2. R-(X,p) ожпеушш кещстш жоне кез келген 

е >0 саны бершеш. Р мен М осы кещетштщ жиындары 

болсын. Егер М жиыныньщ кез келген х нуктеа ушш 

98

( y,>)< с т щ ф |й н к д н агаттан д ы р аты н Р ж и ы н ы н ы н >• 

HYKTeci табы л са, о н д а Р ж и ы н ы М у ш ш е-тор д еп аталады . 

Теорема (Хаусдорф). R = (X,p) олшеушт кё^стщ нщ М 

жиыны бертсш жэне е > 0 кез келген сан болсын. М 

жиыны ушш R кещсппнде шекп с - тордыц бар болуы осы 

жиыннын жинакы болуы ушш кажетп, ал R толык кешстж 

болса жеткшкп. 

Делелдеу. Кржеттшк. М жинакы жиын болсын. Кез 

келген в > 0 санын алып, М-нщ кез келген 6ip нуктесш х, 

деп белгшейж Егер М-нщ барлык х нуктелер1 ушш 

/>( г. V,)< гг болса, онда М ушш {*,} жиыны 6ip нуктеден 

туратын с - тор болады. Бул жагдайда теорема дэлслдешп. 

Егер де р{х:,х)>£ тецсщдшн канагаттандыратьш М 

жиынынын х2 HyKTeci табылса, онда темендеп ею жагдайдын 

6ipi мшдетп турде орындалады: 

1) М -нщ кезкелген х Hyicreci ушш р(х, xt)< s, немеее 

р(.\. \.)f жэне р (х ,,х :)> е теназджтерш 

кднагаттандыратын х3 Hyicreci табылады. 

Уш нуктеден туратъш {х,, х,} жиыны уипн де аталган ею 

жагдайдын 6ipi орындалады. Осылай жалгастырып, барлык 

i*k уипн p(x,xt)>e тещйзд1ктерш кднагаттандыратын 

...хи\ нуктелер1 аныкталды дейпс. Бул жиын ушш де 

аталган ею жагдайдын 6ipi орындалады. Енщ, шекп кадамнан 

99

кейш, осы cKi жагдайдын м1ндетп турде Gipimuici 

орьтндалатынын долелдеййс Kepicimne жорып, ор кадамнан 

кешн eKiHmi жагдай орындалады деп, барлык / * / ушш 

р\х:, x j > z тецаздтн канагаттандыратын М жиыныньщ 

[д'„ 

пзбепн курамыз. Элбетте, бул тобекте жинакталатын 

imici лзбек жок. Демек, М жинакы емес. Бул кайшылык 

жорамалымыздьщ дурыс емрстйш долелдешц. Кджеттипк 

долелдендь . 

Ж ет кт кт тк. R=(X, р) толык елшеу1пт кещстш, е кез 

келген накты он сан болсын. Осы кендспктщ М жиыны 

ушш uieicri е - тор бар деп алып, онын жинакы болатынын 

долелдеййс. Осы максатпен 

е, > е2 >... > е а £и ~>0, 

т!збепн тандап алып, М жиьшы ушш £п-тор болатын 

Р,п = 1,2....жиындарын курайык. 

{л■}х , — М жиыныньщ кез келген нуктелер Ti36eri болсын. 

Элбетте, бул тгзбек центрлер1 Р, = \у',", у ‘:' ‘.... у ',!,‘к} жиыньшын 

нуктелершде жаткан радиусы £,-ге тен S {щ J,£j), k=l, 2, ...m, 

mj j 

шарларыньщ 6ipiKTipywiHe енедг с C/SO>J-‘\ £i) • Шарлар 

саны шект1, ал {*}”, йзбегшдед нуктелер саны шеказ. 

Сондыктан, осы шарлардьщ ец к ет б1реушде аталган 

пзбектщ шекшз коп нуктелер! жатады. Осындай шарлардын 

6ipeyi S(y"\ г,) болсын да, оган енетш { .\й з б е п ш н innd 

т1збеп 

болсын. Осы амалды кайталап, болшш алынган 

too

К Т , iunci пзбеютен М ушш ег - тор болатьш 

pi = { у Г ^ ж и ы н ы н жэне сонгы "пзбектщ к"'}*, 'шк* 

пзбеп енетш SO’!;1, £г) шарьш табамыз т.е.с. Осы амалды 

шекс13 кдйталап сонгысы алдынгы пзбектщ iimd пзбеп 

болатын тЬбёктер пзбегш курамыз: 

..... -vlj ; ..... 

-х;3'.х ’/ ' .....xi*>........ 

*.'* *..... x'l J..... 

жэне бул тйбектёрда куру тэсипм1з бойынша, 

Енд1, жогарыда курылган таблицанын 

диагоналында жаткдн элементершен, 

....(i) 

избегни курайык Элбетте, кез келген натурал р саны ушш 

(1) тазбегшщ нуктелер1 

p(xi')’ хиРР>) - £‘ 

теШздшн канагаттандырады жоне / шекйзджке умтылганда 

е, нелге умтылады. Демек, (I) пзбеп фундаменталды. 

Теореманын шарты бойынша, R толык елшеуштп кещспк. 

Сондыктан, (1) пзбеп осы кещспкте жинакталады. Ягни, 

к } “.,пзбепнщ жинакталатын шла пзбеп бар. Олай болса, 

аныктама бойынша, М - жинакы жиын. Теорема толык 

дэлелдендд. 

Темснде кслпршген салдар Хаусдорф теоремасын 

колдануды жендлдетедй 

101

Салдар. Толык, R arcuieyiinri кещстжте орналаскан 

жиыны жоне кез келген накты он е саны бертсш. 

жиыны ушш жинакы е - тордын бар болуы М-нщ жинакы 

болуына кажетп жэне жеткшкп. 


€ - 

М жиыны ушш жинакы --тор Р болсын. 

6 

Хаусдорф теоремасы бойынша, Р жиыны ушш шекп --тор 

бар болады. Бул тор Р„ болсын. Ещц Р„ -дщ М ушш шекп е - 

£ 

тор болатынын дэлелдешк. Шынында, Р жиыны М ушш - - 

тор болгандыкган, М -нщ кез келген х Hyicreci ушш 

р(х, у) < - тещпздтн канагаттандыратын Р жиыныньщ у 

£ 

Hyicreci табылады, ал Р„ жиыны P -та --тор болгандыкган 

р(у, z) < — тецйздегш канагаттандыратын Р„ -дщ z 

табылады. Демек, ушбурыш аксиомасы бойынша, 

р(х, Щ < р{х, у) + р(у, z) < 1 1 1 Ше . 

М 

М 

Hyicreci 

Ягни, Р0 жиыны М ушш шекп t -тор. Олай болса, Хаусдорф 

теоремасы бойынша, М жинакь1. Салдар дэлелдещц. 

Осы параграфтьщ ушшаш мысалында C[0,l\ кещсппнде 

жинакы болмайтын шектеул1 туйык жиынньщ бар болатынын 

корсеткен едж. Е ндт максатымыз - C[a,b] кещспгшдеп 

жиыннын жинакы болуынын белпсш табу. 

Аныктама 3. Егер C[a,b] кещспгшдеп M = {x(t)} 

жиыныньщ кез келген x(i) функциясы ушш |x(t\< К 

тещйздт орындалса (К саны x(t) функциясынан тэуелаз), 

онда М жиыны 6ip крлыпты шектелген деп аталады. 

102

Аныкупама 4. Егер кез келген е > 0 саны ущя 5 = 8{е) 

санын, тецейддан канагаттандыратын [а, b] 

кеандюшщ кез келген f нуктелер1 мен М жиынынын 

барлык х(0 функциялары ушш |x(t')-x(tn \

CTin аныктайык,- ЕНШ, max { t 8 ТеНС13Д1ПН 

канагаттандыратыи \a,b] кесшдюшщ 

Т= {а = /„

бойынша, М жиыны B\a,b\ кещсппнде, ал C\ci,b\ осы 

кещснктш; туйык inud KeHicTiri болгандыкган, C\a,b\-да да 

жинакы. Жеткшктшк дэлелдещц. 

Кджеттшк. M = {.x(t)} жиыны С[я,/>] кещсппнде жинакы 

болсын. Осы жиынньщ 6ip кдлыпты шектеугп жэне тен 

дорсжел1 уздйсйз болатыньщ дэлелдейж. Хаусдорф теоремасы 

* € 

бойынша, кез келген е> 0 саны ушш М жиынына --тор 

болатын C\a,b\ кещетшнщ ....жиыны 

табылады. tp,(t) функциясы \a,b\ кесщщсшде уздшпз. 

Сондыктан, бул функция шектеулк \tpi (I \ < К . К = та.\К, + - 

болсын. Элбетте, М жиыныньщ кез келген *(/) функциясы 

функциясы табылады. Бул тецс1зд1ктен, 

тецс1зд!пн кднагаттандьфатын q>и) 

М жиынына енетш функциялардыц 6ip калыпты шектеулшт 

долелдещц. Ещц, осы функциялардыц тец дэрежел1 

узджаздшн дэлелдешк. 

Барлык / = (i.w) ушш

болады. М жиынынын кез келген x(t) 

функциясы ушш, 

\x (t) - (р (t J < - жене 8 = min{S,} болсын. Элбетте, I/' - /"I < S 

* J /S/^И 

тещлзднйн кднагаттандыратын \a,b\ кеешд1сшщ барлык ■( 

жэне t" нуктелершде 

\х{1') - Л-(/")| < |х(/') - ,(!')| + \

Дэлелдеу. Алдымен, /(*) устшен шектеуш болатынын 

долелдешк. Керювдивв жорып, озше жинакы Р жиынында 

аныкталып, устшен шектелмеген уздйсаз f(x) функциясы бар 

десек, онда кез келген натурал п саны ушш 

f(\„ )> п 

болатын Р-нщ х„ Hyicreci табылады. Осындай нуктелер Р 

жиынынын {.х„ }^= j т1збегш курады. Р озше жинакы 

болгандыктан, бул тобекгщ жинакталатын \х„ Г innd 

1 *’и-1 

ттзбеп табылады жоне осы inm избектщ шеп л; е Р . Ti36eicri 

куру тосшшз бойынша, / (х )> пк. Сондыктан, 

lim / (хп ) =: +£». Ал теореманын шарты бойынша, /(*) 

функциясы Я жиынында уздщаз. Демек, 1ш»/(х„ ) = /

онын жинакталатын Ix. 

' "к >п=1 

г 

iuiKi т1збеп табылады жэне бул 

пзбектщ шеп хеР. Элбегге, а ------ < f(x„ )< а жэне / ( х > 

Цк * 

уздйсаз болгандыкган lim /(x„_ ) = /(*) . Демек, f(x)=a. 

жиынында f(x)=p тендш орындалатын 

болатыны осыган уксас дэлелденедь 

Теорема дэлелдендк 

Р 

х Hyicreci бар 

Ескерту. Озше жинакы болмайтын жиында Вейерштрасс 

теоремасы орындалмайды. Оны темендеп мысалдан керуге 

болады. 

Осы параграфтын тертанйш мысалында келпрген 1~ 

кещстшнщ 

жиыны - радиусы 6ipre тен туйык шар. Осы жиында 

аныкталган 

f ( * h ± — < 

П 

функциясын карастырайык Е жиынынын нуктелершде 

0

кез келген нуктеа жэне \х = (х1к>.х12к),...,х(„к),...Г_. 

осы 

нуктеге жинакталатын Е жиынынын кез келген Ti36eri 

болсын. Осы нуктелерде, 

|п -1 :Ы I n.l Я „.I n | 

I 1 

s |рЧт'^о)-рч*'^гв)|+1£(*;,*>- x f ) 3j2 5 

< \pl (x“ 1.0) - p- (xt0),0)| + p (x * 1,x"/2 •/>(x‘* \x t0)) . 

Олшеушт кец1стеи кашыктыктын уздщейдш кдсиета 

бойынша, х111-> хгЛ’ Ti36eri ушш р(х(41,о) ->Хх,ву,0) жене 

р (х ‘’,х (0’) - > о . Демек, сонгы пзбектш он жагы нелге 

умтылады. Олай болса, lim f(x m ) . Ягни, / ( х ) аталган 

k~¥«S 

жиында уздшлз. Б тракта, бул функция £ жиынында езшш, 

дол жогары жагына жетпейщ. Шынында, £ жиынынын кез 

келген 

х нуктеанде 

Х И—7 X X / 00 1 

Я * ;= I — ^ 

п -1 Я П=1 11= ] Я П-/Л 

Сонымен, Вейерштрасс тсоремасынын орындалуы ушш 

a n u iey iu m KeHicTiKTeri жиыннын туйык жоне шектеул! болуы 

жеткшказ. 

109

II TAPAYFA ЖАТТЫРУ 

1. Кез келген л жэне у накты сандар арасындагы кдшыкгык 

/>(*,>-) = sin2(х-у) деп аныкталган накты сандар жиыны 

елшеушт кещспк бола ма 

2. pl(x,y) = arctg|x-j>| саны накты сандар жиьгаында аныкталган 

кашыктык болатынын дэлелдещздер. Осы кашыктык 

р(х.у) —|jc—_v| кдшыктыгына эквивалента бола ма 

3. р(х,>) саны X жиынында аныкталган кдшыктык болсын. 

Темендеп функциялар 

Р\(х,У) = : Р^Х'У- -, р 2(х,у) = ln|l + р(х,у)| Г* 

1 + Р (х,у) 

p,(x,y) = min{lp(x,y)} 

X жиынында аныкталган кашыктык болатынын 


Егер (Х,р) толык ercmeyiniri кещспк болса, 

(Ar,pi), (Х,р2), (Х,р3) кещспктершщ 

айтуга болады 

толыктыгы туралы не 

4. R накты сандар жиынында аныкталган m = / ( v) функциясы 

бершсш. Кез келген х жэне у сандары арасындагы 

кашыктыкгы, p(x,y) = \f(x)~ f{y)\ формуласы аркылы аныктау 

ушш, аталган функция кдндай шарттарды кднагаттандыруы 

керек Осы функция кдндай шартты кднагатгандырганда 

(Л,р) толык елшеушт кещспк болады 

5. р,(х,у)=\circigx--arctgi\; р2(х,у)=\е'-е'\; р3(х,у)=\х>- / | 

функциялары R накты сандар жиынында кашыктык 

но

болатынын дэлелдещздер. {Яр,), (Яр.), (К,/,) кещстисгершщ 

йшнще толык, елшеушп кещстж бар ма Осы кещспктердщ 

шпндеп толык болмайтын элшеушт кещстжтщ 

толыктауышын сипатганыздар. 

6. S накты сандар пзбектершен туратын жиын болсын: 

1 = {дс | Ц| р Л}. Осы жиынга енетш 

....х.....) жоне у = (у ,,у ,.... у.....) Т1збекгер1 ушш 

" 1+|х„->„| 

деп алайык 

а) р(х,у) -TiH кашыктык болатыньш дэлелдещздер. 

б) ($\р) -ньщ толык елшеуйтт кещстж болатынын 


7. N натурал сандар жиынында 

О, еге/ т - п, 

п + т . егер т * п 

деп алайык. 

а) р(п.т) -нщ кашыктык болатынын дэлелдещздер. 

б) (д^,р) -ньщ толык anineyiiirri кещстж болатынын 


в) кещсппнде б1ршЩ iuiimie 6ipi орналаекдн, 

радиустары нолге умтылмайтын жэне осы шарлардын бэрше 

ортак нукте болмайтын туйык шарлар ттзбепн курыныздар 

(3-параграфтагы 2-iui теоремамен саластырыныздар). 

8. С[а,б] кещепйнщ толыктыгын дэлелдещздер. 

9. V KeHiCTiriHiH толыктыгын дэлелдещздер. 

i l l

10. C:[u,b\ кещетшнщ толык, емеспгш дэлелдещздер. 

11. (*./>,) жоне {х.ру) толык елш еуш т кещстпегер болсын. 

XxY жиынынын (х„у,) жэне (хг,>,) нуктелер! арасындагы 

кдшыктыкты 

P x J (x i>y, ) 1 х: ,у2 ) М у1[р д ( х,. х} ;]■’ + \ р У( у , . у Л 

формуласы аркылы аныктасак, (X*Y,py,r) толык елшеупнтд 

кещспк болады. Дэлелдещздер. 

12. р , жэне р, X жиынында аныкталган взара эквивалента 

кашыктыктар бвлсын. Егер (л\р,) кещст1п твлык бвлса, 

(х.р2) KenicTiri твлык бела ма 

13. А'жиынында аныкталган р, жэне р: кдшыктыктары взара 

эквивалента бвлуы у1* ЛГ-тщ кез келген ,х жэне 

у 

элементтер1нде 

ар,{х,у)< р;(х.у)< Ьр,(ху) 

тецйздтн канагаттандыратын а мен Ь сандарыньщ бар 

болуы ж еткшкт! екенш дэлелдещздер. 

Аталган кашыкгыкгардыц эквиваленттшп ушш бул 

шарттьщ к,ажетгп1 еместйш керсетшйздер. 

14. е = {у = кхг : о | к < з} функциялар жиыны с [ 0 ,/] 

кещет1пшн жинакы жиыны екенш дэлелдещздер. 

Е = \)! = ах'1 +6A-:0

16. Олшеушт кещстиктщ саны шекп немеее саналымды 

жинакы жиындарынын киылысуы жинакы болатынын 


из

III ТАРАУ 

влшеушп к е щ т к т е п жиын елшем1 

Бершген А жиынынын тп елшем1 туралы угым - 

кесшдшщ узындыгы, жазык фигуранын ауданы, кецютпсгеп 

фигуранын келем1, еспел1 функциянын eciMmeci т. с. с. 

тусшжгердщ, белгш 6 ip магынада miuenedi деп аталатын 

жиындар ушш, жалпыланган Typi. 

Бул тараудыц алгашкы параграфтарында 6i3 сызыкты 

жиыннын курылымын саралап, Лебег магынасындагы 

олшемд1 аныктап, кдсиеттерш зерттейм1з. Сонымен катар, 

аталган магынада олшенбсйтш жиындардыц бар болатынын 

керсетемгз. Сонгы парафафтарында жартылай сакинада 

аныкталган жиын олшемшщ Лебег магынасында олшенетш 

жиындар жуйеЫндеп жалгасуын курып, касиеттерш 

зерттейм1з. 

114

§/. Сызыкгпы ашык: жэне туйык жиындардьщ 

курылымы 

Анык/пама. Сызыкты G ашык жиыны бертсш. Егер ui.h) 

аралыгы G -га ен!п, оньщ уштары а мен b осы жиынга 

ruicri болмаса, демек 

(а,Ь ) с G, cieG. beG 

шарттары орындалса. онда (а, />) курушы ары ы к деп аталады. 

Теорема I. Кез келген шсктеул1 G ашык жиыны саны шекп 

немссс саналымды озара киылыспайтын курушы 

аралыктардын 6ipiKTipuiymeH тирады. Демек, G жиыны 

). (

жиынынын дол жогаргы жагын а = supF, деп алсак, ueG 

жоне (fl.A-JcC. Демек, (а.Ь) - курушы аралыкжэне х„е(«./>). 

Ещн, озара тец емес курушы аралыктардын 

киылыспайтынын долслдешк. KepiciHme жорып, озара тец 

емес, 6ipaK та озара киылысатын («,/>) жэне (с, «О курушы 

аралыктары бар деп уйгарайык *0е (a.ft)n(c-,rf) болсьш. Егер 

I x d болса, онда c

Егер CSF = 0 болса, онда F = [*) 

Теорема толык дэлелдещц. 

k 

• 

Q F гтщ курушы аралыктары F жиынынын толыктауыш 

аралыктары деп аталады. 

Ещй сызыкты кемел жиыннын курылымын аньгктайык. 

Кемел жиын - туйык Сондыктан, екшпп теорема кемел 

жиын уипн де орындалады. Кемел жиыннын курылымын 

аныктау уопн, оньщ толыктауыш аралыкгарыньщ кдндай 

косымша шартгы кднагаттандыратынын тапсак жеткшкп. 

Теорема 3. F бос емес шектеул1 туйык жиын жэне s = [«.*] 

осы жиын енетш ен кши кесшда болсын. Осы жагдайда: 

1. F -тщ толыктауыш аралыкгарыньщ ортак уштары F -тщ 

окшауланган нуктелер1 болады; 

2. Егер толыктауыш аралыкгьщ ушы s =[а,л] кесшдюшин 

ушымен туйюсе, онда бул нукте F-TiH окшауланган нуктес1 

болады; 

3. Туйык жиында 1-uii жэне 2-nii пункттерде аталган 

нуктелерден баска окшауланган нукте болмайды. 

Дэлелдеу. 1-uii жэне 2-iui пункттерде аталган нукгелердщ 

окшауланган нуктелер екеш кумэназ. Сондыктан 3-uii 

пунктп двлелдесек жёткишсп. F-Tiaj кез келген х„ 

окшауланган нуктесш алайык Бул нуктенщ F жиынынын 

6ipae - 6ip Hyicreci енбейтш (а.р) аймагы табылады жэне 

(а,хй) мен (х„,/) аралыктары GSF-ке енедь Сондыктан, егер

(а,*0) енетш (/,fi) енетш (Х,ц) толыктауыш 

аралыкгары табылса, онда 8 = х„ = Л болады. Демек, хп 

толыктауыш аралыктардын ортак ушы. Егер (а,х0) бос жиын 

болса, онда а = х„=Я болады, ягни, (А,//) толыктауыш 

аралыгыньщ А ушы s = [o,z>] кес1ндюшщ а ушымен тушсед1, 

ал роЩ| бос жиын болса, (y,S) -нын 5 ушы S-тщ Ь ушымен 

туйюедй 

Теорема долелдещй. 

Кемел жиында окшауланган нуктелер жок Сондыктан, 

кемел жиында 3-ini теореманын 1-mi жэне 2-mi пункттершде 

аталган нуктелер болмайды. Сонымен, 6i3 кемел жиынньщ 

курылымын аныкгайтын темендеп теоремага келем1з. 

Теорема 4. Бос емес шектеул1 кемел жиын кес1нд1 болады, 

немесе белгш 6ip кёсшдщен саны шекп немесе саналымды, 

ортак уштары жок, взара киылыспайтын аралыктарды алып 

тастаганнан кешн калган жиын болады жэне алынып 

тасталынган аралыктардын уштары аталган кесщдшщ 

уштарымен тушспейдг 

Темендеп мысал кемел жиын курылымыныц курделипгш 


Кантордыц Р„ жэне G(l жиындары. U = [0, /] KeciHaiciH - 

аралыгын алып тастайык Кдлган о,- . жэне 

2 

3’ 

118

■ • ■ 7 8 . . _ 

сонгы кесшдш 1 - жене - нуктелер! аркылы), бул 

кесшдшерден ] жене I аралыктарын алып тастайык 

| | 9) !§9; 

Ещц, калган терт кеснвдщщ оркайсысын тен ушке б олт, 

орта аралыктарын алып тастайык (1-сурет). Осы амалды 

ш еказ жалгастырып, и = [ол] кеащйсшен саны саналымды 

ортак уштары жок аралыктардан туратын жиыны алынып 

тасталады. Кдлган Р„ =[0,l]\G 0 жиыны, 

11i-'Щ— ---- fитшшшшштшмшлj-----цхщ---- рчш щ— уннц | 

о — - I I I I j 

9 9 3 3 9 9 

l-iui сурет. 

TopTiHmi теорема бойынша, кемел жиын болады. 

К ! 

9 9 \9 9 

2_ 

27' 27 

1 1 1 1 

■ 27) 

( 1) 

2 аралык 4 аралык 

Бул жиынды келешекте Кантор кемел жиыны деп атаймыз. 

Енщ, осы жиындардын арифметикалык курылымын 

аныктап, Р„ -дщ куатын табайык. Осы максатпен, и = [о,|] 

кесшдасшщ нуктелерш уп тк болшек аркылы жазайык жэне 

уштж болшек аркылы е й турде жазылатын сандар ушш, 

олардын 1 цифрынсыз жазылатын турш сактаймыз. Мысалы, 

1_ Го, 1ООО... 

3 ~ {о, О2 2 2 ... 

санын 0 .0 2 2 2 .. 

туршде жазамыз. Осы келеймнен кешн, 

у п т к болшектер мен [о,1) жарты кесшдп нуктелер1 арасында 

езара 6ip мещп сойкестйс болады. 

119

Адцымен, G0 жиыныныц арифметикалык курылымын 

аныктайык Алгашкы алынып тасталатын 

аралыгыньщ 

нуктелерш уштак белшек аркылы жазганда, оньщ нелден 

кейш п 6ipiHmi цифры 1 болады. Демек, 6ipiHnii кадамда [o.l] 

кесшд1с1шц 6ipiHini yiirriK цифры 1 болатын нуктелер1 

алынып тасталады. Екцлш кадамда алынып тасталатын 

жэне ||> |; | аралыктарыныц нуктелерш у и т к белшек аркылы 

жазганда, екшип орында 1 -цифры турады. Ягни, егашш 

кддамда [од] кесшдюшен нелден кейш п екщпн цифры 1 

болатын нуктелер алынып тасталады т. с. с. 

Сонымен, G„ жиыныныц нукгелер1 у и т к белшек аркылы 

жазылганда 1 цифры бар болатын нуктелерден турады. Олай 

болса, 

Р„ жиыны тек кана 0 мен 2 цифрлары аркылы 

жазылатын нуктелерден турады. Демек, 

Ро = {0.Р| P i - Рп Л =0,2}. 

Ещй Р„ -дщ куатын аныктайык Осы макеатпен, и = [o,i] 

кесшдюшщ нуктелерш екш к болшек аркылы жазамыз: 

U = {0,

Жадпы, одебиетте кез келген бос емес сызыкты кемел 

жиынныц куаты континуум болатыны дэлелденедт Талабы 

бар, зердел1 окушы ©3i тздейш игерер деп ум1гпм1з. 

§2. Сызыкты ашык жэне туйык жиындар влшемг 

Алдымен, сызыкты ашык, жэне туйык жиындардьщ 

олшемш аныктайык. 

Аныктама 1. (u.h) аралыгынын. тшем1 деп, онын 

узындыгын айтамыз_жане ш(а.ь) деп белплейм1з. 

Демек, in{a,h)-h-ci. Элбетте, ;»(«,*)> о . 

Аныктама 2. Бос емес шектеум 

G ашык жиыньтнын 

алптема деп онын курушы аралыкгар елшемдерййц 

косындысын айтамыз да mG деп белшгёйшз. Демек, егер 

° = ’41 болса, онда тв = '£1т(а1,Ьк\ m{at,bl )=hl ~at , боЛЭДЫ. 

к 

Мысалы, Кантордыц ашык G„ жиынынын елшемш, 

бГршгш параграфтагы (1) курылымын ескерт аныктасак, 

тС,о = | + 2 ~ + 22- ^ + ...+2" + = l 

3 5 3 3 1-1 3 

» 

_ . . . / 7 

болады. (Бул катар - Фрщпп Myuieci --ге есел т ..--ге тец 

геометриялык прогрессияныц косындысы). 

Сызыкты ашык жиын елшемше темендеп кдеиеттер тэн:

1: Егер G, ашык, жиыны шектеул1 С, ашык жиынына енсе 

(О, с О',), онда GY-дщ 

боЛМаЙДЫ (inGt

Б1зге кез келген шектеут F туйык жиыны 6epuiciH жэне 

х = [о.а]' осы жиын енетш ен кшл кеснад болсын. F -тщ S -ке 

дейкнп CSF - [o,b]\F толыктауышы ашык жиын (II, §2, 

Теорема5). 

Аныкщама 5.Шсктеул1 F туйык жиынынын елшем1 деп 

самым айтамыз. 

mF = Ь -а - mCsF (2) 

Элбетте, mF>0. Шынында, a e f жэне beF. Сондыктан, 

CSF с (а.Л) . Ягни, Ь- а > mCsF . 

Мысалдар: 1. F = [о.л] болсын. Бул жагдайда 5 = [о,£] жэне 

CSF = 0 . Аныктама бойынша, mF = b -a -m C :.F = b -a 

(mc\F = m0 = о). Сонымен, кесшдцвц ёлшем1 онын 

узындыгына тец. 

2. F туйык жиыны саны шекг1, езара киылыспайтын 

кесшдшердщ 6ipiKripuiyi болсын: 

*■1 

л*

доледценген болатын. Сонымен, олшеш нолге тен Р0 жиыны 

и = [0,1] кесшдкше эквивалентп ! 

Сызыкты туйык жиын елшемше темендеп касиеттер тен: 

1. Егер Ft туйык жиыны шектеулп F, туйык жиынына енсе 

(F,cF2), онда Fr дщ елшем! /\-нщ елшемшен улкен 

болмайды (mFt < mF2) . 

2. Егер F туйык жиыны шектеупй G ашык жиынына енсе 

(FcG), онда F -тщ елшем1 G -ньщ елшемшен артык 

болмайды (mF < тО) . 

Бул кдсиеттердщ теменде келгпршген еалдарыньщ 

орындалуы айкын: 

Салдар 2. Шектеул1 F туйык жиыныньщ елшем1 осы 

жиынга eHeTiH барлык туйык жиындар елшемдершщ дел 

жогаргы жагы: 

m^ = sup{»*^} 

(Ц) 

/•’ " 

Салдар 3. Шектеул1 G ашык жиыныньщ елшем1 осы 

жиынга енетш барлык туйык жиындар елшемдершщ дэл 

жогаргы жагы: 

mG= SUp{"iN} 

(III) 

Kef; 

Салдар 4. Шектеугй F туйык жиыныньщ елшем1 осы жиын 

енетш барлык ашык жиындар влшемдергац дэл теменп 

жагы: 

mF = }nf {mb} 

(IV) 

I'd. 

3. Егер Lueiereyni F туйык жиыны езара киылыспайтын 

Fk, к = 1,2,...,п, туйык жиьшдарыньщ 6ipiicripmyiHeH турса, 

124

онда F -тщ елшеш F жиындары олшемдершщ косындысына 

тен. Демек, егер F = (jFk , Ft Q F, = 0 болса, онда mf = ^ mFt . 

Жаттыгу. Туйык жиын елшемшщ 1-3 касиеттерш жоне 

осы касиетгердщ 2-4 салдарын долелдещздер. 

Бул жаттыгуды мукият орындау 

игеруге жол ашады. 

шектеул1 жиын олшемш 

§3. Лебег магынысында тшенетш шектеул '1 сызыкты 

жиындар 

Е кез келген шектеуш жиын болсын. Осы жиынга енетш 

барлык туйык жиындар жуйес1 3 , ал осы жиын енетш 

барлык ашык жиындар жуйеа М болсын: 

3 = {к : К с к\. М = {/.: /. гэ /•.'}. 

Элбетте, бул жуйелер бос емес. Мысалы 0 е 3 , R e М . 

Осы ж\гйелерге сойкес з. = {mKIх е |§ жоне А/’ = {mG:а е лг} 

сандар жуйеан курайык. 3. сандар жуйеа устшен шектелген, 

сондыктан бул жуйешн дол жогаргы жагы, ал Л/’ сандар 

жуйеа астынан шектелген, сондыктан бул жуйенщ дол 

томенп жагы бар. Сондыктан, темендеп аныктамалар 

орынды. 

Аныктама J. Шектеуш Е сызыкты жиынынын iiuKi влшет 

деп, Е жиынына енетш барлык туйык жиындар 

олшемдершщ дол жогаргы жагын айтамыз да, т.Е деп 

белгигейм1з: 

'".£ = Sup{»»N} (1) 

кса: 

125

Аныктама 2. Шектеул1 Е сызыкты жиыныньщ сырткты 

влшеж деп, 

Е жиыны енетш барлык ашык жиындар 

елшемдершщ дэл теменп жагын айтамыз да, 

белгйтеймАз: 

Аныктама 3. Егер шектеул1 

т’Е деп 

т*Е = inf \mL\ () 

/ щ 1 ' ' 

Е сызыкты жиынынын iund 

елшем1 онын сырткы елшемше тен болса, онда Е Лебег 

магынасында влшенетт жиын деп аталады да осы 

елшемдердщ ортак мэш £-нщ елшем1 делшед1 жэне тЕ деп 

белгшенедт Демек, егер т,Е = т'Е болса, онда Е Лебег 

магынасында елшенед1 жэне т Е- т.Е = т'Е болады. 

Екший параграфтагы (I) тещйгшен, mG = m'G, (II) 

тещйгшен, mF = m.F, (III) тещйгшен, mG = m.G жэне (IV) 

тещйгшен, mF = m’F. Осы тещйктерд! езара салысгырып 

mG - m G - m.G жэне mF = m,F = m'F екенш KepeMi3. 

Сондыктан, аныктама бойынша, кез келген шектеул1 ашык 

жэне туйык жиындар Лебег магынасында елшенедг 

Ебвд irnid жэне сырткы елшемдер мен Лебег магынасында 

елшенетш сызыкты жиын eлшcмiнiн кдсиеттерше 

токталайык 

1шю жэне сырткы елшемдерге темендеп кдсиеттер тон: 

1. Кез келген шектеуш Е жиыны ушш 

т.Е IIт'Е. 

2. Егер А жене В ineicreyni жиындар болып, А с. В, онда 

т,Л

3. Егер uieKTeyni Е жиыны саны шекп немесе саналымды 

F. жиындарынын 6ipiJcripmyipeH турса, онда £-н щ сырткы 

! олш ет осы жиындардьщ сырткы елшемдершщ 

косындысынан артык болмайды. Демек, егер £ = (JEt болса, 

к 

т'Ей'£т'Е1 болады. 

4. Егер шектеугп Е жиыны саны шекп немесе саналымды, 

езара киылыспайтын Ек жиындарынын бфйш рйрнен турса, 

онда /Г-нщ iuiKi ел ш ет £, жиындарынын 

елшемдершщ 

косындысынан кем болмайды. Демек, егер £' - (J Е„ , 

Е.С^Е, = 0 болса, ш.£>]Гм,е4 болады. 

Жаттыгу. Жогарьща аталган 1-4 кдеиеттерд! дэлелдещздер. 

Осы аркылы iiiiKi жоне сырткы олшемдер туралы угымды 

nrepreHJicpiHi3fli тексереаздер. 

Теорема 1. Егер йгекгеул! Е жиыны д = (л. в) аралыгында 

жатса, онда 

т'Е + ш.[СлЕ]= гоД (3) 

Дэлелдеу. Кез келген с > 0 саны ушш, туйык Е жиынын 

темендеп шарттар орындалатындай етш аныктайык: 

F с СЛЕ 

жоне mF > ш,[сле]-£. 

1шк1 елшемнщ аныктамасы бойынша, мундай туйык жиын 

табылады. Элбетте, С ,£ ашык жиын жоне Е с С ,/’. 

гСондыктан, 

Демек, 

т' Е < л)[с 'л /•'] = тД - тЕ < тД - т . [Сл £]+е 

т’ Е + т. [С л Е\ = т Д + £ 

127

с кез келген аз шама болгандыктан, 

m‘E + m.[CsF]im&. (4) 

Еид1 (4) теназдйте Kepi тецдодйт дэлелдешк. Осы 

максатпсн, о 0 саны ушш. ашык G„ жиынын томендеп 

шарттар орындалатындай етш аныктайьпс Guz> Е 

жэне 

, „ е 

«»(/,, < Щft + —. 

3 

Сырткы олшемнщ аныкгамасы бойынша, мундаи жиын 

табылады. Ешй, Л аралыгында жаткан (а,Ь) аралыгын 

\ffiA. (5) 

(4) жоне (5) тецс1зднсгер1 (3) щендшн растайды. Теорема 

долёяденд!. 

(3) тендтндеп СЛЕ жоне Е жиьпадарьга озара 

алмастырып, 

т'Е + т,[СлЕ]=тА. (6) 

128

тецадгше келеиш. (3) жэне (6) тенджтершен, 

т 'Е -т .Е = лГ[Сд£]-м.[С4£]. (7) 

болатынын керешз. Бул тенджтен вте мацызды темендеп 

салдар туындайды. 

Салдар. Егер Е жиыны д = (л.в) аралыгында жатса, онда Е 

жэне С,£ жиындары 6ipre елшенед1 немеее eKeyi де 

олшенбеЩц. 

Лебег магынасында елшенетш сызыкты жиындарга 

темендеп кдеиеттер тен: 

1. Егер шектеул1 Е жиыны саны шеюч немеее саналымды, 

елшенетш жэне езара киылыспайтын £, жиындарынын 

6ipiKTipmymeH турса, онда Е жиыны елшенед1 жоне онын 

елшем! Ек жиындары елшемдершщ косындысына тец. 

Демек, егер 

E = [jEk, ЕкПЕ,=0 

к 

Ы1 

болса, онда тЕ- • 

Бул касиет Лебег елшемшщ толык addUmuemuiiei ден 


2. Егер щектеул! Е жиыны саны шеки немеее саналымды 

елшенетгн жиындардьщ 6ipiicripuryi болса, онда Е елшенед!. 

3. Саны шекп немеее саналымды, елшенетш жиындардьщ 

киылысуы елшенетш жиын. 

4. влшенетш жиындардын айырымы елшенетш жиын. 

Егер олшенетш Е, жиыны елшенетш Е, жиынына 

енсе, онда т(Е: \ £,) = тЕ, - тЕ, . 

129

Аталган кдсиеттер жецш дэлелденедг Мысалы Лебег 

елшемшщ толык аддитивтшп 

Y*mEt=Y.m'Ek ^rn^Srn- E

тЕ = lim тЕ„ . 

Дэлелдеу. Е, жиыны А аралыгында жатсын. Элбетте, 

С\ Е, с С ,£ , с ... с С\Е„ с...; с л£ = у с л£* . 

*-1 

С Д , жиындары елшенед1 жоне озара киылыспайды. 

Сондыктан, еганий теорема бойынша, 

Ягни, 

Демек, 

Теорема доделдещй. 

да[Сл Я] = lim т[Сд£„]. 

т Д - тЕ - Нт(;«Д —от£„). 

тЕ = lim тЕ„ . 

Жогарыда 6is кез келген шектеуш ашык жоне туйык 

жиындардын Лебег магынасында олшенетшше кез жстиздж. 

Жиын олшемшщ 2-4 кдсиеттер1 бойынша, кез келген 

шектеул1 Fa типтес, Gf типтес жоне В -жиыны елшенсдг 

Осымен катар, кез келген шектеуги саналымды жиын 

елшенедг Шынында, Е саналымды болсын. Онын 

элементтерш нещрлеп 

Е = {х,.х3-..,х,.....} = U k } 

«*1 

туршде жазсак, 6ipuuui кдсиет бойынша, яг£=^дг{х„}=о. (Bip 

нуктеден туратын жиынньщ олшсм1 нелге тец!) 

Ендо Лебег магынасында олшенетш жиындардан туратын 

жуйенщ куатьш аныкгайык. 

131

Теорема 4. Лебег магынасында елшенетш барлык 

жиындардан туратын жуйенщ куаты гиперконтинуум болады. 

Дэлелдеу. Лебег магынасында олшенетш жиындар жуйеа 

М болсын. Элбетте, М накты сандар жиынынын барлык 

iniKi жиындарынан туратын жуйеге енедг Сондыктан м 2' тецаздшне келещзл Олай болса, м= 2‘ . Теорема 


Сонымен, 6i3 Лебег магынасында елшенетш жиындардьщ 

улангайыр мол екендтне кез жеткшйк. Ендш меселе осы 

магынада елшенбейтш жиындардын бар болатынын 

дэлелдеу. 

Аныктама 4. Накты сандар есшщ езше e3i бейнелену1 (х) 

болсын. Егер кез келген зс жэне у нуктелepi ушш 

\(р{х)-(р{у)\ = \ х - у \ . 

тендш орындалса, онда

Аныктама 5. Егер А жиынын В жиынына бейнелейтш 

козгалыс бар болса, онда бул жиындар конгруэнттг деп 


Элбетте, конгруэнтп жиындардьщ iiUKi жэне сырткы 

епжемдер! тен болады жэне Лебег магынасында елшенетш 

жиынга конгруэнтп жиын осы магынада олшенед1 де 

елшемдер1 тен болады. 

Лебег магынасында елшенбейтш жиыннын мысалы. 

кейцщ йнщ нуктелерш, у - . \ айырымы раиионал 

сан болганда гана .v пен у 6ip класта жататындай CTin 

ж1ктейж. Демек, егер х нуктей К(х) класына енсе, онда бул 

f i l l . . . . ~ 

класс l~ 2 *2j кес1НД1С1Н1И >’=л'+г, reQ, тур1нде ернсктслстш 

нуктелершен турады. Ягни, 

Бул жиынды .v-тен туындайтын класс деп атаймыз. 

Алдымен, тен болмайтын (жиындар тевдтнщ 

магынасында) кластардын езара киылыспайтынын 

керсетёйш. Шынында, Kepicimue жорып, озара киылысатын 

тен емес кластар бар дёшк, демек, к(х,)*К(х2) жэне 

A.(.v,)n А.(х: ) * 0 шартгарын кднагаттандыратын АГ(.-с,) жэне 

А(х,) кластары бар болсын. Егер уе К(х,)п К (х,), онда 

г = л, + г. жэне у = л\ + г, тен дтн кднагаттандьфатын г, жоне 

г раиионал сандары табылады. Ягни, 

.у, + г, = .V, + г. (8)

тснД1П орындалады. 

К(х, ) жиынынын кез келген и - х, + г, нуктесш алайык- (8) 

тендш бойынша, и=jc, + (л -/•, + г,)=х2+ г4 туршде орнектелед1. 

Сондыктан, ие . Олай болса, 

А'(д:,)с К(х;) (9) 

Дол осылай. 

A(Xj) с A'(.v,) 

(Ю) 

болатынын долелдейм1з. (9) жэне (10) катынастарынан 

А(х,)= А(л,) . 

Бул тетадк б1здщ жорамалымызга кайшы. Демек, озара тен 

болмайтын кластар киылыспайды. 

Эр кластан 6ip нукгеден алып, А жиынын курайык. 

Мысалы, К(х) класынан осы класты туындататын \ 

элсментш ал у га болады. А жиынынын Лебег магынасында 

олшенбейтшш дэледдешк. Осы максатпен, [-1.1] 

кесждкчнщ барлык рационал нуктелерш ном!рлеп алайык: 

Енд1, 0 болатынын двлелдей!к. Осы максатпен, 

134

Шынында, егер у е 

- J болса, онда осы нукте енетш К(х) 

класы табылады. Олай болса у - х рационал сан жэне бул сан 

f-u] кесшд1сшде жатады. Демек, у - x= rk, немеее y = x + r t 

' е (J Д . Ал, у аталган кесшдшщ кез 

k-ti 

келген HyKTeci. Сондыктан 

Сырткы олшемнщ касиета бойынша (З-uii касиет), 

1-т 1 1 

У *> 

Бул тецазджтен р - т А > 0 екенш керем1з. 

Ешй, а - 0 болатынын долелдешк. Шынында, кез келген 

А. жиыны 

3 3 

2 2 

кесшдклне енедк Сондыктан, 

3 = т. 

О Акс 

i=0 * 

3 3 ’ ' « 

2 2 

> т. и А. 

i-0 * 

3 3 

,1 жиындарынын езара киылыспайтынын жогарыда айттык. 

’ 9 

Гшк! елшемнщ кдеиет! бойынша (4-uii касиет), 

>£т.Л.. 

к-О 

Бул тецшдцеген, а + а + а + ...

келген Лебег магынасында олшснетш, ол‘шем1 нелден улкен 

Е жиынын алып, жогарыда келйршген тесиш сезбе-сез 

кайталап, Е жиынынын елшенбейтш in n d жиынын куруга 

болады. Мунан 6 i3 темендеп корытындыга келемгз: Лебег 

магынасында елшенетт, елшемг нелден улкен кез келген 

жиыннын, осы магынада елшенбейтш imxi жиыны болады. 

Параграф сонында, сызыкты жиын елшем1мен байланысты 

Ken6ip 

мэселелерге токтала кетешк. Лебег магынасында 

олшенбейтш жиыннын бар болуы, Лебегтщ жиын олшемш 

аныктау тосшшщ “элаздптн” корсете дь Жиыннын Лебег 

олшемшщ аныктамасын саралап карасак, бул олшем непзп 

уш талапты канагаттандыруы керек. Олар: 

1. [ол] кес1ндюшщ олшем1 6 ip r e тен (w[o,i] = i ); 

2. 0зара конгруэнт А жоне В жиындарынын Лебег 

елшемдер1 тен болады (тАЩтв ); 

3. Егер Е саны ш ек п нем есе саналымды озара 

киылыспайтын Ек жиы ндарынын 6ipiKTipuiyiHeH турса, онда 

тЕ = Л тЕк (олш ем нщ толык а дди ти в т ш п ). 

к 

Осымен байланысты, темендеп сауал орынды: кез келген 

шектеуш Е жиынына, осы жиыннын олшем1 деп аталатын 

рЕ санын, жогарьшагы уш тал ап орындалатындай етш 

сэйкестешпруге бола ма Мундай сейкеспктщ болмайтьгаьш 

темендеп мысал долелдейда. 

Лебег магынасында,, елшенбейтш А жиынын жоне осы 

жиынга конгруэнтп озара киылыспайтын А,, = А, А,, А,....А„... 

жиындарын алайык- А - шектеул1 жиын. Егер осы жиынга 

136

жогарыда аталган уш шартты канагаттандыратын // 

елшеш 

бар болса, онда 

цА = цА, = fiA: = ...= }±АК - . . . - а 

жэне 

\_ 

9 ’ 9 c u l c А'^0 

3 3 

9 ■9 

кдтынасы жэне, ушшип шарт бойынша, 

3 3 

2 ’ 2 

тенс13Д1Г1 орындалар ед1. 

Г £ 

2 ’ 2 

Keciwuci [о, i] кесшщсше 

конгруэнтп, сондыктан р 

Т Г 

9 ' *> 

Ал, 

3 3 

">’ 9 

-шектеул! 

жиын болгандыктан, ц 

тенс13Д1к 

3 3 

2" 2 

< +оо. Олай болса, сощы 

7 < а + а + ...+ аг + ...< -но 

тур1нде жазылады. Бул тец ш зд о к а -нщ 6ipae 6ip мэшнде 

орындалмайды. Демек, аталган уш шартты 

кднагаттандыратын А жиынынын м ел ш ем 1 жок Сонымен, 

аталган уш шартты сактап, жиыннын Лебег елшсмш 

“жаксартуга” болмайды. 

Ещц сызыкты жиын е л ш е м ш а н ы к т а у д ы н баскадай 

тесшдершш 6ipine токталайык 

F(i) - накты сандар еанде аныкталган е с п е т , уздйсаз 

функция болсын. Накты естац кез келген (а. а) а р а л ы г ы н ь щ 

елшемш 

fi(a,h) шF(h) - F(a + 0) 

137

деп аныктайык, (Кесщдшщ, жартылай кеандшердщ 

олшемдер1 осыган уксас аныкталады. Мысалы, 

Аа [a. b)=F(b)-F(a) 

болады). Элбетте, р, (а,Ь)> о жоне адцитивй. Аралыктын осы 

елшемш непзге алып, кез келген шектеуш ашык жоне туйык 

жиындардын опшемш аныктаймыз. Осы параграфта 

келпршген тосшмен, ашык жоне туйык жиындардын 

олшемдер1 аркылы шектеуш Е жиыныныц ^ (Е) олшемше 

келем1з. Элбетте, саны шёШ немесе саналымды ц г 

магынасында олшенетш жиындардын 6ipiicripmyi, -киылысуы 

осы магынада олшенетш жиындар болады. Осымен катар, Fa 

типтес, Gs типтес жоне 5-жиындары цт магынасында 

олшенед1. F(t) функциясы аркылы аныкталган /иг олшем1 

Лебег — Стилтьес елшеди_деп аталады. Егер F(t) = / болса, 

онда Лебег —Стилтьес олшем1 Лебег олшемше айналады. 

Егер Лебег елшем1 нолге тец болатын кез келген жиынньщ 

/jf олшем1 де нолге тец болса, онда бул олшем абсолют 

уздйсаз деп аталады. Егер /iF олшем! саны шекп немесе 

саналымды нуктелерде жинакталса, онда бул олшем 

ducicpemmi деп аталады. Бул жагдай F(t) функциясьшыц 

озгеру облысы шекп немесе саналымды болганда 

орындалады. Егер 6ip нуктеден туратын кез келген жиыннын 

Мг олшем1 нолге тец болса, жоне толыктауышыньщ ц г 

елшем1 нолге тец болатын Лебег олшем1 нолге тец М жиыны 

бар болса, онда бул олшем сингулярлы деп аталады. 

138

Б в сызыкты жиыннын Лебег магынасындагы елшемш 

аныктап, кдсиеттерш зертгедак жэне осы магынада едшенетш 

сызыкты жиындар жуйШн талдадык. Ендш максат - жиын 

елшемй туралы угымды аясы мумкшшйштнше кен жиындар 

жуйесшде етт зщ , онын жалпы TypiH 

параграфтар осы мэселелерге арналган. 

аныкгау. Томендеп 

§4 Жиындар жуйеЫ. Жиындар жуйестдег* 

жиын влшем1 

Элементтер1 эз кезегшде жиын болатын кез келген 

жиынды жиындар жуйес! дсп атаймыз. Бгздщ максат - мэю 

бершген жиындар ж уйейндеп жиыннын елшем1 болатын, 

осы жуйеде аныкталган функоияны куру. Кез келген жуйеде 

аныкталган кез келген функция мондер1, олбетте, олшемгс 

койылатын талаптарды канагаттандыра алмаиды. Сондыктан, 

элементтершщ олшемш аныктауга болатын жиындар 

жуйёсще жэне осы жуйеде аныкталган, мэндер1 олшем 

болатын функцияга койылатын талаптарды аныктау - осы 

иараграфтыц непзп максаты. 

Аныктама /. Егер бос емес SR жиындар жуйесщщ кез 

келген А жэне В элементтер1 ушш AABeW жэне Л п в е'Л 

галаптары орындалса, онда бул жуйе сакина деп аталады. 

Элбетте, кез келген А жоне В жиындары ушш 

= (лдд)д(лп£) жоне а \ в = а&(ао в) TeiiaiKTepi орындалады 

(дэлелдешздер!). Сондыктан, жиындар сакинасы — 6ipiKTipy, 

киылысу, айырым жоне симметриялык айырым амалдарына 

катыеты туйык жуйе. Осымсн кдтар, жиындар сакинасы саны 

139

LUCKTi 6ipiKTipy жоне киылысу амалдарына 

кдтысты туйык 

жуйс. Демек, егер {лк с 91 болса, онда а = и л. жэне 

в f]At жиындары 91 сакинасына енед1. 

кт\ 

/41/4=0 болгандыкган бос жиын кез келген жиындар 

сакинасына енедг Тек кана бос жиыннан туратын жуйе ен 

Kimi жиындар сакинасы болады. 

Аныктама 2. 

М жиындар жуйее1 беригсш. Егер осы 

жуйенщ кез келген А элеменй ушш, А п Е = А болатын М 

^к-уй©сшщ Е элемент! бар болса, онда Е осы жуйенщ Stpaiei 


Аныктама 3. bipfliri бар жиындар сакинасы жиындар 

алгебрасы деп аталады. 

Мысалдар. 1. Кез келген 

А жиыныньщ барлык iund 

жиындар жуйеа М(А) - 6ipniri А болатын жиындар 

алгебрасы (тексершдздер). 

2. Кез келген бос емес А жиыны мен бос жиыннан 

туратын {А,0 } жуйеа, б1рлт А болатын жиындар алгебрасы 

(тексерщ1здер). 

3. Сандар eciHiH nracreyni жиындарынан туратын жуйе - 

б!рлт жок сакина (тексершдздер). 

Теорема 7. Егер {'•)„ }„6, кез келген сакиналар жуйеа болса, 

онда 9 = п 91 а жиьщдар сакинасы болады. 

Дэлелдеу. Шынында, егер А мен В 9 жуйесшщ 

элементгер! болса, онда барлык a eJ ушш ААВ мен АслВ 

140

жиындары tRe -га енед1. Сондыктан, бул жиындар 

жуйесшде жатады. 

Теорема дэлелдендй 

Теорема 2. Кез келген бос емес М жиындар ж уйеа енетш 

жэне, ез кезепнде, осы жуйе ium жиыны болатын кез келген 

жиындар сакинасында жататын, 6ipfleH-6ip з(м) сакинасы 

бар болады. 

Дэлелдеу. Шынында, X = и деп алайык. т(х) - осы 

■1сЛ/ 

жиыннын барлык iiiiKi жиындарынан туратын жиындар 

са*аднасы болсын

Щ= u./i* (A, - б1рй сп рудщ G ipim ni M yiiieci, 

ж у й е с ш щ е з а р а к и ы л ы с п а й т ы н эл см ен ттер О т у р ш д е 

ж н стелсе, о н д а М ж уйес! жартылай си кина д е п атал ады . 

в з а р а к и ы л ы с п а й т ы н Аг А ,,.... Д, ж и ы н д а р ы н ы н 6ipiicTipLnyi 

А б о л с а м = и л,. J , о н д а бул 6ip i* m p y ai А ж и ы н ы н ы н шек/ni 

ж 'ттелу1 деп айтамыз. 

Элбетте, кез келген 5Н жиындар сакинасы жартылай сакина 

болады. Шынында, бос жиын 5R-re Tmcri жэне сакина 

киылысу амалына -кдтысты туйык Осымен катар, А

аныктамасы ретчиде орындалады. Айталык, п = т щ ин касиет 

орындалсын. Касиеттщ шарттарын канагаттандыратын 

А,. А;,..., Amtl жиындарын карастырайык. Б1здщ жорамалымыз 


А = A, и А 2 и...иЛ „ иВ, U ...U 5, . 

Енд1, = te ; о я,, деп алайык, я = 1,2. р . Жартылай 

сакинанын аныктамасы бойынша, я, * S,, и...ивч, туртде 

шекп ж1ктелед1 жоне вда., у = 1,2....,г , жиындары М жарты 

сакинасына ёзаедГ. Элбетте, л.-ufl. . Сондыктан, 

„и «' 

тендш орындалады. Касиет долелдещц. 

2-Kflcuem. М жартылай сакинасына енетщ кандай да 

болмасын А,. А,.... Аи meicri жиындар жуйес! ушш М -нщ 

озара киылыспайтын В,, В,,...,В шекп 

жуйесш op6ip At 

жиыны ушш осы жуйенщ Хранен алынган В , s e J к ( Jk - 

индекстер жиыны), жиындарын 

Ак = vj В /, к = 1 .2..... п, 

seJl 

тендт орындалатындай етш табуга болады. 

Дэлелдеу. п = 1 болганда, касиеттщ орындалуы айкын. 

Шынында, бул жагдайда / = 1 жоне А, = В, деп алсак 

жетюлисп. Енда, п -т болганда касиет орындалады деЩк те 

М -ге енетш Аг А,.... Ат, А,П1, жиындар жуйесш карастырайык. 

болсын. 1-касиет бойынша. 

B.sl = Ащ+ jn B s, s-1 ,2 ,....I. 

143

A„nl = u S (lu и B„ , B„ с Л/, 

v-l л-1 /• Г >’ 

туршде. лцктелед1, ал жартылай сакинанын аныктамасы 


В, = jB(| О В,J и ... и В„ , Ву е М, j = 1,2,..., /,. 

Ал, барльщ Ак,/с= 1,2,...,т, жиындары ушш 

теццш орындалады жэне Bsj мен Вр жиындары езара 

киылыспайды. К,асиет дэлелдецдт 

Енд! М жартылай сакинаеынан туындайтын сакинанын 

курылымына токтала кетешк. 

Теорема 3. Егер М - жартылай сакина болса, онда М 

енетш ен кшп w(jw) сакинасы, кез келген А элементшщ 

meicri ж1ктелу1 бар болатын, L жиындар жуйесше тец болады. 

Дэлелдеу. Алдымен, L жуйесшщ сакина болатынын 

дэлелдейж. Шынында, егер А мен В L жуйесшщ кез келген 

элементтер1 болса, онда 

Л = и Ак, At е М, 

ЯШЖЫ щ ш ш т А,еМ, 

Si 1 ' > 

М жартылай сакина болгандыкган 

c tl = а п в t 

j i (• ‘f,'. < 

М -нщ элемент! жэне 1-mi касиет бойынша, 

Ш.еМ. 

туршде жцстеледК Сонгы тецщктен. 

144

Л п В =

Егер М кандай да болмасын 6ip жиындар жуйей болса. 

онда осы жуйе енетш ен кемщде 6ip

Сонымен, 6i3 келешекге элементтершщ елшемш аныктауга 

болатын жиындар жуйесш кзрастырып, кдсиеттерш зерттедш. 

!Ол жуйе - жартылай сатина жэне жартылай сакднанын 

дербес турлерг сакина мен а -алгебра± Ецщ, жиындар 

функциясы туралы тусшис ёнпзпт' сол аркылы жиыннын 

I елшемш аныктауга кешем1з. 

Аныктама 7. Аныкталу облысы жиындар жуйес! болатын 

функциями жиындар функциясы деп атаймыз. 

Аныктама 8. Егер р(а) жиьшдар функциясынын: 

1°. аныкталу облысы Mfl жартылай сакинасы болса; 

2°. мэндер1 Tepic емес накты сандар болса; 

з°. М - аддитивтт функция болса, демек, М0 -деп Л 

( жиынынын кез келген ||1 щт ( 4 -озара киылыспайтын Ми 

/I 

| элементгер!) ШщЩ жктелуг щйн /Дл)= ТДл») тенддп 

А-1 

t орындалса, онда //(л) функциясы тилем деп аталады, ал 

[ функцияныц А элементшдеп мэш осы жиыннын muieMi 

I делщеда. 

Мц символындагы р индекс! Ми жартылай сакинасындагы 

елшемнщ р деп белпленгенднш керсетедь Мысалы, 

жартылай сакина М,„ болса, осы сакинадагы елшемнщ т деп 

белпленгещйп. 

Bi3 екштш параграфта [а. а] кеандшершен, (а.ь) 

аралыктарынан жэне [а. ь). (в, л] жарты кесшдшёршён туратын 

жартылай сакинада елшем туралы угып енпзш, осы елшем 

аркылы кез келген шектеуш ашык жэне туйык жиындардьщ 

147

елшемдерш аныктадык. 0з кезепнде, ашык жэне туйык 

жиындардыц елшемдер1 аркылы жиынньщ Лебег 

магынасындагы елшем1 туралы угым енпздж. Осы логикалык 

сулбеш (схеманы) сактап, жартылай сакинадага жиындар 

елшем1 аркылы курамы курдел1 жиындардын елшемш 

аныктаймыз. Мундай елшемщ жартылай сакцнада 

аныкталган елшемнщ жалгасуы ретщде кдрастырамыз. 

Аныктама 9. Егер Мтжиындар жуйеа Мц жуйесше енсе 

§м,„ с ^ ) жэне 

Л/,-нщ op6ip А элеменпнде 

ju {A )= J ti(A ) 

тендш орындалса, онда /л елшем1 т олшемшщ Л/, 

жуиеандеп жалгасуыяеп аталады. .

Л = u С';, С, € Мт, С, пС, = 0, егер А:*/, 

А жиыныныц баскд ж1ктелу1 болсын. Жартылай сакинанын 

аныктамасы бойынша, в„пС ,е мт жэне 

Я ш )= Z S ъ ф ± т{с,} 

к I к = \/=] /-1 кшI /.( 

ш'(л)-ныц А жиынынын (1) ж1кгелушен тэуелшдда 


(2) тендш аркылы аныкталган «'(л) жалгасуынын Tepic сан 

eMecTiri жэне аддитивтшш айкын. Сонымен, т елшемшщ 

'Л (мт) сакинасында т' жалгасуыньщ бар болатыны 

дэлелденш. 

Ещй жалгасудьщ б1рден-б1рл1гш дэлелдешк. Шынында, т 

елшем1 т -н щ 'л(м,„) сакинасындагы баскд жалгасуы болсын. 

Олшем аддитивп. Сондыктан, ж(м„) сакинасыныи кез 

келген А элементшщ (1) жжтеЛу1 ушш 

т {л) = '^ т {В к) = т'(А) 

ш 

тендш орындалады. Демек, т элшем1 (2) тещцп бойынша 

аныкталган т' елшемше тец. 

Теорема дэледдендг 

Щз сакинадагы элшемда, жартылай сакинада аныкталган 

жиын елшемшщ жалгасуы ретшде аныктадык- Шын мэнгнде, 

6i3 жартылай сакина болатын кёсщщ, аралык жэне жарты 

кесшдшер жиынында аныкталган елшем аркылы, жиын 

сакинасы болатын ашык жэне туйык жиындар жуйесшдеп 

олшемд1 аныктау жолын кдйталадык 

149

Енуй, жиындар сакинасындагы олшемнщ касиеттерше 

токталайык,. 

Теорема 6. Айталык, 

жиындар сакинасында аныкталган 

олшем т жэне Д , Д , Д осы сакинаньщ элементтер1 

болсын. Бул жагдайда: 1. егер Ак озара киылыспайтын 

п » 

жиындар жуйеы болып, иАксЛ болса, онда ]Гт(Ак)л болса (лк,к = 1,2...п, озара киылысуыда 

к-1 

мумкш), онда 

■■ - * я 

Дэлелдеу. А = и Ак и 

п 

т(ль)- тЛ болады. 

fgj 

А \и Ак 

т 

тендшнен 

д а (Л )= ^ т (Л * )+ /п ^ Л \и Akj . 

0лшем T e p i c болмайтын сан. Сондыктан, соцгы тендйстен 

B i p i H n i i кдсиет долелдендг 

1 ШМ 

Екшпп касиетп долелдеййс. эт,„ сакинасыньщ А, жоне А, 

элементтер1 y u i i H 

т(А, и А2)= т(А,)+ т(А2)~ т(А1пА2)$т(Л1)+ т(А21 

Енда, 'Л,„-нщ Д, Д,...,Д_( элементтер1 ушш т ЩА. 

ы * 

тецс!ЗД1Г1 орындалады деп есептеп жоне 

болгандыктан 

if« §i Г/М 

г и A 1< т иА . 

V*'1 ) А=1 * +Щ s T «л* 1 т д ,= Y mAk- (3) 

и а„ = «-I 

и Д. 

*-| * и / , 

150

теназдтне келелт. Ал, / с &лк , сондыктан, 

_ О А. \ и АЛА 

к=\ ■ Ы - 

т ен д т орындалады (тексерацздер). Евцц, 

(3) теназдггш ескерш, 

ф|)=/ и ! ШшШ 

теназдтне келешз. 

Теорема толык дэлелденд1. 

Ескерту. Сонгы теоремада елшемнщ касиеттер1 сакинада 

долелдещц. Ал, жартылай сакинада аныкталган елшемнщ 

осы жартьшай сакина енетш минималды сакинага жалгасуы, 

жартылай сакинадагы елшемд1 сактайды. Сондыктан, сонгы 

теорема жартьшай сакинада да орындалады. 

Bi3 тек аддитишт елшемд1 карастырдык Ешй, елшемге 

койылатын талап децгейщ жогарылатын, сг -аддитшш 

ешцемдерда саралайык 

Аныктама 10. Егер т елшемшщ Мт аныкталу облысына 

енетш жоне 

А — 

Ап, А, п Аг егер i*j, 

шартгарын канагаттандыратын кез келген А,, А,.....Ап... 

жиындары ушш 

/и(л)=£ет(л„) 

Я-1 

тендйт орындалса, онда т елшема толык addumuemi деп 

аталады (сандар есшдёи Лебег магынасындагы елшемнщ 1- 

Щ1 каейётше кара, §3). 

151

тенд1ктер1 орындалады (текс ерщздер). т влтем! i 

жартылай сакинасында сг -аддитивл'. Сондыктан, 

mU)=z[Zm(c»jl (4) 

М Пн J 

m ( B J = ' Z m (C n ,j) ( 5 ) 

/=1 

m елшемшщ эт(л/„) сакинасында гы жалгасуынын 

аныкгамасы бойынша, 

/=| 

/*1 

. (7) 

(4) - (7) тещцктершен //(л)=£р(вп) Теорема дэлелденд1. 

Щ 

Ещц, а -аддитивт! елшемнщ непзп кзсиетгерше 

токталайык (6-шы теоремага кара). 

Теорема 8. m олшем1

^Г|й(Л4)< т(л) 

тецсщщ орындалады. Ещц, п санын шекшдакке 

умтылдырып, 1-mi тужырымды дэлелдейм1з. 

2-iui тужырымды делелдейж. 91 жиындар сакинасы 

болгандыкган, 

В, = (Л п Л)\ и Ак 

жиындары 91-ге енеда, езара киылыспайды, n -нщ барлык 

меццерщде Впс А„ жене А= и5„ болады (дэлелдещздер). 

Сондыктан, 

Теорема долелдещц. 

т(А)- ^.т(Вп)< У т(Ап) 

*•) 

Сонгы теоремада делелденген елшемнщ саналымды 

жартылай аддитивтивп, онын о- -адлитивтшпмен 

эквивалента. Шынында, М жартылай сакинасында 

аныкталган елшем // болсын. М-н'т езара киылспайтын 

A,. Aj....Ж .. элементтер1 мен А жиыны ушш 

А — Af. 

*=/ * 

тендт орындалсын. Теореманын 6ipuuui тужырымы 


Элбетте, и А1. з А. Сондыктан, егер ц саналымды жартылай 

аддитив-п болса, онда 

(8) 

155

*=| 

тецс1здш орындалады (8-mi теореманын 2-mi пункт). (8) | 

жоне (9) тенс1зд1ктершен 

ju(a)= Uju(At ) 

Л "I 

екенш керем1з. Демек, ц олшем! а -аддитивтг 

влшемнщ ег -адцитивтшгш тексеруден оньщ саналымды 

жартылай адцитивтшпн тексеру утымды екенш естерщ1зге 

сактацыздар. 

(9) 

§5. Олшемнщ Лебег магынасында жалгасуы 

Алдыцгы параграфта 6i3 мт жартылай сакинасьшда 

аныкталган т олшемшщ чя{м„) сакинасындагы жалгасуьш 

курдык жоне бул жалгасудьщ бipдeн-бipлiгiн долелдедйс. Егер 

т олшем! аддитивп болса, онда олшемнщ жалгасу жуйеа, 

белгш магьгаада, щ м т) сакинасымен шекгеледг Егер т а - 

адпитиви олшем болса, онда 6i3 бул олшемнщ жалгасу 

жуйеа ЩМ,„) сакинасы мен жартылай сакинада аныкталган 

сг -аддитивп олщемщщ жалгасуын курумен шекгелем1з. 

Сонымен, т - бйрйщ Е болатын м„, жартылай сакинада 

аныкталган а -аддитивп олшем болсын. Е б1рлшнщ innd 

жиындарынан курылган жуйеш Т деп, ал осы жуйенщ 

элементтерш А деп белгшешк, демек, Т = {a . a

немеее саналымды {В„}п элементгер жуйеа з А болсын: 

Аныкщама!. А жиынынын сырткы тшем! деп, 

д (4) = inf {В„}„е34 (1) 

санын айтамыз. 

Сырткы елшемнш касиеттерше токгалайык 

Теорема1. (саналымды жартылай аддитивтипк). Егер 

Т жуйесщдеп А жиынын, осы жуйедеп саны шекп немеее 

саналымды {/)„} -элсменттср жуйеа жапса, демек .4.c.\jAn 

болса, онда 

/и 

теназдш орындалады. 

Дэлелдеу. Сырткы олшемнщ аныктамасы бойынша, кез 

келген е > 0 саны ушш, ap6ip Ащ жиынын жабатын Мт 

жартылай сакинасыньщ |Ц }, элементгер жуйесш, 

У т(В.,)< и’(А,) + -^ 

теназдш орындалатындай етш табуга болады. Осы жиындар 

ушш 

о як 

кдтынасы орындалады. Сондыктан, 

И 

е кез келген сан болгандыкган, 

157


/ Л '0 £ £ / Л А ) • 

п 

Аныкщама2. Т жуйеешдеп А жиыны бершсш. Егер кез 

келген е> 0 саны ушш ЩМ,„) сакинасыньщ В элементш, 

р'(ААВ)

жиынньщ аныктамасы бойынша, кез келген е>о саны ушш 

щм,„) сакинасынын Я, жоне В, элементтерш 

ц {A, A B ji | жоне дв2) < | 

TeHci3fliKrepi орындалатындай етш табуга болады. Ещи 

в = в, I в, деп алайык. 

ЛДВ = (Л, \ 4>)А(В, \В2)с(Л,АВ,)и(Л2АВг) 

катынасынан (тексеродздер), 

р ‘ (ААВ) < + + ^ ~ £ • 

Демек, А^= А, I а2 жиыны елшенедк 

Енда 5 жуйеешщ сакина болатындыгы 

тендйсгершен туьшдайды. 

Теорема долелденд1. 

Ахг\А, = А, \(Л,A/ij) , 

Л, и Л, = £ \ [(£ \ Ах)п(Е\ А2)] 

Элбетте, Е жиыны S сакинасынын 6ipniri. Сондыктан, 

Лебег магынасында олшенетш жиындар жуйеа алгебра 

болады. 

ТеоремаЗ. Лебег магынасында олшенетш 5 жиындар 

сакинасында аныкталган Щ ) олшем! аддитивть Демек, А 

жоне озара киылыспайтын А,. А,...., Ап жиындары Лебег 

магынасында олшенш, A = \jA k тендогш кднагаттандырса, 

онда 

тен дт орындалады. 

к * \ 

МЛ) = Х

Дэлелдеу. Алдымен S сакинасыныц кез келген А жэне В 

жиындарынын сырткы елшемдер1 

\/и \Л )-» \В )\< » ’{ААВ) (3) 

тещйздиш кднагаттандыратынын дэлелдейпс. Шынында, 

сондыктан, 

немеее, 

А с В'и{ААВ) , 

ц’(А)< ц \В ) +/л\ААВ) , 

Дэл осылай, в c z A u ( A A B ) катынасынан 

ц\ А ) - ц\ В ) < ц\АИВ) . (4) 

l t \ B ) - i t ' ( A ) < t i ‘ ( A b B ) (5) 

тецмздтне келем1з. (4) жэне (5) тецазд1ктер1 (3) тецазднше 

эквивалентп. 

Теореманы S сакинасыньщ А жиыны осы сакинаньщ 

езара киылыспайтын А, жене А, жиындарынын 6ipiicrip 1луi 

болганда дэлелдесек жеткшктг Шынында, А=А,иА: 

болганда //(А) = ма,')+//(а2) болатыны дэлелдещй дей1к. Бул 

л-У 

жагдайда, индукция бойынша, C=\jAk болганда Шй! = 

А-/ ” *-1 

деп алып, А жиынын А = I k 

IP I 

и лп=СиА„ тур1нде жазып, 

л 

/1(Л) = /л(С)+fjA„ = £ м > те н д тн е келем13, 

А-1 

Сонымен, А = А, и А2, А, пА2=0 болсын. Лебег магынасында 

олшенетш жиыннын аныктамасы бойынша, кез келген £>0 

саны ушш ЩМт) сакинасынын В, жене В: жиындарын, 

160

(Л,ДВ,) < — жэне B,)

Сонгы тешлзджтер ^\Л) = ^'(А,) + р'(А) тевдитне океледг S 

сакинасында сырткы елшем Лебег олшемше тен екендшн 

ecKepin, 

тенддан долелдейм1з. 

Теорема толык, долелдендг 

/.1(A) = //(Д ) + а ( Л ) 

Теорема4. Лебег магынасында олшенетш S жиындар 

сакинасында аныкталган ц(А) олшем1 сг-аддитивтг Демек, А 

жоне озара киылыспайтын А,,А,,...,А,,.... пзбегшдеп жиындар 

Лебег магынасында олшенш, л = и д, тендшн 

п-1 

кднагаттандырса, онда 

тендпч орындалады. 

'rfA) = £ /i(A m) 

/1=1 

Дэлелдеу. Теореманын шарты бойынша, А = иА„ , 

л,.а:...А,,.... жиындары S жуйесше енед1 жоне ДпЛ(=0, 

i * j . Сондыктан, 6ipiHiiri теорема бойынша, 

ц (А )й ^ ц (А „ ) , ( 11) 

/»=1 

ал ущщаш теорема бойынша, кез келген натурал N саны 

ушш 

\ Y^/j(A„) (1 2 ) 

llal 

162

тешпзднше келеьш. Теореманын тужырымы (11) жэне (12) 

тецаздйстершщ салдары. Теорема дэлелдендг 

Соз сонында, Лебег магынасында олшенетш S жиындар 

жуйеС1 бхрлш Е болатын

болгандыктан, (13) жэне (14) тецс1зджгерш ескерш, 

,и'(ЛЛВ) А з .. болып, А= п А„ 

' ' 

Я=/ 


ц(А) =.l,im yt/СД,) 

/»—*у>. УУ ’ j \5•' 

ж 

жэне А, аЛ2 с...с 4, |1§! болып, А=иА„ болса, онда 

нг/ 

болатыны белгш (§ 3, Теорема2). 

Лебег 0лшeмiнiн бул кдсиет1 елшемнщ уздмаздш деп 


Лебег елщемщщ осы касиеттерш ескерш, Лебег 

жалгасуыньщ тэмендеп аныктамасына келем1з. 

Аныктама 3. м„, жартьшай сакинасында аныкталган т 

елшемшщ Лебег жалгасуы деп Лебег магынасында елшенетш 

S сакинасындагы А жиыныныц ц (А) сырткы елшемше тец 

164

болатын, осы сакинада аныкталган р(А) Лебег елшемш 

а^тамыз. 

Жаттыгу. Bipniri жок жартылай сакинада 

аныктадган сг-аддитивт1 олшемнщ жалгасуын курьщыздар. 

Ескерту. Сырткы олшемнщ аныктамасы сакталады, 6ipaK 

та бул олшем, SM жуйесхндеп мт жартылай сакинасынын 

]Г ,„( в„) косьшдысы шекп болатын {в„ жиындары 

жабатын, А жиындары упйй гана аныкталатынын 

ескерсешздер жеткшжп. 

Олшем жалгасуынын баска турлерш талапты окушы ей 

1зденш игерер деп умггпмЬ. 

§6. п -тшемдг Евклид кещеттндег! Лебег atuiejvti 

Bi3 l-3-uii параграфтарда сызыкты жиыннын курылымын 

зерттеп, Лебег магынасында олшенетш жиындар жуйесш 

аныктадык- Сонгы параграфтарда сызыкты жиындар ушш 

талданып, тианакталган сулбе бойынша, Лебег елшемш 

жалпылама турде енпзш , касиеттерш зерттедж жоне осы 

магынада олшенетш жиындар жуйесш аныктадык. Ешй, 

Лебег олшемшщ жалпылама касиеттерше суйенш, п -олшемд1 

Евклид KenicTiriHfleri жиындардын Лебег елшемш аныктай 

келе, осы магынада олшенетш жиындар класын саралаймыз. 

Алдымен, Е %{хе R" :0

Лебег магынасындагы жалгасын курамыз. (§5, 1-mi жэне 2- 

iui аныкгамаларды кара). Г жиындар жуйей а -аддигивп 

сакина, ал Е осы сакднаныц б1рлт болгандыктан, Т-еталгебра 

(§ 4, 1-мысал). г, 

Айталык, о < а, < 1, / = 1,2,...,я , тенйзд1ктерш 

канагаттандыратын {А,}", накты сандар л-дйстер1 

болсын. 

АныщпамаЩ Координаттары < л; < й,, 

тецйздцстерш канагаттандыратын К” KeHicTiriHiH барлык 

л-= (.*,, х,...л„) нуктелер жиынын п -елшемд1 ашык 

параллелепипед деп атаймыз. Егер Щ0ЩЩВ} тецйзд1ктер1 

орындалса, онда бул параллелепипедп туйык дешцз. 

Сонымен, аныктама бойынша, 

Д„ = {х = (х,,х2....х„) | R" : а, < х, < h ,,i = 1,2,....и} -ашык, 

■А. =\х = (хм:х,,.;.,х„)е R" :ci,

&=3fa.k) жарты кесшдГ, ал жазыкхыкта: д. = [a.b] - 

кабыргалары координат естерше параллель болатын тщ 

тертбурыш (кабыргаларымен 6ipre) д, = (а.Ь) - 

кабыргаларынсыз, ал д = [о.й) -устп т жане он жак 

кдбыргаларынсыз осы тж тертбурыш (1-суэет). 

а, Ь, 1х, ' a, b) 1хI 

1 —сурет. 

i- b .b > k Щ % 

R" KeHicTiriHin барлык уялар жиынын М деп белгшсй>пз. 

Бул жуйеге бос жиын бос уя репнде енедь 

Д = {х = (х(,х,, vx„)е R" .а, о болады. Егер п = 1 

болса, онда т(л)=m[a,b)=Ь-а, ягни |а.б) жарты кесишсшщ 

167

узындыгы, п —2 болса — t i k тортбурыштыд ауданы, 

п = 3 болса —тж бурышты параллслепипедтщ келеэд. 

Теорема 1. R'" кещетшнщ барлык. уялар жиыны М 

жартылай сакинасын курады. 

Дэлелдеу. Алдымен, ей уянын киылысуы уя болатынын 

долелдеййс; Шынында, 

А, = |х е R" :а,

Енд1. 

At уясы А уясына енсе, онда А уясынын М 

жиынында бфхнйй элемент! А, болатын шекп ж!ктелу1 бар 

болатынын дэлелдейж (жарты сакина 

e id m iii талап). Элбетте, А, * 0 деп алуга болады. 

аныктамас ынл агы 

Егер л = 7 болса, онда д, = [c,rf) с д = [

(а) сп = ctn жэне. dn= bn болса, онда А = л'х[аи,Ьп) жэне 

А, =д; х[ан,л;|) болады. Сондыктан, Д\А, - (А'\ А{)х,[ап,йл) , 

Осы тещцктен, (2) тендйгш ecKepin, 

д* д|= 1ЛД*х шлМ (3) 

ка\ 

тендшне келем1з. Бул дэлелденгел1 отырган А уясыньщ meicri 

ж1ктелу1. 

(/) а„

уясына енсе, онда бул жуйеж d = ( j 4 тещшт орындалатындай 

епп v , ... a s уяларымен толыктыруга болады (I-касиет). Бул 

касиети жогарыда долелденген теоремага суйешп те 

долелдеуге болады (дэлелдеп корйшдер). Осымен катар, 

| ... 4 , уялар жуйеа ушш, озара киылыспайтын s,.s:.... 

уялар жуйсан, эрбхр уясы осы жуйеден алынган 

.vе JL уялары аркылы \ = ( J ^ туршде ернектелспнлей 

етш табуга болады (2-кдсиет). Бул кдсиетп де, аталган 

теоремага суйенш доледдеуге болады (муны да долелдеп 

корийздер, утылмайсыздар). 

(1) формуласы бойынша аныкталган уя елшем1 аддитивп 

болады жэне 0 = 0 w 0 болгандыкган т 0 = 2т 0. Демек, 

п10 = О. Ягни, бос уянын елшем! нелге тен. Сонымен, уялар 

жуйеанде курылган М жарты сакинасында темендеп 

шарттарды канагаттандыратын т олшемз аныкталады: 

1) »i(A) Tcpic болмайтын накты сан; 

2) /п(д) аддитивп , демек, Л уясыньщ кез келген а-М л. 

IUCKTi ЖЖТеЛЗП ymiH, ш(Д) = ^m(At) . 

Щ 

Бул сакинаны, эдеттепдей, Мтдеп белплеймгз. 

Аныктама 4. Саны шекп уялардьщ 6ipiKriplnyi ретшде 

ернектелетш R" кещстошщ А жиыны элементарлык жиын 


171

Сонымен, R‘ KeHicTiri нщ А жиыны элементарлык болуы 

/ 

ушщ, А = II Ак тендшн канагаттандыратын М„, жартылай 

А-./ £ . - * , г., г- • л . ч / ; чу .1 * 

сакинасынын д,,Ач...л ,и0 саны 

ушш, 

172

м(П^р(А)-£ (5) 

тенспдшн кднагаттандыратын туйык элементардык F 

жиыны табылады жэне ap6ip А, жиындары ушш ашык 

г^ементарлык Gt жиындарын, 

Енд1, w(a/(„| сакинасында аныкталган /и елшемш! w, /Г 

кещетшнщ Лебег магынасында елшенетш S жиындар 

жуйеешдеп // ’ жалгасуын аныктайык, 

Аныктама 4. R" кещетшещ Т жуйеешдеп А жиыны 

бершсш. Егер кез келген е > 0 саны ушш, я(л/,„) 

сакинасыньщ В элементен 

t и ’(а а в )< £ 

генйздш орындалатындай етш табуга болса, онда А жиыны 

Лебег магынасында влшенед/ деп аталады. 

Лебег магынасында елшенетш жиындар жуйейнде 

аныкталган ц ’ сырткы ёлшём! Лебег элшет деп аталады 

жоне // деп белгшенещ. 

Элементтер уялар болатын 

Мш жарты сакинасы мен 

элементтер1 элементарлык жиындар болатын 4Л(лО &~ 

сакинасындагы жиындар Лебег магынасында елшенед1 жэне, 

егер л е мт болса, онда р *(д) = т(д), ал л е м(мя) болса, онда 

и IЩИ // р ) болады. 

Лебег магынасында елшенетш жиындар жуйесш S деп 

белгшейм1з. Ендц осы жуйедеп елшемнщ непзп касиеттерш 

атап етешк. 

Г.' Лебег магынасында елшенетш 5 жуйей - б1рлш 

Е = {л- е R": о < х, < 1, г 1 1,2,...,«} параллелепипед! болатын а - 

сакина (§ 5, теорема2). Олай болса, бул жуйе - а -алгебра. 

2". S а -алгебрасында аныкталган ц(А) елшем1 сгаддитивп, 

демек, А жэне езара киылыспайтын л„А2,...,Ак,... 

174

жиындар Ti36eri S жуйесшде жатып, л = М а, течдшн 

к-1 

канагаттандырса, онда ^(А) = £//(/

Лебег магынасында олшенсе, онда а = [][а п д , Jжиынын 

к 

Лебег магынасында олшенедi деймЬ жэне 

/'( * ■ " Д , ) 

санын, А жиынынын Лебег влшем1 деп атаймыз. 

А г \А к 

жиындары езара киыдыспайды жене бул жиын 

кдбыргалары 6ipre тен параллелепипедтщ Мйа жиыны 

болгандыкган, жогарыда аныкталып, талданган Лебег елшем! 

туралы угым мен онын кдсиеттер1 орындалады. Сондыктан, 

Лебег елшемш соцгы формула аркылы аныктау орынды. Бул 

елшемге жогарьща дэлелденген Лебег елшемшщ барлык 

касиеттер! тэн. 

Ill TAPAYFA ЖАТТЫРУ 

1. 0p6ip кемел жиынньщ, елшем1 нелге тен кемел iunci 

жиыны болатынын дэлелдещздер. 

2. [o.i] K ecinaiciH iH еш жершде тыгыз болмайтын, еж йещ а - 

га (а М тен кемел шла жиынын курьщыздар. Осы кесшдшщ 

еш жершде тыгыз болмайтын, елшем1 6 ip re тен кемел im ici 

жиын бола ма 

3. Шектеуш А жиыны Лебег магынасында елшену! ymiH, кез 

келген е > 0 санына сэйкес ц \А IF)

4. Шектеущ А жиыны Лебег магынасында o.im eHyi унпн. кез 

келген шектеул1 В жиынында 

т ' А = т'(А о В)+ т’(.4 г»С.7) 

тендтнщ орындалуы кджегп жэне жеткшкп екенш 

дэлелдещздер (Каратеодор 6ejnici). 

5. [o.i] кесшдклшн елшем1 нолге тен iund жиыны А болсын. 

Осы жиыннын А туйыкталуы елшемшщ нелге тек болуы 

мтдетп ме 

6. [o.i] кесшдасшщ ондык болшекте 3 цифрынсыз 

жазылатын нуктелер жиынынын курылымы мен елшемш 

аныктаныздар. Осы кеандшщ 3 нифрынсыз жазылмайтыи 

нуктелер жиынынын курылымы мен елшем! кдндай 

7. [од] кесшдклнщ саны саналымды, езара киылыспайтьш 

жоне осы югешдшщ еш жершде тыгыз емес шш жиындары 

6ipiKTipLayiHiH елшем1 6ipre тен бола ала ма 

8. Кдбыргалары 6ipre тен А. туйык параллелепипеднше 

ёлшемдер1 

ц А, + ц А, +... + // Ап>п —1 

тенедздщн канагаттандыратын А,.А.....Ап жиындары бершген. 

Осы жиындардан курылган Q.4, киылысуынын елшем! 

к-\ 

нелден улкен болатынын дэлелдещздер. 

9. R" KeHicTiriHiH А жиынын алайык Осы жиын ушш 

темендеп тужырымдардьщ мэндеетшн дэлелдещздер: 

1) А - Лебег магынасында елшенетш жиын. 

2) Кез келген в > 0 саны ушш о з а жэне // 76’ I А )

3) Кез келген е > 0 саны ушш FczA ж эне //'( a \F)

IV ТАРАУ 

Лебег интегралы 

Окушыга математикалык талдау пэшнён белгш О. Коши 

аныктап, Б. Риман дамыткан интеграл, fa.h] кесгщ 1с1нде 

аныкталган шектеул! f(x ) функциясы уипн, темендеп 

алгоритм бойынша калыитасады: 

\.[и,Ь] кесшдщщ кез келген 

Т={а =х0

алынган Риман интегралы деп аталады жэне (R) Гf{x)dx 

деп 

белпленедг Демек, 

Л >

xK.,,xJ кесшдкпнен gKнуктесш тацдап алу тэсшнен тэуелйз 

>олуы керек, ягни, & нуктесшщ fxKl,x J кейндаа шепнде 

i3repyi f($JhxK элеменпшц эзгеруше аз эсер ётедо. Ал, 

мундай касиет аргументтщ аз езгеру! функция мэндершщ аз 

m epyiH талап етед1. Демек, функцияныц pnjKci S болуы, 

немесе "тым узиистГ болмауы - оньщ Риман магынасында 

интегралдануынын непзп талабы. 

Француз математип А. Лебег, интегралданатын 

функциялар аясын кенейту жоне R - интегралданатын 

функциялар кдасын аныктау ушш, езшщ интеграл куру 

тэсшн усынды. Бул тэсш бойынша, функцияныц аныкталу 

облысын дербес жиындарга жнстеу аргументгершщ 

жакындыгы емес функция мондершщ жакындыгы бойынша 

орындалады. Бул, ез кезегшде, интегралды кез келген 

елшенетш жиында аныкталган функция ушш куруга 

мумкшшийк бередг 

§1. Лебег интегралынын аныкупамасы 

Олшенетш Е жиынында аныкталган шектеуш y —f(x) 

функциясы 6eplnciH. Айталык, бершген функциянын мэндер1 

[А, В] кесшдгсшще жатсын жэне 

Т={Л=у0

ek=E(yk.,

I 

Жаттыгу. Осы кдсиеттерда дэлелден1здер. 

Бершген 7 белшектеу1 ущш ;= Х У к imen i Лебеггщ 

А'=1 

твменг/, ал 

уктек - Лебеггщ жогаргы косындысы деп 

аталады. Элбетте, S

Демек, S

Аныщпама. Егер Лебегтщ жогаргы интегралы онын томенп 

интегралына тен болса (1 = 1 ), онда олардын ортак мот fix) 

функииясынан Е жиыны бойынша алынган Лебег интегралы 

деп аталады жэне 

ten белгшенедг 

(L) j f(x)dx 

г, 

Егер кдралып отыргаи интеграл Лебег интегралы екеш 

белгип болса. онда интегралды белплсуте j f(x)dx 

К 

ci-шволы, ал Е жиыны \а,Ь] кесиада болса, онда 

(L) j f(x)dx немесе { f(x)dx символдары пайдаланылады. 

Аныктама. Егер £ жиыны бойынша 

fix)-TCH алынган 

Лебег интегралы бар болса, онда fix) осы жиында Лебег 

магынасында ынтегралданады немесе L-иитегралданады деп 


§2. Олшенетш функцшьшр 

Бершген у -fix) функииясы Е жиынында аныкталсын. 

Келсшекте E(J'(x)>d) дсп £'-нщ f(x)>d болатын iiuKi 

жиынын белгшейм1з. Осымеи кдтар, 6i3 E(f(x)>d), 

Е (f(x)=d), E(f(x)

Сурстте E -[a,b] дсп алынып, y=f(x) функхшясынын графип 

узджаз сызык ретшде корсеттгсн. 

Аныктама 1. Егер Е олшенетш жиын болып, кез келген 

накты d саны ушш E(f(x)>d) жиыны олшенсе, онда f(x) Е 

жиынында елшенетш функция деп аталады. 

Лемма. Егер Е жиынында аныкталган f(x) олшенетш 

функция болса, . онда кез келген 

E(f(x)>d), 

жиындары олшенед1: 

d жоне с сандары ушш, 

E(f(x)

E(/(x)>d)=f] E(f(x)>d-~). 

«=/ n 

(Дэлелдещздер!). Олай болса, E(f(x)>d) елшенетш 

жиындардьщ киылысуы ретшде елшенетш жиын. Лсммада 

аталган баска жиындардьщ олшенетин теменде келтфйген 

гендйстердщ салдары: 

E(f(.\)d), E(f(x)d), 

E(f(x)-d)=E(f(x)>d)nE(f(x)

Т белшектеу1 ушш курылган Лебегтщ 5 = ^ у к_,тек теменп 

М 

жэне 

' г /I г-!1. 

S -]Г J’a/7K7, жогаргы косындылары мен Лебегтщ L 

А-/. 

томснп жэне 1 жогаргы интегралдары 

S < / < !d)—0 болады. Бул 

жиындар олщенедь 

2. Егер Е олшенетш жэне езара киьшыспайтын 

Щ к=1,2,...,п, жиындарынын 6ipiKTipyiHeH турса, онда 

Ек, к—1,2,...,п, жиындарында туракты f(x) функциясы Е 

жиынында олшенедь 

188

Шынында, кез келген накты d саны ушщ. 

Е(/(х) > d\ = [jE l( f(x)>d) 

к-\ 

жиыны елшенещ. 

Бул мысалдагы функция сатылы деп аталщы. Демек, 

сатылы функция олшенедг 

3. Е -\а,Ь] кесншсшде аныкталган уздхкси функция 

влшенедк Аталган кесшдще аныкталган уздокЫз функция fix) 

болсын. Осы функциянын олшенетшш долел/еу ушш 

F=E(f(x)>d) жиынынын туйыктыгын долелдесек яеткшцсй. 

(Кез келген шектеул1 туйык жиын Лебег магадасында 

олшенед1!). х0 осы жиыннын шскпк Hyicreci, ал осы 

нуктеге жинакталатын F — тщ нуктелер Ti36eri болсын. fix) 

уздйсыз функция, сондыктан lim f i x j —fix,) жоне башлык 

натурал п ушш, fix j> d . Олай болса, f(xd. Демек, x0F. 

F —Tin туйыктыгы долелдендг 

Аныктама 2. М олшенетш Е жиыныныц шла жиыны 

болсын. М жиынында 6ipre, ал Е\М жиынында нолге тен 

I J x ) функциясы М жиыныньш сипаттама функциям деп 


4. М жиыны озшщ Лм(х) сипаттама функциясьп/ен 6ipre 

елшенед!, немесе eKeyi де олшенбещц. 

Шынында, Лц/х) олшенсш. d—О деп алсак, Е(А./х)>0)=М 

олшенетш жиын. Ещщ М олшенетш жиын бслсын. Бул 

жагдайда, 

189

Тёндмсгщ он жагындагы жиындар олшенеш. 

Лм(х) олшенетш функция. 

Сондыктан 

5. влшемй нолге тец Е жиынында аныкталган кез келген 

функция влшенедг 

Кез келген накты cl саны мен Е жиынында аныкталган кез 

келген f(x) функциясы $|ир; E(f(x)>d)cE. Сондыктан 

mE(f(x) >d)=0. Ягни, f(x) олщенед1. 

Теорема 2. Егер f(x) функциясы Е жиынында олшенсе 

жоне 

А осы жиынньщ кез келген олшенепн innd жиыны 

болса, онда /(х)-т'щ тек кдна А жиынында 

карастырылатын мэндер! (f(x)-тщ 

олшенед!. 

А жиынына кысылуы) 

Дэлелдеу. Шынында, A(f(x) >d) =AnE(f(x) >d). Бул жиын 

олшенедь Теорема долелдецщ. 

Теорема 3. Айталык, олшенетш Е жиыны саны meicri 

немесе саналымды, озара киылыспайтын Ек жиындарынын 

6ipiKTipLnyiHeH турсын: 

£=U 

\ ■ к 

Егер Е жиынында аныкталган f(x) функциясы op6ip Ек 

жиындарында олшенсе, онда бул функция 

елшенедь 

Е жиынында да 

Дэлелдеу. Элбетте, E(f(x)>d)=[j Ek(f(x)>d). Бул жиын 

к" 

олшенетш Жиындардыц 6ipiKripmyi ретцще олшенедь 

Аныкщама 3. Бершген Е жиынында S шарты 

карастырылсын. Егер S шарты орындалмайтын Е-нщ 

нуктелер жиыныныц олщещ нолге тец болса (m E(S)=0), онда 

190

I S шарты £ жиыныньщ барлык жершде дерл1к тжя 

1 орындалады деп айтылады. 

| 

Мысалы, 5 шарты £ жиынында аныкталган fix) жене g(x) 

функцияларьшьщ езара тецдШ болсын. Егер mE(f(x)*g(x))=0 

I болса, онда f(x) функциясы g(x) - ке £ жиынынын барлык 

1 жершде дёршк тен болады: 

1 ( Х ) 8(х). 

I Мундай функциялар езара эквивалентт! деп аталады жоне 

I f(x)~g(x) деп белгшенед1. 

Окушыга бслгш Дирихле функциясы ■Lh=fO, I/ кесшдастнде 

I нелге тенбе-тец функцияга эквивалент: D(x)~0. Шынында, 

I U(D(x)*0)=Q[0, / / . А л , m U(l)(x)*0)=m Q[0, 1]~0. 

Теорема 4. Егер Е жиынында аныкталган f(x), осы жиында 

[ елшенетш функция болса, онда оган эквивалент кез келген 

g(x) функциясы Е жиынында елшенедо. 

Дэлелдеу. £(f(x)*g(x))=A болсын. Теореманын шарты 

бойынша, тА=0. Енщ, Е\А=В деп алсак, Е=АиВ жоне 

E(g(x) >d) =A(g(x) >d) uB(g(x) >d) 

болады. В бершген Е жиынынын елшенетш шла жиыны 

жоне В жиынында g(x)tf(x). Сондыктан, B(g(x) >d)=B(f(x) >d) 

олшенетш жиын. Демек, E(g(x)>d) елшенедь 


Мысалы, [0,1] кеащцЫнде нелге тенбе-тен функция 

елшенед!, ал D(x)~0. Олай болса, Дирихле функциясы 

елшенед1 жоне шектеуш. Сондыктан, 6ipiHmi теорема 

бойынша, бул функция L - интегралданады. 

191

§3. Олшёнетт функциялар жиынындагы амалдар 

Бул параграфта елшенетш функциялар жиынында 

орындалатын непзп амалдар аныкталады. 

Теорема 1. Егер Е жиынында аныкталган f(x) осы жиьшда 

елшенетш функция, ал h кез келген накты сан болса, онда 

темендеп функциялар осы жиында елшенедг 

1. f(x)+h; 2. hf(x); 3. \f(x) |; 4 .f2(x); 5. - L - , егер f(x)*0 

болса. 

Дэлелдеу. 1. f(x)+h функциясыныц елшенетшдМ 

E(f(x) +h >d) =E(f(x) >d-h) теншйнщ салдары. 

2. Егер h —0 болса, онда hf(x)=0 елшенетш жиында 

аныкталган туракгы функция ретвде елшенедг И^О болган 

жагдайда, г ‘/ 1 

E(hf(x)>d ) = 

Е( f (дг) > —), егер h> О, 

h 

Е( f (х) < —), егер h < Оболса. 

h 

Т ещ цктщ он жагындагы жиындар елшенедг 

3. E(\f(x)\>d)=[E' еер dd)yj E( f(x) < -d), егер d > 0. 

Бул тенджтщ он жагында елшенетш жиындар. Сондыктан 

\f(x)\ елшенедг 

а е Я Р \Е,егер d< 0 , 

4. E (f/(x)>d)=l 

Щ / ( * ) l> V tf), егер cl > 0. 

болгандыктан f 2(x) елшенедг 

5. ЩхЩф. болган жагдайда 

192

■) 

£ ( / ( * ) > б) егере! = О, 

£(/(х) > 0) r\ E(f(x) > —). егер d < О, 

1 

£ (/(* ) > 0 ) u E(f(x) < О)пЕ(/(х) < — , eepd < О. 

d 

15ул тевдиспц он жагындагы жиындар олшенедг Сондыктан, 

олшенедг 

I 

IТеорема долелдендг 

Лемма. Егер fix) жоне g(x) функциялары Е жиынында 

| эдшенее, онда £(/М >в(х)) жиыны ашленедг 

Дэлелдеу. Q={r„ г}, ... , г„, ... } ном1рленш алынган барлык 

j рационал сандар жиыны болсын. Элбетте, 

\ (долелдешздер!). Сондыктан, E(f(x)>g(x)) жиыны олшенедг 

Лемма долелдецгц. 

Теорема 2. Егер f(x) жоне g(x) функциялары Е жиынында 

■олшенсе, онда осы жиында f(x)-g(x), f(x)+g(х), fix) -g(x) жоне 

g(x) 

Дэлелдеу. Элбетте, E(f(x)-g(x) >d)=E(f(x) >d+g(x)). BipiHiui 

теорема бойынша, d+g(x) олшенетш функция. Сондыктан, 

лемма бойынша, 

E(f(x)>d+g(x)) - олшенетш жиын. Демек, 

E(f(x)-g(x) >d) олшенедк Олай болса, fix)-g(x) осы жиында 

олшенетш функция. 

£ ( / ( * ) > « (* )) = ( J [ £ ( / ( * ) > r „ ) n £ ( g ( x ) < r „ )] 

, g(x)*0, функциялары олшенеда!. 

Калган функциялардын олшенетст - томендеп 

тендистердщ салдары: fix) +g(x) =f(x)-(-g(x)) 

193

Теорема дэлелденда. 

/(*) 1 

' S(X>M 

Сонымен, дэлелденген теоремалар, олшенетш функциялар 

жиынында арифметикальщ амалдардыц орындалатынын 

корсетедь Келега теорема олшенетш функциялар жиынында 

шекке кошу амалынын орындалатынын дэлелдешц. 

Теорема 3. Олшенетш Е жиынында аныкталган елшенетш 

{/*(-v)}L 

функциялар пзбеп бершсш. Егер Е жиынынын 

барлык, л: нуктелершде 

jim/*(*)= F{x) 

шей бар болса, онда F(x) осы жиында елшенетш функция. 

Дэлелдеу. Кез келген накты d саны уипн 

a'" =E(fk(x )> d + -) жоне Ы | П Ат‘ 

т 

ып 

деп алайык. Теореманын шарты жене елшенетш 

жиындардьщ касиеттер1 бойынша, а£] жоне Щ’ елшенетш 

жиындар. 

M -g (x )= ]- {[f(x)+g(x)J 2-(f(x)-g (x)l 2f; 

Ещц, теореманы дэлелдеу ушш, 

E(F(x)>d)=\jBin) ■. (1) 

тенд1гш делелдесек жеткшкп. Осы максатпен E(F(x)>d) 

жиыныньщ кез келген х0 нуктесш алайык: x0eE(F(x)>d). Бул 

нуктеде F(xJ>d. Сондыктан, натурал т0 санын F(x0)> d +— 

тецыздш орындалатьшдай етш табуга болады жене бул 

194

нуктеде lim/*(*„)=П О • Демек, натурал п0 санын к>п„ 

тецйздшн канагаттандыратын барлык к сандары ушщ 

ft(xj>d+ - тенйздт орындалатындай cTin алсак, онда к-нын 

М0 

осы мэндср1нде, х„ нуктеа АЦ' жиындарына енеш. Ягни, 

*«е 

= ГК Олай болса, x0e\J ВЦ" . Сондыктан, 

E(F(x)>d)c{J В':' . (2) 

Енд1, KepiciHme, (J В^' 

жиынынын кез келген х, нуктесш 

алайык.. Элбетте, х, осы Фршпрудщ ен кёмщде 6ip 

мушесще енедк х^шВ* Олай болса, барлык к>п, 

*«в, 

ушш 

х,е№ =E(fk(x)>d+— ). Демек, £-нын осы мэндершде 

т, 

1,(.V,)>d + — . Бул теназдистен, F(x,)—\mfk(x,)>d+— , немесе 

т, *— т, 

F(x,)>d. Сондыктан, х,еЕ(F(x)>d), ягни 

U С d). (3) 

! (2) жэне (3) катынастары (1) тешйгше эквивалента. 


\ Щзге Е жиынында аныкталган {/.(*)},', функциялар Ti36eri 

мен F(x) функциясы бершсш жэне бул избек F(x)-kc Е 

жиыныныц барлык жершде дерлж жинакталсын, демек 

m£(fn(x)+*F(x))=0 болсын. Жинакталудын бул турш, 6i3 

барлык жерде дерлж жинакталу деп атаймыз да, 

195

f„(x) M F(x) 

E 

деп белгшейм1з. 

Теорема 4. Егер Е жиынында олшенетш {/„(*)}” , 

функциялар габеп осы жиынныц барлык жершде дерлйс 

F(x)-ке жинакталса, онда F(x) функциясы Е жиынында 

олшенед1. 

Дэлелдеу. A=E(f„(x)~F(x)) болсын. Теореманын шарты 

бойынша, тА=о. Енд1, Е\А=В деп алсак, онда 

Е(F(x) >d) -AC F(x) >d)uB(F(x) >d). 

Элбетте, A(F(x)>d)cA. Сондыктан, mA(F(x)>d)=0, ал 3-uii 

теорема бойынша, B(F(x)>d) - олшенетш жиын. Ягни, 

E(F(x)>d) олшенедь Теорема долелдендг 

Сонымен, Е жиынында олшенетш функциялар тобында 

арифметикалык амалдармен катар шсккс кошу амалы да 


§4. Олшем1 бойынша жинащпалу. Лзбектердщ 

жинакщалу турлерм салыстыру 

Бул параграфта 6i3 функциянын зеттелетш касиеттершщ 

курделшгш ескерш, Е жиынын /а,Ь] кесшд1с1 деп 

аламыз. E~fa,b] кесЬшсщце аныкталган {/„MlL 

функциялар тазбеп мен f(x) функциясы бершеш. 

Математикалык талдау поншен функциялар Т1збеп 

жинакталуыныц его Typi белгип: б1рк,алыпты жинащпалу жоне 

/а,Ь/ кеандктде жинакталу. Бул жинакталуларды келешекте 

196

. . ii К. АЖ 

[,(х) щ f(x) жэне f„(x) Щ f(x) деп белплейм1з. (Б К 

| б1ркалыпты, 5.Ж.-барлык жерде). 

Б13 жогарыда жинакталудын yinimiii xypi - барлык жерде 

\ деряж жинакталуды енпздж. Eiwi елшем! бойынша жинакталу 

* туралы тусшж беретк. 

Аныктама. Егер кез келген он сг саны ушан 

l i m (дс) - / (jc)| > а) = О 

болса, онда [/„и)!!, тпбеп /(х)-кс вашем! бойынша 

жинакталады деп айтамыз жэне 

дсп белгшеймгз. 

f„ (x )l± f(x ) 

Б1ЗДЩ максатымыз - жинакталудын осы турлерш 

салыстыру. Бул багытта шешшетш мэселелер, ез кезепнде, 

олшенетш функциянын курылымын аныктауга мумклншинк 

бередь 

Сонымен, салыстырылгалы отырган жинакталу Typnepi: 

I. /,(х) f(x). 

ti 

II. f„(x) _> f(x). 

HI. f„(x) "1^ f(x). 

К 

IV. f,(x) - 4 fix) 

£ 

Элбетте, E жиынында б1ркалыпты жинакталатын Тйбек 

осы жиында жинакталады, ал £ жиынында жинакталатын 

197

п'збек осы жиыннын барлык жершде дерлж жинакталады. 

ti.Ji 

Шынында, егер f,(x )-+ f(x) болса, онда E(f„(x)^f(x))—0 

/: 

болады. 

Демек, m£(fj(x) +f(x))=m0=O. 

\ 

Е жиынында жинакталатын пзбек осы жиында б!ркалыпты 

жинакталмауы да мумкш. Мундай пзбектщ мысалы окушыга 

математикалык талдау пэшнен белгш. Е жиынынын барлык 

жершде дерлж жинакталатын пзбектщ осы жиыннын барлык 

жершде жинакталуы мшдетп емес. Сонымен, 6i3 темендеп 

логикалык сулбеге келем1з: 

f/x) ->f(x)=>/,(x) -+f(x)=>f„(x) _>7 f(x). 

Е Е Е 

Ендш. максат - 

логикалык сулбедеп орнын аныктау. 

елшем1 бойынша, жинакталудын осы 

Теорема 1. (А. Лебег). Егер Е жиынында 

елшенетш жэне 

осы жиыннын барлык жершде дерлж шектеут f(x) 

функциясына Е жиынында елшенетш жэне .Е-нщ барлык 

жершде дерлж шектеута {/„(.v)}"., 

функциялар пзбеп, осы 

жиыннын барлык жершде дерлж жинакталса, онда бул пзбек 

Е жиынында /(х)-кс елшем1 бойынша жинакталады. Демек, 

темендеп логикалык сулбе орындалады: 

f,(x) т f(x)=>f„(x)^f(x). 

Щ ‘ 

Дэлелдеу. блшенетш функцияньщ аныктамасы 

бойынша, £-елшенетш жиын. Шздщ максат - 

. • I. j' }1 , ■.1 V. 

lim mE{\f„Щ - /(>:)( k

•cHoiri кез келген о>0 саны ушш орындалатынын дэлелдеу. 

\лдымен, 

A=E(\f(x)\=+oo), A=E(\fn(x)\=+co), B=E(fn(x)-*f(x)) 

len алайык. Теореманьщ шарттары бойынша, тА=0, тА„=0, 

■1,2,... , жэне тВ=0. Сондыктан, Ап]иВ деп 

алсак, онда mQ=0 болады. 

Кез келген а>0 санын алып, 

со 

Ek(a)=E(\ft(x)-flx)\>a), Rn(a)={J Ek(ar) (2) 

жиындарынан 

Hpj 

R„(rr) жиынын курайык- -Элбетте, Е/сг), 

R„(a) жоне M олшенетш жиындар жэне 

R,( ... 

болуы ce6eirri 

limRB(cr) = mM (3) 

Ещц, McQ болатынын дэлелдешк. Бул кдтынасты 

дэлелдеу ушш, Q-ra енбейтш 6ip де 6ip нукте М-ге тшсп 

болмайтынын керсетсек жетгалгт. Шынында, егер х() е Q 

болса, онда хс е А, м-нщ барлык натурал мондер1 ушш 

х„ е А„ жоне х0 6 В. Демек, \f(xo)\0 саны ушш 

натурал п0 санын теназдпч к>п0 шартын 

канагаттандыратын барлык к ушш орындалатындай етш 

табуга болады. Ягни, fc-нщ осы мэндершде х0ъЕк(о). Олай 

болса, 

х о6 

Ек(°)

Демек, х„ е М. Сондыктан, McQ. Ал, mQ = 0. Ягни, 

тМ=0. (3) т ен д т бойынша , 

lirn R 0 (сг) = шМ = О (4) 

тендшне келем13. А„(а) жиыны &„(&) жиынынын 

курамындагы 6ipimni косылгыш. Сондыктан, 

lim mA„ (сг) ^ l i m m E(| fn (x) - f(x) |> &) = 0 

тецщп, осы тенджпен 6ipre теорема дэлелдендь 

Томендеп мысал Лебег теоремасынын кдйтымсыздыгын 

керсетедт 

Мысал (Ф. Рисс). Е=[0,1) жартылай кесишсшде op6ip 

натурал к саны ушш, 

f!k>(x),f(x), ...,f,,k,(x) 

функциялар тобын, 

-T 

зандылыгы бойынша аныктайык- Темендеп суретте 

• ' V *•. :(. t i*,.. ; *; • 

функциясыньщ графип керсетшген (к —3, i—2 ). 

f f 3)(x) 

l 

1/3 2/3 

JC 

3-iui cypem. 

200

Осы графики f / 3>(x) жэне f3(JЦх) функцияларынын 

срафвжтершен тольгкхырьщыздар жэне 

к—5 деп алып, осы 

санга сойкес функциялар тобыныц графикгерш курыцыздар. 

Бул жумыс Рисс мысалын тусшуге кемектеседь 

Осы функциялардан 

сандар Ti36eri бойынша кднша алыскд жылжысак та 1 санын 

кездест1рем1з. Демек, бул сандар Ti36eri налге 

жинакталмайды. Сонымен, {II=*III=>IV. 

Бул сулбе кайтымсыз. 

Ендг елшем1 бойынша жинакталатын пзбек шегшщ б1рденб!рл1п 

кандай магынада колданылатынын талдайык. 

Теорема 2 . Егер {/,(*) } ”, Ti36eri Е жиынында f(x) -ке 

елшем1 бойынша жинакталса, онда бул тазбек осы жиынында 

fix) -ке эквивалента кез келген g(x) функциясьша да, 

елшем1 бойынша жинакгалады. 

Дэлелдеу. Кез келген он ег. саны ушш 

Щ Г , И - 1 ( 1 г< т)с £ (/(* ) i я(х))У £(|/„ (х) | /(х )| > ег) 

(долелдещздер). f(x)~g(x), сондыктан, mE(f(x)*g(x))=0. Демек, 

mE(fn(x)-g(x)>a)0 саны ушш 

E(/f(x)-g(x) %.

(дэл ел дещ здер ). Теореманыц шарты бойынша 

lim mE(\ f„ (х) - Д х)|> ^ ) = lim тЕ(|/„ (дг) - g(x)| > °) = 0 . 

Сондыктан, кез келген а>0 саны ушш тЕ(/f(x)-g(x) />о) =0. 

- ) 

n i l « 

катынасын ескерш, E(f(x)*g(x))=0 екенш 

f ( x ) ~ g ( x ) . Теорема дэлелдедщ. 

корем1з. Демек, 

Сонымен, егер езара эквивалент функцияларды 

ажыратпай, тен функциялар деп карастырсак, онда елшем1 

бойынша жинакталатын пзбекящ шел тек кдна 6ipey болады. 

взара эквивалентп функцияларды 6ip функция рейндс 

карастыру функциялар теориясында жш кездеседа; 

Егер функциялар Ti36eri б/ркаяапты жинакталса. онда 

йзбектеп функциялардыц ксйб1р касиеттер1 шектж 

функцияга "мура" ретшде кешепш белгш. Мысалы, пзбек 

узджаз функциялардан турса, оньщ шей де уздшйз функция 

болады, т.с.с. Осымен байланысты, жогарыда келйрген 

логикалык сулбенш кай магынада кайтымды болатынын 

зерттеу e3CKTi мэселеге айналады. 

Ллдымен, белгш магынада Лебег теоремасыныц кдйтымы 

деп саналатын, темендеп теоремага токталайык 

Теорема 4. (Ф.Рисс). Егер !/„(*)}“, [ елшенетш Е жиынында 

елшенетш f(x) функциясына елшем1 бойынша, 

жинакталатын, едшенётш функциялар пзбеп болса, онда бул

тазбектщ, /(x)-ks. 

жинакталатын, \ f n (х)}*=| 


алайык жэне 

E жиыныньщ барлык жершде дерлк 

innd пзбеи бар болады. 

о.,>а2>...>ап>.:.:а-„-^в, кеш мей он сандар тазбегш 

Th+t]2+...+rjn+... (5) 

мушелер1 он, жинакталатын катар болсын. 

Теореманын 

шарты бойынша, f n(x)-> f(x), демек, кез келген он ст саны 

ушш, 

,, П т т £ | / я ( х ) - / ( .х ) |> < т ) = 0 . 

Сондыктан, (а и г/,) кос сандары ушш, 

тЕ( / / П) (х)- У (х) />Я К(*)>■■■ (6) 

innd -тазбепнчсурамыз. Бершген тазбектен бэлшш альшган (6) 

imKi Ti36eri Е жиынынын барлык жершде дершк 

жинакталатынын дэлелдейж. Шынында, 

л/=0 (|/»А. Щ - Д*)| 1° к) жэне 

km . ,.| 

деп алсак, R^R^-.^R^d... катынасы орындалады жоне 

204

lim /лЯ, = mQ 

Осымен катар, Е( !f4 (x)-f(x) f>nj жиындарын куру тэсш 


Сонгы тецйздштщ он жагы жинакталатын (5) катарынын 

калдыгы, сондыктан limmtf =0 . Демек, mQ=0. 

Еши, тсорсманы дэлелдеу ушш. (6) iimci катарынын E\Q 

жиынында жинакталатнньтн дэлелдесек жеткшнсп. Осы 

максатпен, E\Q жиыны на raicTi кез келген х„ нуктесш 

алайык. Элбетте, jiagQ. Демек, х0 енбейтш 

Я =U(|/:, (.у,,) - 

жйыны табылады.Олай болса, k>in 

тецйздпш канагаттындыратын барлык натурал к саны улин 

If,,k(x)-J(xiJ/

магынада куруга болатынын аныкгау. Бул мэселе темендеп 

Д.Ф.Егоров теоремасы аркылы шешшедь 

Теорема 5.(Д.Ф.Егоров). Е жиынында елшенетш жене 

осы жиыннын барлык жершде дерлж шектеуш f(x) 

(функциясына Е жиьшынын барлык жершде дерлж 

жинакталатын, осы жиынныц барлык жершде дерлж 

шектеул1 жоне олшенетш {/.(х) /Ъ функциялар тазбеп 

бертсш. Демек, 

lirn/;,(A) = 

тендщ £-н1н барлык жершде дерлж орындалсын. 

Осы шарттар орындалган жагдайда, кез келген 8>0 саны 

ymiH, Е жиыныньщ imid жиынын темендеп 

шарттар орындалатындай етш табуга болады: 

1 ) in Е-in E,io) жэне RJcr)= р Ек (сг 

к=п 

жиындарын кдрастырайык В - кез келген оц сан). 

Осы теоремада iimm/„(c7) = o тендт дэлелденген болатын 

! I/ -»Д> 

((4) тендт). 

Енщ, 

жинакталатын' катары мен 

' >h+42+ - - + ni+ -~, (4i>0) (7) 

206

(Tl>(T2>...>al>..., (timer,—0), 

нелге умтылатын кем1мел1 он сандар тобегш алайык,. (4) 

тендш бойынша, кез келген / саны ушш п, санын, 

mR„ 

(&) 

тецйздш орындалатындай eTin табуга болады. 

Кез келген 8>0 саны ушш, жинакталатын (7) катарынын 

калдыгы 

(9) 

тенешцгш кз нагатта ндыраты н ^ санын хауып, 

e=*\jR'(

жиынына THidi кез келген jc, элбетте, е жиынына енбейш. 

Демек, 

х А ( Ч ) = 0 ( х ) -/(*)]>а,). 

Олай болса , к>п, т ец й зд т н канагаттандыратын натурал к 

сандары ушш 


!fk(x)~f(x) /< £ тец ш д т. орындалады. Теорема 

Сонымен, бул тарауда жинакталудын аталган терт Typi ymiH 

темендеп логикалык сулбе дэлелдецщ 

БК 

г I . f,(x)-> f(x) 

Е 

БЖ 

II. f„(x)->f(x) 

Егоров 

теоремасы 

Лебег 


БЖД 

т . f,(x) -> f(X) 

I v. f n(x)^>f(x) 

E 

Рисс 


§5. Олшенетш функциянъщ курылымы 

Функцияны зерттегенде, алдымен, онын курылымын 

аныктау мэселеа туындайды. Эдеттс, курделх функцияныц 

курылымы оны жай функциялар аркылы жуыктап 

ернектеумен аныкталады. Мысалы, кепмушелнстщ 

курылымы оны жай кебейтюштерге жйсгеу аркылы, курдел! 

функцияныц курылымы дэрежелйк немеее тригонометриялык 

катарларга ж1ктеу аркылы аныкталады, т.с.с. Б1здщ 

208

макратымыз - елшенетш функцияны уздйсаз функциямен 

салыстыру. Демек, б!здщ жагдайда, уздйсаз функция 

курылымы жай функция репнде карастырылады. Сондыктан, 

уздеказ функциянын аныктамасын тинактайык. 

Аныктама. f(x) функциясы Е жиынында аныкталсын жэне 

х0 нукгес1 £-ге тшсп болып, f(xj*±a болсын. Егер 

1) х0- Е жиынынын окдгауланган нуктеа болса, немесе 

2) х0 осы жиынын шектж нуктеа болтан жагдайда, х0-те 

жинакталатын £-нщ кез келген /x J^;Ti36eri ушш, 

теццщ орындалса, онда f(x) осы нуктеде уздйсыз деп аталады. 

Е жиыныныц барлык пуктестде уздйссй функция осы 

жиында уэдмаз делшедг 

Темендеп суретте Е—[0,1]и{2}и(3,4) жиынында аныкталган 

уздйсаз функциянын графил керсетшген. 

График / АВ ], (ДЕ) догаларынан жэне С нуктесшен 

турады. 

4 - сурет. 

209

Bis бул параграфта сызыкты жиында аныкталган 

функциянын курылымын зертгеумен шекгелешз. 

Теорема 1. F,, Щ, F„ езара киылыспайтын туйык 

жиындар болсьш. Егер 

F=\jFk 

km| 

'■ 

жиынында аныкталган ср(х) функциясы Fk, к= (/,п ), 

жиындарында уздоказ болса, онда бул функция F жиынында 

да уздй«лз болады. 

Дэлелдеу, F жиыныныц кез келген х0 нуктесш алайык. Егер 

х0 осы жиынныц окшауланган нуктес1 болса, онда бул 

нуктеде

келген о О саны ушш шектеуш g(x) функциясын, 

mE(f(x)*g(x))к), Q=E( !f(x) h+*>) деп алайык. 

Теореманын шарты бойынша, mQ=0 жоне 

Олшемнщ у здж аздт бойьшша, 

CD 

Q= П Ак . 

к=I 

lim mAt = mQ —0 . 

Сондыктан, кез келген s>0 саны yiuiH ко натурал санын 

тЛ, =1 . 

10, егер х е Акп 

деп алсак жеткийкп. Шьшында, g(x) шектеугй жэне 

Теорема дoлeлдeндi. 

E(f(x)*g(x))=A К. Ал, mE(f(x)*g(x))=m < с . 

Сонымен, Е жиында олшенетш жэне осы жиыннын 

барлык жёрШде дерлж тектеущ функцияны, оньщ мэндерш 

Е 

жиыньшьщ олшеш елеуаз аз шла жиынында езгертш, 

олшенетш шектеуш функция реттвде карастыруга болатыны 


Лемма, /"туйык жиыны [а,Ь] кесподанде жатсын. Егер

2) шах | %j/(x) | — max |ф (х )|. 

Дэлелдеу. Алдымсн, [a,b] F жиыны енетш ен Kimi кесйш 

дсп алайык. Егер F=fa,b] болса, онда лемманы долелдеу ушш 

ц/(х)=(р(х) деп алсак жеткшкп. 

Енд1, F*[a,b] болсын. Бул жагдайда fa,b]\F=G ашык жиын. 

Сондыктан, G - саны шекп немесе саналымды, езара 

киылыспайтын интервалдардан турады. Демек, 

fa ,bJ= F u {{J (а,„Р,)] турщде ернектелед1 жоне толыктауыш 

П > .Т » Н• \, и £ 

аралыктардын уштары а„,р„ eF. Ещй, iy(x)-7i темендеп 

шартгар орындалатындай етш курайык; 

1) у/(х)=(р(х), егер x eF ; , 

2) (a ^ p j аралыктарынд,а у(х)-тщ графип А„(а„,

уздмсЬ болатынын долелдешк. Демек, {xJeG жэне х„

ал \p,b] кесшдющце ч/(х)=(р{[1) деп алып, ^(х) -Ti [a,b\ 

кесшдгсшде аныктаймыз. 

Вейерштраес теоремасы бойынша, [а,ь\ кеащцсщде 

аныкталган уздйолз функцияньщ абсолют шамасы осы 

кеандще езшщ ен улкен мэнш кдбылдайды. у/{х) -Ti куру 

тэсш бойынша, бул мон тек F 


Лемма толык долелдендь 

maxi w(x\ = maxi

шектеуш болсын. Осы шарттар орындалган жагдайда, кез 

келген а > 0 жэне е > 0 сандары ушш 

т Е (j/(x)-v/(.r)2

т е н д т жэне 

M ‘w = u t w ] 

Iml-ni 

/и[а,Л]—тУ < с 

т е ц а з д т орындалады. (Дэлелдещздер!). 

Ещц F жиынында уздмоаз болатын

катьщ асьш ескерсек жетюлжтг Теорема дэлелдещц. 

Салдар. [я.л] кесшдюшде олшенетш жэне онын барлык 

жершде дерлж шектеул1 fix) функциясына осы кесшдще 

олшем1 бойынша жинакталатын yjdiKch функциялар misdezi 

бар болады. 

Дэлелдеу.стI >ст2 >...>сг„ —>0, e.j >£j >...>£„ —»О 

кемшела сандар Ti36eKrepiH алайык Борель теоремасы 

бойынша, op6ip п„ тецаздтн канагаттандыратын барлык п ушш (т„|) 

жэне 

х) - у,, (х| >ет) а„|)< £„ 

болады. Сондыктан, 

lira m£(l/(x) - \j/„ (xj > сг) = 0. 

Демек, курылган \р„{х)\'ы узджщз функциялар Ti36eri fix)-ке 

олшеш бойынша жинакталады. Салдар дэлелдендг 

Салдарда курылган V n(x)}“ , узджей функциялар пзбегше 

Рисс теоремасын пайдаланып, темендеп теоремага келем1з. 

Теорема 4. (М. Фреше). [а.б] кесщщйнде олшенетш жэне 

онын барлык жершде дерлж шектеуги fix) функциясына, осы 

217

кссшдшгц барлык, жершде дерлж жинакталатын yxJiicci 

функциялар tnbOeei бар болады. 

Сонымен, Борель теорсмасынын салдары, [«./>] кесйшсшдс 

ojiiMCHCTiH жоне осы кесшдшщ барлык жср^нде дерл1к 

шектеуш функцияны олшем1 бойынша жинакталатын узджсп 

функциялар тпбспнщ iireri дсп карастыруга болады лесе. 

Фрсшс тсорсмасы, осы функцияны [«./>] кесшдклшн барлык 

жершде дерлж жинакталатын узджсгз функциялар т1збегшщ 

шеп деп карастыруга болады дейдь 

Теорема 5. (Н. Н. Лузин). Е = [и.ь] кесшгцсшде аныкталган 

/(л) функциясы осы жиында олшенетш жоне оныц барлык 

жершде дерлж шектеуш болсын. Кез келген 8 > 0 саны уинн 

[«.л] кеацдклнде уэджсАЗ

с 

£, -елшенетш жиын. Сондыктан, m£,-mF

§6. Л ебег ипт егралы ны ц негЬгг Kucuemmepi 

I 

Алдыцгы параграфтарда Лебег интегралын аныктап, Лебег 

магынасында интегралданатын функциянын (шектеуш 

олшенетш функциянын) курылымын зерттедж. Ещн осы 

ингегралдыц непзп касиеттерше токталайык. 

Теорема 1. Егер елшенетш Е жиынында олшенетш f(x) 

функциясы а < Д х ) < ь тецаздшн канагаттандырса, онда 

тецстздт орындалады. 

a-тЕ< jf(x)dx


Немесе, 

л £ т

Теорема 2. Егер Е жиыны саны тек и немеее саналымды, 

олшенетш жоне озара киылыспайтын 

6ipiKTipuiyiHCH турса, демек, 

Е = u El, £, п = £', = 0 

It * ш! 

Ек жиындарынын 

болса, оида осы жиында елшенетш жане шектеула f(x) 

функниясынан алынган интеграл ymiH, 

тещцп орындалады. 

’ jf(x )d x = X ff(x)dx 

А А/;д 

Интегралдык бул касиеп онын толык аддитивтт деп 


Дэлелдеу. Алдымен теореманы E=E'\jE\ Е 'п Е '= 0 

алып дэлелдешк. A

тендйше келешз. Сонымен, косылгыш екеу болса, теорема 

орындалады екен. Енда, одеттепдей, математикалык 

индукция эдюш пайдаланып, кез келген шекп косылгыштар 

саны ушш теореманын орындалатынына кез жетюзем1з. 

Теореманы толык дэлелдеу ушш, 

£ = Г \Е1= ®’ 

жагдайын карастырсак жеткш кп. Бул жагдайда, 

тЕ = £ тЕк 

жоне сонгы катар жшшстаддды. Сондыктан онын калдыгы 

mRa — ^ т Е , 

п йхеказджке умтылганда, нелге умтылады. 

Енд1, £=|vj^» 

M'l J 

деп алып, 

J / ( a)

Салдар I. Егер елшенетш Е жиынында аныкталган, 

олшенетш жоне шёктеулт f(x) пен g(x) функциялары 

эквивалент болса, онда 

болады. 

jf(x)ilx = ]#( X)Jx 

Ц 1 н 

Шынында, егер /I =£(./(*)* я = £(/(*) = к(*)) деп ал сак., 

онда Е - И жэне \f(x)dx - \}{(x)dx = Q, jf(x)dx = jg(x)Jx болады. 


A A H H 

J / ( . r ) r f r - ’j /( .v W r + = fa x )i!x + ] x ( x ) tlx - 

i: .1 II t и Щ 

Салдар долелдендь 

Элбетте, егер функция нелге эквивалент болса, осы 

функциядан алынган интеграл нелге тен болады. BipaK та, 

интеграл нелге тец болса, интеграл астындагы функцияныц 

нелге эквивалент болуы мшдетщ емес. Буган дэлел- 

темендеп мысал. 

[\,чгер 0 < х < ). 

/\х ) = | : 

\-\.е ге р - \ < х

Шынында, E (f(x )> 0 ) = y jE ( f\x ) > - ) . (Дэлелдещздер!). Егер 

1=1 п 

1(х) нелге эквивалент болмаса, онда натурал п„ санын 

mEi t(x) > —) = о 

болады. 

теназдш орындалатындай етш табуга 

ЕНД1, А = Е( /(.т) >—) жэне В=Е\А болсын. Ягни, Е - Ли в. 

«о 


Jf(x)dx = J/(x )d r + | > — m/4 = — a > 0. 

i: .4 н no 

Демек, интеграл нелге тен бола алмайды. 

Теорема 3. Егер елшенетш Е жиынында аныкталган 

шектеугн жоне елшенетш f(x) жэне F(x) функдиялары бершее, 

онда 

Д/(*) + F(x)\dx = J/(x)c&+ J F(x)dx. 

К И Е 

Дэлелдеу. a

_\{J(x) + E{x))dx = 

к '■ l l гл 

• 

Tik жиынында yk+Y,

J c / ( x ) d x - с jf(x)dx . 

h Г 

Дэлелдеу. Егер с—О болса, теорема орындалады. Теореманы 

с>0 деп алып дэлелдешк. Эдеттегщей, A

Теорема 5. Егер Е жиынында шектеул^ олшенетш f(x) 

жэне Е(х) функциялары осы жиында 

TCHcisflirin кднагаттандырса, онда 

тецЫздп! орындалады. 

f(x)0. 


Теорема дэлелдендь 

| F(x)dx - jf(x)dx = Д/'Хх) - f(x)\dx > О. 

/; /; И 

Теорема 6. Е жиынында шектеулif(x ) функциясы ymiH, 

тецыздш орындалады. 

J/(x)aM< j]/(x)| 0) жэне Q = £(/(х) < 0) деп алып, 

J/(x)

§7. Интеграл астында шекке кешу 

Бгзге Е жиынында щёктеут елшенетш {/„ (*)},!, функциялар 

. 

пзбеп бершсш жэне бул пзбек осы жиында, кдндай да 

| болмасын 6ip магынада, F(x) функциясына жинакталсын. 

| Демек, бёлшп 6ip магынада, 

l i r n / „ ( x ) = F(x) 

тендш орындалсын. Осы жагдайда, 

limJ/„(x)dr = Jlim fir(x)dx = [F(.T)obr (1) 

li К t 

тендш орындала ма, ягни, шекке кешу мен интегргшдау 

амалдары орындарын ерюн алмастыруга бола ма деген сауал 

туындайды. Темендеп мысал мундай алмастырудыц кез 

келген пзбек ушш орындалуы мшдети емес екендщн 


Шынында, [o.i] кесЩрсМде аныкталган 

ли- 

( л , егер х е ( 0 ,—\ 

I П 

О, егер х е [ 0 , l ] \ ^ 0 , — J , 

пзбеп осы кеандще нелге тец функцияга жинакталады, 

демек 

1 

lim/„

I I 

lim ^ fn(x)dx* Jlim f„(x)dx. 

Сонымен, (1) тендш орындалу уппн бершген "пзбектеп 

функциялар кандай шарттарды канагаттандыруы керек екенш 

аныктау актуалды мэселеге айналады. Осы багытта алгашкы 

кадам жасаган француз математип А. Лебег болатын. 

Теорема (А. Лебег). Е жиынында шектеугй, олшенетш 

( /» } :., функциялар Ti36eri бершеш жэне бул тазбек Е 

жиътньтнда шектеул1, елшенетш F(x) функциясына олшем1 

бойынша жинакталсын: 

f n(x)^F(x). 

Егер барлык натурал п сандары ушш Е жиыньшда 

тещлздш орыцдалса, онда 

тендш орындалады. 

\Ш \0 санын алып, 

230

Л11( а ) = Е (|./„(.т)-А '(х )|> < 7 ). fi„(< r)= Е(\/'п(х)~ F(x)\ В„(а). Сондыктан, 

== J i/„ ( x ) -f '( jr) U :f ||/„ ( х ) - £ ( х ) |Л . ( 3 ) 

(2) тецсгздйт бойынша, |/„( х ) - F ( x ) |

тецсшпш канагаттандыратын гг санын белгшеп алайык, 

Теореманыц шарты бойынша НтшД,

езек болды. Осы багыттагы мацызды зерттеулерге А. 

Лебегтщ, Д. Витфтдщ, Г.М. Фихтенгольцтын т.б. 

авторлардыц теоремалары жатады. 

§8. Риман жэне Лебег интегралдарын салыстыру 

Бэр функциялары. [и, А] кесшдшшде аныкталган f(x) 

функциясы бершсщ (шектеугй болуы шндетп емес). л„е [«./>] 

кесшдклжц кез келген -н-yKTeci жэне 6 кез келген он сан 

болсын. 

ОТ,,-(ДГ„) = inf {/(I)}, .V/

Теорема 1. (Р. Бэр). f(x) функциясы х0 нукгесшде uieicri мэн 

кабылдасын. Осы нуктеде f(x) уздЬседз болуы ушш, 

т(х0) = М(х0) 

тендшнщ орындалуы кджетп жэне жетюлйсп. 

Дэлелдеу. Кджеттшис. Бершген функция х0 нукгесшде 

уздйсйз болсын, демек, кез келген е>о саны ушш S = S(e)>0 

санын, /x-Xo/] 

кейндклнщ барлык х нуктелершде, 

/f(x)-f(xli)/ 0 саны ушш 5 = s(e) санын, 

т(х0 )-£ < т(х0) < т (х 0), Л/(х0) < МЛ(х0) < М(хп) + £ 

тецйзджтер1 орындалатындай eTin аныктайык Теореманы н 

шарты бойынша, т(хи) = Щх„) = f ( x j . Сондыктан, |х - х0| <

теншдктер! орындалады. Ягни, \/(х)-/{х0)\

Кдндай да болмасын / 

санын белгшеп алып, х0 нуктес! 

енетш [xi'J, xj'1,, ] кесшдюш табайык х„ белшекгеу нуктелерше 

тен болмагандыктан 4

т(х) пен М(х) елшенетш функциялар (жинакталу барлык 

жерде дерлж магынада). 

Салдар 2. Егер непзп леммада аталган fix) шектеул! 

функция болса. онда т(х) пен 

ннтегралданады жене 

М(х) Лебег магынасында 

Ь h Ь ,, -A t 

(L)^(p,(x)tlx -* (L) (l.)^l(x)dx -* (Z.)J M(x)ih. 

Шынында, егер 


Дсмск, 

А 

lim(S, ~ s,) = (/.) f(M(x) - m(x))dx ( I ) 

#и 

Математикалык талдау иошнен [и,ь\ кесшдюнде 

аныкталган f(x) функциясы Риман магынасында 

интегралдануы ушш, 

lim(5, - i , ) = 0 

болуы кажетп жоне жеткшжй екендш белгш. Демек, (1) 

тендт бойынша, 

I 

% '.‘i 

igjj(M{x)~ ni(x))clx = 0 (2 ) 

- и • . е ~ . , • . г . '• Л я Г ‘ iw 

болуы Керек. Ал, М(х)-т(х)>о. Сондыктан, 6-шы 

'А ... и 

параграфтагы 2-mi теореманын 2-mi салдары бойынша 

М(х)-т(х) ~0. 

Ягни, Щх) - т(х) .. Баскдша айтсак, М(х) [а,ь] 

кесшдасшщ 

барлык жершде дерлж т(х)-кс тец. Сондыктан, Бэр 

теоремасы бойынша, f(x) осы кссшдшщ барльж жершде 

дерлж узджаз. Теорема долелденда. 

Теорема 3. Егер [а.б] кеащцсшдс аныкталган f(x) 

функциясы осы кесщдще Риман магынасында интегралданса, 

онда бул функция осы кссщщде Лебег магынасында да 

интегралданады жоне 


Ь А . 

(й)|/(х)А = (£)|/(х)Д 

а . и 

Дэлелдеу. f(x) Риман магынасында интегралдансын. Бул 

жагдайда, т(х)=М(х) тендт [а,л] кесшдкшщ барлык жершде 

238

д е р ш к орындалады жэне, Бэр функцияларынын аныктамасы 

б о й ы н ш а , 

тексвд1ктер1 о р ы н д а л а д ы . 

т(х) < / (jc) < М {х) 

С о н д ы к т а н , f(x)~m(x), О л а й болса, 

( £ ) J / ( x ) & = ( /.) jm ( x ) ir = lim j,. ( 3 ) 

Математикалык талдау д э н щ е н , 

liras, = (tf ) J /( x 'W r ( 4 ) 

екеш б е л г ]л 1. (3) жэне (4) т е щ к т е р ш е н 

( 1 ) |/ ( х ) Л = (Л )} /(х )с& 

т ё н д ш н ё к ё л е ш з . Теорема д э л е л д ё н д а . 

Бул теорема кайтымсыз. О г а н дэлел - Риман магынасында 

интегралданбайтын Дирихле функциясы. 

§9. Туындысы бойынша аллашкы бейнеш аныктау 

Айталык, [a.h] кесшдюшде аныкталган уздшлз f(x) 

функциясыныц осы кеандще f'(x) туындысы бар болсын. 

(Кеандшщ а жэне в уштарында б1ржакгы туындылар). Осы 

туынды кандай шартгарды канагаттандырганда онын 

алгашкы бейнесш аныктауга болады деген сауал туындайды. 

Математикалык талдау понщде f'(x) Риман магынасында 

интегралданса, алгашкы бейне 

239

f ( x ) = f (a )+ \ f '(x)dx 

болатыны дэлелденген. Гярак та f'(x) (T in T i шектеул1 болсада) 

Риман магынасында интегралданбауы да мумюн. Мысалы, 

f'(x)-T\\i узшсп нуктелер жиынынын олшем1 он сан болса. 

Бул жагдайда, Риман интегралы туындысы бойынша алгашкы 

бсйнеш аныктай алмайды. Бул мэселега шектеул! туындысы 

бар f(x) функциясы ушш Лебег интегралы аркылы темендеп 

теорема шешедг 

Теорема. [«,/»] кесшдюшде аныкталган f(x) функциясыньщ 

осы кесшдще f'(x) туындысы бар болсын (кесшдшш а жене Ъ 

уштарында б1ржакты туындылар). Егер f'(x) шектеугй болса, 

онда бул туынды Лебег магынасында интегралданады жэне 

f(x)=f(a)+(L)]f XOdt 

болады. 

Дэлелдеу. Теореманын шарты бойынша, [а,ь\ кесщщсшде 

/(х)-тщ ш е к т е у ш туындысы бар. Сондыктан, бул функция 

осы кесшдще у з д й с а з . Е н д ! (л.б + i] жарты аралыгында 

f(x)=f(b)+(x-b)f'(b) 

деп алып, /(х)-тт [

limp„(jr) = f'(x ) 

жоне p„(a-) уздшлз функция болгандыктан, [а,л] кесишсшде 

елшенедг Сондыктан, f'(x), елшенетш функциялар шеп 

реннде, [«./>] кесшдюшде елшенед1 жоне шектеулг Демек, 

f'(x) Лебег магынасында ннтегралданады. 

Лагранж теоремасы бойынша, 

тендшне келешз. 

Л А> 0" 

I

аныкталган накты Д х ) функциясынын мэндер жиыны шекп 

немесе саналымды болса, онда бул функция жай деп 


Аньщпама2. X жиыныньщ а - аддитивта ми innd жиындар 

ж^ёсшде аныкталган /л олшсм1 и -аддитивта болсын жэне 

накты Д х ) функциясы осы жиында аныкталсын. Егер сандар 

есщдеп кез келген Борель жиынынын алгашкы бейнес! ми 

жуйёрне енсе, онда Д х ) бершген X жиынында /л-елшенед! 

леп аталады. 

Элбетте, накты сандар еанде аныкталган накты Д г) 

Борель функциясы болуы ушш (демек, Борель магынасында 

anineHyi ушш), осы естеп Борель жиыныньщ алгашкы 

бейнеа Борель жиыны болуы керек. (Борель магынасында 

олшенетш жиын Лебег магынасында да влшенетшш 

еетерщзге саламыз. III т. §3). 

Теорема 1. X жиынында аныкталган накты Дх) - жай 

функция жэне 7„ нуктесшщ алгашкы 

243

бейнеа .Г\у„) = л„ м „ жуйеа не снедь Демек, бул жиын 

// -елшенед!. 

Ж ет кш кт ш к. А„ - ц -елшенетш жиын болсын. Егер В 

сандар есшдеп кез келген жиын болса, онда Г'(В)= v А„ . 

\тшН 

Демек, бул жиын саны meicri немеее саналымды елшенетш 

жиындардьщ 6ipiKTipuiyi ретшде елшенедо. Ягни, Д х ) - 

елшенетш функция. Теорема долелдещц. 

Теорема2. X жиынында аныкталган /

елшенетш жай /(х) функциясы бершсш. Осы функцияныц 

езара тец болмайтын мэндер жиыны 

, J„

Олай болса, жене кдтарлары 6ipre 

абсолют жинакталады немесе жинакталмайды. Егер бул 

катарлар абсолют жинакталса, онда 

jf(x)dfj= J^yn//(Л„)= м(ВЛ 

А * 

{с,} сандарыньщ шйнде тен мэндшер1 болуы мушан. 

Жай функциядан алынган Лебег интегралына, алтыншы 

параграфта дэлелденген, Лебег интегралынын касиеттер1 тен. 

Солардын кейб1рше токтала кетейж. 

I. Егер /(*) жэне g(x) функциялары X -тщ елшенетш шиа 

А жиынында интегралданса, онда f(x) + g(x) -те осы жиында 

и нтегралданады жэне 

Д/’(*) + £(*)]Ф = |/(х)ф + jg(x)d/i. 

А А А ' 

Дэлелдеу. Айталык, А жиынынын озара киылыспайтын 

innd F. жиындарындагы Дх) -тщ мэндер1 /, жене G, 

жиындарындагы g(x) -тщ мендер1 g k болсын, жэне А 

жиыны a =

Сондыктан. 

/*(£,)=Хм*; 

* 

). m g,) =Хм*; nGu) 

ДЛ*) + 

Кдсиет дэлелдендг 

= X / fl{F, ) + Y jKi M Gi )• 

A ’ 1 * 

II. Егер Ax) функциясы X -тщ елшенетш iuuci А 

жиьшында интегралданса, онда кез келген Я саны ушш 

Я/ы -те осы жиында интегралданады жэне 

| я / ( . т ) ф = Я jf(x)dfi. 

Л .1 

Дэлелдещздер. Тгкелей тексерсещздер жеткшЬсп. 

III. X -т1н елшенетш iiiiK i А жиынында шектеул1 жай /'(*) 

функциясы интегралданады жэне, егер А жиынында |/(.г)|

nieri f\x) -тен А жиыны бойынша алынган интеграл деп 

аталады жоне [/(*)| 

тецмздшнщ салдары. 

Eidmiii шарттыц орындалатынын дэлелдеу ymiH, Kepi 

жорып, J, = lim J/„{x)dp жоне J, = lim \g„(x)d/j шектер1 езара тец 

A * А Щ 

болмайтын, /(x) -ке б1ркдлыпты жинакталатын {у„(х)}“ , жэне 

248

!х„ ( жай функциялар тазбеп бар деп есептейгк. Осы 

г^збсктерден 

/,{x).g,(x). 

•пзбепн курсак, онда бул тобек Д х) -ке б1ркдлыпты 

жинакгалады жене I 

1Л A I „ . j 

сандар Ti36eriHiH шеп 

болмайды. Бул б1ршпп шартк.а кдйшы. 

Yinmuii шартты дэлелдеу ушш, {/„(*)},", тгзбепндеп 

/..(г> = /(.V) деп алсак ж е т к т ю ! 

Лебег интегралынын непзп касиеттерше токталайык. 

Алдымен, Лебег интефалыньщ аныктамасынан т!келей 

туындайтын касиеттерш келт1рсм1з. 

I. |W /i - t-t(A) . 

II. Кез келген с саны ушш, (с-/(x)d// =

Салдар2. Егер А жиынында т < /(д.) < м болса, онда 

тщА) < | f(x)dp < М ц(А) болады. 

•I 

VI. Егер //(.4) = о болса, онда А 

жиынында аныкталган кез 

келген Дх) функциясы ушш 

= 0 . 

VII. Егер 

I Жиынынын барлык жер1нде дерлж Дх) = #(л-) 

(демек, /'(.v) - g(x)) болса, онда 

jJ'(x)dfi = \g(x)df.t . 

.1 А 

Осы касиеттерде кездесетш интегралдар бар деп есептеледк 

Жаттыгу. I—VII касиеттердо дэлелдеп шыгьщыздар. Бул 

жумыс Лебег интсгралынын жалпылама аныкгамасын терец 

тусшуге комектеседь 

VIII. Егер

Бул тенсиджтен, Дх) -тщ А жиынында интегралданатынын 

жэне 

Ijf( X)Ш - а1Ц А,) s X 1°' И 4 ) = j)/( x)\dfi < )dn 

течаздагшщ орындалатынын квремп. 

Енда, жалпы жагдайды дэлелдеу ушш 

.{ = {хеА: —

IX. 

= \f(x)d/j жэне Jj = J]/(x^d/л интегралдары cKeyi б1рден 

A 

A 

бар болады немесе болмайды. Дэлелдещздер. 

Bis осыньщ алдында X жиынында аныкталган /(*) 

функциясынан осы жиыннын белгшенш алынган, елшенетш 

А innd жиыны бойынша Лебег интегралын аныктап, 

касиетгерш зертгедж. Ещц X -тщ кез келген елшенетш А 

innd жиыны бойынша алынган If(x)dju Лебег интегралы бар 

Аь 

деп есептеп, осы интегралды X 

жиындар жуйесшде аныкталган 

. F(A) = 4f{x)dp 

А 

функциясы- рет1нде карастырып талдамакпыз. 

жиынынын елшенетш innd 

ТеоремаЗ.Егер jf(x)d/i, интегралы бар болса жэне езара 

А 

киылыспайтын, елшенетш Ап жиьшдары а = []а„ 

тендиш 

канагатгандырса, онда барлык и ушш \f(x)dn интегралдары 

А , 

бар болады жене 

Jf(x)d/j | Z \f(x)dfj 

А ' » А„ 

тецщп орындалады, тенджтщ оц жагындагы катар абсолют 

жинакталады . 

Дэлелдеу. Алдымен, теореманы у,,у7,...,уп,... мендерш 

кабылдайтын жай f ( x ) функциясы ушш делелдейж. 

деп алсак, 

Вк ={хе А: /(х) = ук}, Впк = {х е А„: f(x) = ук} 

\f(x)dn= ) = 'Ey к Е Ш 1 ) - 

Л * * и 

252

= >=X (3) 

xeiwiKTepi орындалады. /(x) функциясы А жиынында 

интсгралданады, сондыктан катары абсолют 

* 

жинакталады. Жэне (3) тёвдотндеп жиындар олшем1 Tepic 

сан емес. 

Олай болса, (3) тецдтндеп баска катарлар да 

абсолют жинакталады. Теорема, карастырылып отырган 

жагдайда. дэлелдендь 

Енш, жалпы жагдайды карастырайык. Дх) функциясы А 

жиынында интегралданатын болгандыкган, кез келген $ >о 

саны ущщ А жиынында интегралданатын жай g{s) 

функциясын 

\Дх) - к(*)| < с (4) 

тснсгздт орындалатындай етш табуга болады. Ал, жай 

функция ушш теореманын орындалатыны дэлелдендг 


(5) 

жэне барлык Л жиынындарында g[x) интегралданады, ал 

сонгы катар абсолют жинакталады. (3) жэне (5) 

тенд!ктершен, (4) тецс1здшН ecKepin, 

j J/ (.vWjU—|#(х)ф Zep(A) 

253

тецйзджтерше келсм1з. Бул тецйздцсгерден, X 

о ,\т 

катарынын абсолют жинакталатынын жэне 

тецсодю орындалатынын коремгз. е кез келген аз шама 

болгандыктан, 

X J = \f(x)d^ 

1Аф А 

тендш орындалады. Теорема толык дэлелдендг 

Жаттыгулар 1. Егер /'(д) .А жиынында интефалданса, 

онда бул функция А жиынынныц кез келген олшенетш А, 

1ш ю жиынында да интефалданады. Дэлелдещздер. 

2. А жэне озара киылыспайтын л,,л,,..„л,.... жиындары 

.-I = |J ли тещцгш канагаттандырсьш жэне X f|A-r)|4“ катары 

II . ; Ш ; , . " Ав 

жинакталсын. Осы шарттар орындалган жагдайда, ./(л-) 

функциясы А жиынында интефалданады жэне 

]/(*)ф = X {/(*) ф 

А | А„ 

тендш орындалады. Дэлелдещздер. 

BipiHini жаттыгу - З-mi теореманын салдары, 2-iui жаттыгу, 

белгш магынада, З-mi теоремага Kepi теорема. Осы 

жаттыгуларды орындау аркылы Лебег интегралын жэне онын 

касиеттерш игерген денгейщ1зд1 аныктайсыз. 

Чебышев тецаздш. Егер А жиынында косындыланатын 

0 .Y) функциясы (р(х) > о тецйздшн канагаттандырса, онда кез 

келген о О саны ушш, 

254

ц{х 6 А : с} < - Jp(x) df.1 (6 ) 

теназдш орындалады. 

Дэлелдеу. Егер в = {хеА . с} деп алсак, в с а жэне 

= Jc-fi(B) 

А Н А\В И 

тецаздш орындалады. Бул тецс1зджтен, 

f.t(B)

I J/(x)c/J < £ (7 ) 

тецсйздш орындалатындай eTin табуга болады. 

Дэлелдеу. Егер fix ) 

шектеул! болса, демек, А жиынында 

I 

\f(x] < м тец аздш орындалса, онда jf(x)j/j < \\f(x\d/j < м ■те < е 

деп алсак,, 8 = — саны ушш теорема орындалады. 

м 

Ещц, f{x) функциясы А жиынында косындыланатын 

болсын. 

Ап = {х 6 А : п < f(x ) < я + 1}, я = 0,1,2,..., 

П с П :■'■'* > ’ ., t 

депг шхсак, бул жиындар езара киылыспайды, л = и а„ тендш 

. .* —>| »• л>0 

орындалады Жане, З-uii теорема бойынша, 

Бул тещцктеп катар абсолют жинакталады. 

Сондыктан, кез келген £>о саны уиин я0= я„(г) саньш, 

тец аздш орындалатындай етш табуга болады. Осы п0-д1 

белгшеп алып, 

В„ = и л жене Щ = л \ ж 

о /|=0 0 

жиындарын курьш, 8 = —^ —г деп алсак, Ж )

\f{x)dn < | /(х](ф = J| f{x\dfi + \\f{x\d/j < 

t r caW^ eof' 

^(no+1) ^ c+ Ё 

= t 

«"4 *1 rti Л. “ 

тецаздшне келем1з. Теорема дэлелдендг 

Лебег интефалынын тертшнп касисп бойынша, егер 

М-0=о болса, онда осы жиында косындыланатын кез келген 

f(x) функциясы ушж, [f(x)Up = o болады. Бул касиетп 

А 

долелденген теореманыц шекпк жаГдайы деп карастыруга 

болады. 

Ещц, соцгы теоремага кдйта оралайык. /(*) -Tepic мон 

кабылдамайтын, X жиынында ц елшем! бойынша 

косындыланатын функция болсын. X жиынынын 

//-елшенетш мг, = {л.лс.х} жиындар жуйесшде аныкталган 

F(a)= | f{x)dfj 

функцияеын карастырайык Элбетте, F(.4)>0 жене 

ст-аддититт, демек, егер А жиыны езара киылыспайтын 

А 

...л,.... жиындарынын 6ipiicripuiyi болса ^4 = u.4„j , онда 

F(/f)=^F(/4„) жэне ц(а) = 0 болган жагдайда f [a )= о болады. 

|1 

Сонымен, mepic мон кабылдамайтын функциядан алынган 

Лебег интегралы, Мц жиындар жуйесшде аныкталган функция 

ретшде, 

a-addumuemi елшемнщ барлык касиеттерше ие. 

Ягни, бул интегралды Mv жиындар жуйесшде аныкталган сг- 

addumuemi влшем деп санауга болады. 

257

Лебег интегралын зерттеущ интеграл астында шекке кошу 

георемаларымен аяктаймыз. 

Теорема 5 (Лебег). Егер [/„(*)}'., йзбей А жиынында Дх) 

функциясына жинакталеа жэне п -HiH барлык мэндершде 

\f„(x)\^tp(x) 

тецс1зд1йн канагаттандыратын жэне А жиынында 

интегралданатын о саны щ ш S = S(t) саньш, v(e)

тсназдш, n>nt, шартын канагаттандыратын барлык я ушш 

орындалатындай етш табуга болады. Теореманьщ шартгары 

орындалган жагдайда, (8) жэне (9) тецшджтершен 

| / ( х ) ф - J{/(х)- /,(jc)|dji +j)/(x)- /„(x)jф s 

,4 ,1 I A., 


Дэлелдеу. А жиынында ./;(*)> о деп жорамалдайык 

KcpiciHuie жагдайда, бершген тобектщ орнына 

/;, (т) = /„ (дг) —/; (.v) тазбепн карастырган болар едж. 

В = {хе A : f,(x) —*«} 

болсын. Кез келген т > о санын алып. 

€ А : /„(х) > т) 

жиындарын курсак, й = п[иД,'""] болады (тексерццздер). 

Чебышев тенспДш бойынша, //(/'"”)< — тецс1зджтер1 

т 

орындалады жэне 

в;т1

в, = у л, деп алайык. Бул жиында /Дх) пен f(x) 

функциялары шектеуги жоне А жиынынын Д, imid 

жиынында 9»(х) 5/(*)+1 тецсйдш. орындалады. Сондыктан, 

jp(x)dfi< jf(x)dfi+ J c / ^ = l im [fk(x)dv + fj(Bs)

тецйзд1гш канагаттандырса, онда А жиынында /(*) 

интегралданады жэне 

ff(x)J// £ к 

тецсЬдт орындалады. 

Дэлелдеу.

Егор X жиынында кдрастырылатын // елшем1 саны 

саналымды, шекп елшемгп жиындар елшемдершщ 

косындысы ретпэдс аныкгалса, онда бул елшем а-шёкпи деп 

аталады. Сандар осчнде, жазыктыкта жэне /-олшемд1 Евклид 

ксндсштндс аныкталган Лебег елшем! - а-шекШ елшсмнщ 

мысалы. Егер сандар есшдеп ap6ip нуктеге 1 салмагын 

берсек (нуктенщ елшем1 1 деп алсак), онда саны шекп 

нуктелерлен туратьтн жиын елшсм1 шекп болады, ал баска 

жиындар елшеш шекс1з. Сондыктан, бул елшем о--шекп 

болмайды. 

Егер монотонны оспеш {л.,}”, жиындар Ti36eri (демек, 

л , с .V, с ... с х. с ... шартын канагаттандыратын пзбек) 

I»-! 

тендщн канагаттандырса, онда {а,,}’ , тауысу т1збегг' деп 


Аныктама 5. о -шекп ц елшсм1 аныкталган X жиынында 

олшенетш /Щ функциясы бершеш. Егер бул функция А-пн 

кез келген елшенетш iiiiKi А жиынында олшенсе жене e p 6 ip 

J.V.. , тауысу тгзбеп бойынша алынган, жоне осы пзбектен 

тэуелеп 

lim | / ( х ) ф 

шеп бар болса, онда бул шек, -fix) -тен 

X жиыны бойынша 

алынган интеграл деп аталады жэне Jfix)dp деп белпленед!.

Демек, 

jf(x)(l/i = lim J/(.r)шы meiccii елшемд1 X жиыны бойынша алынган 

интеграл аныкталады. 

Егер Д х) функциясы шсктх олшемд1 жиыннын 

толыктауышында иолге тен болса, онда сонгы аныктама мен 

шект1 елшемд» жиындагы Лебег интегралынын аныкгамасы 

мондес болатыны айкын (талдап корщхздер). 

Егер //(Л') = со болса, онда олшенетш шекхеуш функциядан 

алынган Лебег интегралынын бар болуы шндетй емес. 

Мысалы, X жиынында туракты функция (/(.v) = с, с-* 0) 

интегралдаибайды. 0лшем1 шекп жиында аныкталган Лебег 

интегралынын баска кзсиеттср1 олшем1 шексгз жиында 

аныкталган Лебег интегралы ушш де орындалады 

(дэлелдещздер). 

Ж ат т ы гу. бяш еш шекп жиында аныкталган Лебег 

интегралы ушш делелденген Лебег, Б. Леви жэне Фатудыц 

интеграл астында шекке кошу туралы теоремаларын олшедо 

шекиз жиында аныкталган Лебег интегралы ушш 


264

IV ТАРАУРА ЖАТТЫГУ 

1.{Дх)}" функциясы Е жиынында елшенсш. Егер п так 

натурал сан болса, онда f(x)-те Е жиынында елшенетшш 

дэлелдещздер. Егер п жуп сан болса, /(х)-тщ елшенбеу1 де 

мумкш. Дэлелдещздер. 

2.Егер Е жиынында f(x) елшенсе, онда |/(x)j осы жиында 

елшенетшш дэлелдещздер. 

3.Егер Е жиьгаында f(x) жене g(x) функциялары елшенсе, 

онда 

/и(х) | min{/(x).g(x)}, V/(.r) = max{/(x),g(\)} 

функциялары да Е жиынында елшенетшш делелдещздер. 

4.Егер f(x) функциясы [а ,л] кесшдкпнщ кез келген [а,/У] 

iuiKi кесшцйсшде елшенсе, онда бул функциянын [а.&] 

кесшдаспЩе елшенетснш дэлелдещздер. 

5.Егер [a,fe] кесшдасшщ барлык нуктелершде f(x )-iщ 

туьщцысй бар болса, онда осы кесшдще аталган туындыныц 

елшенетшш дэлелдещздер. 

6 .Е жиынынын елшену! ymiH, онын сипаттама 

функциясынын елшену! кджетп жэне жеткшкп екенш 


7.Сандар есшщ барлык нуктелершде узшста, елшенетш 

жэне мендерш елшем1 нелге тен кез келген жиында 

езгерткенмен, осы естщ барлык нуктелершде узш сп болып 

кала беретш функция курыныздар. 

8. [а,&] кесйшсшде аныкталган узджйз функциянын осы 

кейндще елшенетшш дэлелдещздер. 

265

9. [] кеишйанде шектелген нариациялы функциянын 

©лшенетшш дэлелдещздер. 

10. ip(i) функциясы Е жиынында елшенан жэне к, =

15.Белпленш алынган кез келген п ушш, к шеказд1кке 

умтылганда, .fl“\x)^>f"'(x) жэне, п шеказдйже умтылганда, 

/‘"*(x)-t/(х) болса, онда { / * йзбепнщ /(х)-ке елшем! 

бойынша жинакталатын iunci избей болатынын 


Бул теоремадагы елшем1 бойынша жинакталуды 

Е-нщ 

барлык жершде жинакталумен алмастыруга болмайтынын 

корсетицз. 

16.а

20. [«,л] кесщдюшщ кез келген олшенетш iimci жиынын Е 

деп белгшеййс. Осы жиыннын л, (х) 

Лебег магынасында интегралданатынын жоне 

h 

(L)Ja, (x)dx = тЕ 


сипаттама функциясы 

21. Темендеп функциялардыц [о,|] кесшдюшде кай 

магынада интегралданатынын аныктап, осы кесшд! бойынша 

Лебег интегралын есептещздер: 

\ . f.v2, егер х е /[O.ll В. . 

а) ./ х ={, . б) /(х) = 

(1, егер х е 

'1 

х'.егер х-е / -,1 

х . егер х е I 0,- 3 

0, егер х е £>[0,l} 

В) /(х ) = 

sin лх, егер х е 0, — п 6 ’0, 

соЗлх, егер х е пС„ 

х 2, егер х еР0; 

ГО, егер х е Р0, 

Г)/(х) = 1 1 

, егер хеС , 

№ 

1 , егер х е Ф 4 

д) / { х Щ Ж 

[х \ егер х е 0[0,l], 

[«, ft] кейндюшщ иррационал нуктелер1 / [o,i], ал рационал 

нуктелер1 Q [од] деп белгшенген, Р0. G„ - Кантор жиындары. 

268

V 

ТАРАУ 

Л Е Б Е Г К Е Щ С Т 1 К Т Е Р 1 

§1. Лебег магынасында крсынды.шнатын функциялар кещстш 

Осы жэне келесм тарауда Е = [и.ь] деп алып, накты сандар 

eciniH [

L 

[и.ь\ жиынында елшенетш / (д) функциясынын кимасы 

осы жиында олшенед!. Шынында, кез келген накты J саны 

ушш, 

,./r ,/ \\ \ U U (*)>“)■ etvpa а) - \ гл 

(0, егер а 2 п. 

Бул тенндктш он жагындагы жиындар олшенедг 

Бершген функцияныц кималары ушш к жиынында 

орындалатъш 

. • .v - *; l / U ) l / s L / ( i c ) j A - . 

гс не i зл i KTCpi аркылы, 

jb 'teJl/'frsfl/i* )]:

деп алсак, 

/(х )= /Д х )-/Д х ) 

болады жэне /Д х), /Д х) функциялары Tepic мэн 

кабылдамайды. 

Аныктама 3. Егер /Д х) немесе /Дх) функцияларыныц ен 

кемшде 6ipeyi L- интегралданса, онда шекп немесе шекйз 

\i,(x)dx- j/.(x)

Аныктама 4. s жиынынын f{x) пен

кез келген /(х) функциясы 

1(\)+о= t(x) деп санаймыз. 

f{x)+o~ f{x) болгандыктан, 

Аныктама 5. /(г) функциясыныц нел функцнядан 

кашыкгыгы f{x)-riH молшерг (нормасы) дсп аталады да, f/j деп 

бшпленеда. Демек, аныктама бойьшша, 

|/| = p(f. 0) = \\f{x]dx. ( 3 ) 

Мелшер темендеп аксиомаларды кднагатгандырады: 

1. |/| = о болуы ушш, /(х)=о болуы кажетп жэне жеткшкн; 

2. |Я /| = |я|-|/||, я- кез келген накт-ы сан; 

3. ||/^||< |/1 |+1я,||: 

Жаттыгу. Лебег интегралыныц кдсиеттерше суйснш. осы 

аксиомалардыц орындалатынын дэлелдещздер 

/[«.ft] KeHicTiriHiH /(х) 

жэне #(х) нуктелер! арасындагы 

:(/. о санынан тэуелд1 п, = п„{с) 

273

натурал санын, п>п„ тец сЬ д тн канагаттандыратын барлык 

натурал п сандарында ||/„ - /|| < е тец азд ш орындалатындай 

eTin табуга болатыны кджетп жэне жетюлжтг 

Теорема 1. Егер i[a.h} кещ етш нщ {/„(*)}” ,' Ti36eri /(х)-ке 

орташа жинакталса, онда бул тзб ек осы функцияга елшем! 

бойынша жинакталады. Ягни, 

:/я(*)—у--»/(*)=> /„(*)—!i—> У(х). 

Дэлелдеу. Кез келген а>() санын белплеп алып 

An(c)=Eitn(X)-.f(x)>a) 

жиынын курайык Элбетте, А„((т)а[а.ь]. Сондыктан, 

p{f,j) = f t Й | /(* } o-mA„. (6) 

V/ ' ■: .t*# ’ 

Бул тецызджтщ сол жагы нелге умтылады, ал а бейгшенш 

алынган сан. Олай болса, Пт тАп( я ) = 0 . Теорема дэлелдендг 

Л— 

Дэлелденген теоремага Рисс теоремасын колданьш 

темендеп салдарга келем!з. 

Салдар. Егер l\a.h] кещетш нщ {/„ (*)}'!, тазбеп осы 

ксщст1кт1н f(x) функциясына орташа жинакталса, онда бул 

пзбектен /(х)-ке [а,ь] 

жинакталатын 

кесмщсШ®, барлык жер1нде дерлж 

innd тазбепн бел in алуга болады. 

Теорема 2. L[a,b] кещепгщде /(х)-ке орташа жинакталатын 

!./;,(*)}- тазбегшщ тек кана 6ip шеп болады. 

Дэлелдеу. Кершшше жорып, [/„(x)j”=/ Ti36eri f{x) -тен баска 

,ч(\) функциясына да орташа жинакталады деп алсак, онда п 

шеказдйже умтылганда 

274

p( fn ■/ ) 11./„ - ./ II -* 0 жэне />(/„ ,g) I |,/„ - jS -*• I • 

ондыктан. 

шааш-Л1М1Л-*1 и 

геназдшнщ он жагы нелге умтылады. Олай болса. 

Ь 

|/ - g|| = II f(x)~ g(x)| dx 1 0. 

Демек, /(x)~g(x). Ал, L[a,b] кецютшнде езара эквивалентп 

функциялар 6ip функция деп саналатыны жогарыда айтылды. 

Теорема дэлелденш. 

Теорема 3. Егер i\a,b] кещстшнщ . (/„(*)}'_, Ti36eri осы 

кещстхкте /(х)-ке орташа жинакталса, онда | пзбеп |/1|| 

ке жинакталады. 

Дэлелдеу. Щ жэне , - /| 

теназдЬстершен | jj/J - 1|/|| | < ||/, - /|| Ш цйздтнё келемгз. Бул 

тенйзлжтщ он жагы нелге умтылады. Сондыктан. |/;J-» |/|. 

Теорема дэлелдевдд. 

Теорема 4. L[a. ь]-толык епщеудшр кещепк. 


l{a,b) KeHicTiriHin кез келген фундаменталды 

тибсп \fS4l,- болсын. Демек, п мен | | шеказдйске 

умтылганда, 

/> 

нолге умтылсын. Enai, ecпeлi я,

тениздш орындалатындай етш аныктайык- Элбетте, мундай 

ном1рлер табылады. Бершген пзбектщ (5) тецслздктерш 

канагаттандыратын k , w t limKi нзбепнен курылган катар, 

болуы себепй, абсолют жинакталады жэне, катарларды 

мушелеп интефалдау теоремасы бойынша, 

jf ix\ +2| /пк., м - /»* i | ) 2 = f e W[A +£ {Kw (*)-/„* 

■Д i Л-/ / о Acl(f > •’ / 

тен д ш орындалады. Сондыктан, 

катары абсолют жинакталады. Ендй 

./«,(*)+ I (/!*.,(*)--/»*(*)) (6) 

k=l 

деп алып жэне (6) катарынын Sk (х) дербес косындысы 

sk(*)= /„ (*)+ ZU,.. (х)~ f, (*))=/», (*) (8) 

О*! 

оксндн ecKepin, {/;a,V(}” / Ti36eri [«,fc] кеащцсшщ 

барлык 

жершде дepлiк жинакталатыньга корем1з. Осы шею! ./„(а-) деп 

бслгшешк. (7) жэне (8) тенд«стершей, 

=Ш ш |B f f l Бул 

тенйздпс к -нын барлык натурал мэндершде орындалады. 

Сондыктан, А-ны шексцздцске умтылдырып, |/„(х)|

Енд» бершген тобектщ /„(г)-ке жинакталатынын 

долелдейнс, демек, и шекс1зддасе умтылганда, р(/„,/и)-дщ 

нолге умтьшатынын керсетещк. Шынында, бершген тазбёк 

фундаменталды, сондыктан, кез келген оО саны ушш 

я, *«,(щ жэне пк >я, тецоздйсгсрш 

канагаттандыратын п мен nt сандарында p\fa.fm)< - 

теназдш орындалатындай етш табуга болады. 

тйбей 

Т, (л)-ке жинакгалатындыктан, п, = я,(е) санын ».> и, 

тенскданн канагаттандыратын барлык |§ еандары ушш, 

р{/„ .../»)< — теназдш орындалатындай етш табуга болады. 

Бул теназдйсгерден, л >та.-^п,,л.} жэне л, >тлд{л,,л,} деп 

алып, 

/>(/,./«) ■/«,)+Д/*. /»)< f +f =с 

тсщстздшне келемЬ. Теорема толык делелдендк 

Жаттыгулар. 1. Егер [«.ft] кесшдаанде /„(*) 

Ь 

щ р I dx - » |

§2. Лебег магынасында квадратымен крсындыланатын 

функциялар кещстш 

Егер [а.ь] кесшдкщде аныкталган елшенетш /(*) 

Функциясы \f3{x)dx

jQ-sa THicri кез келген f(x) жэне #(x) функциялары 

тенсгздтн кзнагатгандыратынд ыктан, 

2|/Ш * )|* /ЛИ+*ЛМ (1) 

Ь ь * 

2 |}/(х)г(х)Ц S J/ (х)

дсп алып, осы санньщ кашыктык аксиомаларьш 

кднагаттандыратынын делелдешк. 

Бул сан Tcpic емес жоне 6ipiH iiii, екшип аксиомалардын 

орындалуы кумешлз (тексернцздер). Ym iH m i аксиоманын 

орындалатынын делелдейпс. Осы максатпен /2 жиынынын 

кез келген и(х) элементш алып, (К.-М .) т е ц а з д т аркылы, 

с) - /»(*)) + (h(x) - g(x))]2dx

Bidmui аксиоманын орындалатыны делелдендт 

Ушзнйп аксиома - Коши-Минковский теназдш. 

L [о,/] кещсппнде кдшыктык мелшер аркылы p(f и)=|/' В#| 

typinae орнектеледь Сондыктан, келешекте 

= {l2.fj(fg) = ||/ - gj|) 

деп аламыз. 

Ь 

Аныктама 2. (/>)*]Дх)у(х)] кещстщнщ {/„(*)}*_, Ti36cri мен /„(л) 

функциясы бершсш. Егер 

281

lim />(/„. /„)= lim ] - /;,(*)]'

болгандыктан, ЩшрЙ орташа жинакталмайды. Егер 

гг »-/ 

л/*, егер хг 

0. егер я. х е 

деп алсак. ф . /] кещстшнде п шеказдиске умтылганда 

/•»(»„.Ре) = | ^\fkdx = -у- -> О. 


/ (а/} кещспгшде. 

тЬбеп р„(х)-ке орташа жинакталады. ал 

Av>„ .-)}” 

raiKi тпбегш 6wrm алуга болады. 

L.[a.b] кещстшнде аныкталган мелшердщ уздткевдт /.[п.л] 

кещетшндеп мелшердщ узш каэдтне уксас делелдснед1 

(§1, Т.З). Дэлелдещздер. 

Скаляр кебейтйшнщ уздаказдшн дэлёлдёйзк. Айталык, 

/(х ), 

(3 ) тецаздшн ecKepin,

|C/vi* )~ C/w•£«,)[ J (./« .///»X*)"*’C///'£n " — 

Mn)=(fo>go)‘ 

, .............. . »/-*Г 

Скаляр кобейтшдшш, узджаздш доледденш. 

/..[«.л] кещетшшн толыктыгын долелдейж. 

Теорема 2. (Рисс). L\a,b) кещстшнщ кез келген [/,,(*)!', 

Фундаменталды тпбеп осы кещетжте жинакталады. 

Дэлелдеу. 1г[а.ь\ KeHicTiriHiH кез келген 

(фундаменталды пзбегш алайык. Бул кещспктеп жинакталу 

орташа квадратты болгандыкган, кез келген о о саны y m i H 

осы саннан.тэуедщ. я„ =п„(к) санын, 

- В - f e , w | /»w f * < с' 

о 

тецаздш п>п„ тецаздшн канагаттандыратын барлык «-дер 

мен кез келген натурал р ушш орындалатындай етш табуга 

болады. Енщ, еШМ к-1.2.3,..., деп альш, п,

1 

< 


J[/„, Wj dx + ]T jj/„, , (x) - Д (x)j d\ 

it 

a 

катары жинакталады (кдтардыц м$шелер! еселщ - болатын 

1еометриялык профессиянын мушелер1мен шектелген) жене, 

ка гарды мушелеп интегралдау теоремасы бойьшша. 

renn.iri орындалады. Сондыктан, 

Л, (х) + X (/»„,(*) - А (*)) 

катары абсолют жинакталады. Ецш, 1-ий параграфтагы 3-mi 

теорема дэлелдеуш сезбе сез кайталып, { /„ (х )} ^ , Ti36eri [а.ь] 

кесшдгсшщ барлык, жершде дерлж жинакталатын /(л-) 

(|)ункдиясынын бар екенше кез жетюземв. Осы функциянын 

/. [«.л] K enicT iriH e r a ic T i екенш керсетейж. 

(6) тецйздшндеп п = пк жене п+р = пш. т >к, деп алайык 

Осы сандар утшн 

тецаздш орындалады. т шекс1зд1кке умтьшганда интеграл 

астындагы функция [a,h] кеЫщцсшш барлык жершде дерлж 

[/(')-У„ (х)] функциясьша умтылады жэне, соцгы тецаздж 

285

ш -нщ барлык, мэндершде орьщцалатындыктан, 

и 

Бул тсназднстен, Коши-Миновский тец ы зд тн найдаланып. 

(7 ) 

- М л * )- f«k § | Ш+ ]. 

Ешц, бершген Ti36eriHiH ./(л-)-ке орташа квадратты 

жинакталатынын дэлелдёйж. Осы максатпен, кез келген н>0 

саны ушш к санын, у < ~ тецсвдш орындалатындай eTin 

алайы к Осы сан уийн, (7) тещйздт. бойынша, 

||/1 ./«* 111 j[/M | /„* И 2

Параграф соцында л] кещстшнщ сепарабельш екенш 

дэлслдсйнс. 

Теорема 3. Теменде аталган жиындар ф.й] кещетшшн 

барлык жершде тыгыз: 

1. [«./>] кесщщсшде елшенетш шектеут функциялар 

жиыны М ; 

2. [c/./j] кеещдютде уздйсаз функциялар жиыны с; 

3. [] KeHicTiriHin кез келген элемент /(л) болсын. Бул 

(функция урин 

тецаздш орындалады, демек, квадратымен косындыланатын 

функция косындыланады. Сондыктан /(*) Шб| кеешдюшщ 

барлык жepiндe дерлж шектеуль 

287

деп алайык. Элбетте, Е, с Е. с...с Ея с... . Нгер л • Пт Е болса. 

в*##* 

онда ,»(/■. ', //) = « болады. Сондыктан, кез келген >/>« саны yuiin 

и. - n(ri) санын, п > п„ теншдшн канагаттандыратын // -шц 

барлык мэндер1нде те - т(Е\ а)< ц тен содт орындалатындай 

спи табуга болады. Енд1, 

дсп алып, 

L . . \ f\x\ егер \f(x)\ < п. 

• I/i I г! \1 

Щ егер ]у(х )|> « 

I/ - /J* = J[/(*) - /, (*)] сЬ = J f (х) с/х 

гещпгше келем1з. Лебег интегралы абсолют узджаз. 

Сондыктан, кез келген с>« саны ушш ч = п(с) санын, ц(*)

жоне \

ciwin аркылы ) “ 1/|: • |л|: - формуласына 

кслемп (вскторлардыц скаляр кобеий ши ci мен 

салыстырьщыздар). 

Аныктама 1. Егер LJa.bJ кещстшнщ fix ) жоне g(x) 

■j.'ieMCHTTcpi ymiii {f,g)—0 тен д т орындалса, онда бул 

Функциялар озара ортогоналды дсп аталады (Ак). 

Егер fix) жоне g(x) озара ортогоналды болса, онда 

||/ + к|| '= ( / +• g.f + g)=(f..f)+ 2[f.g)+{g.g) = \J\ "-t-l!" 

ici-miri орындалады. Демек, |j/+g|-=j|/|-+J^i|-\ (Пифагор 

теоремасы!). 

Аныктама 2. Егер LJa.bJ кещстшнщ fix) элемент! ушгн 

;• / 1= yjif.f) —1 т ен д т орындалса, онда бул элемент 

мшшерленген деп аталады. 

Аныктама 3. L Ja,b] кещстшнщ 

Щ (Х)лр1 (X ( 3 ) 

\>лсменттер тобегшщ барлык к жэне / (k*i) индексп 

^TCMeHTTepi уппн 

(

leitairi орындалады (8kj - 1, егер k=i 

Гюлса). 

жэне Ski-0 , crep k*i 

Ортогоналды жэне ортомолшерл1 жуйелердщ мысалдарын 

келйретк. Осы максатпен, LJ-n^J кещстшндеп 

I, cosx, sinx, cos2x sin2x,..., cosnx, sinnx, (7) 

тп&епнщ ортогоналды жуйе болатынын дэлелдешк 

Шынында, барлык я yipiri 

П 

( I, cosnx) = \cosnxd = 0, (l,sinnx)= 

Я 

\sinnxd =0. 

-П -я 

Ягни,

X 

iИ '»(/./)- \dx=2n\ 

Щ ~42л. 

IT 

mv/.v|| '= (cosnx,cosnx)= fcos2 nxdx- n ; | cosnxj = yfn; 

/Г 

.w'/f/j.vf" = (sinfix,sinnx) — jsin2nxdx= л ; \ч т п х \-4 л \ 

Ортогоналды (7) жуйеандеп функцияларды олардын 

мел шерл ерше белш, 

/ sinх cosх sin2x cos2x sinnx cosns 

... (8) 

у[2л ' 4 л ’ у[л ' у[л ' л/л ’ ’ 4 л * . 4 л 

ортомелшсрл1 жуйеге келем1з. 

Аныктама 4. L Ja .b/ кещсттнщ элементгер жуйес1 

бершеш. Егер 

A - i f i + + — + K f « - ® (9) 

тендт, тек кана Я, =Л. = ...= Я(1=0 болганда, орьщдалса, онда 

бершген жуйе сызыкты тэуелйз деп аталады. KepiciHiue, 6api 

б i рдей нелге тец болмайтын жэне 

(Ю). 

тендтн канагаттандыратын chc2,...,cn сандары табьшеа, онда 

бул жуйе сызьпсты тэуедщ делшеш. Соцгы жагдайда, 

бершген жуйенщ баска элементтершен сызыкты тоуелд1 

болатын элемент! табылады. Мысалы, (10) тендт спФО 

болганда орындалса, 

292

болады. Демек, /„ элемент! f,J 2,■■■/,-! элементтершщ сызыкты 

пркесп (комбинациясы). 

Аныктама 5. Егер L2[a,bJ 

кещстшндей {f„(x)}^, пзбегшщ 

кез келген шекп iund жуйей сызыкты тэуелаз болса. онда 

бул пзбек сызыкты тэуелаз деп аталады. 

Элбетте, LJa.bj KeHicTiriHiH {

Осы элементтердщ сызыкты TipKeci 

п п пт. (h m n m 

s & Ш ж £ ck fk = jr г X я/ £ Ш , 

'/=/ /W *=/ *=/ /=/ *=/ [a,b] кещстшнщ кез келген сызыкты тэуелаз {/„} жуйеа 

бойынша ортомелшерл! {(р„) жуйесш, осы жуйеден 

туындайтын сызыкты кепбейне {/„} жуйесшен туындайтын 

кепбейнеге тен болатындай етш куруга болады. 

294


f 

Ш Ш |1 деп алсак, \

Бул теоремадан кез келген сызыкты тэуелаз {/„} жуйесш 

ортомел шерл! {(ри жуйёамен алмастыруга болатынын 

корем1з. Осы теореманын делелдеу жолы Шмидтщ 

ортогоналдау процеЫ деп аталады. 

Мысал. LJ-1,1] кещстшндей сызыкты тэуелаз 

жуйеа бойынша ортомел шерл1 {(р„) жуйесш курайык. 

I 

Шмидтщ ортогоналдау npoueci бойьшша, ||l||2=(l,l)= ^dx = V2 

бедаандыктан, -ср,(х)-=^=. Енд1, = v-cv^, дел алсак, 

ж И в 

0. Сондыктан, 

, " J ■W * 2 [2 

|[Я’Г *(х,х)= \x-dx~- болгандыкган, |gJ = J - . Олай болса, 

-I 3 ' V 3 

р2(х)=^х. Осыган уксас,

келген * > О саны ушш Та,

Сонымен, L .la .b J кещ сттнщ кез келген / эдементшен, 

коэффициенттер! (1) формулалары бойынша есептелген, 

Фурье катары туындайды. Олай болса, “ L,[a.bJ кеш сппш ц / 

элемент! мен осы элементген туындайтын Фурье катары 

косындысыньщ арасында кандай байланыс бар f элемент! 

кандай шартгарды канагаттандырганда, ол o3iHin Фурье 

катарынын косындысы болады” 

деген сауалдар орынды. 

Аталган сауалдарга жауап беру - осы параграфтын непзп 

максаттарынын 6ipi. 

п 

Фурье катарынын s„ = Цскф^ дербес косындысы мен 

к-1 

L [ a : b ] кещетшнщ / элемент! арасындагы кашыктыктын 

квадратын аныктайык: 

Бул тещцктеп 

/-V,,) = ||У —-Тл||2 = ( / - .v„. / - sn) Ч / . / ) - 2 ( /,л ,,) + (.V,,. v„) . (2) 

( f.s „ В Щ ± с к(рк Ш ± c k(f.(p k I Я I (3) 

k=J к=1 к-1 

(sn.sn )= Ш Щ Ш с Ж )= tcU

нал ад ы. Бул тецазджтеп п кез келген натурал сан 

болгандыктан оны пгскйзджке умтылдырып 

&Й11/1Г (7) 

Ы 

тенсгшгшс келешз. Бул тЬцаздэос те Бессель т ецаздт 


ы 

дсп 

= 1/12 (8) 

reitairi туйыктык формуласы немесе Парсевалъ тендш деп 

аталады. Егер туйыктык формуласы орьпщалса, онда Бессель 

Iе нбе -тенд шнен 

lim I./ - ха I -= lim(f/ | | )= О 

n ~*a ' n ~*f° k - f 

теццшне келем1з. Демек, Фурье катарынын {•»„}',, дербес 

косындылар йзбеп / ( . х ) - к е орташа квадратты 

жинакталады: ....-> Дх). 

Аныктама 2. Егер U[a,bJ KeHicTiriHiH кез келген / 

элеменп ymiH туйыктык формуласы орындалса, онда Jv>„ j'_, 

ортомел шерл! жуйеа туйык деп аталады. 

Теорема 1. 

туйык ортомелшерл1 жуйе жене /(х) 

пен g(x) L,[a.bj KeHicTiriHiH кез келген функциялары 

болсын. Осы функциялардыц 

h 

Ь 

“k = \f(x lv>k

тенднтн кднагаттандырады. Бул тевддк жалпылама туйыктык 

формуласы деп аталады. 

Дэлелдеу. /(*) + «(*) функциясынын Фурье 

коэффициенттер1 ak+bk, к = 1,2,..., сандары болады жэне бул 

коэффициенттер ушш туйыктык формуласы орындалады 

(бершген ортомелшерш жуйе туйык,!): 

Бул тецщктен 

| | / + я | ‘ = £ (ак+ьк)2 • 

к=/ 

\J 2 (x)dx+2\f(x)g(x)dx+ 2(x)dx=JT; • 

a a a *=/ Щ i~l 

Ал, Дх) жэне g(x) функциялары ymiH | | Д жэне 

*•=/ 

М "’= 

тенд йсгер! орындалады.Сондыктан, 

Теорема дэлелдендь 

\f(x)g(x)dx='£akbk . 

а 

А-/ 

Салдар. Егер {

. жиынынын, сипатгама функциясы болсын. Осы 

функцияныц Фурье коэффициенттер1 

h 

ьк = 1%(х)рк

KciiicTiriiiiH барлык жсрйшс тыгыз болгандыктан, кез келген 

/•:-о саны ушш 

тс» ici'.vairiii канагаттандыратын, м жиыныньтн «(х) 

функциясы табылады. Бул функция ушш гуйыктык 

формуласы орындалады. Демек, аталган с 

п. - п„(е) натурал санын, 

к -у * Д щ тецс1зд!гш канагаттандыратын барлык натурал 

п ушш орындалатындай етш табуга болады. Осы п ушш 


Ко 

1/ ~ ( t 41= \f-S+g~s„(g)+s„(g )-sn( f )\< 

Теорема дэлелденда. 

- 1/“ 8 II+IIg - -'«(я)II+I s . )~X.U ) 1< %+f + 7 = £ ■ 

3 3 3 

Салдар 1. Егер l^fa.b J кещеппнщ ... л"’.... 

(функциялары ушш туйыктык формуласы орындалса, онда 

ортомелшерл1 

жуйес1 туйык- 

Шынында, р(х )= р„ + р,х+... + p jf i кепмушелишен 

туындайтйн Фурье катарынын 

1Ш 

дербес косындылары уппн, 

)= f.Pks„(^) 

Ы1

\л. р -л,/л* >||=| .t^I*— 

Теореманын шарты бойынша, бул 

айырма нолге умтылады. Демек, туйыктык формуласы 

лшмушелнегер жиынында орындалады. Кепмушелжгер 

жиыны 

Ц[и.Ь\ кещетшнщ барлык жершде тыгыз (§2, т.З). 

Сондыктан, Стекдов-Северини теремасы бойынша, 

ортом0лшерл1 

жуйеа туйык. 

Салдар 2. Ц-х,я] кещетшнде 

туйык. 

Шынында, туйыктык формуласы кез келген 

тригонометриялык жуйе 

Г(х) = ав 

cosfcr + At siafec) 

тригонометриялык кепмушелис у111*** орындалады 

(тскссродздер). Ал, тригонометриялык кепмушедштер 

Ж1шны L: [-7i,7t ] кещетшнщ барлык жершде тыгыз. 

Теорема 3. (Ф. Рисс - Э. Фишер)." (а .ь} кесщщсшде 

аныкталган 

ортомолшерл! Щ ж у й е а бершан. Егер, 

■Дй - j: , тобепнен курылган 1р| катары жинакталса, онда 

щ 

и.... сандары Фурье коэффициенттер! болатын жоне 

туйыктык формуласын канагаттандыратын L fa.bJ 

шЦстшнщ /(х ) функциясы табылады. 

| Двледеу. se(x) = Y_tclipl (x) деп алып \ s „ тгзбегш 

карастырайык. Элбетте, бул т1збек и [а.ь ] кещстшндс жатады 

ч'тексергщздер) жэне кез келген т 

: сандары ушш, 

жэне п(т>п) натурал 

303

Ik--v»r= j Y,Wt(x) 'dx = Y .d < . 

Бул тецсгздктщ он жагындагы катар n шекс1зд1кке 

умтылганда, жинакталатын катардын калдыгы репндс. нолге 

умтылады. Демек, {sjx)'{'l4- фундаменталды тхзбек. L:[a.hj 

толык кецктж болгандыкган, бул тпбек осы кендепкте 

жинакталады. Ягни, /няЬ„-/(=0 тендйтн канагаттандырытын 

/1-»л 

I. fn.h/ KeHicTiriHin f(x) функциясы бар болады. Осы 

функция теореманын шартын канагаттандыратынын 

. юлелдейпс. 

Шынында, Коши - Минковский тецаздйп бойынша, 

. i , . ,, I b ш. 

■J/ (.v)^(x) dx- (x) dx\ < f|/(x)~ j„(.r)! |^(x)j dx < 

Демек, 



, , *.« ll- 

b 

}/(x) к тецс1зд1пн канагаттандыратын барлык п ушш 

b А Г I "] 

\s„(x)(Pk(x)dx= j^^c1^,(x)jp,(x)«Jlx = cl . 

h 

Сондыктан, \f(x)pk(x)dx=ck. Олай болса, с*, к = 1,2.... 

о 

сандары /(х) функциясынан туындайтын Фурье кдтарынын 

Фурье коэффициенттер! жэне 

(х) осы катардын дербес 

косындысы. Осымен катар, lim I - /| - о болгандыкган, Дх) 

71-*эо 

функциясы ушш туйыктык формуласы орындалады. 

304

j Теорема дэлелдещц. 

Элбетте, Рисс-Фгапер теоремасыньщ шарттарын 

канагаттандыратын тек кана Sip функция бслады (езара 

эквивалетй функциялар тец деп есептеледО. Шынында, егер 

жэне s„->g болса, онда Дх) пен g(x) 

функцияларьшыц Фурье коэффициенттер1 тен болгандыктан, 

Ё£-к|«0 болады. Демек, /(х) = ^х).„ 

К Элбетте, Рисс-Фишер теоремасынын шарттарын 

канагаттандыратын функция тек 6ipey болуы ущщ {

j(x) + h(x) функциясы да осы теореманын шарттарын 

канагаттандырады. Ал, fix)* Дх) + /;(х) = #(х ). 

Толык жуйснщ аныктамасы \

болгандыктан, бул функция нелге тен болуы керек. Бул 

||}«В тециздшне кайшы. 

Теорема дэлелдендг 

Жогарыда тригонометриялык жуйенщ туйыктыгы 

дэлелденген болатын. TepTiHmi теорема бойынша, бул жуйе 

толык болады. 

V 

ТАР АУРА ЖАТТЫЕУ 

L Егер ь\а.ь] ксшстцшщ кез келген g(x) фунщиясы ушш 

н ь 

lim 

= |/(лг)к(-т)

жинакталса жоне |/J->||/]|, онда бул пзбек /(л)-ке орташа 

квадратты жинакталады. Дэлелдещздер. 

2. Ортомелшерл1 жуйе шекп немеее саналымды болатынын 


3. L[a.b] кещсппнде шекп жуйенщ толык болмайтынын 


4. а-н ь щ кдндай мэндершде 

Г- л 1 

\ х“ sin—, егер х * О, 

[о. егер х — 0 . 

функциясы UfOjJ кещсппнде жатады 

f 1 

егер х * О, 

5. /(jt)=

VI ТАРАУ 

ШЕКП ВАРИАЦИЯЛЫ ФУНКЦИЯЛАР. 

СТИЛТЬЕС ИНТЕГРАЛЫ 

§1. Монотонды функция 

Алдымен, математикалык талдау пэншен белгш, 

монотонды функциялармен байланысты Hcri3ri 

аныктамаларга токталайык. 

Егер [a, b] кеашцйнде аныкталган /(*) функциясы ушш 

осы кесшдатц \ < .v. тецйздтн канагаттандыратын барлык 

\ жоне v, нуктелершде 

/ ( Х , ) < / ( Х , ) 

тенйздт орындалса, онда бул функция ecnejii деп аталады. 

Егер осындай нуктедерде /(*,> /(jc,) (немесе f(x,)> Дх2) ) теназдш орындалса, онда 

функция кемшел1 (катац кемшелГ) деп аталады. Осцелй жоне 

кемшел1 функциялар монотонды (катан монотонды) дел шел i. 

Егер /(х) оспеш (катан оспелх) болса - Дх) кемшеда (катан 

кемше^п) болады. Сондыктан монотонды функцияларды 

зерттегснде, оспелi фушциялардыц касиеттерш зерттеумен 

309

шектелуге болады. Осымен катар, бгз тек шсктеугй монотонды 

функцияларды карасгырамыз. 

Сонымен, [a,b\ KcciHaicinnc аныкталган вспел1 ./'(*) 

функциясы 6eplmciH жэне а < \< Ь гешлздшн 

канагаттандыратын кез келген нукте болсын. /(*) -Tin [x„,b\ 

кесшдклндеп мэндер жиыны астынан /(х0) санымен 

шектелген. Сондыктан бул жиыннын дэл томенп жагы бар. 

Ол, Дх„ +0) = inf{/(.r)} саны. Дэл осьшай, егер а

0 сиел1 функцияныц непзп касиеттерше токталайык 

1. E = [(i,b] кесйадсшде аныкталган есдел1 функция 

шекгеут жэне олшенедь сондыктан Лебег магынасында 

косындыланады. 

Шынында, еспел! функцияныц аныкгамасы бойынша, 

/

3. [«.б] кесшдюшде аныкталган оспел] функциянын узшс 

нуктелер жиыны mcicri немесе саналымды болады. 

Шынында, MDimepi --иен улкен болатын сеюрютердщ 

п 

косындысы f(b)—f(u) санынан Kiuii болуы керек. Демек, 

мундай сеюрктер саны шекть 

Ецщ п = 1,2.... деп алып, /(*) -тщ узшеп нуктелер жиынын 

саны саналымды, теки жиындардьщ 6ipiKTipinyi ретшде 

орнектейм1з. Мундай жиын шекп немесе саналымды болады. 

Кдсиет долелденш. 

[o.b] кeciндiciндe аныкталган еспел1 функция /(х)жоне 

осы функциянын [я, b\ кесшдюшдеп узшс нуктелер] (л;), 

болсын. д(а) = о болып, [а,ь] жарты аралыгында 

v(.v) = [А«+0)т / («)]+ § § |f e +0)~ f(xt -0)]+[/(дг)-/(х-0)] деп 

як

*(х + 0 )-* (х )£ /(х + 0 ) - /( х ) (2) 

тещлзднше келешз. .«(х) функциясыныц аныктамасы 

бойынша 

ч(; )-А(х) = /(Х + 0) ~ /(х ) + £ [ / ( х4 + 0 )- Д х, -0 )]+ /(>>)-/О '- 0 ) . 

Бул тсщцктен 

Дх + 0) - Дх) й s[y) - v(x). 

Осы тещлздйсгеп j/-Ti д-ке умтылдырып, 

/ ( x + 0 ) - / ( x) < s( x + 0 ) - j ( x) ( 3 ) 

тенсйдМне келешз. (2) жоне (3) тедсЬджтершен 

./(х + 0 ) - /( х ) = s(x + 0) - ,v(x) . 

Демек, /(.r + 0)-.(x + 0) = /(x )-.f(x ). Ягни, р(х + 0) = р

Ескерту. Кем1мел1 функциясыньщ танбасын озгерту 

аркылы оны еспел1 функцияга айналдыруга болатындыктан, 

осы кдсиеттер жоне салдар кез келген монотонды функцияга 

тон. 

§2. Монотонды функцияны дифференциалдау 

[a,b] кесшдюшде аныкталган /(*) функциясыньщ осы 

.кесшдшщ л; нуктесщцег1 туындысы 

Д х )-. /(*„) ц* 

х - х „ 

катынасыныц, .v-тщ л; -ге умтылгандагы uteri ретшде 

аныкталатыны белпМ: Эрине, бул шектщ болмауы да мумкш. 

BipaK та, темендеп терт шек мшдегй турде бар болады 

(олардьщ мэндер1 шекйздж болуы да мумкш). 

1". lim —— = Л„„ - жогаргы оц туынды сан; 

х-*х,+п V— V 

*'v *7; 

2". lim ——----- - т вмени оц туынды сан; 

■:*'*»*" . Л‘~ 

3". lim х Y"^ - ЛС0А- жогаргы сол туынды сан; 

ЩшШ X—X *'v 

4". lim —— - - ■- Хсол - rhekem i сол туынды сан. 

ШШа ШШ X . 

Элбетте, шекп Л„п жене Хон бар болып, езара тец болса, 

онда f(x) -тщ х„ нукгесшде оц туындысы, ал ЛС0Амен Яголбар 

314

1болып, езара тек болса, сол туындысы бар болады. Егер осы 

туынды сандар 

-°°

1-mi суретте он жасырын нуктелер 

(«,. h2) аралыктары (кез жетазнцздер). 

жиыны [«,.*,) жэне 

Жаттыту2. Егер g(x„ )

тецыздтн кднагатгандыратын £ нуктеа бар жоне я(х) | 

уздйсаз. Сондыктан, (4) тецаздщ орындалатъш л;, нуктесшщ 

Е -аймагы табылады. Олай болса, \ - он жасырын нуктелер 

жиыныныц iiiiKi HyKTeci. х„-кез келген он жасырын нукте 

болгандыктан, бул жиын ашык. 

(3) тецаздтн дэлелдейж. Kepicimue жорып, x(g(M 

теназднг орындалатын (а,л) курушы аралыгы бар дёйж. Бул 

жагдайда gix,)> g(bt ) тецаздш орындалатын осы аралыктын 

л Hyicreci бар болады. Осы аралыкта g(x)=g{x,) тснддпн 

канагаттандыратын он жак шетю нукте д. болсын (2-m i 

сурет). Элбетте, е (а4. ) жэне #(*г)< g(c) т ец а зд т н 

канагаттандыратын 4 (х3

Бул кдйшылык жорамалымыздын TepicTirin керсетедь Лемма 

долелдещЦ. 

Егер ик * и болса, онда #(«,) = к(ьк) болатынын окушы 

ацгарган болар (1-uii сурстке кдраныз). 

Ж аттыгу 3. #(*) функциясы ушш сол жасырын нуктелер 

жиыны ашык болатыны жэне осы жиыннын курушы («,-А) 

аралыктарыньщ уштарында g{ak)tg (j}k) тенс1зджтершщ 

орындалатыны осыган уксас дэлелденедг Дэлелдещздер. 

Лемма2. Егер / (л) [я. л] кесшдюнде аныкталган узджаз 

•еснелт функция'болса, онда 

/)Л П11Л 0Н 

теназджтер1 [a,b] KecinaicimH барлык жершде дерлж 


Дэлелдеу. Лои < +оо теназдйтащ барлык жерде дерлж 

орындалатынын дэлелдейж. Айталык нуктесшде ЛП1 = -н» 

болсын. Бул жагдайда, кез келген он С саны ушш 

/(£)-/(*„). с 

теназдиш канагаттандыратын л;, нуктесшщ £ -аймагында 

орналаскан £ нуктеа табылады. Бул теназд1ктен 

/(с)-/(.г0)>с(^-х0) , немеее 

f(x0)-Cxa 

Демек, х0 

g(x)=f(x)-Cx функциясы ушш оц жасырын нукте. 

Рисс леммасы бойынша мундай нуктелер жиыны ашык жэне 

(а*. ьк) курушы аралыктарыньщ уштарында 

A ai )-Cat < f(bk)-Chl 

318

f(at )~Cak

с [а

ашык, жиынын wG = £(fct - a j< р+е тедаздш орындалатындай 

етш табуга болады. рк'=т[Е1( А («*,&/)] болсын. р-^Р>. ёкеш 

TYciHiicri. (5) тецсЬдш бойынша, рк

оч жогаргы жэне сол темени туынды сандары болса, онда 

езара 

сейкес нуктелерде Л' = Лси1, Я‘Г1= Л1Ш жоне 2-uii 

лемманы / ’(.г) функциясына колданып, А'т> А * тецйздцше 

келем1з. Демек, 

тецйздф орындалады. Сонымен, 2-uii лемманы /(*) 

функциясына колданып, [а.л] кесшдасшщ барлык жершде 

дерлж орындалатын 

Ая, ^ ^ л ^ й Л т

KeciHflicimn барлык, жершде дерлж нолге тен. Олай болса, 

/(.v)=^(.x)+.v(x) [a.b] кесшдюшщ барлык жершде дерлж 

дифференциалданады. Теорема дэлелдендк 

Дэлелденгец теорема кез келген монотонды функция ущш 

орындалатыны окушыга TyciH iicri болар. 

§3. Шекгт взгеркпй функциялар 

Алдымен шекп озгеркп функция туралы тусшж берейж 

Аныщпама1. [a.b] кесшд1анде аныкталган /(.г) функциясы 

бершеш. Егер [я.b] кесшдхсхнщ кез келген 

Т -{а = \ < х, < х,... < 1 1 белmeicreyi ушш 

k-t 

 

теназдшн канагаттандыратын К саны табылса, онда /(.с) 

шекпй взгерют (шекгт вариациялы) функция деп аталады. 

Мысалы, кез келген шектеугп монотонды функция шекп 

езгерюп функция болады. Шынында, [д,£>] кесшрйшщ кез 

келген Т белшектеу1 ушщ, 

тедшдш орындалады. 

Аныктама 2. [a. ft] кесшдюшде аныкталган шекп езгеркп 

/(л) функциясы бершеш. Осы функциядан курылган (1) 

косьшдысыньщ барлык Т белшектеулер1 бойынша алынган 

дел жогаргы жагы /(*) -тщ [ii ь] кеелндюшдеп толык взгерт 

323

(толык вариациясы) деп аталады жоне V [/] деп белгшенеда. 

Демек, 

• V [/]=sup£ |/( л ;)- / ( . j|v ' (2) 

и 

ц —* — 

деп аныкталады. Bi3 бул ютапта шекп кесщцще аныкталган 

функцияларды карастырумен шектелем1з. 

Функцияныц толык взгерШнщ касиеттерше токталайык. 

1. Кез келген Я саны ушш 

у ^ /П А И /] - 

и. и Щ 

Бул касиет (2) тендитн тжелей тексеру аркылы дэлелденед1 

(дэлелдещздер). 

2. Егер /(ж) жэне g(x| шекп ©3repicTi функциялар болса, 

онда /(х)+#(х) шекп e3repicTi функция болады жэне 

тецаздЫ орындалады. 

V[f + g]< г И | Й (3) 

и Ч I 

Шынында, [a, b] кесшдюшщ кез келген Т белшектеу1 ушш 

Y}Ax>,)+я(**)- Ж - |)- г(х,м](< 

324

^ Ё ! Ж )- /(** 11+1ЩШ)- 

*»l 

А=I 

Осы тецйздйсгщ ею жагынан барлык 

Т бвлшектеулср1 

бойынша алынган дэл жогаргы жагын аныктап, (3) 

тёдсяздагше келешз] 

Дэлелденген касиеттер шеки e3repicTi 

функциялардьщ 

сызыкты mipKeci шекп e3repicTi функция болатынын 

корсете дь 

3. [a, b] кейндкшде аныкталган шекп 03repicTi /(*) 

функциясы бершсш жоне с а < с 

канагаттандыратын, кез келген нукте болсын. Осы шарггар 

орындалган жагдайда, 

тсщйп орындалады. 

W/]= К/3+ И/1 , (4) 

Шынында, с HyKTeci [а, б] кесгндюш болшектеу 

нуктелершщ 6ipi болатын Т белшектеу1 ушш с = д, ден 

алып, 

а ж >- ж л - i 1 Ж )- + 

Щ к-1 

* i |/ ( .\) - / ( - 4 - ,] s F [ / ] + ^ l / ] (5) 

кml* I 

' 

теназдшне келешз. Енд1 кез келген Т белшектеу шктейерше 

с белшектеу нуктесш коссак, 

- /(\_ Л косындысы 

кем1мейд1. Сондыктан, 

^L/3 

325

тецаздш орындалады. Осы тецаздакке Kepi теназд1кп 

дэлелдеййс. 

Дэл жогаргы жактыц аныктамасы бойынша, кез келген 

*- . •': J ": Тч. : 4 

с > 0 саны ушш 

Z № ) - / W - , ) l > ► 't / b i Е ! / ( < ) - / « . , ) > W / 1 - 4 

А к с / 

тецаЗдактерш канагаттандыратын, [а, с] жоне [с.б] 

кесшдшершщ 

Т жэне Г белшектеулер1 табылады. Осы 

болшектеулердщ б1рйспршушен туратын \a,b] кеацгцанщ 

/ [г = T'uT") белшектеу1 ушш, 

| * 

и& 

л о -/«-,)> 

аИ/1+ И/]-* 

тецаздш орындалады. е кез келген аз шама болгандыктан, 

v[f\*v\f]+v\A 

а и г 

теназдшне келем1з. (6) жэне (7) тецаздйсгер1 (4) тендшне 

эквивалента. 

4. И*) = V[f] - [о, ft] кеацщсщце аныкталган еспел1 

[/]=И4 

Касиет дэлелденда. 

5. Егер [a,b] кесшдасйще аныкталган шекп 03repicTi Дх) 

функциясы осы кесщщшн 4 нуктесшде сол узджаз болса, 

онда бул нуктеде 

v{x)=v [/] функциясы да сол узджаз 

болады. 

Дэлелдеу. Теореманьщ шарты бойынша, кез келген е > О 

саны ушш S-й'(«) санын, %- х< S тецаздогш 

канагаттандыратын барлык х (х < 4) ушш, 

|/(|)- f{x\ < е (8) 

тедаздап орындалатындай етш табуга болады. Ецщ [д £] 

кесшдюшщ £ - < S шартын канагаттандыратын 

Т = {« = .у„ < х, < ... < л;., < -V;, - £} 

райык Бул белшектеулер ушш 

белшектеулерш карасты- 

t ! / U ) - / U . J - Z № ; ) - / U - J = | / ( £ ) - / k , ) l < * 

теназдш орындалады. Сондыктан, v [/ ] - Р [/]< * , демек 

. r{x) - еспель Сондыктан, л, , < л< £ 

теназдшн канагаттандыратын барлык -v ушш у(£)-*(х)

жуйей yniiH Х|/(А„)-/(«„)(< t тецйздш орындалатындай етш 

табуга болса, онда /(х) абсолют узджсЬ функция деп 


Элбетте, абсолют узджйз функция бхркдлыпты узджйз. 

BipaK та, б1ркзлыпты узджйз функцияныц абсолют узджйз 

болуы мшдетп емес. Оны темендеп мысалдан керем1з. 

Мысал. [о, i] кейндюшде Кантордыц Р„ жэне G,, 

жиындарын курайьж. Узындыктары - - н е тен С„-дщ 

кураушы аралыктарын солдан оцга карай к = 1,2....Т" деп 

нем ip л еп алып, осы аралыктарда /(*) функцияеын 

деп аныктайык. (l-iiri сурет). 

L £ 

9 9 

2 7 8_ 

3 9 ~9 

1-uii сурет 

330

Демек, 

3 

егер 

7 в 

-

(л*-кез келген аз шама) тецйздшн канагаттандыратын 

(«,.л,). *=1.2...и. аралыктар ЖYЙeciмeн жабуга болады жэне 

Демек, бул функция абсолют yjdiKch емес. 

Бул мысал тага 6ip курд ел i мэселеге жетелейдь Элбетте, 

/ ’(.*) [о, l] кейшййнщ барлык жершде дерлж нелге тен. 

Сондыктан, f/'(.v)c/.Y= 0. Демек, 

О 

О = \f'{ x ) d x < f{ .x ) I * / ( / ) - 7 ( 0 ) = 1. 

и 1« 

Ягни, [a,b] кейндклнщ барлык жершде дерлж 

дифференциалданатын б1ркалыпты узджйз функцияны оньщ 

туындысы аркылы Лебег интегралы аныктай алмайды. 

Баскаша айтсак, егер F(x) 

больш, f'{x)= f(x) 

дерлж орындалса, онда 

б1ркальшты узджйз функция 

тендш осы кейндшщ барлык жершде 

< F{x)- F{a) 

тецйздш орындалады. Тендж мшдетп емес. 

Осымен байланысты, Ньютон-Лейбниц формуласы 

орындалатын функциялар класын аныктау мэселей 

туындайды. Баскаша айтсак, кдндай функциялар класында 

айнымалы жогаргы шегшен тэуедщ интеграл, осы интеграл 

астындагы функциянын бастапкы бейней болады 

Бул сауалга темендеп теоремалар жауап беред1. 

332

ТеоремаJ. Косындыланатын f(x) функциясыныц 

аныкталмаган интегралы болатын 

функциясы абсолют узджаз. 

Теорема2. (Лебег). [а,б] кеандюшде аныкталган абсолют 

уЗДЖОЗ f(x) функциясыныц f(x)=F'(x) туындысы осы 

кесшдще косындыланады жэне 

[a, b] кесшдюшщ ap6ip 

х [и < х < ь) нуктесшде 

J/(*)ir = F(x)-F(a) 


Бул теоремалардыц дэлелдеуш (V] жэне [б] ьатаптарьшан 

табасыздар. 

Аныктама 5. Туындысы [a, b] кесшдюшщ барлык жервде 

дерлж нолге тец, шекп esrepicri уздйсаз функция сингулярлы 


Жогарыда келт1ршген “Кантор сатысы” сингулярлы 

функциянын мысалы. 

9. [а, b] кесшдюшде аныкталган шекп езгерют! /(*) 

функциясы абсолют узджс1з ^(х), сеюрютер функциясы ■(*) 

жэне сингулярлы *(х) функцияларыньщ косындысы ретшде 

орнектелед1: 

/(x)=

функциясыныц косындысы ретшде орнсктслсд1: 

/(х)=(х) функциясы ушш, 

деп алайык! 

И*)= \ч> 

а 

х{х) =

интегралы абсолют узд1каз болатын функциялар жиынында 

орындалады (1-iui жэне 2-mi теоремаларга кара). 

§4. Стилтьес интегралы 

Ymimiii тарауда 6i3 сандар есшдеп жиыннын Лебег- 

Стилтьес элшеш туралы айткан едок (Шт., §3). Бул арада осы 

елшемнщ аныктамасын тианактап, мысалдарына токталайык. 

[a. b] кейшйанде аныкталган еспел1 F(x) функциясы 

бсршсш. Осы кесшдаге енетш кесшдшщ, аралыктыц, жарты 

аралыктардын елшемдерш 

деп аныктайык 

т(а, P)=F(J3)-F(a + О). 

m[a./]=F(/ + 0)-F(ar)i Л ([л 

т(а. р] = F(p + 0 )- F(a + 0). 

m[a, fi)~ Fiji)- F(a) 

Осы елшемдер аркылы, эдеттепдей, ашык, туйык, Fa .Gs 

жэне Борель жиындарынын елшемш аныктаймыз. 

жиындар жуйеа, б^рлпч E = [a.b\ кёандам болатын а - 

Бул 

алгебра куратыны белгип. F(x) функциясы аркылы 

аныкталган т 

елшемшщ осы а -алгебрадагы жалгасуын 

Лебег-Стилтьес олшеш деп атаймыз да, 

деп белплейм13 

Бул влшем ушш F(x) тудыратын функция деп аталады. 

Енд1 Лебег-Стилтьес елшемшщ дербес мысалдарын 

келтфеййс. 

335

1. F(x) v сеюрютер функияцы болсын. xt , x2... - осы 

функциянын ceKipic нуктелер!, ал h,. h:... - осы нуктелердеп 

ceidpic шамалары болсын. х„ нуктесш [*„,*„] Kecinaici деп 

кдрастырып, 

Mi (х„) = F(x„ + о) - Fix„) = К 

екен1н KepeMi3. Демек, х„ нуктесшщ елшем! /•'(*) -Tin осы 

•I. ‘ ■ | .***' • 'Л •• 

нуктедеп ceidpic шамасына тен. Олай болса, [a, b\ 

кесшдюшщ цпка А жиыныныц елшем!, осы жиынга енетш 

ceidpic нуктелершдеп сеюрютер косындысына тец: 

Ш *М Ш Z V (2) 

ЩеЛ 

{л, }. - ceidpic нуктелер жиыныныц [a, b\ кесшдюше дешнп 

толыктауышыныц n F ешпема нелге тец. 

CeKipicTep функциясы аркылы аныкталган 

елшемш 

duacpemmi елшем деп атайды. Элбетте, дискрета елшем 

ceidpicTep нуктелершде жинакталады. 

2. F(x) - [а, б] кеещдюшде аныкталган еспел!, абсолют 

уздшйз функция болсын жене 

f{x ) = F ’(x) 

дсп алайык. Бул жагдайда, [a, b] KeciHflicmiH Лебег 

магынасында елшенетш кез келген А жиыны ушш 

влшeмi, 

Pf{ a) = \f(x)dx (3) 

А 

деп аныкталады. Шынында, Лебег теоремасы (§2) бойынша, 

И р Р) - Щщ - Н а) = I f{x)dx 

а 

336

Ендд, сг | аддитивт1 елшем, жарты сакинада аныкталган 

елшемнщ Лебег жалгасуы болатынын ескерсек жеткшкп. 

Абсолют узджаз F(x) функциясы аркылы аныкталган ц г 

елшем1 абсолют уздшаз деп аталады. 

3. f(x) - сингулярлы функция болсын. Бул функция 

аркылы аныкталган цг елшем i, /''(х)-тщ нелге тец 

болмайтын [a, b] K ecinaiciH iH нуктелершде жинакталган. 

Сингулярлы функция аркылы аныкталган щ- елшем! 

сингулярлы деп аталады. 

[а, /] к«сшдюшде аныкталган е,спел1 функция, еспещ 

функциялардын косындысы ретшде ернектелсе, демек, 

f(x)= F,(x)+F:(x) болса, онда jjF=* болады 

(тексерццздер). 

Кез келген еспел1 F(x) функциясы езшщ абсолют узджаз 

ip(x), ceidpicTcp функциясы &(х) жэне сингулярлы х{х) 

компонентершщ косындысы ретшде ернектелетйп жогарыда 

долелденда. Сондыктан, ecneni F{x) функциясы аркьшы 

аш>жталган цу ёлшёш, аталган компоненттерге сойкес 

абсолют узджаз ц , дискрет жоне сингулярлы цх 

компонентгершен турады, демек, n F = 

+ /л$ + /лх тур1нде 

ернекгелед1. 

1. Лебег — Стилтъес интегралы, [а, b] кеашнсшде 

аныкталган оспел! F(x) функциясы бершсш. juF - осы 

функциядан туындаган [а,й] кесшдосшдеп елшем болсын. 

337

h 

Осы елшем бойынша аныкталган Jf(x]dpF интегралы Лебег 

(I 

— Стилтьес интегралы деп аталады жене 

h 

jf(x)dF(x) 

деи белйленедо. 

Осы интегралдыц дербес турлерше токталайык. 

(a). f(x) - ceid p icT ep функциясы болсын (демек, jjf - 

дискретп елшем). Бул жагдайда, 

]f{x)dF{X)=YJf{xi)hi, (4) 

а / 

.у, —f (x) - т щ узш е нуктелерц Л,--осы нуктелердеп /г(л)-тщ 

ceidpic молшерт 

(/)• f(x) - абсолют узджаз функция болсын (демек, /uF - 

абсолют узджаз елшем). Бул жагдайда 

I Л № (х) 1 1f(x)F'{x)dx. (5) 

о 

а 

Бул тенджтод он жагында /(.\) F’(x) функциясынан [я, b\ 

iceciHnici бойынша алынган Лебег интегралы. Осы тенд1кп 

делелдешк. 

Егер f(x) [а,б] кесщщанщ Лебег магьшасында елшенетш 

A iiiiKi жиынында туракты шама, ал осы жиыннын сыртында 

нелге тен функция болса, онда А жиынында /(х)=с деп 

алып, (3) тендич бойынша 

]f{x)dF(x) = I dF{x) = с ■MF{A) = c\F'{x) dx = ]f{X)F'{x)dx 

ii A A a 

338

тендтне келешз. Интегралдын сг-аддитивпп бойынша, бул 

тендак кез келген жай функция ушш орындалады. 

Енд1 /(х) Лебег магынасында олшенетш шектеуш функция 

жэне 

осы функцияга [a, b] кесшдкщде бipкaлыпты 

жинакталатын ecneni жай функциялар пзбеп болсын. Осы 

шарттар орындалган жагдайда, 

пзбеп f(x]F'(x) 

функциясына [a, b] кесщщсшщ барлык жер1нде дерлйк 

жинакталады жэне п -нщ барлык мэндерщце 

и 

и 

тещдп орындалады. Б.Леви теоремасы бойынша, (IVt. §10) 

осы те такте ri п-дх шеказдиске умтылдырып, дэлелдснгел1 

отырган (5) тенд1пне Келешз. 

Сонымен, (а) жэне (/) пункттер! бойынша, егер F(x) 

ceKipicTep функциясы мен абсолют узджйз функциялардын 

косындысы болса, онда Ща елшем1 бойынша алынган Лебег 

— Стилтьес интегралы катар косындысын (немесе шекп 

косындыны) аныктау мен кодами Лебег интегралын есептеуге 

саяды. Егер F(x) -т щ сингулярлы компонен ri бар болса, онда. 

елшем! бойынша, алынган интегралды кдрастырылган 

жагдайга келйру мумкш емес. К.олдарыныздагы окулыкта бул 

моселе талданбайды. Талапты окушы e3i 1зденш игерер деп 

YMiTTiMi3. 

Элбетте, Лебег-Стилтьес интегралын шекп esrepicri 

функция бойынша аныктауга болады. Ол ушш meicri озгерюп 

функцияны еспел! функциялардын айырымы рсинде 

339

ернсктесек жеткиикп (6-шы кдсиет). Мысалы, F(x) шекп 

эзгерю'й функция болып, 

F{x) =

Эдетте, дискретп немеее узджаз 

кездейсок шамалар 

карастырылады. Егер кездейсок шама шекп немеее 

саналымды xh х,....,х1Г.. мэндерш кдбылдаса, онда бул шама 

дискретп деп аталады. 

4 кездейсок шамасынын х,, х: .......y„... мэндерш кабылдау 

ыктималдыктары р,, р: .....р„... болсын. Элбетте, 4 шамасын 

улеспру I ceidpicTep функциясы. Сондыктан, (6) жоне (7) 

интегралдары 

Щ = 

косындылары болады. 

= К * * - W)pt 

к 

Егер кездейсок 4 шамасын улеспру функциясы 

F(.v) 

абсолют узджаз болса, онда бул шама уздисср деп аталады. 

Осы функцияныц туындысы F'(x) ыктималдыктардыц 

y.iecmipy тыгыздыгы деп аталады. Эдетте, улесиру тыгыздыгы 

/>(д) деп белгшенед1 (F'{x)= р(х)). Бул жагдайда, математикалык 

купм мен дисперсияны есептеу кэд1мп 

+Х X 

Щ = \xp{x)dx, D4 - J(.v- М4)2 p {\)d \ 

—00 -—X 

Лебег интегралдарын есептеуге саяды. 

Ыктималдыктар теориясыныц элементар Kypci дискретп 

жэне узджаз кездейсок шаманы зерттеумен шектеледь Шрак 

та, кездейсок шаманын улеспру функциясьшьтц сингулярлы 

компонент! де болуы мумкш. Сондыктан, кез келген 

кездейсок шаманы дискретп, узджаз немеее осы 

шамалардыц комбинациясы деп кана карастыру, Оул 

теорияньщ аясын тартылткан бол ар едт 

34!

2. Риман — Стилтьес интегралы. [a,b] кейщпйнде 

аныкталган шектеутн /(*) жоне g(x) функциялары бершсш. 

Осы ксстдщщ кез келген 

7' = {й = ха ] кесщцюшен 4к нуктелерш 

тацдап алу тэсшнен тэуелс1з болса, онда аталган шек [а.Ь\ 

кесшд1сшде Дх) -тен g(x) функциясы бойынша алынган 

Стилтьес интегралы деп аталады жэне 

/» ЙМ . ' h 

I f W g ( x ) немесе (S) \f(x)dg(x) 

о Г У .: . t J • » i 'и 

деп белгшенедь 

Элбетте, егер я(х) = х болса, онда Стилтьес интегралы 

Риман интегралына айналады. 

Интеградцыц аныктамасына суйенш темендеп касиеттердо 

дэлелдеуд! окушыга тапсырамыз. 

h . А Л 

i • Д /l (*) + /г ( )fe (* ) = J /, (x)dg(x) + J / 2 (x)c/tf(x). 

a o } a 

2. j.f(x)d[g, (x) + g2 (x)] = J / (x)rfg, (x) + J/(x )t/g 2 (x). 

(I U U 

A 

3. Егер с жэне i туракты шамалар болса, онда 

h 

342

jV(x)*/[£ff(.r)]= kf J /( \) t/» ( \) 

Бул кдсиеттердеп тещщегердщ он жагындагы интегралдардын 

бар болуы, онын сол жагындагы интегралдардын бар болуына 

кешл. 

4. Егер а

°Y=i7'(£. )-g(-\ / J] 

А-/ 

косындысын курайык,. Осы / ушш [ v, а,,,] кесшдюшен 

алынган £ нуктеа л;., < £ < 0 теназдтн канагаттандырса 

гг, = /, ал 0

7", = {а < s, < £, ] кеагейсшде 

курылган интегралдык косынды. Ендц 

Щ | /пол{£*_/ § Ц }, £„=а, €„.,=Ь, санын нелгс умтылдырып, 

дзлслденгел1 отырган (8) тещигше кёлШ§Ш 

6. [а,Л] кесшшсщде аныкталган Дх) функциясы мен осы 

кесщшде meKTi esrepicTi g(x) функциясы ушш 

те нет win орындалады. 

\[f(x)dg(x\

Двлелдеу. Кез келген шекп eirepicTi функция ею оспел! 

функцияныц айырымы ретшде ернектелетацщктен, #

тсцсаздт. орындалатындай етш табуга болады. ДэлслдеузЕЦ 

аяктау ушщ, Лг = тах{хк . - х.) деп алып, 

Т бвлшектеуш 

Я, < 6 болатындай етш курайык, осы болшектсу уипн, 

w. -да, !

ffjx)dg(x)- Jf(x)clg(x, = f[/l(x)~ f(x\dgjff J < 

„ .1 

• “ ^Ы^теназдпш 

е келем1з. Теорема дэлелдендь 

Теорема 3. (Хеллидщ 6ipiHiiii теоремасы). Егер [а.Ь\ 

кесшдюшде аныкталган meicri e3repicri { g j x $ ’iml функциялар 

Ti36cri осы кеандш щ барлык нуктелершде g(x) функциясьша 

жинакталып, п - нщ барлык мэндершде 

V[g,}

[ f (xjdg„(x)= £ /jt[g„(xk ) - gn(xt_, )], 

a 

A*/ 

^ ill _ 

р Щ Й # % , j] 

g 

А-/ 

тедщктер1 орындалады. Bipinini тещцктеп и-д1 шекс1зд1кке 

умтылдырып, (10) тецдшнё келем1з. 

Дх) [«./>] кесишанде аныкталган узджаз функция болсын. 

Кез келген с > 0 саны ушш сатылы /,(*) функцияеын, 

е 

\f ( x h .f jx \ < Зс 

тедоздоп орындалатындай етш тандап алайык (10) тендш 

сатылы функция ушш орындалатындыктан, с -нен тэуелд[ 

л,, =л„(£) санын, 

Jf jx ) d g ( x ) - \f .( x ) d g jx \< 

тгейаздш орындалатындай етш табуга болады. Осы 

теназджтерда ескерш, орта мон туралы теорема бойынша. 

\\f(x)cig(x)- \f ( x ) d g jx < \\f(x )d g (x )- \f r (x)dg(.v J + 

}/, (x)dg(x)- \f c (x)dg„ ( x , \f, (x)dg„ (x)- \ f(x kig„ (x J < 

£ тЯ 1 £ £ I'a \ ^ £ 6 £ 

3 C a 3 3 С “ 3 3 3 

Теорема толык долелдещц. 

349

VI ТАРАУЕА ЖАТТЫРУ 

1. Егер [a,b\ кесщщсшде аныкталган /{*) функциясынын 

осы кесшдще шектеуш туьшдысы бар болса, онда бул 

функция шекп e3repicTi функция болады. Дэлелдещздер. 

2. / (д-).= л-sin егер х ф .О болса жэне f(0)-0 деп аныкталган 

X 

функция [0,l\ кесшдкпнде nieKTi 03repicTi функция 

болмайтынын дэлелдещздер. 

3 . УсУ болганда, \f(x’)-j\x')\

6. Егер [а,Ь] кеандасшде аныкталган /(х) узджаз, ал #(х) 

осы кесшдще meicri езгеркл! функция болса, онда 

F(*)= }/('№(*) 

шекп езгерюп функция болады жоне gu) уздшлз болган 

нуктеде Щ -те уздказ болады. Дэлелдещздер. 

7. Егер 1\х) узджаз болса, онда 


^^/]= К / ] + К у ]. а < с < Ь ,

Пайдаланылган эдебиет 

СвздЫтер: 

1. К,.Б. Бектаев. Орысша-казакша математикалык сездж. 

Алматы “Мектеп” ,1986. 

2. Ш.Б.Хоросани, P.O.Майдан. Математикалык 

аталымдардыц орысша-казакща сезди! Кэзакстан 

Республикасы гылым Академиясы, математика жэне 

механика институты, Алматы, 1992. 

3. Кдзакща-орысша, орысша-казакдга терминологиялык 

сезднс. Математика. KJP Уьамет! жанындагы Мемлекеттж 

терминология комиссиясы беюткен, Республикалык 

мемлекеток “Рауан” баспасы, Алматы, 1999. 

Оку куралдары 

(орыс тшнде) 

4. И.П. Натансон, Теория функций вещественной 

переменной. Москва, 1957. 

5. П.С. Александров, Введение в теорию множеств и 

общую топологию. М., “Наука”, 1977. 

6. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории 

функций и функционального анализа. М., “Наука”, 1989. 

7. Б.З. Вулих, Краткий курс теории функций 

вещественной переменной. Введение в теорию интеграла. М., 

“Наука”, 1973. 

8. В.И. Соболев. Лекции по дополнительным главам 

математического анализа. М., “Наука”, 1968. 

352

9. А. Френкель и И. Бар-Хиллен. Основания теории 

множеств. “Мир”, 1966. 

10. П. Дэн Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, 

“Мир”. 1969. 

11.А.Г. Курош. Лекции по общей алгебре, Физмат ГИЗ. 

1962. 

12. Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич. Интеграл, мера и 

производная. М., “Наука”, 1964. 

13. И.Н. Песин. Развитие понятия интеграла. М., “Наука". 

1968. 

14. Ю.С. Очан. Сборник задач по математическому 

анализу. Общая теория множеств и функций. М., 

“Просвещение”, 1981. 

Ескерту. Накты айнымалы функциялар теориясы жэне 

функционалды талдау пэндер1 бойынша, непзшен орыс 

тшндеп едебиет тшмш [б]-дан табасыздар, ал, агылшын, 

француз жоне немю тщцерйздеп басылымдар Ti3iMi f/ij-те 

бершген.

МАЗМУНЫ 

Kipicne..................................................................... ...............................3 

I Тарау. Жиын куаты.......................................................................... 5 

§1 Жиын туралы тусш ж........ ....... ................................................5 

§2 взара 6ip моцщ сойкестж. Эквивалента жиындар..........8 

§3 Жиыннын куаты................ ................... .....L......;.................. 11 

§4 Континуум куаты......................................................................19 

§5 Куаттарды салыстыру..............................................................26 

§6 1шшара реттелген жиындар.................................................. 33 

§7 Рет сактайтын бейнелеу..........................................................36 

§8 Реттелген жыиндардыц реттелген косындысы.................39 

§9 Эбден реттелген жиын....................................................... .....40 

§10 Реттелген жиындардын реттелген кебейтшдкл..............42 

§11 Реттж сандарды салыстыру................................................. 44 

§12 Трансфиниттж индукция.................................................. ...49 

§13 Тандау аксиомасы жэне оган эквивалента баска 

туйшдеулер.....................................:............................. ................ ......51 

I Тарауга жаттыгу............................................ И ........................:_54 

II Тарау. Олшеушгп кещст1ктер......................................................55 

§1 Э лш еуш т кещстж.................................................................. 56 

§2 влшеушгп кещетжтеп нуктелер жиыны........................... 65 

§3 Толык, елш еуш т кещетжтер................................................81 

§4 Олшеушгп кещетнегеп жинакы жиындар.........................95 

II Тарауга жаттыгу..........................................................................110 

III Тарау. влш еуш т кещстисгеп жиын елшем!....................... 114 

§1 Сызыкты ашык жене туйык жиындардын курылымы 115 

354

§2 Сызыкты ашык жэне туйык жиындар елшем!.............121 

§3 Лебег магынасында елшенетш шектеугп сызыкты 

жиындар......................................................................................125 

§4 Жиындар жуйеа. Жиындар жуйесшдеп жиын 

елшем1........................................................................................ 139 

§5 влшемнщ Лебег магынасында жалгасуы......................156 

§6 н~елшемщ Евклид кещспгшдеп Лебег елшем!..........165 

III Тарауга жаттыгу............ .................................................. 176 

IV Тарау. Лебег интегралы........................................................ 179 

§1 Лебег итералынын-аныктамасы....... ............................ 181 

§2 влшенетш функциялар...................................................185 

§3 влшенетш функциялар жиынындагы амалдар............192 

§4 влшeмi бойынша жинакталу. "Пзбекгердщ жинакталу 

турлерш салыстыру...................................................................196 

§5 влшенетш функцияныц курылымы..............................208 

§6 Лебег интегралыныц негГзп касиеттер1.........................220 

§7 Интеграл астында шекке кешу...................................... 229 

§8 Риман жоне Лебег интералдарын салыстыру.............. 233 

§9 Туындысы бойынша алгашкы бейнеш аныктау..........239 

§10 Лебег интегралынын жалпылама аныктамасы...........242 

IV Тарауга жаттыгу...............................................................265 

V Тарау. Лебег кещетжгер1......................................................269 

§1 Лебег магынасында косындылатын функциялар 

кещ стт......................................................................................269 

§2 Лебег магынасында квадратымен косындьшатын 

функциялар кещспп................................................................278 

§3 L,[a,h] кещсттндеп ортогонал жуйеа............................289 

355

§4 Ортомелшерли жуйе бойынша курылган Фурье 

катары............................. .............................................................. 297 

V Тарауга жаттыгу........ .................................................. . 307 

VI Тарау. Шскт! вариациялы функциялар. Стилтьес 

интегралы.................................. .................................................... 309 

§1 Монотонды функция....... ................. ...............................309 

§2 Монотонды функцияны дифференциалдау...................314 

§3 Шекп 03repicTi функциялар............................................. 323 

§4 Стилтьес интегралы.................. ...I'.'...................................335 

VI Тарауга жаттыгу....... .......................... ............................. 350 

Пайдаланган эдебиет..................................................................352 

356

F. М .М укднов 

Накты ачнымалы функциялар теориясынын нспздср1 

Насуга 27.02.2002 ж. кол койылды 

П ш ш 29,7 х 42 %. Итапты-журналда кагач. 

Шартты баспа табак колсш 7.8. 

Таралымы 500 дана. 

Тапсырыс № КН-0207 

С.Торайгыров атынлагы Павлодар 

мемлекётпк университетшщ баспасы 

637034, Павлодар к., Ломов кешеи, 64

ÐÐ°ÐºÑÑ Ð°Ð¹Ð½ÑÐ¼Ð°Ð»Ñ ÑÑÐ½ÐºÑÐ¸ÑÐ»Ð°Ñ ÑÐµÐ¾ÑÐ¸ÑÑÑÐ½ÑÐ½, Ð½ÐµÐ¿Ð·Ð´ÐµÑ!

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

ÐÐ°ÐºÑÑ Ð°Ð¹Ð½ÑÐ¼Ð°Ð»Ñ ÑÑÐ½ÐºÑÐ¸ÑÐ»Ð°Ñ ÑÐµÐ¾ÑÐ¸ÑÑÑÐ½ÑÐ½, Ð½ÐµÐ¿Ð·Ð´ÐµÑ!