ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo di ...

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.1I dati che seguono si riferiscono al periodo diincubazione espresso in giorni di una certa malattia5 2 4 5 6 7 4 7 5 2 3 6 7 55 4 1 6 6 5 8 4 2 6 5 8 7 44 6 9 5 3 5 5 6 6 3 4 5.a. Realizzare una distribuzione di frequenza (relativa,percentuale, percentuale cumulata).b. Rappresentare graficamente la distribuzione dellefrequenze assolute mediante il grafico appropriato.1

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.2L’intensità di una cutireazione alla tubercolina puòessere misurata su scala ordinale ( -, +, ++, +++,++++ ).La tabella riporta i risultati di 92 test tubercolinicieseguiti presso un ambulatorio pneumologico.CUTIREAZIONE n- 12+ 18++ 24+++ 32++++ 692a. Calcolare le distribuzioni di frequenza relativa,percentuale, cumulata relativa e percentuale.b. Rappresentare le distribuzioni con gli opportunidiagrammi.3

Esercizi di Statisticaa. Distribuzioni di frequenzaIntensitàdella n f p F Pcutireazione- 12 0,1304 13,0% 0,1304 13,0%+ 18 0,1957 19,6% 0,3261 32,6%++ 24 0,2609 26,1% 0,5870 58,7%+++ 32 0,3478 34,8% 0,9348 93,5%++++ 6 0,0652 6,5% 1,0000 100,0%92 1 100%b. DiagrammiIntensità della cutireazione34%7%13%26%20%-++++++++++4

Esercizi di StatisticaCutireazione alla tubercolinaFrequenza35%30%25%20%15%10%5%0%- + ++ +++ ++++Intensità della reazione5

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.3In una scuola elementare fu misurata l’altezza di uncampione di 10 bambini di 10 anni, ottenendo iseguenti valori espressi in cm:135 115 116 122 125 120 121132 125 130Calcolare le misure di posizione e di dispersione.6

Esercizi di StatisticaMediax=Σ xni=135+115 +10....+130=124110=124,1cmMedianan+ 1 11Posizione valore mediano: = = 5, 52 2115 116 120 121 122 125 125 130 132 135122Mediana =+ 1252=123,5cmModa =125 cm7

Esercizi di StatisticaRange = max. – min. = 135 - 115 =20 cmVarianzas22( xi− x) 396,902∑ = = = 44,1 cmn −19( )Deviazione standardxxi − ( ) 2xi −115 -9.1 82.81116 -8.1 65.61120 -4.1 16.81121 -3.1 9.61122 -2.1 4.41125 0.9 0.81125 0.9 0.81130 5.9 34.81132 7.9 62.41135 10.9 118.81396.90xs( xi− x)∑ =n −12= 6,6408cmCoefficiente di variaziones 6,6408c.v.= ⋅100= ⋅100= 0,0535 ⋅100=x 124,15.35%8

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.4Ricavare dal seguente grafico la corrispondentedistribuzione di frequenza assoluta e %.Determinare la frequenza % cumulata.Frequenza87654321034 35 36 37 38 39 40 41 42Età gestazionale (settimane)Calcolare la media, la moda, la mediana.Calcolare il range, la deviazione standard e ilcoefficiente di variazione.9

Esercizi di StatisticaEtà gestazionale(settimane)FrequenzacumulataassolutaFrequenzaassolutaFrequenza%Frequenza %cumulativa34 1 1 3,1% 3,1%35 3 4 9,4% 12,5%36 3 7 9,4% 21,9%37 3 10 9,4% 31,3%38 5 15 15,6% 46,9%39 7 22 21,9% 68,8%40 3 25 9,4% 78,1%41 3 28 9,4% 87,5%42 4 32 12,5% 100,0%32 100,0%Mediax=34 ⋅1+ 35 ⋅ 3 + 36 ⋅ 3 + ... + 41⋅3 + 42 ⋅ 432=123232=38.5 settimaneMedianaLa posizione mediana è data da(32 + 1) / 2 = 16.5La mediana è il valore che si trova pertanto tra la 16°ed la 17° osservazione. Osservando le frequenzecumulate tale valore è 39. Lo stesso valore è anche lamoda poiché si presenta con maggior frequenza.10

Esercizi di StatisticaRangemax-min=42-34=8 settimaneDeviazione standards( xi− x)∑ =n −12×fiEtàgestazionale(settimane)Frequenzaassoluta(F i )x i− x2( x i− x)( x34 1 -4,5 20,25 20,2535 3 -3,5 12,25 36,7536 3 -2,5 6,25 18,7537 3 -1,5 2,25 6,7538 5 -0,5 0,25 1,2539 7 0,5 0,25 1,7540 3 1,5 2,25 6,7541 3 2,5 6,25 18,7542 4 3,5 12,25 49Totale 32 160i−x2)⋅fis=16031=5.16=2.2711

Esercizi di StatisticaCoefficiente di variazione2.27 settimanec.v.=⋅100≅38.5settimane5.90%12

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.5La seguente tabella riporta la distribuzione del peso inun campione di femmine normali:Peso (kg) Frequenza Frequenzarelativa[40-45) 6[45-50) 11[50-55) 32[55-60) 31[60-65) 15[65-70) 4[70-75) 1TotaleFrequenza relativacumulata1. Completare la tabella;2. Rappresentare graficamente mediante istogramma;3. Calcolare:a) la media aritmetica ..............................................b) la classe modale .................................................c) la classe mediana ................................................d) la varianza ...........................................................e) la deviazione standard ........................................f) il coefficiente di variazione …………………………13

Esercizi di Statistica1) TabellaPeso (kg) Frequenza FrequenzarelativaFrequenza relativacumulata[40-45) 6 0.06 0.06[45-50) 11 0.11 0.17[50-55) 32 0.32 0.49[55-60) 31 0.31 0.80[60-65) 15 0.15 0.95[65-70) 4 0.04 0.99[70-75) 1 0.01 1.00Totale 100 1.002) Istogramma3530Frequenza2520151050[40-45) [45-50) [50-55) [55-60) [60-65) [65-70) [70-75)Peso (kg)14

Esercizi di Statistica3) a. Media42,5 ⋅6+47,5 ⋅11+52,5 ⋅32+57,5 ⋅31+62,5 ⋅15+67,5 ⋅4+72,5 5520x == = 55, 2Kg100100b. Classe modale[ 50 − 55 ) Kgc. Classe mediana[ 55 − 60 ) Kg15

Esercizi di Statisticad. Varianzaxk kf ( )classix k− x ( x x) 22k− ( xk− x) ⋅ fk[ 40 − 45 ) 42,5 6 -12,7 161,29 967,74[ 45 − 50 ) 47,5 11 -7,7 59,29 652,19[ 50 − 55 ) 52,5 32 -2,7 7,29 233,28[ 55 − 60 ) 57,5 31 2,3 5,29 163,99[ 60 − 65 ) 62,5 15 7,3 53,29 799,35[ 65 − 70 ) 67,5 4 12,3 151,29 605,16[ 70 − 75 ) 72,5 1 17,3 299,29 299,29100 37213721992s = =37 ,58kg2e. Deviazione standards = 37 ,5859 = 6, 1307kgf. Coefficiente di variazione6,1307 Kgc . v.=⋅100= 11,1064 % ≅ 11,1%55,2Kg.16

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.6La seguente tabella riporta la distribuzione dellavariabile “peso” in un campione di studenti iscrittotinello scorso anno accademico al C.d.L. perFisioterapisti.Rappresentare graficamente e calcolare le misure ditendenza centrale e di dispersione.Peso (Kg) Frequenza40-45 245-50 450-55 655-60 760-65 465-70 670-75 475-80 480-85 317

Esercizi di StatisticaIstogrammaFrequenza7654321040-4545-5050-5555-6060-6565-7070-7575-8080-85Peso (kg)Misure di tendenza centraleMedia42.5 ⋅ 2 +x ==24954047.5 ⋅ 4= 62.375 kg+52.5 ⋅ 6+......40+72.5 ⋅ 4+77.5 ⋅ 4+82.5 ⋅ 3=Classe mediana[60-65) kgClasse modale[55-60) kg18

Misure di dispersioneVarianzaEsercizi di Statisticaxk kf ( )classix k− x ( x x) 22k− ( xk− x) ⋅ fk[ 40 − 45 ) 42,5 2 -19.875 395.02 790.03[ 45 − 50 ) 47,5 4 -14.875 221.27 885.06[ 50 − 55 ) 52,5 6 -9.875 97.52 585.09[ 55 − 60 ) 57,5 7 -4.875 23.77 166.36[ 60 − 65 ) 62,5 4 0.125 0.02 0.06[ 65 − 70 ) 67,5 6 5.125 26.27 157.59[ 70 − 75 ) 72,5 4 10.125 102.52 410.06[ 75 − 80 ) 77.5 4 15.125 228.77 915.06[ 80 − 85 ) 82.5 3 20.125 405.02 1215.0540 5124.382( xi− x) 5124.3822s = ∑ = = 131. 39kgn −139Deviazione standard( xi− x)∑ s =n −1Coefficiente di variazione11.46c . v.= ⋅100≅62.3752=131.39 = 11.46 kg18.4%19

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 1.7Costruire la distribuzione di frequenza relativa epercentuale del numero di leucociti per ogni µl disangue in un soggetto adulto normale.Leucociti N° di cellule/µlNeutrofili 3650Eosinofili 150Basofili 30Linfociti 2500Monociti 430Rappresentare graficamente la frequenza %.20

Esercizi di StatisticaLeucociti N° di cellule/µlFrequenzarelativaFrequenza %Neutrofili 3650 0,540 54,0%Eosinofili 150 0,022 2,2%Basofili 30 0,004 0,4%Linfociti 2500 0,370 37,0%Monociti 430 0,064 6,4%6760 1 100,0%Frequenza %60,0%50,0%40,0%30,0%20,0%10,0%0,0%54,0%37,0%6,4%0,4%2,2%Basofili Eosinofili Monociti Linfociti NeutrofiliLeucociti /µl21

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.1E’ stato determinato il gruppo sanguigno di 24soggetti di entrambi i sessi, con i seguenti risultati:A B 0 AB A 0 B 0 A 0 A B AA 0 0 A 0 0 AB 0 A A 0.Costruire una tabella di distribuzione di frequenza.Tracciare un diagramma di frequenza a colonne.Distribuzione di frequenzaGruppo ematico Totale0 41,7%A 37,5%AB 8,3%B 12,5%Totale complessivo 100,0%Diagramma a colonneFREQUENZA50,0%40,0%30,0%20,0%10,0%0,0%0 A AB BGRUPPO EMATICO22

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.2Un medico misura la frequenza del polso di unpaziente per 10 minutiNei primi 6 minuti la frequenza è 60 battiti/min; neisuccessivi 3 minuti è 66 battiti/min e nell’ultimo minutoè 64 battiti/min.Calcolare la frequenza media.Battiti al minuto = x Minuti =fixifi60 6 60·6 =36066 3 66·3 =19864 1 64·1 = 6410 622x∑ x =nifi=622 =1062,2battiti/m23

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.3Durante un’indagine avente lo scopo di accertare lapresenza di gotta sono stati dosati i livelli di acidourico in 10 maschi e 8 femmine. Sono stati raccolti idati seguenti:maschi 7,5 7,0 7,9 7,3 7,6 8,3 7,2 8,1 7,1 8,0femmine 4,2 3,1 4,3 3,5 3,8 3,9 4,6 4,4Calcolare la media aritmetica, la deviazione standarde il coefficiente di variazione dei due campioni.Discutere la variabilità campionaria nei due sessi.Calcolare le stesse statistiche su tutti i soggetti.24

Esercizi di Statisticaxmaschi=7,5 + 7+7,9 + 7,3 + 7,6 + 8,3 + 7,2 + 8,1 + 7,1 + 810=76= 7,6104,2 + 3,1 + 4,3 + 3,5 + 3,8 + 3,9 + 4,6 + 4,4 31,8==88xfemm. =3,975x i ( xi − x)( ) 2xi −7,0 -0,6 0,367,1 -0,5 0,257,2 -0,4 0,167,3 -0,3 0,097,5 -0,1 0,017,6 0.0 0.007,9 0.3 0,098,0 0,4 0,168,1 0,5 0,258,3 0,7 0,491,86xsmaschi( xi− x)∑ =n −12=1,869= 0,454625

Esercizi di Statisticax i ( xi − x)( ) 2xi −3,1 -0,875 0,7656253,5 -0,475 0,2256253,8 -0,175 0,0306253,9 -0,075 0,0056254,2 0,225 0,0506254,3 0,325 0,1056254,4 0,425 0,1806254,6 0,625 0,3906251,7550xs( xi− x)∑ =n −121,7550femm. = =70,5007s 0,4546c. v.maschi = ⋅100= ⋅100= 0,05981 ⋅100= 5.981% =x 7,66%s 0,5007c. v.femm . = ⋅100= ⋅100= 0,1260 ⋅100= 12,6%x 3,975x generale=7 ,5+7+... +184,6+4,4=5,9889s generale =1,9100c.v. generale =31,9%26

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.452 studenti sostengono l’esame di statistica einformatica.In un gruppo di 19 studenti la media dei voti è 27. inun secondo gruppo di 24 studenti la media dei voti è25. gli studenti restanti hanno una media di 20.a. Determinare la media dei voti di tutti gli studenti.b. Calcolare il range e la deviazione standard.27

Esercizi di StatisticaMediax i f i x i· f i27 19 27·1925 24 25·2420 9 20·952X=20⋅9+25 ⋅ 2452+27⋅19=129352=24 ,87Range = 27-20 = 728

Esercizi di Statistica29Deviazione standard( )12−−= ∑ nfxxsii5186.57380.4348213.049151192.1346240.0181923.67215119(2.1346)24(0.1346)94.8654)(1521924.8654)(272424.8654)(25924.8654)(20222222++==×+×+×==×+×+×−==−×−+×−+×−=s

Esercizi di StatisticaTutti i calcoli possono essere riassunti in modopiù ordinato in una tabellax i f i (x i -x) (x i –x) 2 (x i – x) 2 · f i20 9 -4,8654 23,6721 213,049125 24 0,1346 0,0181 0,434827 19 2,1346 4,5565 86,573852 300,0577DATIINIZIALIDATIELABORATIx i f i xx i − ( x x) 22i − ( x i − x) × fi20 9 -4,8654 23,6721 213,049125 24 0,1346 0,0181 0,434827 19 2,1346 4,5565 86,573852 300,0577s( x − x)i= ∑ n −12fi=300.057751=2,425630

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.5In 9 individui maschi in cui si sospetta una deficienzadi G-6PDH, responsabile di crisi emolitiche, sidetermina l’attività dell’enzima.Si ottengono i seguenti valori (in µmol/l):122 136 115 132 101 103 124 137 111Calcolare la mediana.Ordino in senso crescente la serie di dati:101 103 111 115 122 124 132 136 137Individuo la posizione della mediana:n + 1 9 + 1 10= = = 52 2 2101 103 111 115 122 124 132 136 137Mediana = 122 µmol/l31

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.6Qual è la moda del campione seguente formato daivalori di azotemia (mg/100 ml) di soggetti normali?16 44 37 51 60 53 39 61 58 45 46 54.16 44 37 51 60 53 39 61 58 45 46 54Non è possibile determinare la moda di questocampione, perché …………..32

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.7E’ stato misurato il peso in Kg di un campione di 100individui:Peso (kg) Frequenza[50-60) 5[60-70) 17[70-80) 38[80-90) 25[90-100) 11[100-110) 4100Calcolare la media aritmetica, la classe mediana e laclasse modale.Calcolare la distribuzione delle frequenze relative,percentuali e percentuali cumulate.33

Esercizi di StatisticaPeso (kg) Frequenza50-60 560-70 1770-80 3880-90 2590-100 11100-110 4100Media =55⋅5+65⋅17+75⋅38+85⋅25+95⋅11+105⋅4100=7820=10078,2 kgClasse mediana (70-79) kgClasse modale(70-79) kgPeso Frequenza f p P(kg)50-60 5 0,05 5% 5%60-70 17 0,17 17% 22%70-80 38 0,38 38% 60%80-90 25 0,25 25% 85%90-100 11 0,11 11% 96%100-110 4 0,04 4% 100%100 1 100%34

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.8La tabella seguente riporta la distribuzione dei casi dicarcinoma del pancreas sottoposti ad interventochirurgico negli ultimi cinque anni nella ClinicaChirurgica dell’Università di Pavia, per fasce d’età:Età (anni) N° di casi[40-45) 1[45-50) 11[50-55) 35[55-60) 49[60-65) 25[65-70) 12Totale 133Calcolare la classe mediana e la classe modale.Classe mediana = [55-60)Classe modale = [55-60)35

Esercizi di StatisticaEsercizio 3.1I seguenti dati rappresentano le età di 48 pazienti chefrequentano un centro di riabilitazione fisioterapica.32 63 33 57 35 54 38 53 42 51 42 4843 46 61 53 12 13 16 16 31 30 28 2825 23 23 22 21 17 13 30 14 29 16 2817 27 21 24 22 23 61 55 34 42 13 26Calcolare le opportune misure descrittive36

Esercizi di StatisticaMedia32 + 63 + 33 + 57 + ... + 13 + 26 1551x == = 32. 3125 anni4848ModaNon esiste un’unica moda, ma più valori chepresentano frequenza massima (3):13-16-23-28-42 anni distribuzione plurimodaleMedianaDisposte le 48 osservazioni in ordine crescente, laposizione della mediana è individuabile con laseguente formula:(n+1)/2=49/2=24.5La mediana è data dalla media aritmetica delleosservazioni che occupano la 24 a e la 25 a posizione:12 13 13 13 14 16 16 16 17 17 21 21 2222 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 3030 31 32 33 34 35 38 42 42 42 43 46 4851 53 53 54 55 57 61 61 63(28+29)/2=28.5 mediana37

Esercizi di StatisticaVarianzas2(12−32.3125)== 221.1132anni⋅1+(13−32.3125)47⋅3+... + (63−32.3125)⋅1=Deviazione standards = 221 .113 = 14 . 87anniCoefficiente di variazione14 .87c . v.= ⋅100=32 .312546 %38

Esercizi di StatisticaEsercizio 3.2La seguente tabella riporta il peso, l’altezza, lo sportpraticato e il numero di ferite di 18 studenti di unascuola:SoggettoPeso Altezzakg cmSport N° di feriteAA 63 170 BASKET 3BB 75 180 Basket 2CC 65 170 Basket 1DD 75 175 Nuoto 0EE 75 170 Atletica 0FF 80 185 Basket 3GG 70 170 Atletica 0HH 65 165 Pallavolo 2LL 79 180 Nuoto 2MM 80 175 Basket 0NN 73 173 Basket 0PP 66 163 Nuoto 0QQ 65 170 Pallavolo 3RR 70 178 Pallavolo 2SS 60 172 Atletica 1TT 77 177 Basket 1VV 74 169 Pallavolo 1ZZ 75 181 Atletica 2Determinare media, moda e mediana per le 4 variabili.39

Esercizi di StatisticaPESOPeso medio = 71.5 kg63 + 75 + 65 + ... + 74 + 75x == 71. 5 kg18Moda75kgvalore più frequente (frequenza=4)MedianaPosizione mediana (n+1)/2=19/2=9.5La mediana è data dalla media aritmetica della nona edecima osservazione-60 63 65 65 65 66 70 70 73 74 75 75 7575 77 79 80 80(73+74)/2=73.5kg mediana40

Esercizi di StatisticaALTEZZAAltezza media = 173.5 cm170 + 180 + 170 + ... + 169 + 181x == 173. 5 cm18Moda170 kg valore più frequente (frequenza=5)MedianaPosizione mediana (n+1)/2=19/2=9.5La mediana è data dalla media aritmetica della nona edecima osservazione-163 165 169 170 170 170 170170 172 173 175 175 177 178180 180 181 185(172+173)/2=172.5 cm mediana41

Esercizi di StatisticaSportModa sport = BasketN° di feriteN° medio di feritex=3+2+ 1+... + 1+182= 1.28≅ 1Moda0 valore più frequente (frequenza=6)MedianaPosizione mediana (n+1)/2=19/2=9.5La mediana è data dalla media aritmetica della nona edecima osservazione.0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 22 3 3 3(1+1)/2=1 mediana42

Esercizi di StatisticaEsercizio 3.3Il campione 3 7 1 2 2:ha media 3?ha mediana 7?ha moda 2?ha range 1?Mediax=3 +7+ 1+52+2=155=3MedianaDati disposti in ordine crescente:1 2 2 3 7Posizione mediana (n+1)/2=6/2=3La mediana è data dalla terza osservazione.1 2 2 3 7 mediana=2Moda2 valore più frequente (frequenza=2)Rangerange=max. – min.=7-1=643

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.81 4.3.1Supponiamo che in una certa popolazione il 52% deinati sia maschio.Se estraiamo a caso cinque record da questapopolazione, qual è la probabilità che esattamente tredi questi siano maschi?P(X=3)=?P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=5 p=0.52 q= 0.48P(X= 3)=5!⋅0.523!(5 −3)!3⋅0.482= 10⋅0.1406⋅0.2304=0.324044

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.84 4.3.2Supponiamo che sia noto che il 30% di una certapopolazione è immune da una malattia.Se si estrae un campione casuale di dimensione 10da questa popolazione, qual è la probabilità che essocontenga esattamente quattro persone immuni?P(X=4)=?P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=10 p=0.30 q= 0.70P(X=4)=10!⋅0.34!(10−4)!4⋅0.76=210⋅0.0081⋅0.1176=0.200145

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.85 4.3.3Supponiamo che il 10% di una certa popolazione siadaltonico. Estraiamo un campione casuale di 25soggetti da questa popolazione.Qual è la probabilità che:a. Un numero di soggetti minore o uguale a 5 siadaltonico.b. Un numero di soggetti maggiore o uguale a 6 siadaltonico.c. Un numero di soggetti compreso tra 6 e 9, estremiinclusi, sia daltonico.46

Esercizi di Statisticaa. Un numero di soggetti minore o uguale a 5 siadaltonico.P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=25 p=0.10 q=0.90P(X≤5)=P(X=0)+……+P(X=5)]PPPPPP((((((XXXXXX======0 )1)2 )3 )4 )5 )======25 !⋅ 0 .10! ⋅25 !25 !⋅ 0 .11! ⋅24!25 !⋅ 0 .12! ⋅23 !25 !⋅ 0 .13! ⋅22!25 !⋅ 0 .14! ⋅21 !25 !⋅ 0 .15! ⋅20!102345⋅ 0 .9⋅ 0 .9⋅ 0 .9⋅ 0 .9⋅ 0 .9⋅ 0 .9252423222120======0 .07180 .19940 .26590 .22650 .13840 .0646P(X≤5)==0.0718+0.1994+…+0.1384+0.0646=0.966647

Esercizi di Statisticab. Un numero di soggetti maggiore o uguale a 6sia daltonico.P(X≥6) =1−P(X

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.86 4.3.4In una certa comunità e in una data sera vi è qualcunoa casa nell’ 85% delle famiglie. Un gruppo di ricercaha condotto una indagine telefonica, estraendo uncampione casuale di 12 famiglie.Trovare la probabilità che:a. Il gruppo trovi qualcuno a casa esattamente in 7famiglie.b. Il gruppo trovi qualcuno a casa in un numero difamiglie minore o uguale a 5.c. Il gruppo trovi qualcuno a casa in un numero difamiglie maggiore o uguale a 8.49

Esercizi di Statisticaa. Qualcuno a casa esattamente in 7 famiglie;P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=12 p=0.85 q=0.15P(X=7 )=12 !7! ⋅5!⋅0 .857⋅0 .155=0 .0193b. Qualcuno a casa in un numero di famiglieminore o uguale a 5;P(X≤5)=P(X=0)+……+P(X=5)]P ( X = 0 ) =12 !012⋅ 0 .85 ⋅ 0 .150! ⋅12 != 0 .0000P ( X12 !111= 1) = ⋅ 0 .85 ⋅ 0 .151! ⋅11!= 0 .0000P(X=2)=0.0000P(X=3)=0.0000P ( X = 4 ) =12 !48⋅ 0 .85 ⋅ 0 .154! ⋅8!= 0 .00006P ( X = 5 ) =12 !57⋅ 0 .85 ⋅ 0 .155! ⋅7!= 0 .0006P(X≤5)==0.0000+…+0.0006=0.00066=0.000750

Esercizi di Statisticac. Qualcuno a casa in un numero di famigliemaggiore o uguale a 8.P(X≥8)=P(X=8)+….+ P(X=12)oppureP(X≥8)=1-P(X

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.1Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è insovrappeso.Si consideri un campione casuale semplice di 20adulti degli Stati Uniti.Si trovi la probabilità che il numero di soggetti insovrappeso nel campione sia:a. Esattamente tre.b. Maggiore o uguale a tre.c. Minore di tre.d. Fra tre e sette, estremi inclusi.52

Esercizi di Statisticaa. Esattamente tre.P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn − xn=20 p=0.26 q=0.74P(X=3)=20 !3! ⋅17 !⋅0 .263⋅0 .7417=0 .1199b. Maggiore o uguale a tre.P(X≥3) =1−P(X

Esercizi di Statisticac. Minore di tre.P(X

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.2Riferendoti all’esercizio 4.3.1,4.3.1Si riferisce che il 26% degliadulti degli Stati Uniti è insovrappesoquanti adulti in sovrappeso ci si aspetta di trovare inun campione di 20?µ=n⋅pn=20 p=0.26µ=n⋅p=20⋅0.26=5.2≈5 individui in sovrappeso55

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.3Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è insovrappeso.Si consideri un campione casuale semplice di 5 adultidegli Stati Uniti.Si trovi la probabilità che il numero di soggetti insovrappeso nel campione sia:a. Zero.b. Maggiore di uno.c. Fra uno e tre, estremi inclusi.d. Minore o uguale a due.e. Cinque.56

Esercizi di Statisticaa. Zero.P(X=x)=n!⋅x!(n − x)!px⋅qn − xn=5 p=0.26 q=0.74P(X=0 )=5!0! ⋅5!⋅0 .260⋅0 .745=0 .2219b. Maggiore di uno.P(X>1)=1-P(X≤1)P ( XP ( X ==1)0 ) ==5!1! ⋅4!5!⋅ 0 .260! ⋅5!⋅ 0 .261⋅ 0 .7440⋅ 0 .74= 0 .38985=0 .2219P(X>1)=1-(0.2219+0.3898)=0.388357

Esercizi di Statisticac. Fra uno e tre, estremi inclusi.P(1≤X≤3) =P(X=1) +P(X=2)+P(X=3)P ( XP ( XP ( X5!14= 1) = ⋅ 0.26 ⋅ 0.74 =1! ⋅4!= 2 ) =5!2⋅ 0 .26 ⋅ 0 .742! ⋅3!= 3 ) =5!3⋅ 0 .26 ⋅ 0 .743! ⋅2!0.389832= 0 .2739= 0 .0962P(1≤X≤3) =0.3898+0.2739+0.0962=0.7599d. Minore o uguale a 2.P(X≤2) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)==0.2219+0.3898+0.2739=0.8856e. Cinque.P (X=5 )=5!5! ⋅0!⋅0 .265⋅0 .740=0 .001258

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89..4.3.4Un rapporto del National Center for Health Statistics,basato su dati del 1985, afferma che il 30% degliadulti americani fuma. Dato un campione casualesemplice di 15 adulti trova la probabilità che il numerodei fumatori nel campione sia:a. Tre.b. Minore di cinque.c. Fra cinque e nove, estremi inclusi.d. Maggiore di cinque, ma minore di 10.e. Maggiore o uguale a sei.59

Esercizi di Statisticaa. Tre.P(X=x)=n!⋅x!(n − x)!px⋅qn − xn=15 p=0.30 q=0.70P(X=3)=15 !3! ⋅12 !⋅0 .303⋅0 .7012=0 .1700b. Minore di cinque.P(X

Esercizi di Statisticac. Fra cinque e nove, estremi inclusi.P(5≤X≤9) =P(X=5) +P(X=6)+….+P(X=9)PPPPP(((((XXXXX=====5) =6 ) =7 ) =8 ) =9 ) =15 !⋅ 0 .305! ⋅10 !15 !⋅ 0 .306! ⋅9!15 !⋅ 0 .307! ⋅8!15 !⋅ 0 .308! ⋅7!15 !⋅ 0 .309! ⋅6!68957⋅ 0 .70⋅ 0 .70⋅ 0 .70⋅ 0 .70⋅ 0 .70109876=====0 .20610 .14720 .08110 .03480 .0116P(5≤X≤9) =0.4808d. Maggiore di cinque, ma minore di 10.P(6≤X≤9) =P(X=6) +P(X=7)+….+P(X=9)==0.1472+0.0811+0.0348+0.0116=0.2747e. Maggiore o uguale a sei.P(X≥6)=1-P(X

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.5Con riferimento all’esercizio precedente, trova lamedia e la varianza del numero di fumatori.Un rapporto del National Center for HealthStatistics, basato su dati del 1985, affermache il 30% degli adulti americani fuma. Datoun campione casuale semplice di 15 adulti…….µ=npσ 2 =np(1-p)n=15 p=0.30 1-p=0.70µ=np=15⋅0.30=4.5σ 2 =np(1-p)=15⋅0.30⋅0.70=3.1562

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.6Con riferimento all’esercizio 4.3.4,4.34Un rapporto del National Center for HealthStatistics, basato su dati del 1985, affermache il 30% degli adulti americani fuma. Datoun campione casuale semplice di 15 adultisupponi ……. che sia stato preso in campione d 25 adulti esia risultato che due soggetti sono fumatori.Pensi che questi dati possano farti venire il sospettoche la percentuale di fumatori adulti sia diminuita dal1985? Motiva la tua risposta.63

Esercizi di StatisticaLa percentuale di fumatori adulti è sicuramentediminuita dal 1985.Se, nel 1985, su un campione di 15 unità, troviamouna media di 4,5,è impossibileche, con p invariata, in un campione più numeroso (25unità) la media sia minore di 4.5.Questa osservazione è confermata dai seguenticalcoli:µ=npµ=2 n=25 p=?p= µ/n=2/25=0.0864

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.7La probabilità che una persona che soffre di emicraniapossa trovare sollievo con un particolare farmaco èuguale a 0.9. Il farmaco viene somministrato a tresoggetti scelti a caso, che soffrono di emicrania.Calcola la probabilità che il numero di soggetti chetrova sollievo sia:a. Esattamente zero.b. Esattamente uno.c. Maggiore di uno.d. Minore o uguale a due.e. Due o tre.f. Esattamente tre.65

Esercizi di Statisticaa. Esattamente zero.P(X=x)=n!⋅x!(n − x)!px⋅qn − xn=3 p=0.9 q=0.1P(X=0 )=3!0! ⋅3!⋅0 .90⋅0 .13=0 .0010b. Esattamente uno.P(X=1)=3!1! ⋅2!⋅0 .91⋅0 .12=0 .0270c. Maggiore di uno.P(X>1)=1-P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]==1-(0.0010+0.0270)=1-0.0280=0.972066

Esercizi di Statisticad. Minore o uguale a due.P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=0) già calcolataP(X=1) già calcolata3!21P ( X = 2 ) = ⋅ 0 .9 ⋅ 0 .1 = 0 .24302! ⋅1!P(X≤2)=0.0010+0.0270+0.2430=0.2710e. Due o tre.P(2≤X≤3)=1-[P(X=0)+P(X=1)]==1-(0.0010+0.0270)=1-0.028=0.972(vedi punto c.)f. Esattamente tre.P(X=3 )=3!3! ⋅0 !⋅0 .93⋅0 .10=0 .72967

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.89 4.3.8In una indagine condotta su studenti infermieri, chestavano per conseguire il diploma universitario, il 75%ha affermato di aspettarsi una promozione entro unmese dal conseguimento del diploma.Se la stessa percentuale è valida per tutta lapopolazione, si trovi, per un campione di 15 soggetti,la probabilità che il numero di soggetti che si aspettauna promozione entro un mese dal conseguimentodel titolo sia:a. Sei.b. Almeno sette.c. Non più di cinque.d. Fra sei e nove, estremi inclusi.68

Esercizi di Statisticaa. Sei.n!x n − xP(X = x)= ⋅ p ⋅qx!(n − x)!n=15 p=0.75 q=0.25P(X=6 )=15 !6! ⋅9!⋅0 .756⋅0 .259=0 .0034b. Almeno sette.P(X≥7) =1−P(X

Esercizi di StatisticaP(X≤5) =P(X=0)+P(X=1)+…….+P(X=5)]==0.0000+……+0.0007=0.0008d. Fra sei e nove, estremi inclusi.P(6≤X≤9)=P(X=6)+……+P(X=9)PPPP( X = 6 ) =( X = 7 ) =( X = 8 ) =( X = 9 ) =0 .003415 !⋅ 0 .757! ⋅8!15 !⋅ 0 .758! ⋅7!15 !⋅ 0 .759! ⋅6!789⋅ 0 .25⋅ 0 .25⋅ 0 .25876===0 .01310 .03930 .0917P(6≤X≤9)=0.0034+0.0131+100393+0.0917==0.147570

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.107 15Il metodo usuale per insegnare a persone ritardateuna particolare capacità nel prendersi cura di sestessi è efficace nel 50% dei casi.Un nuovo metodo è usato con 10 persone.Se il nuovo metodo non è migliore di quello standard,qual è la probabilità che un numero di personemaggiore o uguale a sette impari tale capacità?71

Esercizi di StatisticaP(X≥7)=P(X=7)+ P(X=8)+ P(X=9)+ P(X=10)P(X=x)=n!⋅x!(n − x)!px⋅qn − xn=10 p=0.50 q=0.50P ( XP ( XP ( XP ( X= 7 )= 8 )= 9 )= 10 )10 != ⋅ 0 .57! ⋅3!10 != ⋅ 0 .58! ⋅2!10 != ⋅ 0 .59! ⋅1!10 != ⋅ 0.510 ! ⋅0!78109⋅ 0 .5⋅ 0 .52⋅ 0 .5⋅ 0.5031= 0 .1172= 0 .0439= 0 .0098= 0.0010P(X≥7)=0.1172+0.0439+0.0098+0.0010=0.171972

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.107 16Le schede del personale di un grande ospedalemettono in evidenza che il 10% del personale dopo unanno dall’assunzione lascia il lavoro. Se ora sono statiassunti 10 nuovi impiegati:a. Qual è la probabilità che esattamente la metà diessi lavori ancora dopo un anno?b. Qual è la probabilità che tutti lavorino ancora dopoun anno?c. Qual è la probabilità che 3 di essi smettano dilavorare prima che l’anno finisca?73

Esercizi di Statisticaa. Qual è la probabilità che esattamentela metà di essi lavori ancora dopo unanno?P(X=5)=?Probabilità che 5 smettano di lavorareP(X= x)=n!⋅x!(n − x)!px⋅qn=10 p=0.10 q=0.90n−xP(X=5 )=10 !5! ⋅ 5!⋅0. 15⋅0. 95=0. 0015b. Qual è la probabilità che tutti lavorinoancora dopo un anno?P(X=0)=?Probabilità che 0 smettano di lavorareP(X=10)=10 !0! ⋅10!⋅0 .10⋅0 .910=0 .3487c. Qual è la probabilità che 3 di essismettano di lavorare prima che l’annofinisca?P(X=3)=?Probabilità che 3 smettano di lavorareP(X=3 )=10 !3! ⋅ 7 !⋅0. 13⋅0. 97=0. 057474

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.107 17In una certa popolazione in via di sviluppo, il 30% deibambini è denutrito. Se prendiamo un campionecasuale di 25 bambini da questa nazione, qual è laprobabilità che il numero di denutriti sia:a. Esattamente 10?b. Meno di 5?c. Maggiore o uguale a 5?d. Fra 3 e 5, estremi inclusi?e. Minore di 7, ma maggiore di 4?75

a. Esattamente 10?Esercizi di StatisticaP(X=x)=n!⋅x!(n − x)!px⋅qn−xn=25 p=0.30 q=0.70P(X=10)=25 !10 ! ⋅15 !⋅0 .310⋅0 .715=0 .0916b. Meno di 5?P(X

Esercizi di Statisticac. Maggiore o uguale a 5?P(X≥5)=1-P(X

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.108 24Data una variabile binomiale con media 20 e varianza16, trova n e p.µ=20 σ 2 =16µ=npσ 2 =np(1-p)np=20np=16/1-p20=16/1-p 20(1-p)=16 20-20p=16-20p=-4 p=4/20=1/5=0.20p=0.20np=20n=20/0.20=10078

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.1Da uno studio condotto sullo sviluppo di malattieperiodontali in gravidanza è risultato che il 59% delledonne gravide presenta placca batterica.Si supponga di visitare 5 donne gravide.Calcolare la probabilità che:a. nessuna presenti placca batterica;b. due presentino placca batterica;c. almeno due presentino placca batterica.79

Esercizi di Statisticaa. nessuna presenti placca batterica;P(X=0)=?P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=5 p=0.59 q=1-p=0.41P ( X= 0) =5!⋅0.590!(5 −0)!0⋅0.415= 1⋅1⋅0.0116=0.0116b. due presentino placca batterica;P(X=2)=?P ( X= 2) =5!⋅0.592!(5 −2)!2⋅0.413= 10⋅0.3481⋅0.0689=0.239980

Esercizi di Statistica81c. almeno due presentino placca batterica.P(X≥2)=?P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)già calcolata0.34520.16810.2054100.410.593)!3!(55!3)(23=⋅⋅=⋅⋅−==XP0.24840.410.121250.410.594)!4!(55!4)(14=⋅⋅=⋅⋅−==XP0.071510.071510.410.595)!5!(55!5)(05=⋅⋅=⋅⋅−==XPP(X≥2)=0.2399+0.3452+0.2484+0.0715=0.905=90.5%

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.2In un ampio campione di consumatori di tabacco nonda fumo (da annusamento o da masticazione) èrisultato che il 39% presenta leucoplachia orale.Supponendo di visitare 7 pazienti consumatori ditabacco non da fumo, si calcoli la probabilità che:a. tutti e 7 i pazienti abbiano leucoplachiab. meno di 2 pazienti abbiano leucoplachiac. più di 5 pazienti abbiano leucoplachia.82

Esercizi di Statisticaa. tutti e 7 i pazienti abbiano leucoplachiaP(X=7)=?P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=7 p=0.39 q=1-p=0.61P ( X= 7) =7!⋅0.397!(7 −7)!7⋅0.610= 1⋅0.0014⋅1= 0.0014b. meno di 2 pazienti abbiano leucoplachiaP(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)P ( X= 0) =7!⋅0.390!(7 −0)!0⋅0.617= 1⋅1⋅0.0314=0.03147!1 6P ( X = 1) = ⋅0.39⋅0.61= 7⋅0.39⋅0.0515=0.14071!(7 −1)!P(X≤1)=0.0314+0.1407=0.172183

Esercizi di Statisticac. più di 5 pazienti abbiano leucoplachia.P(X>5)=?P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)già calcolataP ( X= 6) =7!⋅0.396!(7 −6)!61⋅0.61= 7⋅0.0035⋅0.061=0.0150P(X>5)=0.0150+0.0014=0.016484

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.3Uno studio condotto su pazienti affetti da “obstructivesleep apnea syndrome”(OSAS) riferisce che il 22% diessi mostra all’indagine radiografica(ortopantomografia) formazioni ateromatose dellacarotide extracraniale.Supponendo di visitare 6 pazienti affetti da OSAS,qual è la probabilità che presentino ateroma dellacarotide extracraniale:a. tutti e 6 i pazientib. uno solo dei pazientic. più di 2 pazienti?d. Quanti soggetti affetti da ateroma ci si attende diavere su 150 pazienti?85

Esercizi di Statisticaa. tutti e 6 i pazientiP(X=6)=?P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=6 p=0.22 q= 0.78P ( X= 6) =6!⋅0.226!(6 −6)!6⋅0.780= 1⋅0.0001⋅1= 0.0001b. uno solo dei pazientiP ( X6!= 1) = ⋅0.221!(6 −1)!1⋅0.785= 6⋅0.22⋅0.2887=0.381186

Esercizi di Statisticac. più di 2 pazienti?P(X≥2)=P(x=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)già calcolataP ( XP(XP(XP ( X6!2 4= 2) = ⋅0.22⋅0.782!(6 − 2)!6!33= 3) = ⋅0.22⋅0.783!(6 −3)!6!4= 4) = ⋅0.22⋅0.784!(6 −4)!6!5 1= 5) = ⋅0.22⋅0.785!(6 −5)!2= 15⋅0.0484⋅0.3702= 0.2687= 20⋅0.0106⋅0.4746=0.1011= 15⋅0.0023⋅0.6084=0.0214= 6⋅0.0005⋅0.78=0.0024P(X≥2)=0.2687+0.1011+0.0214+0.0024+0.0001=0.3937d. Quanti soggetti affetti da ateroma ci si attendedi avere su 150 pazienti?22:100=x:150x=(22·150)/100=33Su 150 pazienti ci si attende di avere 33 soggettiaffetti da ateroma.87

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.4In una popolazione il 24% degli individui ha grupposanguigno B. Estratto un campione casuale di 20individui, calcolare la probabilità che:a) esattamente 3 individui abbiano grupposanguigno B;b) 3 o più individui abbiano gruppo B;c) meno di 3 individui abbiano gruppo B;d) esattamente 5 individui abbiano gruppo B.88

Esercizi di Statisticaa) esattamente 3 individui abbiano grupposanguigno BP(X=3)=?P(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=20 p=0.24 q= 0.76P ( X= 3) =20!3⋅0.24⋅0.763!(20−3)!17= 1140⋅0.0138⋅0.0094=0.148489

Esercizi di Statisticab) 3 o più individui abbiano gruppo BP(X≥3) =P(X=3) +P(X=4) +...+= P(X=20)È più conveniente considerare la probabilitàcomplementareP(X≥3) =1−P(X

Esercizi di Statisticac) meno di 3 individui abbiano gruppo BP(X

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.5La percentuale di individui allergici alla penicillina nel1995 è stata del 5%.Determinare la probabilità che su 8 assistiti di unmedico di base (scelti a caso) si abbiano:a. esattamente 5 assistiti allergici;b. al massimo 2 assistiti allergici;c. almeno 3 assistiti allergici;d. fra 1 e 3 assistiti allergici (inclusi).Quanti soggetti allergici ti aspetti di trovare su 8assistiti?92

Esercizi di Statisticaa. esattamente 5 assistiti allergiciP(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=8 p=0.05 q= 0.95P(X=5)=8!5!(8 −⋅ 0.055)!5⋅ 0.953=0.000015b. al massimo 2 assistiti allergiciPr(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P ( XP ( XP ( X===0)1)2)===8!⋅ 0.050!(8 − 0)!8!1⋅ 0.051!(8 − 1)!8!⋅ 0.052!(8 − 2)!02⋅ 0.95⋅ 0.957⋅ 0.9586= 0.6634= 0.2793= 0.0515Pr(X≤2)=0.6634+0.2793+0.0515=0.994293

Esercizi di Statisticac. almeno 3 assistiti allergiciGià calcolata al puntoPr(X≥3)=P(X=3)+…+P(X=8)=1–P(X≤2)==1-0.9942=0.0058d. fra 1 e 3 assistiti allergici (inclusi)Già calcolate al puntoP(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P ( X = 3) =8!⋅ 0.053!(8 − 3)!3⋅ 0.955=0.0054P(1≤X≤3)=0.2793+0.0515+0.0054=0.3362Quanti soggetti allergici ti aspetti di trovare su 8 assistiti?5:100=x:8µ=np=8⋅0.05=0.4x=5⋅8/100=0.4meno di un assistito94

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.6Un produttore farmaceutico asserisce che unparticolare farmaco dà miglioramenti dei sintomi diangina pectoris nell’80% dei pazienti.Un medicoprescrive tale farmaco a 5 dei suoi pazienti affetti daangina.Determinare la probabilità che ottengano giovamento:a. nessun paziente;b. almeno 4 pazienti;c. al massimo 3 pazienti.95

Esercizi di Statisticaa. nessun pazienteP(X=x)=n!x!(n −⋅x)!px⋅ qn−xn=5 p=0.80 q= 0.20P ( X=0)=5!0!(5 −⋅ 0.800)!0⋅ 0.205=0.00032b. almeno 4 pazientiP(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)P ( XP ( X==4)5)==5!⋅ 0.804!(5 − 4)!5!5⋅ 0.805!(5 − 5)!4⋅ 0.20⋅ 0.2001= 0.4096= 0.3277P(X≥4)=0.4096+0.3277=0.737396

Esercizi di Statisticac. al massimo 3 pazientiP(X≤3)=0,2627P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)oppureP(X≤3)=1-P(X≥4)=1-0.7373=0.262797

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pagg.104/5 4.7.2/3Supponiamo di conoscere che la statura di una certapopolazione di individui sia approssimativamentedistribuita come una normale con media di 70 pollici edeviazione standard di 3 pollici.Trovare la probabilità che:a. una persona estratta a caso da questo gruppo siaalta fra 65 e 74 pollici;b. una persona estratta a caso da questo gruppo siaalta fra 77 pollici o più.c. In una popolazione di 10000 persone, quante ci siaspetta siano alte 77 pollici o più?98

Esercizi di Statisticaa. P(65

Esercizi di Statisticab. P(x>77) = ?P(x>77) = 1 - P(x77) =1 –Pr(x77)=1-P(x

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pagg.105 4.7.1Supponiamo che le età dei pazienti, all’inizio di unacerta malattia, siano approssimativamente distribuitecome una normale con media di 11,5 anni edeviazione standard di 3 anni.Un ragazzo si è appena ammalato.Trovare la probabilità che il ragazzo abbia:a. una età compresa fra 8 anni e mezzo e 14 anni emezzo;b. più di 10 anni;c. sotto i 12 anni.101

Esercizi di Statisticaa. P(8,5

Esercizi di Statisticab. P(x>10) = ?P(x>10) = 1 - P(x10) =1 –Pr(x10)=1-P(x

Esercizi di Statisticac. P(x

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.105 4.7.3Se la distribuzione della capacità delle cavità cranichedi una certa popolazione è pressoché normale conuna media di 1400 cc e una deviazione standard di125 cc. Trovare la probabilità che una persona sceltaa caso da questa popolazione abbia una capacitàcranica:a. maggiore di 1450 cc;b. minore di 1350 cc;c. tra 1300 cc e 1500 cc.105

Esercizi di Statisticaa. P(x>1450) = ?P(x>1450) = 1 - P(x1450) =1 –Pr(x1450)=1-P(x

Esercizi di Statisticab. P(x

Esercizi di Statisticac. P(1300

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.106 4.7.7I pesi di femmine adulte giovani in una certapopolazione si distribuiscono pressoché normalmentecon una media di 60 kg e una deviazione standard di7 kg.Trovare la probabilità che un soggetto scelto a casoda questa popolazione abbia un peso:a. maggiore di 70 kg;b. minore di 45 kg;c. fra 48 e 66 kg.109

Esercizi di Statisticaa. P(x>70) = ?P(x>70) = 1 - P(x70) =1 –Pr(x70)=1-P(x

Esercizi di Statisticab. P(x

Esercizi di Statisticac. P(48

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.108 21I quozienti di intelligenza (QI) di individui affetti da uncerto disturbo mentale si distribuiscono pressochénormalmente con una media di 60 e una deviazionestandard di 10.a. Trovare la percentuale di individui con QI maggioredi 75.b. Qual è la probabilità che un individuo scelto a casoabbia un QI compreso tra 55 e 75?c. Trovare P (50 ≤ X ≤ 70).113

Esercizi di Statisticaa. P(x>75) = ?P(x>75) = 1 - P(x75) =1 –Pr(x75) =1-P(x

Esercizi di Statisticab. P(55

Esercizi di Statisticac. P(50

Esercizi di StatisticaESERCIZIO pag.108 23Supponiamo che il punteggio ad un test attitudinaledegli studenti del CdL per infermieri siaapprossimativamente distribuito in modo normale conuna media di 500 punti e una varianza di 10000.Uno studente sta per essere ammesso al test.Qual è la probabilità che egli ottenga un punteggiomaggiore o uguale a 650?E un punteggio compreso fra 350 e 675?117

Esercizi di Statisticaa. P(x≥650) = ?P(x≥650) = 1 - P(x650) =1 –Pr(x

Esercizi di Statisticab. P(350

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.2Il glaucoma è una malattia dell’occhio caratterizzatada un’elevata pressione intraoculare.La distribuzione della pressione intraoculare nellapopolazione generale è approssimativamente normalecon media di 16 mm Hg e deviazione standard di 3mm Hg.a. Se il normale range della pressione intraoculare èconsiderato essere compreso tra 12 e 20 mm Hg,quale percentuale della popolazione generaledovrebbe cadere entro questo range?b. Qual è la probabilità di trovare un valore dipressione maggiore di 22 mm Hg?c. In una popolazione di 10000 individui quantisoggetti ci si attende abbiano una pressioneintraoculare maggiore di 22 mm Hg?120

Esercizi di Statisticaa. P(12

Esercizi di StatisticaESERCIZIO 2.3In un ampio gruppo di pazienti coronarici si trovò che ilivelli di colesterolo serico presentavanoapprossimativamente una distribuzione normale.Inoltre il 10% del gruppo aveva livelli di colesterolo aldi sotto di 182,3 mg/100ml, mentre il 5% aveva valorisuperiori a 359 mg/100ml.Quali sono la media e la deviazione standard delladistribuzione?122

Esercizi di StatisticaDati:P(X359)=5%=0.0500Sulle tavole della distribuzione normalestandardizzata ricaviamo i valori di z corrispondentiai valori di probabilità noti.1) Z 1 = ?P(X359)=5%=0.0500P(X>359)=1-P(X

Esercizi di Statistica182.3 − µ−1.28 =1 .645 = 359 − µσσRicaviamo µ da entrambe le equazioni-1.28σ = 182.3-µ 1.645σ = 359-µµ = 182.3+1.28σ µ = 359-1.645σLe uguagliamo e ricaviamo σ:182.3 + 1.28σ = 359-1.645σ1.28σ +1.645σ = 359-182.32.925σ = 176.7σ =176.7/2.925 = 60.41Possiamo ricavare µ:µ =359-1.645σ ==359-1.645*60.41==359-99.375==259.6255124